Một số định lý về sự tồn tại điểm bất động và điểm tuần hoàn của các ánh xạ f co và e co

Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ f - co.. Sự tồn tại điểm tuần hoàn và điểm bất động của ánh xạ ε - co... Một trong những hướng mở rộng đó là nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động c

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 1

MỞ ĐẦU 2

Chương 1 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ f - co 4

1.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản 4

1.2 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ đa trị f - co 8

1.3 Sự tồn tại điểm trùng nhau và điểm bất động chung của các ánh xạ

f - co yếu 14

Chương 2 Sự tồn tại điểm tuần hoàn và điểm bất động của ánh

xạ ε - co 22 2.1 Ánh xạ ε - co 22

2.2 Sự tồn tại điểm tuần hoàn và điểm bất động của các ánh xạ đa trị ε

MỞ ĐẦU

Lý thuyết điểm bất động là một trong những hướng nghiên cứu quantrọng của Giải tích hàm, nó có nhiều ứng dụng trong giải tích và một sốngành toán học khác Do đó nó được các nhà toán học quan tâm nghiêncứu và thu được nhiều kết quả Kết quả quan trọng đầu tiên về lý thuyếtđiểm bất động là Nguyên lý ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủcủa nhà toán học Banach Dựa vào kết quả này người ta đã mở rộng nócho nhiều loại ánh xạ và nhiều loại không gian Một trong những hướng

mở rộng đó là nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ đa trị,

ánh xạ đa trị f - co; sự tồn tại điểm tuần hoàn và điểm bất động của ánh xạ ε - co trong không gian mêtric Những người đạt được kết quả

quan trọng về hướng này là Edelstein, S Nadler, JS Bae, Al - Thagafi,Hussain, G Jungck

Mục đích của luận văn là dựa vào các tài liệu tham khảo để nghiêncứu lý thuyết điểm bất động, sự tồn tại điểm bất động và điểm tuần hoàn

của các ánh xạ f - co và ε - co trong không gian mêtric Với mục đích đó,

luận văn được chia làm hai chương

Chương 1 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ f - co

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả về sự tồn tại

điểm bất động của các ánh xạ đa trị f - co; sự tồn tại điểm trùng nhau

và điểm bất động chung của các ánh xạ f - co không giao hoán.

Chương 2 Sự tồn tại điểm tuần hoàn và điểm bất động của ánh xạ ε - co và ε - dãn

Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm ánh xạ ε - co; sự tồn tại điểm tuần hoàn và điểm bất động của các ánh xạ đa trị ε - co và ánh

xạ đơn trị ε - dãn trong không gian mêtric.

Ngoài việc hệ thống, chứng minh chi tiết một số kết quả mà trong cáctài liệu tham khảo chứng minh vắn tắt hoặc bỏ qua chứng minh chúngtôi cũng đưa ra và chứng minh một số kết quả mới đó là Định lý 1.2.4,

Ví dụ 1.2.11, Mệnh đề 2.1.3 và Bổ đề 2.2.1

Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫntận tình, chu đáo và nghiêm khắc của thầy giáo, PGS.TS Đinh HuyHoàng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất của mình đến Thầy.Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa sauđại học, Ban chủ nhiệm khoa toán - Trường Đại học Vinh

Tác giả xin được cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo tổ Giải tích trongkhoa toán đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gianhọc tập

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đặc biệt là các anh chị tronglớp Cao học 17 Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trongsuốt quá trình học tập nghiên cứu

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song Luận văn không tránh khỏi nhữnghạn chế, thiếu sót Kính mong quý Thầy Cô và bạn đọc đóng góp ý kiến

để luận văn được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 12 năm 2011

Tác giả

CHƯƠNG 1

SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG

CỦA CÁC ÁNH XẠ f - CO

Chương này trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của

ánh xạ đa trị f - co; sự tồn tại điểm trùng nhau và điểm bất động chung của các ánh xạ f - co không giao hoán.

1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN

Mục này trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản đã có cầndùng trong luận văn

1.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp X và hàm d : X × X −→ R Hàm d được gọi là một mêtric trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) d(x, y) ≥ 0 và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;

(ii) d(x, y) = d(y, x);

(iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với mọi x, y, z ∈ X.

Tập hợp X cùng với một mêtric d trên nó được gọi là không gian mêtric

và ký hiệu (X, d) hay đơn giản hơn là X.

1.1.2 Định nghĩa Cho tập hợp X Họ τ các tập con của X được gọi

là tôpô trên X nếu thỏa mãn các điều kiện

Các phần tử của X được gọi là điểm của không gian tôpô.

Các không gian mêtric là không gian tôpô, tôpô trên nó gọi là tôpô

sinh bởi mêtric.

1.1.3 Định nghĩa Cho không gian tôpô X, A ⊂ X Tập U ⊂ X

được gọi là lân cận của A nếu có tập mở V trong X sao cho A ⊂ V ⊂ U.

1.1.4 Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là T1-không gian nếu

hai điểm bất kỳ x, y ∈ X, x ̸= y tồn tại các lân cận tương ứng U x , U y của

x và y sao cho y / ∈ U x và x / ∈ U y

1.1.5 Định nghĩa Dãy x n trong không gian tôpô X được gọi là hội

tụ tới x ∈ X nếu với mỗi lân cận U của x tồn tại n0 ∈ N sao cho

x n ∈ U với mọi n ≥ n0.

Khi đó ta viết x n → x.

1.1.6 Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là T2-không gian hay không gian Hausdorff nếu hai điểm bất kỳ x, y ∈ X, x ̸= y tồn tại các

lân cận tương ứng U x , U y của x và y sao cho U x ∩ U y = ∅.

Nếu X là không gian Hausdorff thì mỗi dãy trong X mà hội tụ thì hội

tụ tới một điểm duy nhất

1.1.7 Định nghĩa Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và f : X −→ Y

Ánh xạ f được gọi là liên tục tại điểm x ∈ X nếu với mỗi lân cận V của

f (x) tồn tại lân cận U của x sao cho f (U ) ⊂ V

Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X (nói gọn là liên tục) nếu nó liên tục tại mọi điểm của X.

1.1.8 Định lý Cho (X, d) và (Y, ρ) là các không gian mêtric và ánh

xạ f : X −→ Y Khi đó các điều kiện sau tương đương

(1) f liên tục tại x ∈ X;

(2) Mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho y ∈ X, d(x, y) < δ thì

ρ(f (x), f (y)) < ε;

(3) Mọi dãy {x n } ⊂ X sao cho x n → x thì f(x n) → f(x).

1.1.9 Định nghĩa Giả sử V ⊂ X, V được gọi là lân cận dãy của

x ∈ X nếu mỗi dãy {x n } hội tụ về x tồn tại n0 ∈ N sao cho

{x} ∪ {x n : n ≥ n0} ⊂ V.

1.1.10 Định nghĩa Giả sử X là không gian tôpô, hàm f : X −→ R

được gọi là nửa liên tục trên tại x0 ∈ X nếu

1.1.11 Định lý Giả sử X là không gian tôpô và f : X −→ R Khi

đó, f nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới, tương ứng) khi và chỉ khi với

mọi r ∈ R, tập {x ∈ X : f(x) < r} ({x ∈ X : f(x) > r} tương ứng) mở trong X.

1.1.12 Định lý Giả sử X là không gian tôpô và f : X −→ R Khi

đó, f liên tục tại x ∈ X khi và chỉ khi f liên tục trên và liên tục dưới tại x.

1.1.13 Định nghĩa Cho X là không gian mêtric Một dãy {x n } trong

X gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N: với mọi n và

m ≥ n0 thì d(x n , x m ) < ε.

Mọi dãy hội tụ là dãy Cauchy

Không gian mêtric X gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều

hội tụ

Tập con A ⊂ X gọi là tập đầy đủ nếu nó đầy đủ với mêtric cảm sinh.

Mọi tập con đầy đủ trong không gian mêtric là tập đóng, mọi tập con đóng của một không gian mêtric đầy đủ là tập đầy đủ.

1.1.14 Định nghĩa Giả sử X, Y là hai tập khác rỗng Ký hiệu P (Y )

là họ tất cả các tập con của Y Ta gọi mỗi ánh xạ từ X vào Y là một ánh

xạ đơn trị hay hàm đơn trị và gọi mỗi ánh xạ từ X vào một họ con của

P (Y ) là một ánh xạ đa trị hay hàm đa trị.

1.1.14 Định nghĩa Giả sử f : X −→X và T : X−→U với U ⊂ P (X).

Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của f nếu f(x) = x.

Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của T nếu x ∈ T (x).

Điểm x ∈ X được gọi là điểm trùng nhau của f và T nếu f(x) ∈ T (x).

Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động chung của f và T nếu x =

f (x) ∈ T (x).

Sau này ta thường viết f x thay f (x) và T x thay T (x).

1.1.16 Định nghĩa Cho (X, d) là không gian mêtric Với mỗi x ∈ X

và A ⊆ X, d(x, A) := inf{d(x, y) : y ∈ A} Tập con A của X được gọi là gần nếu cho mỗi x ∈ X, tồn tại một phần tử a ∈ A mà d(x, a) = d(x, A).

Trong không gian mêtric mọi tập compact đều là tập gần

1.1.17 Định nghĩa Cho X, Y là các không gian mêtric, Y ⊂ X, và

ánh xạ f : Y −→X liên tục Ánh xạ f được gọi là ánh xạ mở từ không

gian Y lên không gian X nếu với mọi tập A mở trong Y thì f (A) là mở trong X.

1.2 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA

TRỊ f - CO

Mục này trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của ánh

xạ đa trị f - co trong không gian mêtric.

Cho (X, d) là không gian mêtric f là một ánh xạ liên tục trong X Ký hiệu P (X) là lớp các tập con khác rỗng, gần của X; F (X) là lớp các tập con khác rỗng, đóng của X; K(X) là lớp tất cả các tập con khác rỗng, compact của X Cho H là khoảng cách Hausdorff trên F (X), nghĩa là

H(A, B) = max {sup

x ∈A d(x, B), sup y ∈B d(A, y) }, với A và B ∈ F (X),

trong đó d(x, B) = inf {(x, y) : y ∈ B} là khoảng cách từ điểm x đến tập

hợp B.

1.2.1 Định nghĩa ([4]) Cho T : X −→ F (X) là ánh xạ Dãy {x n } ⊂

X được gọi là f - quỹ đạo của x theo T nếu, f (x n) ∈ T x n −1 , x = x0

Giả sử T X ⊆ fX Một f - quỹ đạo của x theo T được gọi là

i) Chính quy nếu cho mỗi n, d(f x n , f x n+1) ≤ H(T x n −1 , T x n) và

d(f x n , f x n+1) ≤ d(fx n−1 , f x n);

ii) Chính quy mạnh nếu, T x là tập gần và đối với mỗi n, d(f x n , f x n+1) =

d(f x n , T x n)

1.2.2 Định nghĩa ([4]) Ánh xạ T : X −→ F (X) được gọi là f

-co (trong đó f : X −→X liên tục) nếu H(T x, T y) ≤ d(fx, fy) với mọi

1.2.4 Định lý Giả sử T : X −→ F (X) là ánh xạ f - co sao cho T và

f là R - giao hoán yếu Khi đó, nếu tồn tại dãy {x n } là f - quỹ đạo của x theo T sao cho f x n −→ t thì t là điểm trùng nhau của f và T.

Chứng minh Từ f x n −→ t và tính liên tục của f suy ra ffx n −→ ft.

là R - giao hoán yếu suy ra

suy ra d(T t, f t) = 0 Vì T t là tập con đóng trong X nên f t ∈ T t Vậy t

1.2.5 Định lý ([4]) Cho X là không gian mêtric liên thông, T :

X −→ F (X), f : X−→ X là các ánh xạ R - giao hoán yếu, trong đó

T là ánh xạ f - co, và T (X) ⊆ f(X) Nếu tồn tại x ∈ X, và {x n } là f quỹ đạo chính quy của x theo T chứa một dãy con {x n k } mà fx n k −→ t0

-và f x k+1 −→ t1, thì t0 = t1 và f t0 ∈ T t0

Chứng minh Giả sử t0 ̸= t1 Theo Hệ quả 1 và Bổ đề 7 của Daffer

và Kaneko [3] tồn tại một hằng số dương h < 1 và một lân cận U của

Vì f liên tục nên (x n k , x n k+1) ∈ U với k đủ lớn Do đó tồn tại N sao

cho với mọi k ≥ N ta có

d(f x n k , f x n k+1) > 1

2d(t0, t1) > 0 (1.1)

Từ đó suy ra d(T t0, f t0) = 0 Điều này có nghĩa f t0 ∈ T t0 

1.2.6 Chú ý Kết luận của Định lý 1.2.4 vẫn đúng nếu ta thay thế f

- quỹ đạo chính quy bởi f - quỹ đạo chính quy mạnh và F (X) bởi P (X).

1.2.7 Bổ đề ([4]) Nếu T : X −→ K(X) là nửa liên tục trên, x n −→ x0

và y n −→ T x n với mỗi n, thì tồn tại một dãy con {y n k } hội tụ đến một điểm thuộc T x0

1.2.8 Bổ đề ([4]) Nếu T : X −→ K(X) là ánh xạ f - co, thì T là nửa liên tục trên.

1.2.10 Định lý ([4]) Cho X là một không gian mêtric liên thông,

T : X −→ K(X), f : X−→ X là các ánh xạ R - giao hoán yếu, trong đó

T là ánh xạ f - co, và T (X) ⊆ f(X) Giả sử rằng tồn tại x ∈ X sao cho

có một f- quỹ đạo của x theo T chính quy mạnh và có điểm tụ Hơn nữa, giả sử rằng từ f t ∈ T t kéo theo tồn tại lim

n →∞ f

n t, t ∈ X Khi đó, T và f có điểm bất động chung.

Chứng minh Theo giả thiết, chúng ta có thể chọn một dãy f - quỹ

đạo của x theo T chính quy mạnh {x n } có một điểm tụ, kí hiệu là x ∗

Khi đó, tồn tại một dãy con {x n k } mà lim

k→∞ x n k = x ∗ Theo định nghĩacủa f - quỹ đạo, f x n k+1 ∈ T x n k Từ f liên tục suy ra lim

1.2.11 Ví dụ Giả sử X = [1; ∞) và d là mêtric trên X được sinh bởi

mêtric thông thường trênR Cho các ánh xạ f : X −→ X, T : X−→ F (X)

1.3 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM TRÙNG NHAU VÀ ĐIỂM BẤT

ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ f - CO YẾU KHÔNG

GIAO HOÁN

Cho (X, d) là một không gian mêtric và f, T : X −→ X là các ánh xạ.

Kí hiệu C(f, T ) là tập hợp các điểm trùng nhau của f và T , tức là

C(f, T ) = {x ∈ X : fx = T x}

và

F (f, T ) = {x ∈ X : x = fx = T x}

là tập hợp các điểm bất động của f và T

1.3.1 Định nghĩa ([6]) Ánh xạ T : X −→ X được gọi là f - co yếu

nếu với mỗi x, y ∈ X,

d(T x, T y) ≤ d(fx, fy) − φ(d(fx, fy)), (1.2)

trong đó f : X −→ X là ánh xạ và φ : [0; ∞)−→ [0; ∞) là hàm nửa liên

tục trên, φ(0) = 0, φ(t) > 0 với t ∈ (0, ∞) Nếu f = I là toán tử đồng

nhất, thì T được gọi là co yếu.

1.3.2 Ví dụ ([6]) Cho X = [0; ∞), f : X−→ X được cho bởi f(x) =

2x, với mọi x ∈ X, T : X−→ X được xác định bởi

2|x−y||x+y| ≤ |x−y| = d(fx, fy)−φ(d(fx, fy)),

trong đó φ : [0; ∞)−→ [0; ∞) là hàm nửa liên tục dưới, φ(t) > 0, với mọi

t ∈ [0; ∞) và φ(0) = 0 Do đó T là f -co yếu.

Hiển nhiên rằng C(f, T ) = F (f, T ) = {0}.

1.3.3 Định nghĩa ([6]) Cặp ánh xạ (T, f ) được gọi là

(i) Giao hoán nếu T f x = f T x, với mọi x ∈ X;

(ii) Tương thích nếu lim

n →∞ (T f x n , f T x n) = 0, với {x n } là một dãy mà

lim

n →∞ T x n = limn →∞ f x n = t, với t nào đó thuộc X;

(iii) Tương thích yếu nếu chúng giao hoán tại các điểm trùng nhau, tức là f T x = T f x khi f x = T x.

1.3.4 Định lý ([6]) Cho (X, d) là không gian mêtric và T, f : X −→ X

là hai tự ánh xạ với T (X) ⊂ f(X) Giả sử rằng hoặc T (X) hoặc f(X) là đầy đủ, và T là ánh xạ f- co yếu Khi đó

i) C(f, T ) ̸= ∅;

ii) Nếu thêm giả thiết (T, f) tương thích yếu thì f và T có điểm bất động chung duy nhất.

Chứng minh Lấy x0 ∈ X Do T (X) ⊂ f(X) nên chúng ta có thể chọn

một dãy {x n } ⊂ X sao cho T x n = f x n+1 , với mọi n ≥ 0 Vì T là ánh xạ

f - co yếu và theo tính chất của hàm φ ta có

Do đó, dãy {d(T x n , T x n+1)} là đơn điệu giảm và bị chặn Vì vậy, tồn tại

r ≥ 0 sao cho lim n→∞ d(T x n+1 , T x n ) = r ≥ 0 Do đó, từ tính nửa liên tục

Vì thế φ(r) ≤ 0 Theo tính chất của hàm φ thì φ(r) = 0, và ta có

lim

n→∞ d(T x n+1 , T x n ) = r = 0. (1.3)

Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng{T x n } là dãy Cauchy Giả sử {T x n }

không là dãy Cauchy, tức là tồn tại một số thực c > 0 sao cho, với mỗi

Do đó φ(c) ≤ 0, suy ra c = 0 Điều này mâu thuẫn với c > 0 Vì vậy {T x n } là dãy Cauchy, và do đó {fx n } là dãy Cauchy.

Từ tính đầy đủ của T (X) hoặc của f (X) suy ra T x n −→ z ∈ X và từ

Từ đó, T x n −→ T u Suy ra T u = z = fu Do đó u ∈ X là điểm trùng

nhau của f và T Tức là C(f, T ) ̸= ∅ (i) đã được chứng minh.

Cuối cùng ta chứng minh (ii) Từ (f, T ) là tương thích yếu và z =

Nếu tồn tại một điểm v ∈ V mà v = T v = fv, thì sử dụng lập luận

tương tự như trên ta có

d(z, v) = d(T z, T v) ≤ d(fz, fv) − φ(d(fz, fv)) = d(z, v) − φ(d(z, v)).

Từ đó ta có φ(d(z, v)) = 0 Do đó d(z, v) = 0, tức là z = v Vậy F (f, T )

chỉ có một phần tử (ii) đã được chứng minh 

1.3.5 Hệ quả ([6]) Cho X là một không gian mêtric, và f, T là hai

tự ánh xạ của X với T (X) ⊂ f(X) và hoặc T (X) hoặc f(X) là đầy đủ Nếu ánh xạ T : X −→ X thỏa mãn bất đẳng thức sau với mọi x, y ∈ X,

là nửa liên tục dưới và φ(0) = 0 Từ ψ(t) < t suy ra φ(t) > 0 với mọi

t > 0 Biểu thức (1.5) kéo theo

d(T x, T y) ≤ d(fx, fy) − φ(d(fx, fy)), ∀x, y ∈ X.

Do đó ánh xạ T : X −→ X là một f - co yếu Từ Định lý 1.3.5 suy ra

1.3.6 Hệ quả ([6]) Cho X là một không gian mêtric, và f, T là hai

tự ánh xạ của X với T (X) ⊂ f(X) và T (X) hoặc f(X) là đầy đủ Nếu

T thỏa mãn bất đẳng thức

d(T x, T y) ≤ α(d(fx, fy)).d(fx, fy), (1.6)

trong đó α : (0; ∞)−→ (0; 1) là nửa liên tục trên thì

i) C(f, T ) ̸= ∅;

ii) Nếu thêm giả thiết (f, T) tương thích yếu thì F(f, T) chỉ có một phần tử.

Chứng minh Do α : (0; ∞)−→ (0; 1) là hàm nửa liên tục trên nên hàm

Như vậy T là ánh xạ f - co yếu Do đó, nó thỏa mãn các điều kiện của

Định lý 1.3.5 Theo định lý 1.3.5 ta có điều phải chứng minh 

Cho f = I là toán tử đồng nhất và φ(t) = (1 − k)t với hằng số

k ∈ (0, 1), ta dễ dàng thu được kết quả sau.

1.3.7 Hệ quả ([6]) Cho X là một không gian mêtric, và T : X −→ X

là ánh xạ co yếu Nếu T (X) hoặc X là đầy đủ, thì T có duy nhất một điểm bất động.

1.3.8 Chú ý Hệ quả 1.3.7 bao hàm nguyên lý ánh xạ co của Banach

như một trường hợp đặc biệt

Thật vậy, nếu T : X −→ X là ánh xạ co, tức là tồn tại hằng số k ∈ [0, 1)

sao cho

d(T x, T y) ≤ kd(x, y) với mọi x, y ∈ X.

Xét hàm φ : [0, ∞)−→ [0, ∞) với φ(t) = (1 − k)t, t > 0 Ta có

d(T x, T y) ≤ kd(x, y) = d(x, y) − (1 − k)d(x, y) = d(x, y) − φ(d(x, y)),