Một số vấn đề xung quanh số hoàn chỉnh

Một số nguyên dương được gọi là số hoàn chỉnh nếu tổng các ước số của nó mà khác nó thì bằng nó.. Xung quanh khái niệm số hoàn chỉnh, xuất hiện nhiều loại số mới: Số hoàn chỉnh bội, số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ THỊ GIANG

MỘT SỐ VẤN ĐỀ XUNG QUANH SỐ HOÀN CHỈNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN 2011

MỞ ĐẦU

Số học là môn khoa học nghiên cứu về các số Nhiều nhà toán học vĩ đại trong lịch sử đã có những câu nói bất hủ về vai trò của con số (xem [9, 10]):

Jacobi: Thượng đế là số học (God is an arithmetician)

Kronecker: Thượng đế đã sáng tạo ra số tự nhiên và phần còn lại là công

việc của chúng ta (God created the natural number, and all the rest is the work

of man)

Trong số học có nhiều loại số có cấu trúc rất đặc biệt, với nhiều ứng dụng

sâu sắc Trong các loại số đó, phải kể đến số hoàn chỉnh

Một số nguyên dương được gọi là số hoàn chỉnh nếu tổng các ước số của

nó mà khác nó thì bằng nó Euclid đã khám phá ra 4 số hoàn chỉnh (perfect number) nhỏ nhất dưới dạng 2n−1(2n − 1):

lý do dẫn tới sự liên hệ giữa số hoàn chỉnh và số nguyên tố Mersenne Kết quả này thường được gọi là thuyết Euclid-Euler Cho tới tháng 9 năm 2008, mới chỉ

có 46 số Mersenne được tìm ra, có nghĩa đây là số hoàn thiện thứ 46 được biết,

số lớn nhất là 243.112.608

× (243.112.609 − 1) với 25.956.377 chữ số

Cũng chưa ai biết chắc chắn là có vô hạn số nguyên tố Mersenne và số hoàn chỉnh hay không Vì vậy, việc tìm ra các số nguyên tố Mersenne đã và đang được thực hiện bởi các siêu máy tính

Xung quanh khái niệm số hoàn chỉnh, xuất hiện nhiều loại số mới: Số hoàn chỉnh bội, số không đầy đủ, số quá đầy đủ, số hình học (số tam giác, số tam giác vuông, số tứ diện, số hình chóp vuông) Số hoàn chỉnh có liên hệ rộng khắp với các loại số đã liệt kê Chẳng hạn, bất cứ số hoàn chỉnh nào cũng là số tam giác và cũng giống như mọi số tam giác khác nó là tổng của một số hữu hạn các số tự nhiên

Một số hình học (figurate number) là một số có thể dùng để biểu diễn một

cách chính quy và rời rạc một hình hình học bằng các điểm Nếu hình biểu diễn

gồm nhiều miền, số hình học có thể được gọi là số đa miền (polytopic), tương tự

cũng có các số đa giác hoặc số đa diện

Với lý do đã nêu, luận văn này tìm hiểu các loại số xung quanh số hoàn chỉnh Nội dung chủ yếu của luận văn gồm:

1 Trình bày một số kết quả về số hoàn chỉnh chẵn và số hoàn chỉnh lẻ

2 Giới thiệu về số không đầy đủ và số quá đầy đủ

3 Chỉ rõ mối liên hệ giữa số hoàn chỉnh và số hình học

4 Thực hành kiểm tra số hoàn chỉnh trên phần mềm Maple

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thành Quang, người thầy giáo đã quan tâm đặt vấn đề nghiên cứu và tận tình chỉ dẫn, để tác giả hoàn thành bản luận văn này

Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS TS Nguyễn Quý Dy, PGS TS Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS Lê Quốc Hán, TS Nguyễn Thị Hồng Loan, TS Mai Văn Tư đã động viên, cổ vũ và có những góp ý quý báu giúp tác giả

Tác giả xin cảm ơn Bộ môn Đại số, Khoa Toán và Khoa Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh đã giúp đỡ tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập

Do nhiều nguyên nhân, luận văn chắc chắn còn nhiều thiếu sót Tác giả mong nhận được sự chỉ bảo của các quý thầy cô và các bạn bè đồng nghiệp

TÁC GIẢ

CHƯƠNG 1

SỐ HOÀN CHỈNH

1.1.1 Định nghĩa Cho n là số nguyên dương Khi đó, ta gọi:

(i)  n là số các ước số nguyên dương của n (bao gồm cả 1 và n)

(ii)  n là tổng các ước số nguyên dương của n (bao gồm cả 1và n) Nhận xét p là một số nguyên tố khi và chỉ khi  p 2; p  p 1

Chứng minh Theo định lí vừa chứng minh

 n số các số hạng trong khai triển của P

p là ước nguyên tố của n ■

1.1.5 Định lí  n là số lẻ khi và chỉ khi n là một số chính phương

1.1.6 Hệ quả  n là số chẵn khi và chỉ khi n không phải là số chính phương

Nếu kí hiệu tất cả các ước số dương của một số nguyên n bởi d d1, 2, ,d t

theo thứ tự tăng dần về độ lớn thì hiển nhiên t  n Ta có d là ước số nhỏ 1

d   , đồng nghĩa với nd d2 t1 Tương tự cách đó chúng ta có thể chứng minh nd d3 t2 d d4 t3 … Vậy n có thể được khai triển

như tích của hai thừa số như sau:

1.1.6 Định lí Một số nguyên n có thể phân tích thành tích của hai thừa số

2k

Chứng minh Cho x, y là hai thừa số của n, như vậy x.y = n, (x, y) =1 Khi đó,

hiển nhiên không một số nào trong các số nguyên 1 2

1a , 2a , , a k

k

p p p có thể tách ra

giữa x và y bởi vì (x, y) = 1 Chúng ta có thể có mỗi số hoàn toàn tham gia trong

x hoặc hoàn toàn tham gia trong y Vì vậy số cách mà n chia thành hai thừa số

nguyên tố cùng nhau bằng số cách chia p p1 2 p k thành tích hai thừa số Theo

ví dụ (3) của Định lí 1.1.7 chính là 1

2k Vì vậy, định lí được chứng minh ■

Ví dụ Cho 3 2 4

3 5 7

n   Khi đó k =3 Vì vậy, số cách mà n có thể phân tích

thành tích của hai thừa số nguyên tố cùng nhau là 3 1

Từ đó suy ra, mỗi số hạng của S cũng là một số hạng của P Nói một cách

khác, mỗi số hạng trong khai triển của P đều có dạng

với mỗi ước số d của n Vì vậy, mỗi số hạng của P cũng là một số hạng của S

Các số hạng của P là phân biệt, do đó với S cũng vậy Suy ra S =P Ta tính giá

(i) Từ (m, n) =1 ta suy ra các số nguyên tố p khác các số nguyên tố q Vì

d d d là các số nguyên giống hệt d d1, 2, ,d t sắp xếp theo một thứ tự

giảm dần Vì vậy chúng ta có định lí quan trọng sau đây

Định lí Cho f(n) là một hàm của n với n> 0 Thì

Tính đúng đắn của định lí này là rất rõ ràng vì giá trị của f(d) bên vế trái của

biểu thức giống hệt các giá trị của f n

1.2.1 Định nghĩa Một số nguyên n được gọi là số hoàn chỉnh nếu tổng của các

ước thực sự của n bằng n Như vậy n là một số hoàn chỉnh nếu 0 n n, hoặc tương tự như thế nếu  n 2n

M Khi đó định lí trên có thể phát biểu như sau

1.2.3 Định lí Cho M k là một số nguyên tố Mersenne Khi đó, số 2k1M k là một số hoàn chỉnh

Chúng ta kí hiệu 1 

2k 2k 1 là P Khi đó 7 số hoàn chỉnh đầu tiên tương k

đương với các giá trị của k làm cho 2 k 1 là một số nguyên tố được cho dưới

đây Lưu ý, dĩ nhiên k cũng phải là một số nguyên tố

P P P P P p P

chẵn Điều này được chứng minh bởi Euler, khoảng 2000 năm sau Euclid

1.2.4 Định lí Euler về số hoàn chỉnh chẵn Mọi số hoàn chỉnh chẵn đều có

n   a   , như vậy một phần của định lí

được chứng minh Chúng ta vẫn còn phải chứng minh (6), 2k 1là số nguyên tố Điều này được thực hiện như sau: a2k 1 từ (6) và  a 2k từ (3) Suy ra

2k 1 chỉ có thể có hai ước số là 1 và 2k 1 Điều này có nghĩa 2k 1 là số nguyên tố ■

1.2.5 Định lí Chữ số cuối cùng của một số hoàn chỉnh chẵn bất kì là 6 hoặc 8

Chứng minh Cho n là một số hoàn chỉnh chẵn, khi đó 1 

số cuối cùng của n là 8 ■

2 2

S a S

a S

2

k

số lẻ đầu tiên là 1 1 

2k 2 2 k  1 n Định lí được chứng minh ■

Ví dụ Nếu k =7 số hoàn chỉnh tương ứng là p bằng 7 6 7 

2 2  1 8128 Không chỉ vậy

1 2

1) Chúng phải có ít nhất sáu thừa số nguyên tố

2) Các số đó phải lớn hơn 14

10 4

1  , một số nhà toán học vất vả để đạt tới giới hạn 18

Chứng minh Cho 1 2

1k 2k k r

r

n p p p là phân tích ra thừa số nguyên tố của n Vì n

là số hoàn chỉnh nên chúng ta có thể viết

 , chẳng hạn  1

1

k p

 phải là một số nguyên chẵn (nhưng không chia hết cho 4), và tất cả  k i

i p

 còn lại là số nguyên lẻ Cho một số p nào đó, có hai trường hợp xảy ra: i p i 1 mod 4  và

  , điều này cho chúng ta biết rằng p không đồng dư với 3 1

theo modul 4, từ đó suy ra p1 1 mod 4  Hơn nữa, đồng dư ( k i) 0 mod 4 

i p

nghĩa là 4 chia hết  k i

i p

 , điều đó là không thể Vậy: Nếu p i 3 mod 4 , với 2, ,

i r thì số mũ của nó k là một số nguyên chẵn i

Từ đó xảy ra p i 1 mod 4 , điều đó là chắc chắn đúng với i=1, khi đó

  hoặc 3 mod 4 , và do đó   k1 0 hoặc 2 mod 4 ;  

Trong bất kỳ trường hợp nào, k i là một số nguyên chẵn Điểm quan trọng là, bất

kể p i 1 mod 4  hoặc p i 3 mod 4 , k i luôn là số chẵn với i1 Điều đó đã được chứng minh ■

Theo quan điểm của định lý trên bất kỳ số hoàn chỉnh n đều có thể được

( r)

r k

p m





Điều này dẫn trực tiếp đến hệ quả sau

1.2.9 Hệ quả Nếu n là một số hoàn chỉnh lẻ thì n được viết dưới dạng

1.3 Thuật toán kiểm tra số hoàn chỉnh trên phần mềm Maple

Muốn biết n có phải là số hoàn chỉnh hay không, ta dùng lệnh kiểm tra xem biểu

thức sigma(n) = 2*n có được thỏa mãn hay không, bằng lệnh:

Ta thấy nó không phải số hoàn chỉnh

Để thấy được khả năng tính toán của Maple, ta xét một ví dụ không tầm thường, với n = 2305843008139952128 Khi ấy ta có

[>is(sigma(2305843008139952128)=2*2305843008139952128);

true

Và như vậy 2305843008139952128 là một số hoàn chỉnh

(2)    5 6

32 2 2 1 63

     Vì vậy 0 32 63 32 31 32 Từ đó suy ra 32 là số không đầy đủ

(3) Nếu p là một số nguyên tố thì chỉ có hai ước số là p và 1 Vì vậy

2   3 11 31 là số hoàn chỉnh với bội 2

2.1.4 Cặp số nguyên bạn bè Cho hai số nguyên a, b thỏa mãn

(2) Eruler là người đã thực hiện nghiên cứu một cách hệ thống cặp số nguyên bạn bè, và ông đã đưa ra một danh sách 60 cặp như vậy Một số trong chúng là

2.1.5 Định lí Một cặp số nguyên (a,b) là bạn bè khi và chỉ khi

Một số hình học (figurate number) là một số có thể dùng để biểu diễn một

cách chính quy và rời rạc một hình hình học bằng các điểm Nếu hình biểu diễn

gồm nhiều miền, số hình học có thể được gọi là số đa miền (polytopic), tương tự

cũng có các số đa giác hoặc số đa diện Cụ thể hơn:

Một số nguyên dương T gọi là số tam giác nếu nó có dạng n  1

trong đó n là số nguyên dương nào đó

Số chính phương hay còn gọi là số hình vuông là số nguyên có căn bậc 2 là

một số nguyên, hay nói cách khác, số chính phương là bình phương (lũy thừa

bậc 2) của một số nguyên khác Số chính phương hiển thị diện tích của một hình vuông có chiều dài cạnh bằng số nguyên kia

Một số tam giác chính phương được gọi là số tam giác vuông

Một số nguyên dương được gọi là số tứ diện nếu nó có dạng

( 1)( 2)( 3)

6

n n n

với n là một số nguyên dương nào đó

Một số nguyên dương được gọi là số hình chóp vuông nếu nó có dạng

( 1)(2 1)6

n n n

với n là một số nguyên dương nào đó

Ví dụ 1) Chuỗi số tam giác, ứng với mỗi giá trị n = 1, 2, 3 là:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,

2) 36 là một số tam giác vuông

2.2.2 Nhận xét Số tam giác là tổng các số tự nhiên từ 1 tới n:

Có thể xem đây như là số hạng của công thức, mỗi số tam giác là hệ số

kép: Số tam giác thứ n là 1 số của sự ghép cặp được lựa chọn từ n + 1 đối tượng Trong dạng này giải quyết vấn đề bắt tay của việc đếm số lần bắt tay của mỗi người trong một căn phòng kín chứa n+1 người, đó là tổng số lần bắt tay 1 lần

với mỗi người khác

Nói cách khác, số tam giác là số chấm xuất hiện trong một tam giác đều được lấp bởi các điểm đó Chẳng hạn, 3 chấm có thể sắp xếp trong một tam giác;

do đó 3 là một số tam giác Số tam giác thứ n, kí hiệu là Tn là số các chấm nằm trong tam giác có n chấm trên mỗi cạnh

2.2.3 Mệnh đề Số chính phương tam giác (số tam giác vuông) là tổng lập

phương các số tự nhiên từ 1 tới n

Chứng minh Thật vậy, từ công thức sau

2 2

ta suy ra điều phải chứng minh ■

2.2.4 Quan hệ giữa số tam giác với các số hình học khác

Số tam giác có quan hệ rất mật thiết với các loại số hình học khác (số tam giác vuông, số hình chóp vuông, số tứ diện) Đơn giản nhất là tổng của 2 số tam

giác liên tiếp là một số chính phương:

2 1

16 25

Chẳng hạn: 16 = 42

= 6 + 10 = T3 + T4 ; 25 = 52 = 10 + 15 = T4 + T5 Ngoài ra, có vô số số tam giác đồng thời là số chính phương, ví dụ: 1, 36 Có thể minh hoạ ý nghĩa trên bằng đồ hoạ trên

2.2.5 Mệnh đề Tổng của n số tam giác đầu tiên là số tứ diện thứ n

( 1)( 2)( 3)

.6

2.2.6 Mệnh đề Mọi số hoàn chỉnh đều là số tam giác

Chứng minh Kết quả này được nhận bởi công thức xác định của số hoàn chỉnh

2.2.7 Mệnh đề Với mỗi số nguyên dương n, tồn tại một hệ thặng dư đầy đủ

modn gồm n số tam giác khi và chỉ khi n2k với k là số tự nhiên

Chứng minh 1) Với n = 2k, xét tập hợp A có n phần tử sau đây:

Hệ này gồm n số tam giác 2 1 2

 

1

21

Từ đó suy ra B không phải là hệ thặng dư đầy đủ modn

Lấy x1,2, ,m Vì A là hệ thặng dư đầy đủ modn gồm toàn bộ tam giác nên từ tính chất: NếuAa a1, 2, ,a nlà hệ thặng dư đầy đủ modn, thì với

mọi số nguyên m luôn tồn tại và duy nhất số nguyên a iA sao cho

2 1

2

2 1 mod

Giả sử k i (modm), với i1, 2, ,m

Khi đó theo tính chất đồng dư ta có:

i i





Vậy B là hệ thặng dư đầy đủ modn

Ta gặp phải mâu thuẫn, do đó n phải có dạng 2k Định lý được chứng minh ■

2.3 Số k–quá đầy đủ

2.3.1 Số k-quá đầy đủ Một số nguyên n được gọi là số k-quá đầy đủ

(k-abundant number) nếu  n kn

Ví dụ    3 

120 2 3 5 3 120

      Vì vậy 120 là số 3-quá đầy đủ

2.3.2 Số k-quá đầy đủ nguyên thủy Một số k-quá đầy đủ nguyên thủy

(primitive k-abundant number) là một số nguyên dương n sao cho  n kn,

nhưng  d kd với mọi ước thực sự d của n

Cho A k là tập hợp tất cả các số k-quá đầy đủ PA k là tập hợp tất cả các số

k-quá đầy đủ nguyên thủy Thì A k =M(PA k ), có nghĩa là, A k là tập hợp các bội của

2.3.4 Bổ đề 2 Cho nx là một số k-quá đầy đủ nguyên thủy thỏa mãn các

điều kiện (i), (ii), và (iii) của bổ đề 1 Thì n chia hết cho một số nguyên tố p và

như vậy

4 1/(13 )

x p x

2.3.5 Bổ đề 3 Nếu x đủ lớn và n x là một số k-quá đầy đủ nguyên thủy thỏa

mãn các điều kiện (i), (ii), và (iii) của bổ đề 1, thì

2.3.6 Định lý Với mọi số nguyên k2, Cho PA k (x) biểu thị số lượng của các

số k-quá đầy đủ nguyên thủy không vượt quá x Thì

O x  x các số nguyên k-quá đầy đủ

nguyên thủy là không thỏa mãn các điều kiện (i), (ii), và (iii) của bổ đề 1

Cho t là số lượng các số nguyên k-quá đầy đủ nguyên thủy nx mà thỏa mãn 3 điều kiện trên Chúng ta biểu thị những con số này bởi n1, ,n Theo bổ t

đề 2, ứng với mỗi số nguyên n i , có một số nguyên tố p i chính xác rằng p i chia hết

Từ p i và p j là các số nguyên tố khác nhau, kéo theo p i 1p j  p p i j 1 Chúng ta có thể giả định rằng p i 1p j  p p i j 1, và vì vậy

KẾT LUẬN

Luận văn tìm hiểu về số hoàn chỉnh và các loại số xung quanh số hoàn chỉnh Nội dung chủ yếu của luận văn gồm:

1 Trình bày một số kết quả về số hoàn chỉnh chẵn;

2 Giới thiệu một số các thông tin xung quanh số hoàn chỉnh lẻ;

3 Tìm hiểu về số hoàn chỉnh bội;

4 Giới thiệu các kết quả về số không đầy đủ và số quá đầy đủ;

5 Chỉ rõ mối liên hệ giữa số hoàn chỉnh và số hình học (số tam giác, số tam giác vuông, số tứ diện, số hình chóp vuông);

6 Thực hành kiểm tra số hoàn chỉnh trên phần mền Maple

TÀI LIỆU THAM KHẢO

TIẾNG VIỆT

[1] Phạm Huy Điển (2002), Tính toán, Lập trình và Giảng dạy Toán học

trên Maple, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội

[2] Phan Huy Khải (2006), Các chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi

toán trung học, Nhà xuất bản Giáo dục

[3] Hà Huy Khoái (2004), Số học, NXB Giáo dục, Hà Nội

[4] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, NXB Đại

học Quốc gia Hà Nội

[5] Nguyễn Thành Quang (2003), Số học hiện đại, Trường Đại học Vinh [6] Nguyễn Thành Quang (2011), Lý thuyết trường và ứng dụng, Nhà xuất

bản Đại học Quốc Gia Hà Nội

TIẾNG ANH

[7] Z I Borevic and R I Shafarevich (1966), Number Theory, Acamedic

Press

[8] D M Burton (2002), Elementary Number Theory, Tata McGraw-Hill

Company Limited, New Delhi

[9] M B Nathanson (2000), Elementary Methods in Number Theory,

Springer

[10] S G Telang (2001), Number Theory, Tata McGraw-Hill Company

Limited, New Delhi