Xây dựng hệ thống bài tập nâng cao về chủ đề giới hạn dãy số, giới hạn hàm số nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá giỏi

hướng vào tổ chức cho người học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động.Việc áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại để phát huy năng lực tư duysáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề

KHOA TOÁN

- -XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO VỀ CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ NHẰM BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO

Mục lục

Trang

Mở đầu

I Lý do chọn đề tài………3

II Mục đích nghiên cứu……….5

III Nội dung nghiên cứu……… 5

IV Phương pháp nghiên cứu……… 5

V Giả thuyết khoa học……… 6

VI Đóng góp của khoá luận……… 6

VII Cấu trúc của đề tài……… 6

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn……… 7

1 Năng lực, năng lực toán học……… 7

1.1 Năng lực ……… 7

1.2 Năng lực toán học……… …8

2 Cấu trúc năng lực toán học……… 11

3 Năng lực giải bài tập toán của học sinh THPT……… 14

3.1 Bài toán……… 14

3.2 Chức năng của bài tập toán học……… 16

3.3 Vai trò của giải bài tập toán……… 18

3.4 Năng lực giải toán ở trường phổ thông……… 19

4 Bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, gỏi……… ….21

4.1 Vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi……… 21

4.2 Bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi……… 23

5 Vị trí chủ đề kiến thức dãy số, hàm số, giới hạn dãy số, giới hạn hàm số…… 24

6 Thực trạng dạy học chủ đề giới hạn ở trường PT……… 25

Chương 2: Xây dựng hệ thống bài tập nâng cao chủ đề giới hạn dãy số, giới hạn hàm số nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi……….26

2.1 Giới hạn dãy số……… …26

2.1.1 Một số bài tập điển hình về giới hạn dãy số SGK Đại số và giải tích 11… 26

2.1.2 Hệ thống bài tập nâng cao về chủ đề giới hạn dãy số …… 32

2.2 Giới hạn hàm số ……… 56

Kết luận……… 82

Tài liệu tham khảo 83

MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Toán học là một môn khoa học có tính trừu tượng cao độ và tính thực tiễn phổdụng lớn Nó đang phát triển như vũ bão và ngày càng thâm nhập vào các lĩnh vựckhoa học, công nghệ và đời sống Vì vậy việc dạy và học môn toán ở trường phổthông phải xuất phát từ mục tiêu giáo dục nước ta, từ đặc điểm và vị trí môn toán.Trong thư gửi bạn trẻ yêu toán tháng 10 năm 1967 thủ tướng Phạm Văn Đồng

đã chỉ rõ: “Trong các môn khoa học và kĩ thuật Toán học giữ vị trí nổi bật Nó cótác dụng lớn đối với nhiều ngành khoa học khác nhau, đối với kĩ thuật, đối với sảnxuất và chiến đấu Nó là môn thể thao của trí tuệ, giúp chúng ta nhiều trong việcrèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập,phương pháp giải quyết vấn đề, giúp chúng ta rèn luyện trí thông minh, sáng tạo,

nó còn giúp chúng ta rèn luyện nhiều đức tính quý báu như: cần cù và nhẫn nại, tựlực cánh sinh, ý chí vượt khó, yêu thích chính xác, ham chuộng chân lí Dù bạnphục vụ ngành nào, trong công tác nào thì các kiến thức và các phương pháp toánhọc cũng rất cần cho các bạn”

Luật giáo dục nước ta quy định: “Mục tiêu giáo dục là đào tạo con người ViệtNam phát triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khoẻ, thẩm mỹ, và nghề nghiệp,trung thành với lí tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội, hình thành và bồidưỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng yêu cầu xây dựng

và bảo vệ tổ quốc”

Mục tiêu của giáo dục phổ thông là là giúp học sinh phát triển toàn diện vềđạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kĩ năng cơ bản nhằm hình thành nhâncách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm côngdân chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, thamgia xây dựng bảo vệ tổ quốc

Do vậy việc dạy và học môn toán ở trường phổ thông càng có ý nghĩa quantrọng Định hướng đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay là

hướng vào tổ chức cho người học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động.Việc áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại để phát huy năng lực tư duysáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh, đặc biệt là đối với hoạt động bồidưỡng học sinh có năng khiếu toán cần phải được quan tâm trong suốt quá trìnhdạy học.

Trong cuốn “Giáo dục học môn toán” của tác giả Phạm Văn Hoàn, Trần ThúcTrình, Nguyễn Gia Cốc có viết: “Đảm bảo cho học sinh đạt yêu cầu chất lượng phổcập về toán học, đồng thời chú trọng phát hiện bồi dưỡng được một số học sinh cótài năng về toán học là rất cần thiết”

Như vậy việc bồi dưỡng học sinh giỏi là việc cần được quan tâm thường xuyên

và liên tục ở mọi cấp học, bậc học Nhất là ở trường phổ thông, việc “gõ vào tríthông minh” của học sinh đã được cố thủ tướng Phạm Văn Đồng nhiều lần tha thiếtkêu gọi: “Phải nhắc lại nghìn lần ý muốn lớn của chúng ta trong giáo dục là đào tạonhững thế hệ trẻ thông minh, sáng tạo”

Trong dạy học toán ở trường phổ thông, bài tập toán là phương tiện có hiệu quả

và không thể thay thế được trong việc giúp người học nắm vững tri thức, phát triển

tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo Bài tập nhằm đánh giá kết quả dạy và học, đánhgiá khả năng độc lập hoạt động toán học và đánh giá trình độ phát triển của họcsinh.Việc giải bài tập toán có tầm quan trọng để thực hiện tốt mục tiêu của giáodục toán học Theo A A Stôliar: “dạy toán là dạy hoạt động toán học” Trong dạytoán có nhiều tình huống điển hình nhưng có thể xem giải toán là hình thức chủyếu của hoạt động toán học Việc dạy học giải bài tập toán không có nghĩa giáoviên chỉ đơn thuần cung cấp cho học sinh lời giải bài toán Biết lời giải bài toánkhông quan trọng bằng làm thế nào để giải được bài toán Để tăng hứng thú họctập cho học sinh phát triển tư duy, rèn luyện kĩ năng hoạt động độc lập sáng tạocho học sinh thầy cần hình thành cho học sinh quy trình chung, các phương pháptìm tòi lời giải một bài toán Mỗi bài toán mà học sinh đã giải cần dạy cho họ kĩnăng khai thác những tình huống có vấn đề khác nhau, xây dựng những bài toánmới phù hợp với nhiệm vụ của nghề dạy học “Nghề dạy học là nghề cao quý vì nó

sáng tạo ra những con người sáng tạo” Vì vậy trên thực tế đã có nhiều tài liệunghiên cứu về giải toán chẳng hạn: Sáng tạo toán học, Giải bài toán như thế nào,Toán học và những suy luận có lý của tác giả G Pôlia, Tâm lý năng lực toán họccủa học sinh của tác giả Krutexki,

Chủ đề giới hạn dãy số và giới hạn hàm số là một chủ đề quan trọng của toánhọc nói chung và toán học phổ thông nói riêng Chủ đề này có nhiều ứng dụng vềmặt lí thuyết cũng như thực tiễn Đây cũng là một chủ đề gây nhiều khó khăn chohọc sinh vì trước nội dung này chưa có nội dung nào có tính chất trừu tượng đếnnhư vậy và các định lý lại được thừa nhận nhiều Tuy nhiên đây cũng là chủ đề cónhiều tiềm năng bồi dưỡng tư duy cho học sinh Do đó trong dạy học nếu giáo viênquan tâm đúng mức việc trang bị tri thức phương pháp và rèn luyện các kỹ năngcho học sinh thì sẽ góp phần phát triển tư duy, bồi dưỡng năng lực toán học và gâyhứng thú học tập

Vì các lí do trên tôi quyết định chọn đề tài: “Xây dựng hệ thống bài tập nâng

cao về chủ đề giới hạn dãy số, giới hạn hàm số nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi”

II Mục đích nghiên cứu

Mục đích của khoá luận là đưa ra hệ thống bài tập nâng cao về các dạng giớihạn và định hướng khai thác một số bài tập trong hệ thống đó nhằm bồi dưỡngnăng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi

III Nội dung nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận gồm các vấn đề: Năng lực, năng lực giải toán,việc bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi và thực trạng dạy học chủ

đề giới hạn ở trường phổ thông

- Nghiên cứu nội dung chủ đề giới hạn dãy số và giới hạn hàm số trongchương trình môn toán trung học phổ thông

- Xây dựng hệ thống bài tập về chủ đề giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và

đề xuất hướng khai thác các bài tập đó vào việc bồi dưỡng năng lực giải toán chohọc sinh khá, giỏi

IV Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận: Các tài liệu có liên quan đến tâm lí học, giáo dục học, lí

luận dạy học môn toán; nghiên cứu hệ thống bài tập sách giáo khoa đại số giải tích

11, các tài liệu tham khảo, các bài viết về chuyên đề giới hạn

Nghiên cứu thực tiễn: Phương pháp dự giờ, quan sát việc dạy và việc học

của học sinh

Thực nghiệm sư phạm: Dạy thử trong các tiết lên lớp và rút kinh nghiệm.

V Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở chương trình sách giáo khoa hiện hành, nếu trong dạy học giáoviên quan tâm đến việc xây dựng và khai thác hệ thống bài tập về giới hạn dãy số

và giới hạn hàm số một cách hợp lí thì có thể góp phần bồi dưỡng năng lưc toánhọc và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, qua đó góp phần nâng cao hiệu quảdạy học

VI Đóng góp của khoá luận

- Hệ thống hóa được một số kiến thức về lí luận dạy học làm tư liệu thamkhảo về chuyên môn

- Bước đầu xây dựng được nguồn tư liệu về bài tập toán phục vụ công tácdạy học và bồi dưỡng học sinh khá giỏi

- Tìm tòi một số phương pháp giải các bài tập về giới hạn, có hướng dẫn hợp

lí và khai thác một số bài toán điển hình sẽ góp phần rèn luyện kĩ năng giải toáncho học sinh

VII Cấu trúc đề tài

PHẦN 1 MỞ ĐẦU

PHẦN 2 NỘI DUNG

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG VÀ ĐỊNH HƯỚNG KHAI THÁC HỆ THỐNGBÀI TẬP NÂNG CAO CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN

PHẦN 3 TÀI LIỆU THAM KHẢO

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1 Năng lực, năng lực toán học

1.1 Năng lực

Quá trình hình thành đến phát triển nhân rộng để khẳng định mô hình “giáodục mũi nhọn” là cả một chặng đường dài và hết sức khó khăn Trong văn kiện Đạihội lần thứ VII Đảng Cộng Sản Việt Nam ghi rõ: “Giáo dục và đào tạo nhằm nângcao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài” Đó cũng là nhiệm vụ ngànhgiáo dục trong thực tiễn xã hội hiện nay: đào tạo ra những con người mới, nhữngchủ nhân tương lai của đất nước năng động, sáng tạo góp phần đưa đất nước đi lêngiàu mạnh, sánh vai với các cường quốc năm châu Do vậy việc phát hiện ra nănglực của mỗi người, nghiên cứu và phát triển năng lực ấy càng có ý nghĩa quantrọng

Có nhiều quan điểm khác nhau về năng lực

Định nghĩa 1: Năng lực là tổ hợp các thuộc tính độc đáo của cá nhân phùhợp với những yêu cầu của một hoạt động nhất định, đảm bảo cho hoạt động đó cóhiệu quả Năng lực gắn liền với tính sáng tạo.[13]

Định nghĩa 2: Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho con người hoànthành một loại hoạt động với chất lượng cao.[13]

Định nghĩa 3: Năng lực là tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con ngườiđáp ứng được yêu cầu của một hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết đểhoàn thành có kết quả một số hoạt động nào đó.[13]

Theo từ điển Tiếng Việt: Năng lực được hiểu là khả năng, điều kiện tự nhiênhoặc sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó

Như vậy dù là định nghĩa nào thì năng lực chỉ nảy sinh, phát triển và quansát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới mẻ Năng lực không chỉ làbẩm sinh mà phát triển trong đời sống, trong hoạt động Nó gắn liền với tính sángtạo, tư duy khác nhau về mức độ và biểu thị ở con người qua những tiêu chí: tính

dễ dàng, linh hoạt, thông minh

Một trong những công trình toán học nghiên cứu đầy đủ nhất về năng lực toán học là công trình: “Tâm lý năng lực toán học của học sinh” của Crutchetxki Theo ông vấn đề năng lực chính là vấn đề khác biệt cá nhân Mỗi cá nhân đều có năng lực nhiều hơn về một mặt nào đó tức năng lực chuyên biệt hoạt động trong một lĩnh vực chuyên biệt chẳng hạn: năng lực toán học, năng lực âm nhạc…nhưng lại có năng lực ít hơn về một mặt khác Khi năng lực phát triển tới mức cao nhất, biểu thị ở mức hoàn chỉnh nhất, kiệt xuất thì người có năng lực được gọi là thiên tài Năng lực toán học chỉ tồn tại trong hoạt động toán học và chỉ trên cơ sở phân tích hoạt động toán học mới thấy được biểu hiện của năng lực toán học

1.2 Năng lực toán học.

Theo V.A.Cruchetxki năng lực toán học được hiểu theo hai nghĩa:

Một là: theo nghĩa năng lực học tập tức là năng lực đối với việc học toán,đối với việc nắm giáo trình toán học ở phổ thông, nắm được một cách nhanh chóng

và có hiệu quả những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tương ứng Đó là trường hợpnhững học sinh giỏi toán mà hằng năm các cơ sở giáo dục thường xuyên chọn bồidưỡng học sinh giỏi

Hai là, theo nghĩa năng lực sáng tạo trong hoạt động nghiên cứu toán họcvới tư cách là khoa học, người có năng lực sáng tạo ra những công trình toán học,tạo ra những kết quả mới có giá trị đối với xã hội loài người

Theo ông, năng lực toán học cũng được hiểu là các đặc điểm tâm lý cá nhân(trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu của hoạt

động học tập toán học và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì đó lànguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán họcvới tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắcnhững kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán học.

Về bản chất của năng lực toán học: Năng lực toán học không phải là nhữngthuộc tính toán học bẩm sinh mà được hình thành trong cuộc sống, trong hoạtđộng, sự hình thành này trên cơ sở mầm mống xác định Việc rèn luyện và pháttriển năng lực toán học ở học sinh là là một nhiệm vụ đặc biệt quan trọng củangười thầy giáo vì:

- Toán học có vai trò to lớn trong sự nghiệp phát triển khoa học kĩ thuật, sựnghiệp cách mạng cần phải có đội ngũ những người có năng lực toán học

- Nhà trường là nơi cung cấp cho học sinh những cơ sở đầu tiên của toán học

và thầy giáo chính là những người hoặc vun trồng, vun xới đầu tiên cho nhữngmầm mống toán hoặc làm thui chột những mầm mống đó

Nghiên cứu của ông về năng lực toán học cho thấy một số vấn đề quantrọng:

- Vấn đề năng lực chính là sự khác biệt cá nhân khi nói về năng lực tức là giảđịnh rằng có sự khác biệt về những mặt nào đó giữa các cá nhân chẳng hạn nhưnăng lực toán học.

- Trong cuộc đời của mỗi con người thực sự tồn tại những thời điểm tỏ rathích hợp hơn cho việc hình thành và phát triển năng lực toán học

- Hiệu quả hoạt động trong một lĩnh vực nào đó của con người thường khôngphụ thuộc vào một tổ hợp năng lực Kết quả học tập toán cũng không nằm ngoàiquy luật đó, ngoài ra còn phụ thuộc vào một số yếu tố khác chẳng hạn là niềm say

mê, thái độ học tập, sự khuyến khích hỗ trợ của giáo viên, gia đình và xã hội

Về mặt thực tiễn:

Trong lĩnh vực đào tạo con người phải nghiên cứu những năng lực của mỗingười trong lĩnh vực đào tạo, phải biết những phương pháp tốt nhất để bồi dưỡngnăng lực đó

Ông khẳng định để bồi dưỡng năng lực toán học cho học sinh ngoài việc cầntìm hiểu rõ năng lực của mỗi người còn phải đặt việc bồi dưỡng năng lực đó trongviệc bồi dưỡng năng lực toàn diện của con người vì chính việc bồi dưỡng để pháttriển năng lực toán học sẽ góp phần quan trọng bồi dưỡng để phát triển toàn diệncon người

Với luận điểm trên năng lực toán học chỉ được hình thành và phát triển tronghoạt động toán học và chỉ trên cơ sở phân tích hoạt động toán học mới thấy đượcbiểu hiện của năng lực toán học nên khi nghiên cứu việc bồi dưỡng để phát triểnnăng lực này cần lưu ý tới hoạt động toán học và đặc biệt là giải toán cả về nộidung lẫn phương pháp

Khi xem xét năng lực dưới một khía cạnh khác, năng lực tạo thành các mốiliên tưởng khái quát hệ thống của chúng dựa trên tài liệu toán học thì các năng lực

đã nêu biểu hiện ở các mức độ khác nhau ở học sinh giỏi, trung bình, kém Ở học

sinh kém thì các mối liên tưởng được tạo thành hết sức khó khăn Ở học sinh trungbình thì muốn hình thành dần các mối liên tưởng đó cần phải có cả một hệ thốngbài tập với sự rèn luyện theo một quá trình có chủ định, mục đích cụ thể.

Trong cuốn “Giáo dục học môn toán” của tác giả Phạm Văn Hoàn, Trần

Thúc Trình, Nguyễn Gia Cốc khi nói về nhiệm vụ của môn toán cũng đã nhấnmạnh nhiệm vụ phát triển năng lực toán học của học sinh Đó là một nhiệm vụquan trọng của thầy giáo vì: Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn, phục vụ thực tiễn

Nó có vai trò to lớn trong sự nghiệp phát triển khoa học kĩ thuật Sự nghiệp cáchmạng này cần đòi hỏi phải có đội ngũ những người có năng lực toán học

Mỗi học sinh có năng lực toán học khác nhau Các khả năng đó được hìnhthành và phát triển thông qua hoạt động giải toán là chủ yếu Do đó cần thiết phảingiên cứu được bản chất năng lực và con đường hình thành, phát triển năng lực.Cần tìm hiểu chỗ mạnh, giúp các em phát huy được mặt mạnh của mình, khắc phụcnhững mặt yếu Đồng thời cũng phải đặt việc bồi dưỡng năng lực toán học trongviệc bồi dưỡng năng lực toàn diện của con người vì chính việc bồi dưỡng để pháttriển năng lực toán học sẽ góp phần quan trọng trong bồi dưỡng để phát triển toàndiện năng lực con người

2 Cấu trúc năng lực toán học

Cấu trúc năng lực toán học là một trong những đối tượng nghiên cứu của cácnhà toán học, tâm lí học sư phạm… A- Paoxănglare nhà toán học người Pháp làmột trong những người khởi xướng việc nghiên cứu này trong những năm đầu củathế kỉ XX với tầm quan trọng ngày càng tăng của việc phát hiện, bồi dưỡng tàinăng toán học Có nhiều nhà nghiên cứu đã đưa ra những góc độ khác nhau củacấu trúc năng lực toán học

Theo quan điểm của Krutxcki V.A bao gồm những thành phần sau

Xét về mặt thu nhận thông tin toán học: Đó là năng lực tri giác hình thức hoácác tài liệu toán học, năng lực nắm được cấu trúc của các bài toán.

Xét về mặt chế biến thông tin: Là năng lực tư duy logic trong phạm vi cácquan hệ số lượng và các quan hệ không gian, các kí hiệu dấu và kí hiệu số, nănglực suy nghĩ với các kí hiệu toán học

Năng lực rút ngắn quá trình suy luận toán học và các phép toán tương ứng,năng lực suy nghĩ với các cấu trúc được rút gọn

Tính mềm dẻo của quá trình tư duy trong hoạt động toán học

Khuynh hướng đạt tới sự rõ ràng, đơn giản, tiết kiệm và hợp lí của bài toán Năng lực thay đổi nhanh chóng, dễ dàng chuyển từ tư duy thuận sang tư duynghịch

Về mặt lưu trữ thông tin toán học: Đó là trí nhớ toán học tức là trí nhớ kháiquát về các quan hệ toán học, về đặc điểm điển hình, các sơ đồ về lí luận, chứngninh, phương pháp giải toán

Xét về mặt tổng hợp chung: Đó là khuynh hướng toán học trí tuệ, các thànhphần trên liên quan chặt chẽ với nhau, ảnh hưởng lẫn nhau tạo thành một thể duynhất cấu trúc hoàn chỉnh của năng lực toán học Cô đọng hơn năng lực toán họcđược đặc trưng bởi tư duy khái quát gọn, tắt và linh hoạt trong lĩnh vực các quan

hệ toán học, hệ thống kí hiệu dấu và số và bởi khuynh hướng toán học của trí tuệ

Theo quan điểm cấu trúc năng lực toán học của Pellery cấu trúc của năng lựctoán học gồm có:

- Nhìn thấy những quan hệ, những điều cần phải phân biệt (chẳng hạn giảthiết, kết luận)

- Lưu trữ và dịch chuyển (qua lời đồ thị, kí hiệu)

- Năng lực theo dõi một hướng suy luận

- Năng lực hiểu bài toán

- Năng lực theo dõi những con đường giải toán

- Kết quả, mở rộng bằng tương tự tìm ra mô hình thích hợp

- Xây dựng một mô hình toán học có thể giải toán

- Xây dựng một thuật toán để giải toán

Còn theo quan điểm của viện sỹ toán học A.N.Kômôgrôp trong cuốn sách “vềnghề nghiệp của các nhà toán học” thì năng lực toán học gồm những thành phần:

- Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm đượccon đường giải các phương trình không theo quy tắc chuẩn hoặc như các nhà toánhọc quen gọi là năng lực tính toán hay năng lực “angôritmic”

- Trí tưởng tượng hay là “trực giác hình học”

Đi sâu vào vấn đề đại số, E.L.Thorndike đưa ra những năng lực đại số gồm:

- Năng lực hiểu và thiết lập công thức

- Năng lực biểu diễn các tương quan số lượng thành công thức

- Năng lực biến đổi các công thức

- Năng lực thiết lập các phương trình biểu diễn các quan hệ số lượng đã cho

- Năng lực giải các phương trình

- Năng lực biểu diễn bằng đồ thị sự phụ thuộc của hàm hai đại lượng

Một số thành phần say đây có thể không nhất thiết phải có mặt trong cấu trúcnăng lực toán học:

- Nhịp điệu làm việc của cá nhân không có ý nghĩa quyết định sự nhanh chóngcủa các quá trình tư duy chỉ là đặc điểm tạm thời Nhà toán học có thể không suynghĩ vội vã và thậm chí chậm chạp nữa nhưng chín chắn càng sâu sắc

- Những năng lực tính toán (những năng lực tính và chính xác ngay cả tínhnhẩm)

- Trí nhớ về các chữ số, các số, các công thức

- Năng lực tưởng tượng không gian

- Năng lực biểu diễn trực quan các quan hệ và phụ thuộc toán học trừu tượng Qua những công trình nghiên cứu kể trên ta thấy rằng các vấn đề năng lực toánhọc của học sinh nói chung và đặc biệt sự sáng tạo của học sinh khá giỏi nói riêngđược các nhà tâm lí, giáo dục quan tâm rất chu đáo Vì vậy để phát triển năng lựctoán học cho học sinh nhất là đối với học sinh khá, giỏi không thể không quan tâmtới những vấn đề dạy kiến thức cơ bản, bổ sung thêm kiến thức nâng cao đặc biệt

là vấn đề dạy học giải bài tập toán, khái niệm, định lý

3 Năng lực giải bài tập toán của học sinh trung học phổ thông

3.1 Bài toán

Có rất nhiều định nghĩa khác nhau về bài toán:

Theo bách khoa tri thức phổ thông: “Khái niệm bài toán được hiểu là mộtcông việc hoàn thành được nhờ những phương thức đã biết trong những điều kiệncho trước”

Theo G.Polya: “bài toán đặt ra sự cần thiết phải phải tìm kiếm một cách có ýthức phương tiện để đạt tới một mục đích rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay”

Theo A.N.Lêônchiev: “Bài toán là mục đích đã cho trong những điều kiệnnhất định đòi hỏi người giải toán cần phải hoạt động, tìm kiếm cái chưa biết trên cơ

sở mối liên quan với cái đã biết”

Như vậy, khi giải toán chủ thể phải giải quyết các vấn đề:

- Phân tích bài toán

- Mô hình hóa và cụ thể mối liên hệ bản chất trong bài toán

- Phát hiện hướng giải quyết và xây dựng kế hoạch giải

- Thực hiện giải bài toán

- Kiểm tra đánh giá tiến trình giải bài toán

- Thu nhận kiến thức mới do bài toán mang lại

Còn theo từ điển Tiếng Việt: “Bài toán là bài ra cho học sinh làm để vậndụng trực tiếp những điều đã học

Đối với bài toán thì kiến thức đã có không dẫn trực tiếp đến cách giải mà đòihỏi học sinh phải suy nghĩ, sáng tạo huy động nhiều kiến thức mới giải được

Đối với một bài toán có thể nó đơn giản hoặc phức tạp Xét về mức độ khó,

dễ của bài toán G.Polya cho rằng: “Không dễ dàng xét đoán mức khó của một bàitoán lại càng khó hơn khi xác lập giá trị giáo dục của nó” Vì vậy thầy giáo nênbiết cách phân loại mức độ khó, dễ của một bài toán vì điều đó có ích cho giảngdạy, phân loại được học sinh Có thể phân loại bài toán như sau:

Loại 1: Các bài toán có thể giải được bằng cách vận dụng trực tiếp quy tắcmẫu, hoặc tuân theo một cách máy móc các ví dụ mẫu vừa có ngay trước mắt họcsinh do thầy vừa ra

Loại bài toán thứ 2 khó hơn Để giải chúng học sinh cần phải kết hợp một sốquy tắc đã được học hoặc tuân theo một cách máy móc các ví dụ mẫu nhưng chưabiết nên chọn quy tắc mẫu nào cho hợp lí, cần sự lựa chọn thích hợp.

Loại bài toán thứ 3 khó hơn nữa Để giải chúng học sinh phải kết hợp một sốquy tắc, định lý, khái niệm Bài toán sẽ không quá khó nếu có một tổ hợp nào đấytương tự nó nhưng không phải là nó Nếu tổ hợp này hoàn toàn mới hoặc cần phảiphối hợp nhiều phần thì bài toán thường rất khó

3.2 Chức năng của bài tập toán học

Một bài toán dù khó hay dễ, dù để tạo tiền đề xuất phát hay gợi động cơ,kiểm tra, đánh giá cũng đều có chức năng sau:

Chức năng dạy học: Nhằm hình thành củng cố cho học sinh những tri thức,

kĩ năng, kĩ xảo, những vấn đề của lí thuyết đã học Trong nhiều trường hợp giảitoán là một hình thức hữu hiệu dẫn dắt học sinh đi tìm kiến thức mới, có khi bàitoán lại là một định lí mà vì một lí nào đó do không được đưa vào lí thuyết cho nênqua việc giải toán học sinh mở rộng được tầm hiểu biết của mình

Chức năng giáo dục: Hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biệnchứng, hứng thú học tập, niềm tin và nhân cách đạo đức của con người Toán họcxuất phát từ thực tiễn nên qua việc giải toán học sinh hiểu rõ hơn về nguồn gốc vàtính thực tiễn của toán học

Chức năng phát triển: Nhằm phát triển năng lực tư duy của học sinh đặc biệt

là rèn luyện thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất tư duy trí tuệ

Ví dụ để tập luyện cho học sinh năng lực dự đoán có những vấn đề thầy yêucầu học sinh độc lập dự đoán, có những vấn đề thầy dẫn dắt học sinh dự đoán,nhưng cũng có những vấn đề thầy giáo thuyết trình quá trình tò mò dự đoán củabản thân và chỉ yêu cầu học sinh hiểu được

Chẳng hạn: Nếu thầy giáo yêu cầu học sinh tính tổng sau:

3.4

1 2.3

1 2

là của nhiều số thì có tính tổng theo cách đó được nữa không? Có cách nào để giảiquyết bài toán

2.3

1 2

1 B

1 2

1 1 B

n 1 n

1 1

- Lời giải không có sai lầm

- Lời giải phải có cơ sở lí luận

- Lời giải phải đầy đủ

- Lời giải phải ngắn nhất

3.3 Vai trò của giải bài tập toán

Bài tập toán có vai trò to lớn trong việc dạy và học toán Nó là phương tiệnhiệu quả và không thể thay thế trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, pháttriển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo Hoạt động giải toán là hoạt động chủ yếu,

là điều kiện thực hiện các mục đích dạy toán Theo A.A.Stôlia: “dạy toán là dạyhoạt động toán học Trong dạy học toán có nhiều tình huống điển hình nhưng cóthể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Nó có vai trò sau:

- Hình thành và khắc sâu tri thức, kĩ năng, kĩ xảo toán học của những giaiđoạn khác nhau của quá trình toán học

- Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập và niềm tin,phẩm chất người lao động mới

- Bài tập nhằm phát triển tư duy, hình thành phẩm chất của tư duy khoa học,rèn luyện những thao tác trí tuệ

- Bài tập nhằm đánh giá kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập họctoán và trình độ phát triển của học sinh

Khi nói đến vai trò, vị trí của việc giải bài tập toán G.Plya có viết: “Việc dạygiải toán phải là một bộ phận của nhiều giáo trình, của mọi quá trình toán học cóích trong phổ thông Nắm vững môn toán đó là biết giải toán”

P.M.Ecdunhiep: “Việc nắm vững toán học được thực hiện trong quá trìnhgiải các bài toán và vì thế sự phát triển của các phương pháp dạy học toán sẽ đitheo con đường vận dụng các hình thức và các dạng mới của các bài tập toán nhằmkích thích tính tích cực tư duy của học sinh

Ở nước ta Vũ Dương Thụy và Nguyễn Bá Kim trong “Phương pháp dạy học

môn toán” nhấn mạnh: “Ở trường phổ thông việc tổ chức có hiệu quả dạy giải bài

tập toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán Dạy học giải bài tậptoán là một trong những phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi hiệu quả nhất”.

3.4 Năng lực giải toán ở trường phổ thông

Để giải được bài toán học sinh cần nắm chắc được chắc các khái niệm, định

lí, quy tắc, các kiến thức trong mối quan hệ toán học của chương trình đã học Nóiđến năng lực giải toán là nói đến khả năng vận dụng kiến thức để giải quyết bàitoán

Bài toán được xem là đã được giải khi đảm các điều kiện: không sai sót, lậpluận khoa học, toàn diện, tối ưu Theo G.Polya giải một bài toán là quá trình tìmkiếm những hoạt động thích hợp để đạt kết quả Theo ông để giải bài tập toán gồm

4 bước:

- Tìm hiểu nội dung bài toán

- Xây dựng chương trình giải

- Kiểm tra lời giải và nghiên cứu lời giải

Theo Nguyễn Bá Kim - Vũ Dương Thụy khi nghiên cứu về dạy học pháthiện giải quyết vấn đề đã xem bài tập toán là vấn đề cần giải quyết gồm 3 bước:

- Tri giác vấn đề

- Giải quyết vấn đề

- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

Còn Rubinsterin cho rằng: các bước giải bài tập toán được hình thành theohướng tâm lí hoạt động Tiến trình giải bài tập toán gồm 4 bước:

- Quan sát bài tập toán

- Vạch kế hoạch

- Làm

- Đánh giá

Năng lực giải bài tập toán còn thể hiện qua các mặt:

- Tìm và liên hệ những kiến thức đầu vào và dữ kiện đầu ra

- Khả năng vận dụng các phương pháp khác nhau để giải toán, nhìn nhận bàitoán dưới nhiều khía cạnh khác nhau từ đó vận dụng kiến thức để giải

- Khả năng chuyển từ bài toán khó về bài toán đơn giản hơn huy động cáckiến thức có liên quan để giải quyết nó

Nhà bác học A.Ia.Khin - xin cho rằng những nét độc đáo của phong cách tưduy toán học là:

- Suy luận theo sơ đồ logic chiếm ưu thế

- Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất dẫn đến mục đích

- Phân chia rành mạch các bước suy luận

- Sử dụng chính xác các kí hiệu

- Tính có căn cứ đầy đủ các lập luận, không bao giờ chấp nhận những kháiquát không có suy luận, những phép tương tự không có cơ sở

4 Bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá giỏi

4.1 Vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi

Dạy học phân hóa xuất phát từ sự biện chứng của thống nhất và phân hóa, từyêu cầu đảm bảo thực hiện tốt các mục đích dạy học đối với tất cả mọi học sinh,đồng thời khuyến khích phát triển tối đa và tối ưu những khả năng của cá nhân

Trong nghị quyết Bộ Chính Trị Trung ương Đảng số 142 - NQ/TƯ ngày 28thánh 06 năm 1966 về việc đào tạo và bồi dưỡng cán bộ khoa học, kĩ thuật và cán

bộ quản lí kinh tế có đoạn viết: “Muốn có học sinh giỏi vào các trường đại họcphải có kế hoạch phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi ngay từ lớp 1, lớp 8”

Trong phiên họp ngày 30/03/1966 của Ủy Ban Thường vụ Quốc Hội bàn vềcải cách giáo dục, chủ tịch ủy ban thường vụ Quốc hội Trường Chinh đã nêu: “Vấn

đề phát triển năng khiếu của học sinh rất quan trọng Học sinh cần phải có kiếnthức phổ thông toàn diện, nhưng đối với các em có năng khiếu cần có kế hoạchhướng dẫn riêng

Trong buổi nói chuyện tại hội nghị sơ kết kinh nghiệm các lớp bồi dưỡnghọc sinh giỏi toán ngày 20/09/1968, Thủ tướng Phạm Văn Đồng nhấn mạnh: “Nếutrong tất cả các em vào trường phổ thông từ cấp 1 đến cấp 2 ta có cách gì phát hiệnđược phần lớn và đừng bỏ xót những em có năng khiếu đặc biệt rồi ta có cách dạy,nâng đỡ cho các em phát huy tài năng của các em, nếu ta làm việc này qua cấp 2,cấp 3 rồi lên nữa thì trong 10 năm ta có thể có những nhà toán học trẻ tuổi có triểnvọng ghê gớm Đối với ngành toán phải làm như vậy mới kịp người ta”

Trong cuốn “Giáo dục học môn toán” của tác giả Phạm Văn Hoàn, Trần

Thúc Trình, Nguyễn Gia Cốc có viết: “Đảm bảo cho học sinh đạt yêu cầu chấtlượng phổ cập về toán học, đồng thời chú trọng phát hiện, bồi dưỡng được một sốhọc sinh về toán học là rất cần thiết

Tuân theo lời chỉ dẫn của Đảng và Chính phủ, Bộ giáo dục đã quan tâm từlâu đến công tác phát hiện và bồi dưỡng học sinh có năng khiếu toán Đây là mộtvấn đề được quan tâm ở nước ta hiện nay Việc này cần tiến hành ngay trong cảnhững tiết học đồng loạt trên cơ sở lấy trình độ chung làm nền tảng và bằng nhữngbiện pháp phân hóa nội tại, tổ chức thích hợp Hai hình thức tổ chức thường dùnglà: nhóm học sinh giỏi toán và lớp phổ thông chuyên toán

4.1.1 Nhóm học sinh giỏi toán

Nhóm học sinh giỏi toán gồm những học sinh cùng một lớp hoặc cùng mộtkhối lớp, có khả năng về toán, yêu thích môn toán và tự nguyện xin bồi dưỡngnâng cao về môn này.

Mục đích bồi dưỡng nhóm học sinh giỏi toán:

- Nâng cao hứng thú học tập môn toán

- Đào sâu và mở rộng những tri thức trong giáo trình

- Làm cho học sinh thấy rõ hơn vai trò của toán học trong cuộc sống

- Bồi dưỡng cho học sinh tác phong, phương pháp nghiên cứu, thói quen tựđọc sách

Nội dung bồi dưỡng nhóm học sinh giỏi toán gồm:

- Nghe thuyết trình những tri thức toán học bổ sung cho nội khóa

- Nghe giải những bài tập nâng cao: bài tập đòi hỏi vận dụng phối hợp nhiềukiến thức, yêu cầu học sinh độc lập cao độ

- Học chuyên đề

- Tham quan, thực hành và ứng dụng toán học

- Làm nồng cốt cho những sinh hoạt ngoại khóa về toán

4.1.2 Lớp phổ thông chuyên toán

Hiện nay ở nước ta thường tập hợp những học sinh giỏi toán ở trường trunghọc phổ thông thành những lớp đặc biệt giao cho một số trường đại học hoặctuyển chọn những giáo viên giỏi toán ở trường phổ thông phụ trách Đó là lớpphổ thông chuyên toán

Mục tiêu của những lớp này là phát hiện những học sinh có năng lực toánhọc, bồi dưỡng các em phát triển tốt về mặt này trên cơ sở giáo dục toàn diệngóp phần đào tạo đội ngũ cán bộ khoa học kĩ thuật giỏi trong đó có thể trởthành nhân tài của đất nước.

Nội dung môn toán ở các lớp phổ thông chuyên toán về cơ bản vẫn là nộidung môn này ở trường phổ thông nhưng bổ sung thêm một yếu tố theo 4phương hướng sau:

- Mở rộng, đào sâu, hệ thống hóa kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa

- Chú trọng những ứng dụng thực tiễn của toán học

- Tăng cường một số yếu tố của logic học

- Bổ sung một số yếu tố của toán học hiện đại: lí thuyết tập hợp, đại sốvectơ ở những mức độ sâu và đầy đủ hơn

4.2 Bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá giỏi

Bài tập toán có vai trò quan trọng trong môn toán và bồi dưỡng học sinhkhá, giỏi toán Thông qua hoạt động giải bài tập toán học sinh hiểu sâu sắc kiếnthức hơn đồng thời rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy, phát triển nănglực suy luận logic chặt chẽ

Việc bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá giỏi gồm 2 nội dung:

- Hình thành các dạng toán điển hình và quy trình giải

- Bồi dưỡng năng lực suy đoán, năng lực tìm tòi phương pháp giải các bàitoán

Đối với học sinh biết lời giải bài toán không quan trọng bằng làm thế nàogiải được bài toán Mỗi bài toán giải được thầy giáo cần dạy cho họ kĩ nănghướng về những tình huống có vấn đề khác nhau, biết phân biệt tình huống, biết

lựa chọn hành động, một hướng đi giải quyết vấn đề Trong toán học, nắm vữngphương pháp bộ môn quan trọng hơn nhiều so với khối lượng kiến thức thuầntúy Nắm vững môn toán là phải biết giải toán từ những bài tập cơ bản đếnnhững bài tập nâng cao đòi hỏi sự độc lập, óc phán đoán Đó cũng là mục đíchchính của dạy học phổ thông: dạy suy nghĩ bằng mọi cách cho học sinh nghệthuật chứng minh, đồng thời không quên nghệ thuật phỏng đoán, phương phápgiải toán

5 Vị trí chủ đề kiến thức dãy số, hàm số, giới hạn dãy số, giới hạn hàm số

Ở các lớp dưới qua việc giải bài tập ta đã làm quen với khái niệm dãy số.Khi nói tới dãy số ta hiểu đó là kết quả thu được khi viết liên tiếp các số theomột quy tắc nào đó Sách Đại số và giải tích 11 nghiên cứu định nghĩa dãy sốtăng, dãy số giảm, cách cho dãy số chủ yếu nghiên cứu hai dãy số chính là:cấp số cộng và cấp số nhân

Khái niệm sơ khai về hàm số đã có từ 1000 năm trước công nguyên vàsau này càng hoàn thiện do nhu cầu thực tiễn

Chủ đề giới hạn là một chủ đề cơ bản của toán học nói chung và toán họcphổ thông nói riêng Nó có nhiều ứng dụng về mặt lí thuyết cũng như thực tiễn,

là cơ sở đối với hai phép tính cơ bản của giải tích là phép tính đạo hàm và phéptính vi phân Giới hạn được áp dụng như một phương pháp để giải quyết các bàitoán: tiệm cận, tính liên tục của hàm số, sự tồn tại nghiệm của phương trình vàbất phương trình Đây cũng là một cơ sở cho học sinh tiếp cận với nền toán họccao cấp

6 Thực trạng dạy học chủ đề giới hạn ở trường phổ thông

Chủ đề giới hạn gây nhiều khó khăn cho học sinh vì lần đầu tiên học sinhlàm quen với kiểu tư duy “vô hạn, liên tục ” Vì vậy trong dạy học giáo viênchủ yếu là người cung cấp tri thức và tiến hành bài tập vận dụng Việc khai thácbồi dưỡng học sinh khá, giỏi ít được quan tâm Thực tế cho thấy các tiết dạy

khái niệm, định lý, quy tắc thành công hơn các tiết dạy bài tập, luyện tập Trongdạy học toán, tiết luyện tập chiếm tỉ trọng lớn, nhiều tiết luyện tập của giáoviên chỉ dừng lại ở tiết chữa bài tập chưa đúng là tiết luyện tập làm ảnh hưởngđến khả năng giải toán của các em, làm các em chưa phát huy được năng lực cánhân và làm khả năng phát hiện rồi bồi dưỡng học sinh khá, giỏi còn hạn chế.

Vì vậy nếu xây dựng được một hệ thống bài tập nâng cao và hướng dẫn giải,định hướng khai thác một số bài toán chủ đề này sẽ giúp học sinh phát triển tưduy và mang lại hiệu quả dạy học rất cao

CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG VÀ ĐỊNH HƯỚNG KHAI THÁC HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ 2.1 Giới hạn dãy số

2.1.1 Một số bài tập điển hình về giới hạn dãy số SGK Đại số và Giải tích 11

Ví dụ 1 Cho dãy số  u n với n 3 n

n

u 

a Bằng qui nạp chứng minh

n n

3

2 u

b Chứng minh dãy số có giới hạn 0

( Trích bài tập 4 trang 130 sách Đại số và giải tích 11 nâng cao)

Giải: a Dễ thấy un  0

Với n  1 thì

1 n

3

2 3

2 3

k 1

k 1 k 1 k

3

2 3

2 3

2 3

k 3

2 3

2k 3

1 k u

k

3

2 u

1 n n 2

.2 2

1 n n n.2 1 2 1

1 2

1 n n

n 3

n 2 1 1

Chứng minh rằng: a

4

1 u

n

1 n





với  n.

c limun  0

(Trính bài tập 4.5 sách Bài tập Đại số và Giải tích 11 nâng cao)

Giải: a Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Với n = 1 ta có u14114 (đúng)

Giả sử bài toán đúng với n = k tức

4

1 u

4

1 2

u u

k 1

u u

1 k 2

1 k 2 k

1 2

2

u u 2

u u u

2 k

2 k 2 k 2 k 2

1 4

1 2

1 u

u 2

u u u

u

n n

n 2 n

3 u 4

3 u

u 4

3 u

1 2 2

3

1 2

1 n n

4

3 4

1 u 4

3 u 0

Ví dụ 3 Tìm giới hạn của dãy số  un với:

2 n

1 1 n

1 u

3 3

3 n

2 n

1 1 n

1

3 3

n u

1 n

n

3 n 3

n u

Mặt khác do 0

n

1

h 2

1 n n nh 1 h

1      (4)

n

q lim

n

(Trích bài tập 4.27 sách Bài tập Đại số và Giải tích 11 nâng cao hiện hành)

1 k k kh 1 h

Cần chứng minh (4) đúng với n = k+1, tức là cần chứng minh

h 2

1)k (k 1)h (k 1 h

1       

2

1) k(k kh 1 h 1 h 1 h

2

1) k(k h 2

1)h k(k kh h kh 1

2 2

3 2 2

(1

2

h n

2

n

q lim

Dựa trên cách làm ở ví dụ này ta chứng minh được 0

b

n lim n 

(b

1) (b 2

1) n(n 1) n(b



2 2

2 1)

1)(b n(n

2n b

Đó cũng là một cách khác để chứng minh câu c trong ví dụ 4

n b

n

b

n lim n

m n n

m n k

a

n b

n b

n b

n lim

m n

k



b n

n  , b > 1

Do số mũ và logarit có quan hệ với nhau nên từ đây ta có thể tìm được giới

hạn bài toán tìm

n

n log lim a

1 lim

1 n

u 2

u u u

u

n n

n 2 n

2

1 α 1 2

1 α 1 2

n 2 1 1

Bài toán được giải tương tự ví dụ 2

(Trong trường hợp số mũ của n là nhỏ hơn 3 không đúng)

Khi đó ta có bài toán:

Chứng minh limun  0 với  un xác định bởi:

{un} =

n n

1

2 n

1 1 n

1

k k

n u

2



2.1.2 Hệ thống bài tập nâng cao về chủ đề giới hạn dãy số

2.1.2.1 Xét sự tồn tại giới hạn của dãy số

Xét sự tồn tại của dãy số  un ta tiến hành như sau:

0 u u

n

n 1 n

0 u u

n

n 1 n

Thì dãy số có giới hạn:

Để chứng minh một dãy số không có giới hạn ta sử dụng các cách sau:

Cách 2: Chỉ ra hai dãy con có giới hạn khác nhau

Cách 3: Với dãy số cho dưới dạng công thức truy hồi ta làm như sau:

Giả sử dãy có giới hạn, sau đó đưa vào công thức truy hồi Chứng minhphương trình thu được vô nghiệm

Cách 4: Chỉ ra một dãy con của dãy số đã cho không có giới hạn

Ví dụ 1: Xét xem dãy số sau có tồn tại giới hạn hữu hạn không?

Giải: Đối với những bài toán này dãy số cho dưới dạng công thức tổng quát chúng

ta thường giải quyết dựa vào nguyên lí giới hạn

1 n

1 n 2 1 n 2 1 n

1 u

, n 2 n

1

3

1 2

1 1

2 n 11 n

1 n



1 n

1 n 1 n

1 1 n

1 u

Rồi từ trên lại có n  1  n 21n hay 2( n  1  n )  1n suy ra

1 2 2 2 1

2

1

  un   2,  n.

Theo nguyên lí giới hạn suy ra  un có giới hạn hữu hạn

Ví dụ 2: Chứng minh dãy số sau có giới hạn hữu hạn:

1,2,3

n

; n!

1

…n!=(n-1)!n>2n-2.2=2n-1

1 n

2

1

2

1 1

1 n!

1

2!

1 1!

1 1 1.

2

1

2

1 2

1 1 2

Vậy  u n có giới hạn hữu hạn

Ví dụ 3: Chứng minh dãy số sau có giới hạn hữu hạn:

1,2

n , n!

1 1

2!

1 1 1!

1 1

tính đơn điệu tăng hay giảm ta thường:

Xét

n

1 n

1 1 n!

1 1

2!

1 1 1!

1 1

un1

u

! 1 n

1 1 u

u

n 1 n

2!

1 1!

1

1

3 n!

1

1  

…

1

3 n!

1

1  

n!

1 2!

1 1!

1

3 3 3 n!

1 1

2!

1 1 1!

1 1!

Do đó không tồn tại số A > 0 để xn  A,  n và cũng không tồn tại số B > 0

để xn  B,  n Vậy  xn không dần tới ∞ cũng không bị chặn

Ví dụ 5: Chứng minh rằng dãy số  xn :

1 n 1 n n

x

1 x

x



 

Không có giới hạn hữu hạn

Giải: Đây là dãy số cho bởi công thức truy hồi Mặt khác do giới hạn của dãy nếu

có là duy nhất nên để chứng minh dãy không giới hạn ta có thể sử dụng cáchchứng minh:

Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn, sau đó đưa vào công thức truy hồichứng minh phương trình vô nghiệm

Thậy vậy từ định nghĩa  x n tăng và xn  1,  n.

Giả sử limn xn  ( 1)



0 1 1

Giải: Ta chỉ ra hai dãy con có giới hạn khác nhau:

π 1 2n

  1

2

π 1) sin(2n x

2

1 1

un   2   2 

n n

1

2 n

1 1 n

1 u

2 2

2

3 2

2

sin2 2

sin1

3 3

cos3 2

2

cos2 cos1

3

2 2 x

n n

2

1 1

ln3

1 ln2

Đối với loại này ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của n (hoặc mũ n) caonhất và sử dụng các phép biến đổi để tính giới hạn.

Ví dụ 1: Tìm giới hạn:

2

n

n

2 1 lim

Trong bài toán này học sinh thường mắc sai lầm như sau:

0 0

0 0 n

n lim

n

2 lim n

1 lim

2 1 lim

n n lim 2n

1) n(n

2

n 2

1 n 1 n S

1 a a lim

na  

1 I

2 n

1 1 n

2a lim 2n

1)n (n 2na lim

2d) (1 d) (1 1 lim

2

d

2 n

d d n

2 lim 2n

1)nd (n 2n lim

2 1 lim

k k

k

n

(k) 3

3 3

2

1) n(n n

1) n(n lim

k 2 1 k k 1 1 k 1 k 1 k

k 2 1 k k 1 1 k 1 k 1 k 1

k 2 1 k k 1 1 k 1 k 1 k 1

k 2 1 k k 1 1 k 1 k 1 k

1 1 k 2 1 k k k

k 1

1 1

k 2 1 k k 1 1 k 1

k

S C

S C S C 1 n 1

1

k 1 k 2

k

3 1 k 1 k

2 1 k 1

k k

C

SC

SCSC1n1

k 2 k 3 1 k 1 k 1 k 2 1 k 1 k 1

k

1 k 1

1 k 1 k k

n

S C

n

S C n

S C n

1 n n

1 n C

1 n

S

n n.n n

2 1

s lim

k

n 1 k 1 k

s lim

n

s lim n

s

n 1

k 1 k n 1 k 2 k

1 n lim 0 2 1 k Ν

n 1

1 C

1 n

1 1 lim C

1 n

C

1 n lim n

s

1 k

1 k

n 1 1 k 1 k 1 1 k

1 k

n 1 k

1 n

n

2

1

k k

1

I (k) 3

I (1)

Cách 4: Thay đổi cả số hạng đầu và công sai

Bài toán 4 Tìm lim

R d a, , n

1)d) (n (a

2d) (a d) (a a lim

1)nd (n 2an lim

1) (a a lim

k k

k 2 1 k k 1 1 k 1 k

k 2

1 k 1

1 k 1 1

k 1