Tính hệ thanh theo phương pháp ma trận (NXB xây dựng 2011) võ như cầu, 154 trang

Lê Văn Thành, hiệu trưởng Trường Đ ại học X ảv diừig và TS... Ilìiìh 1.2: ít liậc tự do ciiư tliiiiili chịu kéo hoặc nén híìiỊỉ lủiiì Iroiìg hệ lọa ílộ cục bộ... Ma trận íỉộ cíniíi cùa

GS TS VÕ NHƯ CẦU

TÍNH HỆ THANH THEO PHƯUNG PHÁP MA TRÂN

NHÀ XUẤT BẢN XÀY DựN G

HÀ N Ồ I - 2 0 1 1

L Ờ I NÓI í) Ù

Trong p h ầ n ba của chương trìn h m ôn Cơ h()C kết cấu, cỏ d ề cập đ ến cách tín h hệ

th cn h theo phương p h á p m a trận N ội dung vuốn nách này n h ằ m m ụ c đ íc h bô sui.g ih êm niột sô k h á i niệm và nguyên lỹ cơ hán của phương p h á p m a trận: K h á i

n iệ n uề hệ sô'độ cứng uà m a trận độ cứìig, nguyên lý hdo toàn n ă n g lượng đ ẽ suy

ra n a trậ n độ cứ n g tống thế, nguyên lý cộng ào đO ĨÍUV ra côn g th ứ c các hệ sô độ cứr.g, nguyếìx lý m ồ h ỉn h ỉò xo đ ể g iả i bùi toán có góì tựa lú n , n g u y ê n ỉý p h â n khối

mu trậ n đ ế tin h p h ả n lực v.v Phương pháp tính đổ cập đến n h iều tìn h h u ống khác nhau:

Lỹ thuyết đưỢc m in h họa bang nhiều l í dụ cụ thế Mỗi phương p h á p tín h đều

đước kèm theo niộl chươìig trin h tin h theo ngòn ngừ Pacal 7.0 N h iếu bài tập kèm đáp án g iú p cho học viên rèn luyện k ỹ năng (inh bang tay và s ứ d ụ n g th à n h thạo máy vi tính.

-Vợi d u n g sách gồin các chương:

Chương ỉ: M ột s ố nguyên tắc cơ bản của phương pháp m a trận.

Chương ĩỉ: Dầm ỉivn tục.

Chương HI: K h u n g p h ắ n g

C h ư ơ ìig r V : G i à n p h ắ n g

Chương V: G iàn không gian.

Sách có thê là m tà i liệu th a m kháo cho sinh oiên dang theo học m ô n Cơ học kết cảu n gành xăy d ự ỉig cơ bản C ủng có thẻ làm lài liệu ỉỉidng d ạ y cao học.

Tác g iả chân th à n h cảm ơn TS Lê Văn Thành, hiệu trưởng Trường Đ ại học

X ảv diừig và TS N guyễn Tiến Dũng, chủ nhiệm hộ môn Cơ học kết cấu đ ả hết lòng giúp đỡ và cổ vũ đ ể cuốn sách được x u ấ t bần Tác giá tủ lòng cám ơn B a n biên tập sách N h à xu ấ t bản X â y d ự n g đ ế th a m gia biên tập i>à cho x u â t bán sách.

Hù Nội iiỊiày 06/7/2010

Tác giá

C h ư ơ n g I

T r ư ớ c k l ú đ i v à o p h ư ơ n g p h á p tín h c ụ th ế , c ầ n p hái lìm h iế u c á c n g u y ê n tắc c ơ b á n về pliư ơiig p h á p m a trận

Ilìiìh 1.2: ít) liậc tự do ciiư tliiiiili chịu kéo hoặc nén (híìiỊỉ lủiiì Iroiìg hệ lọa ílộ cục bộ

hi ỈỈÍD ciio lliaiili chịu kẽo hoặc nén diiiig lãin n ong hệ lọa (lộ viiòng 2 cliiẽti;

ci Hệ tọa cỊộ viữniiỊ ÌỊÓC 2 chiéii r à 3 chiều: (1) Thanh có 3 BTD ờ mòi (láu

Bậc íự d o (B T D ) là m ộ l s ố b iể u th ị s ố thử tự c ủ u lực h o ặ c cluiyểii 17 tran^ kcì aíii

C h ắ n g h ạ n đ ố i với th a n h c h ị u k é o h o ặ c n é n đ ú n g tâ m ta c ó 2 B T D ớ 2 ciíiu ((irẽn liìnli 1.2a) t r o n g hệ tọ a d ộ c ụ c bộ C á c B T D n à y t h a y đ ổ i th e o vị ư í c ủ a tlianh T r o n g ihực lế

m ổ i t h a n h t r o n g k ế t c ấ u đ ư ợ c liê n k ế t v ớ i 2 n ú t i v à j ớ 2 đ ầ u ( c h ứ k h ổ n g p h á i 2 n ú t 1 và2) Đ ể t i ệ n c h o v iệ c lặ p tr ì n h v à v iệ c t í n h t r ê n m á y vi h'nh c á c B T D d ư ự c x ế p m e n i h c o

c h i ể u c ù a c á c Irục t r o n g hệ t ọ a v u ô n g g ó c 2 c h i ề u h o ặ c 3 c h i ề u ( h ì n h 1.2 b , 1,2c 1 -d) m à

t a g ọ i l à hệ lỌii dộ lổng thề. L à m n h ư v ậ y thì

vị trí c ú a ih a n li c ó th a y d ổ i, c á c B T D lu ô n

lu ộ n c ó n h ữ n g vị t r í n h á i đ ịn h Đ ế t i ệ n c h o

v iệ c lậ p trìn h v à v iệ c tín h trê n m á y vi tính,

s ố t h ứ l ự c ủ a c á c B T D p h á i tưán theo sô' ilìứ

lự cùa dãy s ố tự nhiên 1, 2, 3 , n V ì v ậ y , s ố

Ihứ lự niU rroiỉỊi kếl cấu cũiìg p h ả i x ế p ilieo

sô' ilìử ĩự của d ă \ s ố lự nhiên. C ầ n c h ú ý

Ỉlìiỉh 1.3; SỐ ihứtựnin và sổilìứ rự [ĨỈ'D

/roiiịị giíiii

plưÌiiỊi-H ệ s ố đ ộ c ứ n g là m ộ t k h á i n i ệ m r ấ t c ơ b ả n t r o n g p h ư cíng p h á p m a plưÌiiỊi-H ận T a đ ị n h n g h ĩa

n h ư s a u : hệ i'ớ 'đ ộ cứng kịị là lực íại BTD lìiứ i làm sản sinh m ội c h u y ế n vị hàn^ dơn vị rọi BTD th ứ j. T a h ã y n g h iê n c ứ u m ộ t v í d ụ d ơ n g iả n : t h a n h c h ị u k é o h o ặ c n é n đ ú n g lâm (s a u n à y đ ư ợ c gọ i là th a n li g ià n p h ả n g h o ặ c t h a n h g i à n k h ô n g g ia n )

ỉại (íầỉt 2 ỉỉiữdổii I

k lì ông cỏ chityéỉỊ vị

T r ẽ n h ì n h 1 -4a là m ộ t tlia n h c ó 2 đ ẩ u tự d o 1 v à 2 tr o n g hệ tọ a d ộ c ụ c bộ í | f, là c á c lực tá c d u n g lại đ ầ u 1 v à đ ầ u 2; U | , u , là c á c c h u y ế n vị tại đ đ u 1 v à đ ẩ u 2 T rê n h ìn h 1.4b

ía c h o m ộ t lực k ,| tá c d ụ n g lại đ ầ u 1 là m s à n sinli c h u y ế n VỊ u, = 1 tại d á u 1 t r o n g khi

c h u y ê n vị tại đ ầ u 2 U j = 0- D o đ ié u k iệ n c ả n b ằ n g , tạ i đ ầ u 2 x u â ì h iệ n lực k , | T ừ c ô n a

11

21

T lia y c á c h ệ th ứ c (a ) (b ) v à o ( 1.1), l a có:

E AL

V ậ y ta c ó c õ n g th ứ c tíníi m a trậ n đ ộ c ứ n g c ù a th a n h tro n g h ệ tọ a đ ộ tố n g ih c n h ư sau

Ma trận íỉộ cíniíi cùa ihuiìli iroiiỊỊ hệ lọa (lộ lổníỊ lliâ hằn\> plìẽp Iihân bẽii pliíii nịỊliịcli ítào à ta nia ỉrậii biến dổi v<ri nia irận độ á(ỉì^ iroiìíỊ /lệ tọa dộ cục hộ sau (ló Iiliãiì liếp với ma trận hiển dổi ( c ô n g th ứ c l 8)

đ c u n h á t q u á n s ử d ụ n g c á c q u y ước trẽ n N êu k h ô n g tu â n t h e o c á c q u y ư ớ c d ó k ế t q u á lính s ẽ sai.

C h ư ư i i g II

D Ẩ M L I Ê N T Ụ C

T r o n g c h ư ơ n g n ày s ẽ Irìiili b à y c á c v ấ n d é Iihư sau:

• D á m liên tụ c ch ịu tá c d ụ n g c ù a liii trọ n g

- D á m liõn tục c h ị u lá c d ụ n g c ú a tái t r ọ n g Iiẽn t ố i tự a d à n h ồ i

- D á m liên lụ c c h ịu tá c d ụ n g c ú a lải t r ọ n g (rên g ố i tự a lún

- D ầ m iién tụ c c liịu tá c d ụ n g c ù a tã i irọ n g v à n h iệ t đ ộ T r ư ớ c k h i di v à o pliưưiig p h á ptín h c ụ t h ể ta s ẽ á p d ụ n g n g u y ê n lý c ộ n g à o d ế s u y ra m a trậ n đ ộ c ứ n g c ú a th a n h c h ịu

u ố n i r o n g h ệ lọ a đ ộ c ụ c b ộ Đ ồ n g th ờ i, tr ì n h b à y c á c loại tái Irọ n g lá c d ụ n g lê n d ầ m lièn

tụ c h o ặ c k h u n g

§2.1 MA TRẬN ĐỘ CÚNG CỦA THANH CHỊU UỔN TRONC HỆ T(,)A ĐỘ c v c BỚ

Đ ế s u y ra m a trặii đ ộ cứ iig c ú a i h a n h c liọ n u ố n li o n g h ệ tọ a đ ộ c ụ c bộ la á p d ụ n g

nguyên lý công áo như sau: cộng ào của IÌ!Ỉ(UŨ lực bciiỉíỉ cộni> ùo a u i nội lực.

Ilìn h 2.2: (i) Cãr hục lự do à2<hUi iluinỉi: b) Các lực (la cliu\ểii 17 iluiiiiỊ ỈHÌII^ (lơn vị lại đúu ỉ fĩày ra; c) Cúc lin (lo (iiiiyẩi17iluhiị! Ixtiig (Um vị lụi íUỉu 2 ^ú\ra.

d) C(ìc lực do ^óc xoay lại (Jưii ỉ gũv ra:

C á n c ứ v à o c á c đ iề u k i ệ n b iê n , ta x á c đ ịn h p h ư ơ n g trìn h c á c đ u ờ n g c o n g b iế n d ạ n g

n h ư s a u C h ẳ n g h ạ n , t r c n h ì n h 2 2 b , t a c ó c á c đ iề u k iệ n biên:

= 0

= 0

T h a y c á c đ i ề u k iệ n trên v à o (d ) v à (e) la đ ư ợ c c á c g iá Irị c ú a C | c , c , Cj T h a y giá irị c ú a c á c h ằ n g s ố v à o (c) la d ư ợ c

\2+ 2

T rư ớ c h ế t ta đ ị n h n g h ĩ a c õ n g n h ư s a u C ò n g tliực là tích c ù a lực n h â n với c h u y ế n vị d o lực ấy s in h ra C ó n g ảo là tícti c ủ a lực n h â n với c h u y ế n -v ị c ó g iá trị bấl k ỳ k h ồ n g phái cỉo

- 6 E IL-

ỉh ắ n g , tu c ó th ể v iế t m a tr ậ n đ ộ c ứ n g [k] n h ư sau Sau kh i c ã n c ứ v à o c á c hộ tliứ c (2 1 3 )

(2 1 7 )

(2 1 8 )

M a tr ậ n (2 1 5 ) s ẽ á p d ụ n g c h o d ầ m iiẻn tụ c Irên g ố i lự a đ à n h ổi v ì c ó c h u y ế n vị ih ẳ n g

H ệ th ứ c (2 1 7 ) s ẽ đ ư ợ c á p d ụ n g c h o d ầ m liên tụ c tr ê n g ố i tự a t h ô n g thuè^nig

2.3.3 C h u y ê n các phán lực (m òm en) lừ c á c đẩu thanh ]ên nút ỉăn cận theo chiểu

n g ư ợ c lại ( g iữ n g u y ê n g iá trị t u y ệ t đ ố i, chỉ c ó d ấ u t h a y đ ổ i ( h ìn h 2 6 c) T í n h tổng

N ú t 4: f(4 ) = - M ,( 3 ) = - 6 , 1 4 8 k N m

Các lổng m ôm en nói trẽn tác d ụ n g lẽn các nú! như trên hình 2.6c, chúng tạo thành vec(ơ tái ỉrọng để lính các ch u yển vị.

2.3.4 Lập ma trận độ cứng tống thê

Đ ế được phương trình cân bằng, cần ghép các ma trận độ cứng của các thanh,

N g u yên tắc ghép là c ộ n g đại số các phần từ cứa m a trận có chi số như nhau.

+ c,(3)

T a g ọi trạ n g th á i c ù a d ấ m liên íụ c ờ s ơ đ ồ ( 2 6 c ) là trạ n iị Ihái lự do ( n g h ĩ a là đ u ợ c tự

d o b iế n d ạ n g ) k h á c với t r ạ n g th á i ở s ơ đ ồ 2 6 b g ọ i là irạiig ilìái n^àm.

rất lớn T ố t nhất là nên càn cứ vào các lực cất ớ các đầu thanh để tính phán lực Giá sứ

c ó 3 th a n h liê n tiế p ( i-1 ), i v à (i + 1) ( h ìn h 2 8 ) G ọ i f / | ( i ) là p h ả n lự c tạ i đ ầ u 1 c ủ a th a n h

i ỈI2 (i) ià p h ả n lực tạ i đ ầ u 2 c u a t h a n h i T h e o đ iể u k i ệ n c â n b ằ n g tạ i c á c g ố i lựa, ta có:

Các phản lực ghi trên h ìn h 2.6e:

Cách vẽ biểu đồ m ô m en và biểu dổ lực cắt như đã trình bày trong §2.2.

1.45 4,5m

Cãn cứ vào biểu đồ 2.6e, tại nh ịp 1, ta có;

8 , 4 8 - 15x = 0 d o đ ó x = - ^ = 0,565 m

Để tm h giá irị ta túih giá trị m ốm en tại điểm cách gối tựa íự do khoảng cách là x:

= 8 , 4 8 x 0 , 5 6 5 - 1 5 x 0 , 5 6 5 = 2 ,3 9 7 k N m

T ại n h ịp 2 có mội lực lập irung tác dụng, bicu đổ lực cắi ớ 2 bỗn lực tập trung là những d ư ờ n g song song với trục thanh, bicu dồ mỏnien là 1 đưíTng g ãy khúc giao nhau tại đ iểm dưới lực tập irung.

G iá trị m ôm en dưới lực; lập trung tínli tại nlìịp 2 nliư sau:

Biểu đ ồ nội iực biểu thị trẽn hình 2.9

Các biểu đồ m ôm en và lực cắt biểu ihị Irèn hình (2.9)

- Số ihanh chịu tài trọng phán bố đều 1.

- Số thứ tự thanh chịu tải irọng phân bố đểu; 1.

+ C ư ờ n g đ ộ tải trọ n g : - 15

- Sô' t h a n h c h ịu tải t r ọ n g t ậ p tru n g ; 1

- SỐ t h ứ t ự ih a n h c h ịu tải tro n g tậ p tru n g : 2

- Sô' t h a n h c h ịu tài tr ọ n g l a m g iá c ; 0

- S ố t h a n h c h ịu lải Irọ n g p h â n b ố c ụ c b ộ: 1

w r i c e l n ('nhap sc chanh chiu lai trong cam giac d e u ');

knqi + K2^2 + - + (K + c) q, + - k„ q„ = f, (2.25)

V ậy [à trong trường hợp có gối tựa đàn hồi tại BTD thứ i vectơ tái trọng và veciơ

ch uyển vị glữ nguyên, chỉ cần thay đ ổ i ma trận độ cứng tổng thế [k] bằng cách cộng s ố c vào phần tử thứ i trẽn đường chéo chính M a trận biến đổi như sau:

Cho d ầm liên tục có gối tựa đàn hồi như ưên hình 2.12 Mômen quán tửứi

m q = 23 X m ôđun đàn hổi E = 21 lO^kN/m^ Độ cúng lò xo c = 1 0 \N /m Yêu cầu:

số tự n h iên 1 2, 3 5 nghĩa là có 5 thành phần chuyển vị cần tính còn các thành phán

ch u y ển vị ứng với các ĐTD 6, 7 8 iriột liéu (hình 2-13a).

T h a y c á c g iá trị h ệ s ố đ ộ c ứ n g và đ ộ c ứ n g c ủ a lò x o c v à o m a tr ậ n tr ê n , ta đ ư ợ c m a trậ n đ ộ c ứ n g l ổ n g th ể n h ư sau;

q ( 4 )q(5)

T r o n g đó : q ( l ) là c h u y ể n vị c ú a gố i lựa lò x o c á c c h u y ể n vị c ò n lại là g ó c x o a y tại c á c nút G iả i h ệ phưOTig trìn h c â n b à n g , ta được;

0 , 0 0 1 6 9 rad (5)

Số th ứ tự của thanh, nút và BTD biểu thị như irẽn hình 2.17a Sô' thứ lự BTD ứng với

c á c I h à n h p h ầ n c h u y ể n vị c h ư a b iế t l à 1, 2 3; ứ n g với t h à n h p h ẩ n c h u y ể n vị triệ t tiê u tại

gối tựa ngoài là 4 Trong phần g h ép m a irận, ta sẽ loại trừ BTD ihứ 4 V ậy bài toán chì

1^2(3)

jr^ /(3)

f(2)=11.935 f(3)=-56.956

émn2(1)

2.S.2.2 C h ó t các n ú t và truyền p h ả n lực tại các đầu th a n h lén các n ú t lán cán

M ô m e n và lực cắt do tải trọng tín h theo các cõng thức (2.19a), (2.19b), (2-19d):

Theo (2.37) mômen do nhiệt độ n i|n (l) = m Ị n ( 2 ) = i T i | n ( 3 ) = 2,898

Đổ g hép các m a trận trẽn, ta cộng các phần lử có chi số như nhau (khoanh tròn) và

loại trừ hàng và cột thứ 4 M a trận đ ộ cứ ng tổng thể như sau:

6E1

^ 7

4 E iL

2EỈL

0

ÓEI

ứ

4 E IL

Đ ể s u y ra m a trậ n đ ộ c ứ n g tr o n g h ệ tọ a đ ộ tổ n g thể, ía c ầ n b iế t m a tr ậ n b iế n đ ổ i Tìieo

đ ị n h n g h ĩa , m a t rậ n b iế n đ ổ i t h ỏ a m ã n đ i ể u k iệ n

| q ) = [ M B ] { Q }

T r o n g đ ó; {q} là v e c t ơ c h u y ế n vị tr o n g h ệ t ọ a đ ộ c ụ c b ộ; { Q í là v e c t ơ c h u y ể n vị tro n g h ệ tọ a đ ộ tồ n g thể; (M B ) là m a tr ặ n b iế n đ ổ i C ác th à n h p h ầ n c h u y ể n vị tro n g h ệ

tọ a đ ộ c u c b ộ là U ị , V , , 0 , và U2, Vị, 02 ( h ìn h 3 la ) C á c th à n h p h ầ n c h u y ể n vị t r o n g hộ l ọ a

đ ộ l ổ n g th ể là X , , y ,, 0 | và X j , y2, 02 ( h ìn h 3 1 b ) H ì n h 3.1 b iể u thị c ù n g m ộ t t h a n h ở 2 hệ tọa đ ộ khác nhau V ậ y phải c ó sự c â n b ẳ n g v é m ặ t c ơ học T ù h ìn h (3.1), ta n h ậ n thấy;

L0 2J

(3 9 )

Trong đó: F,] F, 2 là vectơ tái irọng trẽn phương trục tọa clộ X íại dầu 1 và đầu 2; Fy|

F , là vectơ tái trọng irẽn phương trục tạo độ Y (ại đầu 1 và đầu 2: M| và M2 là mômen lại đẩu 1 và đầu 2 (hình 3.3h); X| X, là các veciơ c h u y c n vị trcii phương trục X; y, V2 là

các vcctơ chuyển vị trẽn phương Irục Y; 0, và B lù các góc xoay lại đầu 1 và đầu 2 (hình 3.36).

iỉin h 3.3: a} Các veciơ lài trọng iroiig hệ lọa (tộ uSiig ihể;

b) Các veơơ chuyền vị /rong hệ tọa iỉộ lổiiịỊ iliẽ: c) Hệ trục tọa ổộ vuông góc

Từ (3.6), (3.8), (3.9) la có hệ phương trình càn bằng trong hệ lọa độ tổng thể:

Giải hệ phươiig trình (3.10) ta được giá trị các thành phán chuyền vị.

Sau dãy ta sẽ suy ra các công thức tinh nội lực.