Trong cụm thi để xét công nhận tốt nghiệp THPT thí sinh phải thi 4 môn trong đó có 1 điểm 3 môn bắt buộc là Toán, Văn, Ngoại ngữ và một môn do thí sinh tự chọn trong số các môn: Vật lý, [r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG
TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ 1
ĐỀ THI KHẢO SÁT LỚP 11 LẦN 2
NĂM HỌC 2015 – 2016 MÔN: TOÁN
Thời gian: 150 phút
Câu 1 (1 điểm) Cho hàm số 3 2
1
x y x
−
=
− có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y= − +x 3
Câu 2 (1 điểm) Cho hàm số y= +x3 3mx2+3(m2−1)x+m2−3m Tìm m để phương trình 'y =0 có
2 nghiệm phân biệt x x thỏa mãn 1, 2 x12+x22 ≤10
Câu 3 (1 điểm)
a Giải phương trình: 2 sin 22 x+sin 7x− =1 sinx
b Tính giá trị biểu thức: 2 2
(1 3sin )(1 4 cos )
A= + α + α , biết cos 2 2
3
α = −
Câu 4 (1 điểm) Tính giới hạn : L = 2
5
4 3 lim
25
x
x x
→
+ −
−
Câu 5 (1 điểm) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: C n1+C n2 =55 Tìm số hạng không
chứa x trong khai triển (2x 3) , n x 0
x
Câu 6 (1 điểm) Trong cụm thi để xét công nhận tốt nghiệp THPT thí sinh phải thi 4 môn trong đó
có 3 môn bắt buộc là Toán, Văn, Ngoại ngữ và một môn do thí sinh tự chọn trong số các môn: Vật
lý, Hóa học, Sinh học, Lịch sử và Địa lí Trường A có 30 thí sinh đăng kí dự thi, trong đó có 10 thí sinh chọn môn Địa lý Lấy ngẫu nhiên 5 học sinh bất kì trong số 30 học sinh đã đăng kí dự thi của trường A Tính xác suất để trong 5 học sinh có nhiều nhất 2 học sinh chọn môn Địa lí
Câu 7 (1 điểm) Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vuông tại A , AB=AC=a, I là trung điểm của SC , hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là trung điểm H của BC, biết góc giữa SA và
mặt phẳng (ABC) bằng 60 Chứng minh (0 SBC)⊥(ABC) và tính khoảng cách từ I đến (SAB)
Câu 8 (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD với AB // CD có diện tích
bằng 14, điểm ( 1; 0)
2
H − là trung điểm của cạnh BC và ( ; )1 1
4 2
I là trung điểm của AH Viết phương trình đường thẳng AB biết đỉnh D có tung độ dương và D thuộc đường thẳng d: 5x− + =y 1 0
Câu 9 (1điểm) Giải hệ phương trình
x y xy x y xy
x y xy
Câu 10 (1 điểm) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a2+ + −b2 c2 3b≤0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 1 2 4 2 8 2
( 1) (b 2) ( 3)
P
Họ và tên: ……… SBD:……… Lớp: …… ………
================================= HẾT==============================
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN THI KHẢO SÁT LẦN 2 LỚP 11 NĂM HỌC 2015- 2016
Câu 1
(1 điểm)
Cho hàm số 3 2
1
x y x
−
=
− có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp
tuyến song song với đường thẳng y= − +x 3
2
1 '
( 1)
y
x
−
=
−
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -x+3 nên hoành độ tiếp điểm là nghiệm
của phương trình 1 2 1
(x 1)
− = −
0,25
( 1)2 1 0
2
x x
x
=
+) x=0, (0)y =2 PTTT cần lập là y= − +x 2 0,25 +) x=2, (2)y =4 PTTT cần lập là y= − +x 6 0,25
Câu 2
(1 điểm)
Cho hàm số y= +x3 3mx2+3(m2−1)x+m2−3m Tìm m để phương trình 'y =0 có 2 nghiệm phân biệt x x thỏa mãn 1, 2 2 2
1 2 10
x +x ≤
y = x + mx+ m −
' 0
x x ⇔ ∆ > ⇔ m − m − > (luôn đúng với mọi m) do dó với mọi m thì phương trình 'y =0 luôn có hai nghiệm phân biệt
0,25
Áp dụng định lí Viet cho phương trình 'y =0 ta có
1 2
2
1 2
2
+ = −
0,25
Ta có x12+x22 ≤10⇔(x1+x2)2−2 x x1 2 ≤10⇔4m2−2(m2− ≤1) 10⇔m2− ≤4 0 0,25
− ≤ ≤
Kết luận
0,25
Câu 3 c. Giải phương trình:
2
2 sin 2x+sin 7x− =1 sinx
Trang 3(1 điểm) 2
(sin 7 s inx)- (1-2sin 2 ) 0
2 cos 4 sin 3 cos 4 0 cos 4 (2 s in3x 1) 0
x
8 4 cos 4 0
2 ( ) 1
18 3
s in3x
18 3
x
= +
=
a Tính giá trị biểu thức: A= +(1 3sin2α)(1 4 cos+ 2α) , biết cos 2 2
3
α = −
Ta có 2 1 cos 2 5 2 1 cos 2 1
Do đó giá trị biểu thức (1 3 )(1 4 )5 1 35
Câu 4
(1 điểm)
Tính giới hạn : L = 2
5
4 3 lim
25
x
x x
→
+ −
−
2
L
5
1 lim
−
=
1 60
−
Câu 5
(1 điểm)
Cho n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: C1n+C n2 =55 Tìm số hạng không chứa
x trong khai triển (2x 3) , n x 0
x
−
110 0
11
n
n n
n
=
= −
Do đó n= 10
0,25
Trang 4Ta có khai triển (2x 3)10
x
−
Số hạng tổng quát thứ k+1 trong khai triển là
3 (2 ) ( ) 2 ( 3)
k
x
0,25
Số hạng không chứa x ứng với k thỏa mãn 10 2− k= ⇔ =0 k 5
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là −C105.2 35 5= −1959552
0,25
Câu 6
(1 điểm)
Trong cụm thi để xét công nhận tốt nghiệp THPT thí sinh phải thi 4 môn trong đó có
3 môn bắt buộc là Toán, Văn, Ngoại ngữ và một môn do thí sinh tự chọn trong số các môn: Vật lý, Hóa học, Sinh học, Lịch sử và Địa lí Trường A có 30 thí sinh đăng kí dự thi, trong đó có 10 thí sinh chọn môn Địa lý Lấy ngẫu nhiên 5 học sinh bất kì trong
số 30 học sinh đã đăng kí dự thi của trường A Tính xác suất để trong 5 học sinh có nhiều nhất 2 học sinh chọn môn Địa lí
Chọn ngẫu nhiên 5 thí sinh bất kì của trường A có C cách 305
5 30 ( )
n Ω =C
0,25
Gọi A:” 5 học sinh được chọn có nhiều nhất 2 học sinh chộn môn Địa lí”
+) 2 hs chọn Địa lí , 3 học sinh chọn môn khác có 2 3
10 20
C C
+) 1 học sinh chọn Địa lí , 4 học sinh chọn môn khác có C C 101 204
+) 0 học sinh chọn Địa lí có C 205
0,25
Xác suất của biến cố A là ( ) ( ) 0,81
( )
n A
P A
n
Câu 7
(1 điểm)
Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vuông tại A , AB=AC=a , I là trung điểm
của SC , hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là trung điểm H của BC, biết góc giữa
SA và mặt phẳng (ABC) bằng 0
60 Chứng minh (SBC)⊥(ABC) và tính khoảng cách
từ I đến (SAB)
AH là hình chiếu của SH lên (ABC) nên góc giữa
SA và (ABC) là SAH =600
Vì tam giác ABC cân tại A nên AH ⊥BC Theo giả thiết SH ⊥(ABC)⇒ SH ⊥ AH
0,25
Trang 5H
A
S
K
Mà BC⊂(ABC) nên (ABC)⊥(SBC)
IH là đường trung bình của tam giác SBC nên
HI SB
( ) (I, (SAB)) d(H, (SAB))
HI SAB d
Ké HM ⊥AB HK, ⊥SM Khi đó ta có
AB⊥HM AB⊥SH⇒ AB⊥ SHM ⇒ AB⊥HK
Mà HK ⊥SM
Do đó HK ⊥(SAB)⇒d(H, (SAB))=HK
0,25
Ta có 1
a
HM = AC= , 2
2
a
AH =
tan 60 3
Xét tam giác SHM vuông tại H, HK là đường cao
42 ( , ( ))
14
a HK
a
d I SAB
0,25
Câu 8
(1 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD với AB // CD có diện tích bằng
14, điểm ( 1; 0)
2
H − là trung điểm của cạnh BC và ( ; )1 1
4 2
I là trung điểm của AH Viết phương trình đường thẳng AB biết đỉnh D có tung độ dương và D thuộc đường thẳng d: 5x− + =y 1 0
H
C
I
Vì I là trung điểm của AH nên A( 1;1).Ta có 13
2
a
AH = 0,25
Phương trình AH là : 2x – 3y+1=0 Gọi M là giao của AH và
DC thì H là trung điểm của AM Suy ra: M(-2; -1)
Giả sử D (a; 5a+1) (a>0) Ta có:
28 ( , )
13
ABH MCH S AH d D AH
d D AH
0,5
Trang 6Hay 13a+ =2 28⇔ =a 2 ( vì a>0)⇒D(2;11)
Vì AB đi qua A(1;1) và có 1 VTCP là 1 (1;3)
4MD= nên AB có VTPT là (3; 1)n − Nên AB có phương trình 3x− − =y 2 0
0,25
Câu 9
( 1 điểm)
x y xy x y xy
x y xy
Điều kiện xy≥0
(1)⇔ +(x 2 )y 2+4xy=3(x+2 ) 2y xy (3)
0,25
Ta thấy x=0 hoặc y=0 không thỏa mãn hệ nên xy>0, (x+2 )y >0
Chia hai vế của pt (3) cho (x+2 ) 2y xy ta được 2 2 2 3
2 2
xy
xy
+ (4)
2
t xy
+
= Khi đó phương trình (4) trở thành 2 3 1
2
t t
t t
=
+ = ⇔
=
0,25
2
t
xy
+
= ⇔ = (vô nghiệm)
2
xy
+
0,25
Thay x=2y vào phương trình (2) ta được 2 1 1 2
y
= ⇒ =
= ⇔
= − ⇒ = −
Mà x+2y>0
Vậy hệ có nghiệm (2;1)
0,25
Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a2+ + −b2 c2 3b≤0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 1 2 4 2 8 2
( 1) (b 2) ( 3)
P
Ta thấy a2+ + −b2 c2 2a−4b− + = −2c 6 (a 1)2+ −(b 2)2+ −(c 1)2 ≥0 theo giả thiết thì
3
a + + ≤b c b Suy ra 3b−2a− − + ≥ ⇔4b 2c 6 0 2a b+ + + ≤2c 10 16
0,25
Với hai số x, y >0 thì 12 12 8 2
x + y ≥ x y
+ Áp dụng nhận xét trên ta có 0,25
Trang 7Câu 10
(1điểm)
2
2
;
2
( 3)
b
+
Suy ra
2
8
P
Theo giả thiết và chứng minh trên thì 0<2a b+ + + ≤2c 10 16⇒P≥1
0,25
Khi a=1 , b=2, c=1 thì P=1.Vậy Pmin =1
0,25
Mọi cách giải khác nếu đúng đều cho điểm tương ứng