12 CHUYEN DE ON THI THPT QG 2016 CD3 HHKG THE TICH

khoảng cách từ A đến SBC Bài giải tham khảo Tính thể tích khối chóp S.ABC... Bài giải tham khảo..[r]

A LÝ THUYẾT

I HÌNH HỌC PHẲNG

1/ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho DABC vuông tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến Ta có:

2/ Các hệ thức lượng trong tam giác thường

a) Định lí hàm số cosin

b) Định lí hàm số sin

c) Công thức tính diện tích của tam giác

d) Công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác

2

2

-

2

-

A

C

B

R (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC)

b c

a

A

b c

a – nửa chu vi

– bán kính đường tròn nội

tiếp

A

b c

a

2

2

2

bc

ac

ab

+

+

+

A

B

C HM

A

N K M

CHUYÊN ĐỀ: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP

TG: BÙI ĐỨC THUẬT

 BC2 =AB2 +AC2 (Pitago)

 AH BC =AB AC.



AB =BH BC AC =CH CB



2

1 1 1 , AH HB HC.

AH =AB +AC =

BC

AM =

3/ Định lí Talet

4/ Diện tích của đa giác

a/ Diện tích tam giác vuông

Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích 2 cạnh

góc vuông

b/ Diện tích tam giác đều

Diện tích tam giác đều:

3 4

SD =

Chiều cao tam giác đều:

3 2

hD =

c/ Diện tích hình vuông và hình chữ nhật

Diện tích hình vuông bằng cạnh bình

phương

Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân 2

Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng

A

N M

B

1 2

ABC

A

B

C

a

h

2 3 4 3 2

A BC

a S

a h

D

ïïï

Þ í

ïï = ïï ïî

C D

2

2

HV

ì = ïïï

Þ íï

= = ïïî

(cạnh) 2

đều

(cạnh)

đều

2 2

/ /

AMN ABC

k

D D

æ ö÷

ç ÷

* =çç ÷=

÷

çè ø

(Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đồng

d/ Diện tích hình thang

Diện tích hình thang:

SHình Thang

1 2

=

.(đáy lớn + đáy bé) x chiều cao

e/ Diện tích tứ giác có hai đường

chéo vuông góc

Diện tích tứ giác có hai đường chéo

vuông góc nhau bằng ½ tích hai

đường chéo

Hình thoi có hai đường chéo vuông

góc nhau tại trung điểm của mỗi

đường

Lưu y: Trong tính toán diện tích, ta có thể chia đa giác thành những hình đơn giản

dễ tính diện tích, sau đó cộng các diện tích được chia này, ta được diện tích

đa giác

II HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1 Quan Hệ Song Song

a/ Chứng minh đường thẳng d mp a // ( ) với (dË ( )a )

Chứng minh: d d // ' và d' ( )Ì a

Chứng minh: dÌ ( )b và ( )b // ( )a

b/ Chứng minh mp( )a // mp( )b

Chứng minh mp a( ) chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với mp b( )

Chứng minh mp a( ) và mp b( ) cùng song song với 1 mặt phẳng hoặc cùng vuông góc với 1 đường thẳng

c/ Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một trong các định lí sau

Hai mp a b( ),( ) có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song a b, thì

( ) // //

( )a Ç b =Sx a b

//

//

( )

( )

a mp

b a

a mp

a

b

íï Ì

2 Quan Hệ Vuông Góc

A

B H C

D

2

AD BC AH

Þ =

A

B

D

C . 1 .

2

H Thoi

Þ =

a/ Chứng minh đường thẳng d^mp a( )

Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong mp a( )

Chứng minh: ( )

// ' '

d d

d mp a

íï ^ ïïî d^mp a( )

Chứng minh:

( )

d mp

b

ìï ^

íï ïïî d^mp a( )

Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của

chúng vuông góc với mặt phẳng thứ 3:

( ) ( ) ( ) ( )

P

d

a b

ìï ^ ïï

íï

ïï Ç = ïïî

b/ Chứng minh đường thẳng d^d'

Chứng minh d^( )a và ( )a É d'

Sử dụng định lý ba đường vuông góc

Chứng tỏ góc giữa d và d' bằng90 0

c/ Chứng minh mp( )a ^mp( )b

Chứng minh

( )

d

d

a

b

ìï É

íï ^

vuông góc với mp kia)

Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng bằng90 0

3/ Góc Và Khoảng Cách.

a/ Góc giữa hai đường thẳng

Là góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau lần lượt vẽ cùng phương

với hai đường thẳng đó:

//

//

' ( , ) ( ', ') '

a a

a b a b

íï

b/ Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng mp a( )

Là góc tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng

( )

·, ( , ')·

ê ú

ê ú

ë û

(với d' là hình chiếu vuông góc của d lên mp a( ))

c/ Góc giữa hai mp a( ) và mp b( )

Là góc có đỉnh nằm trên giao tuyến u,

2 cạnh của hai góc lần lượt nằm trên

2 mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến

dd' 

 



au b



a

b

'

a

'

b

( )

·

(( );a b ) =( , )a b¶ =f

d/ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Là độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng

d M D =MH

e/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:

Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng (mặt phẳng)

này đến đường thẳng (mặt phẳng) kia

f/ Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng

g/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó

Là khoảng cách MH từ một điểm M trên d đến mp a( )

chứa d' và song song với d

Là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( ) ( )a , b

lần lượt chứa dvà d'

4/ Hinh chóp đều

a/ Định nghĩa.

Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.

Nhận xét:

+Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau

+Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

b/ Hai hình chóp đều thường gặp

 Hình chóp tam giác đều : Cho hình chóp tam giác đều S ABC.

Khi đó:

ĐáyABC là tam giác đều

Các mặt bên là các tam giác cân tạiS

Chiều cao: SO

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO· =SBO· =SCO·

Md

'

d

M

M

D H

M

S

A

B

C H O

d

'

d

Góc giữa mặt bên và mặt đáy: ·SHO.

Tính chất:

AB

AO = AH OH = AH AH =

Lưu ý: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều

+ Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều

+ Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy

* Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD.

ĐáyABCDlà hình vuông

Các mặt bên là các tam giác cân tại S

Chiều cao: SO

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:SAO· =SBO· =SCO· =SDO·

Góc giữa mặt bên và mặt đáy: ·SHO.

5/ Xác Định Đường Cao Hình Chóp

a/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc

với đáy:

Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh

bên vuông góc với đáy

Ví du: Hình chópS ABC. có cạnh bên

SA^ ABC thì chiều cao là SA

b/ Hình chóp có một mặt bên vuông góc

với mặt đáy:

Chiều cao của hình chóp là chiều cao của

tam giác chứa trong mặt bên vuông góc

với đáy

Ví du: Hình chópS ABCD. có mặt bên (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABCD)thì chiều cao của hình chóp là chiều cao củaDSAB

c/ Hình chóp có hai mặt bên vuông góc

với đáy:

Chiều cao của hình chóp là giao tuyến

của hai mặt bên cùng vuông góc với đáy

Ví du: Hình chóp S ABCD. có hai mặt bên (SAB)và(SAD)cùng vuông góc với mặt đáy(ABCD)thì chiều cao là SA

d/ Hình chóp đều:

Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng

nối đỉnh và tâm của đáy

Ví du: Hình chóp tứ giác đều S ABCD.

có tâm mặt phẳng đáy là giao điểm của hai đường chéo hình vuôngABCDthì có đường cao là

SO

6/ Thể tích khối đa diện

A

D S

1/ Thể tích khối chóp:

1 3

V = B h

:

B Diện tích mặt đáy

:

h Chiều cao của khối chóp

2/ Thể tích khối lăng tru: V =B h.

:

B Diện tích mặt đáy

:

h Chiều cao của khối chóp

Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao

cũng là cạnh bên

3/ Thể tích hình hộp chữ nhật:

.

V =abc

Þ Thể tích khối lập phương: V =a3

4/ Tỉ số thể tích:

' ' '

.

'. '. '

S A B C

S ABC

5/ Hình chóp cut A’B’C’.ABC

( ' ')

3

h

V = B +B + BB

Với B B h, ', là diện tích hai đáy và chiều

cao

B BÀI TẬP MẪU

Thí du 1 Cho hình chóp S ABC. có đáy là tam giác

vuông tại B BAC,· =30 ,0SA =AC =a và SA vuông góc

với mp ABC( ) .Tính thể tích khối chóp S ABC. và

khoảng cách từ A đến (SBC)

Bài giải tham khảo

Tính thể tích khối chóp S ABC.

* Ta có: . 1. . ( )1

3

a b

c

a

a a

S

A

’

B

’ C

’

C

S

B

3 0 0 a

A

B

* Trong đó: SA =a ( )2

* Tìm SDABC?

TrongDABC vuông tạiB , ta có:

0 0

.sin30 sin30

2 3

2

a

AC

AC

ì

( )

2

1 . 1 . 3 3 3

ABC

* Thay( ) ( )2 , 3 vào( ) . 2 3

S ABC

(đvtt) ( )4

Tính khoảng cách từ A đến mp SBC( )

.

3.

3

S ABC

SBC

V

S

D

D

= êë úû Þ êë úû=

* Tìm DSBC ?

Ta có:

ìï ^

íï ^

SBC

SD BC BS AC AB SA AB a æçç ö÷÷ a æçç ö÷÷

( )

2

6

= × × =

* Thế( ) ( )4 , 6 vào( )5 ,( ) 3 3 3 28 21

d A SBC

a

Þ êë úû= × × =

Thí du 2 Cho hình chop S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB =a BC, =2a

Hai mp SAB( )và mp SAD( )cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 60 0 Tính thể tích khối chóp S ABCD. theo a .

Bài giải tham khảo

( ) ( )

ìï ^

ïï

íï

Mà: . 1 . ( )1

3

TìmSA ?

S

6 0 0

TrongDSAC vuông tạiA:

tanSCA SA SA AC.tanSCA

AC

( )

2 2 tan60 0 2 (2 ) 3 2 15 2

Ta lại có: S ABCD =AB BC =a a.2 = 2a2 ( )3

ABCD

a

(đvtt)

Thí du 3 Hình chop S ABC. có BC = 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại C SAB, là tam

giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Gọi I

là trung điểm cạnh AB .

a/ Chứng minh rằng, đường thẳng

SI ^mp ABC .

b/ Biết mp SAC( )hợp với mp ABC( )một góc60 0

Tính thể tích khối chóp S ABC. .

Bài giải tham khảo

a/ CM: SI ^mp ABC( )

Do DSABvuông cân tại có SI là trung tuyếnÞ SI

cũng đồng thời là đường caoÞ SI ^AB

Ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ìï ^ ïï

íï

ï ^ Ì ïïî

(đpcm)

b/ Tính thể tích khối chóp S ABC.

GọiK là trung điểm của đoạn AC

SK

Þ vừa là trung tuyến vừa là đường cao trong DSAC Þ SK ^AC

TrongDABC vuông tạiC có KI là đường trung bình

//

K I BC

ìïï

Þ íï ïî ^ Þ ^ .

Mặt khác:

( )

SK AC mp SAC

ï

Mà: . 1 . ( )1

3

TìmSI ?

Trong DSKI vuông tại I , ta có:

2

SI

IK

TìmSDABC ?

S

C

I K

6 0

0 2 a

( )2

1. . 1. . 1. 2

ABC

SD = BC AC = BC AB - BC = BC SI - BC

( ) ( ) ( )

1 2 2 2

.2 2 3 2 2 2 3

.

S ABC

a

Thí du 4 Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' 'có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a

Hình chiếu vuông góc của A'xuống

mp ABC là trung điểm của AB Mặt

bên(AA C C' ' ) tạo với đáy một góc

bằng 45 o Tính thể tích của khối lăng

trụ này.

Bài giải tham khảo

GọiH M I, , lần lượt là trung điểm của các

đoạn thẳng AB AC AM, ,

V ABC A B C ' ' ' =B h =SDABC 'A H ( )1

Do DABC đều nên:

( )

2 3 2 3 2

ABC

TìmA H' ?

DoIH là đường trung bình trong đều DAMB, đồng thời BM là trung tuyến nên cũng là đường cao

Do đó:

//

IH MB

íï ^

'

AC A H

ìï ^

íï ^

ïî

Mà:

( ) ( ' ') { }

' ( ' ')

Trong DA HI' vuông tạiH , ta có:

( ) o

HI

3 3 3

4 4 16

ABC A B C

V

Thí du 5 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' 'có đáy ABC là tam giác vuông tại

A AC =a ACB = Đường chéo BC 'của mặt bên (BC C C' ' ) tạo với mặt phẳng mp AA C C( ' ' ) một góc 30 0 Tính thể tích của khối lăng trụ theo a .

A

C

’

C M

A BC

’

a60 0

Bài giải tham khảo

Ta có:

AB ACC A

ìï ^

ï ^

ïî Do đóAC ¢là hình chiếu vuông góc của BC ¢

lên (ACC A¢ ¢)

Từ đó, góc giữaBC ¢và (ACC A¢ ¢)là BC A· ¢ = 30 0

Trong tam giác vuôngABC : AB =AC.tan600=a 3

Trong tam giác vuôngABC': AC¢=AB.cot 300=a 3 3 = 3a

Trong tam giác vuông ACC': CC'= AC'2- AC2= (3 )a2- a2 =2 2a

Vậy, thể tích lăng trụ là:

3

' 3 .2 2 6

V =B h= AB AC CC = a a a =a

(đvdt).

Thí du 6 Cho hình chóp đều S ABCD. có cạnh đáy 2a , góc giữa mặt bên và mặt đáy

bằng 60 0 Tính thể tích của hình chóp S ABCD.

Bài giải tham khảo

Tính thể tích khối chópS ABCD.

GọiOlà tâm của mặt đáy thìSO ^mp ABCD( )

nênSOlà đường cao của hình chóp và gọiM

là trung điểm đoạnCD

Ta có:

( )

ìï ^ Ì ïï

íï

ïïî

(góc giữa mặt(SCD)và mặt đáy)

Ta có: . 1 . ( )1

3

TìmSO ?

TrongDSMOvuông tạiO, ta có:

·

tanSMO SO

OM

=

.tan tan60 3 2

2

BC

Mặt khác: S ABCD =BC2 =( )2a 2= 4a2 ( )3

ABCD

a

(đvtt)

C CÁC BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI GẦN ĐÂY

Bài 1 (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A,B,D – 2011)

B

’

B

’ A

’ C’

30 o

S

A

D O

2 a

M

6 0 0

Cho hình chópS ABC. có đáyABC là tam giác vuông cân tại

B AB =a SA ^ ABC , góc giữa mp SBC( )vàmp ABC( )bằng30 0 GọiM là trung điểm của cạnhSC Tính thể tích khối chóp S ABM. theo a

HD: Cm : BC ^(SAB), KeMN // BC , . .

1. . 3

3 2

36

S ABM M SAB

a

Bài 2 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2007)

Cho hình chópS ABCD. đáy là hình vuôngABCDcạnha, mặt bênSAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD GọiM N P, , lần lượt là trung điểm củaSB BC CD, , Tính thể tích khối tứ diệnCMNP

HD: GọiH là trung điểm củaADthì

SH ^AD

//

MK SH K Î HB Þ MK ^(ABCD)

1. .

3

1. . 3 3

3 8 4 96

Bài 3 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2006)

Cho hình chópS ABCD. có đáyABCDlà hình chữ nhật vớiAB =a AD, =a 2,SA =avà SA

vuông góc với mặt phẳng đáy GọiM N, lần lượt

là trung điểm củaAD SC, vàI là giao điểm của

BM vàAC Tính thể tích khối tứ diệnANIB

HD: GọiOlà tâm của của đáyABCD

TrongDSAC , ta cóNOlà đường trung bình

nên:

//

NO SA

íï ^

ïïî

.

1. . 3

S

A

B M

N IO

S

H A

B M

N P

K

Tìm SDAIB =?

DoI là trọng tâmDABDnên

2

ïïï

ïî

AB =a =æçççç ö÷÷÷÷+æçççç ö÷÷÷÷=AI +BI Þ DAIB

.

.

3 6 2 36

N AIB

Bài 4 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2009)

Cho lăng trụ tam giácABC A B C ' ' 'có BB' =a, góc giữa đường thẳng BB' và

mp ABC bằng 60 0, tam giácABC vuông tại C và

góc BAC =· 60 0 Hình chiếu vuông góc của

điểmB' lên mp ABC( )trùng

với trọng tâm củaDABC Tính thể tích của khối

tứ diệnA ABC' theo a

HD:

GọiM N, là trung điểm củaAB AC, Khi đó,

Glà trọng tâm củaDABC

Do hình chiếu điểmB' lên mp ABC( ) làGnênB G' ^(ABC)

· ; · ' 60 0

' ' 1

V = SD B G = AC BC B G

TìmB G' ?

Trong DB BG' vuông tạiGvà có B BG =· ' 60 0nên nó là nữa tam giác đều cạnh là

'

a

TìmAB BC, ?

ĐặtAB = 2x TrongDABC vuông tạiC cóBAC =· 60 0nên

nó cũng là nữa tam giác đều với đường cao làBC

2

AB

DoGlà trọng tâmDABC

a

A B

C D

MI

A

’ B

’

C

’

A

B

C G

N M

6 0 0

B

M G

TrongDBNC vuông tạiC : BN2=NC2+BC2

( )

3

2 13

a AC

a BC

ìïï = ïï ïï

ïï = ïï ïïî

1 3 3 3 3 9

6 2 13 2 13 2 108

A ABC

V

D- CÁC BÀI TẬP CẦN RÈN LUYỆN THÊM

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a 2, BC a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 3

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

b) Chứng minh rằng tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC là trung điểm I của cạnh

SC

c) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABI).

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a 2, BC a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc hợp bởi cạnh SC và mặt phẳng đáy bằng 600

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

b) Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a 3, AC2 a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng đáy bằng 600 I là trung điểm của SC

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

b) Tìm tâmvà tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AI

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, các cạnh bên

SA=SB=SC và tạo với đáy một góc 60o

a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC

b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC)

c) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a , BC2 a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc hợp bởi SB và mặt phẳng đáy bằng 600 a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

c) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC 2 a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng đáy bằng 450 I là trung điểm của BC

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AI