TỰ học TOÁN 8 PHẦN 4 ( Câu Hỏi và có lời giải chi tiết)

THỨC Ngoài các tính chất của bất đẳng thức được nêu ở §11, ta còn sử dụng các tính chất sau: 1.. Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương: 4.. Chứng minh bất đẳng thức được nê

x  - - 0 + Nghiệm của bất phương trình đã cho là: 2  x 4

 Ví dụ 1 Ví Ví dụ 1 dụ Ví dụ 1 2 Ví dụ 1 Giải bất phương trình

1 5

11

x x

Bài tập tự luyện

Lời giải

01

x    0 

1 31

x x

x  

Nghiệm của phương trình:

64

m x

Bài 6

CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Tóm tắt lý thuyết

A Ví dụ 1 CÁC Ví dụ 1 TÍNH Ví dụ 1 CHẤT Ví dụ 1 CỦA Ví dụ 1 BÁT Ví dụ 1 ĐẲNG Ví dụ 1 THỨC

Ngoài các tính chất của bất đẳng thức được nêu ở §11, ta còn sử dụng các tính chất sau:

1 Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều, được bất đẳng thức mới cùng chiều với các bất đẳng thức đã cho:

,

a b c d   a c b d  

Chú Ví dụ 1 ý: Không được trừ từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều.

2 Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ:

,

a b c d   a c b d  

3 Tính chất đơn điệu của phép nhân

1 Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương:

4 Nhân hai vế của bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm a b 0,c d  0 ac bd

5 Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức:

Chú Ví dụ 1 ý: Ví dụ 1 Ngoài các bất đẳng thức chặt, chẳng hạn a b , ta còn găp các bất đang thức không chăt,

chẳng han a b  (tức là a b hoăc a b ) Trong các tính chất trên, nhiều dấu  (hoặc ) có thể thay bởi dấu  (hoăc )

B Ví dụ 1 CÁC Ví dụ 1 HẰNG Ví dụ 1 BẤT Ví dụ 1 ĐẲNG Ví dụ 1 THỨC

1 Ngoài các hằng bất đẳng thức a2  0; a2  , cần nhớ các hằng bất đẳng thức liên quan đến giá 0trị tuyệt đối:

| | 0a  Xảy ra đẳng thức khi a  ;0

| |a a Xảy ra đẳng thức khi a  ; 0 |a b | | | | | a  b Xãy ra đẳng thức khi ab  ;0

|a b | | | | | a  b Xãy ra đẳng thức khi ab  và 0 | | | |a b (các điều kiện này còn có thể diễn đạt là

Chứng minh bất đẳng thức |a b | | | | |a  b  3 như sau:

Nếu | | | |a b thì  3 hiển nhiên đúng Nếu | | | |a b thì (3) tương đương với:

|a b | (| | | |)a  b  a  2ab b a  2ab b |ab|ab

Bất đẳng thức  4 đúng, vậy  3 đúng.

m n  a a với m, n nguyên dương, a  1

Cần chỉ rõ các Điều kiện ấy khi biến đổi tương đương

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a b c 

 Ví dụ 1 Ví Ví dụ 1 dụ Ví dụ 1 93 Ví dụ 1 Cho a b c, , là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng

a b c b c a      b b

Tương tự

b c a c a b     c

Ví dụ 96 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ta có

.Vậy phải có a b  2

Cách giải khác Ta có

2 2 2

a b   1Mặt khác 2ab a 2b2 nên

2 2

2ab a b 2  2Cộng (1) với (2):

Ví dụ 97 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên , ta có



            

Chú Ví dụ 1 ý Ví dụ 1 1 Ví dụ 1 Khi Ví dụ 1 chứng Ví dụ 1 minh Ví dụ 1 bất Ví dụ 1 đẳng Ví dụ 1 thức, Ví dụ 1 nhiều Ví dụ 1 khi Ví dụ 1 ta Ví dụ 1 cần Ví dụ 1 đổi Ví dụ 1 biến

E VÀl ĐIỂM CHÚ Ý KHI CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Ví dụ 100 Chứng minh bất đẳng thức được nêu ở ví dụ 99:

Trong đó điều kiện là độ dài ba cạnh của một tam giác được thay bởi là các số dương.

Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi a b c 

Chú Ví dụ 1 ý Ví dụ 1 2 Ví dụ 1 Với Ví dụ 1 các Ví dụ 1 bất Ví dụ 1 đẳng Ví dụ 1 thức Ví dụ 1 mà Ví dụ 1 các Ví dụ 1 biến Ví dụ 1 có Ví dụ 1 vai Ví dụ 1 trò Ví dụ 1 như Ví dụ 1 nhau, Ví dụ 1 ta Ví dụ 1 có Ví dụ 1 thể Ví dụ 1 sắp Ví dụ 1 thứ Ví dụ 1 tự Ví dụ 1 các Ví dụ 1 biến.

 Ví dụ 1 Lời Ví dụ 1 giải

Cách 1: Do vai trò của a b c, , ngang nhau, ta giả sử rằng a b c  Xét hai trường hợp:.

a) b c a  Khi đó vế trái của  1

là số dương, còn vế phải không dương Bất đẳng thức được chứng minh

b) b c a  Khi đó hai vế của  1 đều dương Giải tiếp như ví dụ 99

Cách 2: Trong ba số b c a a c b a b c  ,   ,   , không có quá một số âm Thật vậy, chẳng hạn

b c a   a c b   thì 2c  , trái với giả thiết.0

Nếu đúng một số âm thì vế phải của  1

là số âm, bất đẳng thức  1

hiển nhiên đúng

Nếu không có số nào âm thì vế phải của  1

là số dương Giải tiếp như ví dụ 99

Chú Ví dụ 1 ý Ví dụ 1 3 Ví dụ 1 Khi Ví dụ 1 chứng Ví dụ 1 minh Ví dụ 1 bất Ví dụ 1 đẳng Ví dụ 1 thức, Ví dụ 1 trong Ví dụ 1 nhiều Ví dụ 1 trường Ví dụ 1 hợp Ví dụ 1 ta Ví dụ 1 cần Ví dụ 1 xét Ví dụ 1 từng Ví dụ 1 khoảng Ví dụ 1 giá Ví dụ 1

trị Ví dụ 1 của Ví dụ 1 biến.

Do x  nên 1 a x 5 0, do đó A  0Cách 2:

tương đương với:

, tức là ở  1

, khi và chỉ khi x  y z 0 Đó là nghiệm của phương trình

D ÁP DỤNG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

* Chú ý: Cũng có thể biến đổi phương trình đã cho thành:

a) Biến đổi tương đương thành a b a b2 2(  )2  0

b) Biến đổi tương đương thành 0 ( a b )2a2ab b 2

a) Chia hai vế cho số dương a b Biến đổi tương đương thành (a b )2 0

a b  a b

Từ đó suy ra

( )8

a b  a b

.b) Xét hiệu a2b22 ab a b(  )2

x  x 

 Ví dụ 1 Lời Ví dụ 1 giải

a) x4 4x 5 x4 4x2 4 4x2 4x 1 x2 22(2x1)2 0

.Không xảy ra đẳng thức Do đó x2 4x 5 0

.Suy ra điều phải chứng minh

 Ví dụ 1 Bài Ví dụ 1 376 Cho các số dương a và b thỏa mãn a3b3  a b Chứng minh rằng: a2b2ab1

Giải các bài từ 378 đến 384 bằng phương pháp phản chứng.

 Ví dụ 1 BÀI Ví dụ 1 378 Chứng minh rằng nếu a+b+c > 0, abc > 0, ab+bc + ca > 0 thì a > 0, b > 0,

 Ví dụ 1 Lời Ví dụ 1 giải

Giả sử a0:

Nếu a0 thì trái với abc0.

Nếu a0: Do a b c  0 nên b c 0 Do abc0 nên bc0

Suy ra a b c(  )bc0, mâu thuẫn với ab bc ca  0

Vậy x y 1, suy ra a b 7.

BÀI Ví dụ 1 380 Cho ba số a , b , c khác nhau đôi một Chứng minh rằng tồn tại một trong các số 9ab ,

Mặt khác dễ dàng chứng minh được a2b2c2 ab bc ca  với a , b , c khác nhau đôi một,

mâu thuẫn với (1)

BÀI Ví dụ 1 381 Chứng minh rằng không có ba số dương a , b , c nào thỏa mãn cả ba bất đẳng thức:

12

 

a

12

 

b

12

 

a

12

 

b

12

Hãy chứng minh điều vô lý

BÀI Ví dụ 1 382 Chứng minh rằng không có các số a , b , c nào thỏa mãn cả ba bất đẳng thức:

|b c | | | a , |c a | | | b , |a b | | | c

 Ví dụ 1 Lời Ví dụ 1 giải

Giả sử |b c | | | a , |c a | | | b , |a b | | |c thì (b c )2 a , 2 (c a )2 b , 2 (a b )2 c Do đó: 2(b c a b c a  )(   ) 0 , (c a b c a b c a b  )(   )(   ) 0 , (a b c a b c  )(   ) 0 .

Nhân từng vế ba bất đẳng thức trên sẽ dẫn đến điều vô lí

BÀI Ví dụ 1 383 Chứng minh rằng không có các số dương a , b , c nào thỏa mãn các bất đẳng thức

Mâu thuẫn với (1).

BÀI Ví dụ 1 384 Cho a3b3 2 Chứng minh rằng a b 2.

Giải các bài từ 385 đến 389 trong đó sắp thứ tự các biến:

BÀI Ví dụ 1 385 Cho a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

b c c a a b      (xem ví dụ 92b).b) Sắp xếp a b b c    0 c a c b c(  )(  ) 0  c3abc ac 2bc2.

Ta cần phải chứng minh

a b  abc ab a b  b c a c Bất đẳng thức này tương đương với (a b ) (2 a b c  ) 0

BÀI Ví dụ 1 386 Chứng minh bất đẳng thức:

;b) 3 a 8b8c8  a3b3c3 a5b5c5

cũng không âm (thật vậy nếu a b  thì 0 a5 b5  , nếu 0 a b  thì0

b) Giải tương tự câu a) Có thể áp dụng bất đẳng thức (b c )2 4bc hoặc áp dụng bất đẳng thức

2 b c (b c )

, ta được 3a2 4a , từ đó suy ra điều phải chứng minh.0

BÀI Ví dụ 1 393 Chứng minh rằng nếu a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì

1

a c b



,

1

b a c



,

1

c b a



Suy ra

1

a c b a c b abc

Biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối của (2) và (1) đối nhau (bạn đọc tự kiểm tra), do đó từ (2)suy ra (1)

BÀI Ví dụ 1 394 Chứng minh rằng với a b c , , 0 thì:

BÀI Ví dụ 1 397 Chứng minh rằng với a b c , , 0 thì

Giả sử a b c  0 thì các dấu ngoặc tròn và ngoặc vuông của biểu thức trên đều không âm Suy

ra điều phải chứng minh

BÀI Ví dụ 1 398 Chứng minh rằng khi viết dưới dạng số thập phân vô hạn, số

1002225

Suy ra điều phải chứng minh.

BÀI Ví dụ 1 399 Cho 101 số a a1, , ,2  a101 trong đó a  , 1 5 2 1 1

BÀI Ví dụ 1 400 Cho sáu đoạn thẳng có độ dài trong khoảng từ 10 cmđến 75 cm Chứng minh rằng baogiờ cũng chọn được ba đoạn thẳng làm thành ba cạnh của một tam giác.

BÀI Ví dụ 1 401 Đố vui: Ai nói đúng? Một đơn vị công an hằng ngày dùng thuyền máy đi xuôi khúc sông

từ A đến B rồi quay trở lại A Hôm ấy, dòng nước chảy nhanh hơn hôm trước Chiến sĩ Tâm vui

vẻ nói: “Hôm nay nước chảy nhanh hơn, thuyền xuôi nhanh hơn nên ta sẽ về sớm hơn” Chiến sĩHòa không tán thành: “Đi nhanh được bao nhiêu thì lại về chậm bấy nhiêu! Như vậy thuyền vẫn đivới thời gian như hôm trước” Ai đúng? Ai sai? Biết rằng vận tốc riêng của thuyền máy không đổitrong cả hai ngày

 Ví dụ 1 Lời Ví dụ 1 giải

Gọi khoảng cách AB là ( km) s , vận tốc riêng của thuyền máy là ( km / h)a , vận tốc dòng nước

ngày hôm trước là ( km / h)b , vận tốc dòng nước ngày hôm sau là ( km / h)c trong đó s 0,

Để chứng minh A 20, ta làm trội mỗi phân số của A bằng cách dùng bất đẳng thức

b)

1 ( ; 2)2! 3! 4! !

a) (x+ y) = x+1 y -1 ; 2     b) x + y + z +t = x y + z +t ; 2 2 2 2  

c) x +1 y +4 z +9 = 48xyz (x, y,z > 0); 2   2   2 

d) x+1 y +1 x+ y = 8xy x, y 0        

a) Đặt x+1= a, y - 1= b Phương trình trở thành (a b )2 ab Dễ dàng tính được a b  0Đáp số: x = -1, y = 1

n < 2018 (2)

 

S n 1+9×3 = 28

n 2018 - 28 = 1990 (3)

Từ (2) và (3) suy ra n = 199a hoặc n = 20bc

Thay n = 199a vào (1) được 2a = 9 , loại.

Thay n20bc vào (1) được a = 0,b = 8 Đáp số: 2008

1 Cho biểu thức f x y ,  Ví dụ 1

Ta nói M là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f x y ,  , kí hiệu max f M nếu hai điều

kiện sau thỏa mãn:

- Với mọi , ,x y  để f x y ,  xác định thì

 VÍ DỤ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Mặc dù ta có A 0 , nhưng chưa thể kết luận được min A  vì không tồn tại giá trị nào của 0 x để A  0

A Ví dụ 1 GIÁ Ví dụ 1 TRỊ Ví dụ 1 Ví dụ 1 NHỎ Ví dụ 1 NHẤT, Ví dụ 1 GIÁ Ví dụ 1 TRỊ Ví dụ 1 Ví dụ 1 LỚN Ví dụ 1 NHẤT Ví dụ 1 CỦA Ví dụ 1 MỘT Ví dụ 1 BIỂU Ví dụ 1 THỨC

Vậy min A= 2 khi và chỉ khi x = 2

B Ví dụ 1 TÌM Ví dụ 1 GIÁ Ví dụ 1 TRỊ Ví dụ 1 NHỎ Ví dụ 1 NHẤT, Ví dụ 1 GIÁ Ví dụ 1 TRỊ Ví dụ 1 LÓN Ví dụ 1 NHẤT Ví dụ 1 CỦA Ví dụ 1 BIỂU Ví dụ 1 THỨC Ví dụ 1 CHỨA Ví dụ 1 MỘT Ví dụ 1 BIẾN

1 Ví dụ 1 Tam Ví dụ 1 thức Ví dụ 1 bậc Ví dụ 1 hai

Lời giảiMột số ví dụ

2 Ví dụ 1 Đa Ví dụ 1 thức Ví dụ 1 bậc Ví dụ 1 cao Ví dụ 1 hơn Ví dụ 1 hai

3x - 8x+6 A=

 VÍ DỤ 6 Tìm GTNN của 2

3 - 4x A=

-C Ví dụ 1 TÌM Ví dụ 1 GIÁ Ví dụ 1 TRỊ Ví dụ 1 NHỎ Ví dụ 1 NHẤT, Ví dụ 1 GIÁ Ví dụ 1 TRỊ Ví dụ 1 LÓN Ví dụ 1 NHẤT Ví dụ 1 CỦA Ví dụ 1 BIỂU Ví dụ 1 THỨC Ví dụ 1 CÓ Ví dụ 1 QUAN Ví dụ 1 HỆ Ví dụ 1 RÀNG Ví dụ 1 BUỘC Ví dụ 1 GIỮA Ví dụ 1 CÁC Ví dụ 1 BIẾN

Sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A :

A= x+ y x - xy + y + xy = x - xy + y + xy = x + y

Đến đây có nhiều cách giải

Cách Ví dụ 1 1 Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai theo x

Thay y = 1- x vào biểu thức A

Lời giải

Lời giải

Do đó min A= 3 khi và chỉ khi x = y = z = 1

Có thể giải câu a bằng cách đổi biến x = 1+ a, y = 1+b,z = 1+ c rồi xét x + y + z 2 2 2

2 Từ (1) và (2) suy ra 3B A + 2B = 9 , nên B 3  Do đó max B = 3 khi và chỉ khi

x = y = z = 1.

Có thể giải câu b dựa vào câu a: Vi A+ 2B = 9 nên B lớn nhất khi và chỉ khi A nhỏ nhất.

3 Ta có A+ 2B = 9 mà B 3  (câu b) nên A+ B 6

Do đó min A+ B = 6  khi và chỉ khi x  y z 1.

1) Ta sử dụng phương pháp xét dấu để tìm GTNN, GTLN của A Ta biến đổi

x+ y + z = 2 - A (1)

x + y + z = 4 - A (2) 2 2 2 2

Ta đưa ra một bất đẳng thức trong đó chứa x y z  và x2y2z2 Ta có

(x y z  )2 x2y2z22xy yz xz   (3) Mặt khác, dễ dàng chứng minh được

xy + yz + zx x + y + z 2 2 2 (4)

Từ (3) và (4) suy ra (x+ y + z) 2 3 x + y + z 2 2 2

; xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi x = y = z Thay

các biểu thức    1 , 2 vào bất đẳng thức trên, ta có

(2 - A) 3 4 - A  A - A - 2 0Giải tiếp như câu a ta được

Khi tìm cực trị của biểu thức, nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị

A  khi và chỉ khi x 0 Do đó maxA 1khi và chỉ khi x 0.

Tìm GTNN của A : Ta có 2x 2  x4 + 1 (Dễ chứng minh, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x  ) mà2 1

4 1 0

x   nên

2 4

1

1 1 2A

* Khi giải toán cực trị, nhiều khi ta cần xét nhiều khoảng giá trị của biến, sau đó so sánh các giá

trị của biểu thức trong các khoảng ấy để tìm GTLN, GTNN.

Do x  nên 22  x  do đó 4 B  1 (1)

– Xét x  thì 3 B x 2 x 3 2 x 5

So sánh (1), (2), (3) ta được minB  khi và chỉ khi 21  x 3

Cách Ví dụ 1 2 Ví dụ 1 Do giá trị tuyệt đối của một số lớn hơn hoặc bằng chính số đó nên

* Chú ý: Khi tìm cực trị của một biểu thức, người ta thường sử dụng các bất đẳng thức đã biết.

Xem mục các hằng đẳng thức trong chuyên đề Chứng minh bất đẳng thức.

- Với x  thì 4 y  , không thỏa mãn (2).6

Vậy maxA 26 khi và chỉ khi x  và 4 y  6

Chú ý: Trong các hằng đẳng thức, cần chú ý đến hai mệnh đề sau, cho ta GTLN của tích, GTNN của tổng:

- Nếu hai số có tổng không đổi thì tích của chúng có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau

- Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.

Để chứng minh hai mệnh đề trên, ta dùng bất đẳng thức (a b )2 4ab:

- Nếu hai số a và b có a + b = k (hằng số) thì từ (a+b) 2 ≥ 4ab ta có

- Nếu hai số dương a và b có abp (hằng số) thì a b nhỏ nhất  (a b )2 nhỏ nhất, do đó

2x là hai số dương có tích không đổi và bằng 4

nên tổng của chúng khỉ nhất khi và chỉ khi

14

x 

Chú ý: Trong các ví dụ trên, ta chỉ ra tất cả các giá trị của biến để xảy ra đẳng thức Tuy nhiên, yêu cầu của bài toán tìm GTNN, GTLN không đòi hỏi như vậy, chỉ cần chứng tỏ rằng tồn tại giá trị của biến để xảy ra đẳng thức.

 Ví dụ 1 Ví Ví dụ 1 dụ Ví dụ 1 17 Ví dụ 1

Tìm GTLN của Aab bc cd  , biết rằng a, b, c, d là các số không âm có tổng bằng 1.

 Ví dụ 1 Lời Ví dụ 1 giải Cách Ví dụ 1 1 Ví dụ 1 Giả sử a   b c d 0 Ta có

2 2

A 

khi, chẳng hạn1

2

a b  c d

.Vậy

1max

24

0

a c

b d A

 Ví dụ 1 Ví Ví dụ 1 dụ Ví dụ 1 18 Ví dụ 1

y A

+ min(x y ) 1 khi và chỉ khi x1003,y1002

+ max(x y ) 2003 khi và chỉ khi x2004,y1

Do đó

+ max xy ( ) 1005006khi và chỉ khi x1003,y1002

+ min( ) 2004xy  khi và chỉ khi x2004,y1

 Ví dụ 1 Ví Ví dụ 1 dụ Ví dụ 1 20 Ví dụ 1

Tìm GTNN của biểu thức A |11m  5 |n với m, n là các số nguyên dương.

4

A 

đạt tại

52

4

B 

đạt tại

32

x 

Bài tập tự luyện

Dấu bằng xảy ra khi y 0 x7 0  x7

Vậy minA 2 đạt tại x 7

2

2 2

4

B 

đạt tại x1,x3

c) Ta có

2 2

16

C 

đạt tại

12

2

x x

Dấu bằng xảy ra khi 2 x x2  0 (x1)(2 x) 0    1 x 2

Vậy minB 3 đạt được khi   1 x 2

Vậy

1min

8

A 

đạt khi

1.2

Vậy

1min

4

A 

đạt khi

1.2

2 1 1 110







 Ví dụ 1 Lời Ví dụ 1 giải

4

9

x x

23

x 

.b) Ta có

1

x x



 1

Dấu bằng xảy ra khi x  1 0 x 1Vậy minB 1 đạt tại x  1

Ta có

2 2 2

4

x x



 

 4

Dấu bằng xảy ra khi

14