TỰ học TOÁN 8 PHẦN 1 ( Câu Hỏi và có lời giải chi tiết)

Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ……….... Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức ………... A- Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức ………B- T

TỰ HỌC TOÁN 8 MỤC LỤC PHẦN 1 ĐẠI SỐ CHƯƠNG 1: Phép nhân và phép chia đa thức

1 Nhân đa thức ………

A- Lý thuyết ………

B- Bài tập ………

2 Các hằng đẳng thức đáng nhớ ………

3 Phân tích đa thức thành nhân tử ……….……

A- Tóm tắt lý thuyết………

B- Phân loại các dạng toán và phương pháp giải………

C- Bài tập tự luyện ………

4 Chia đa thức………

A- Tóm tắt lý thuyết ………

B- Phân loại các dạng toán và phương pháp giải………

C- Bài tập tự luyện ………

CHƯƠNG 2: Phân thức đại số 1 Tính chất cơ bản của phân thức, rút gọn phân thức………

A- Tóm tắt lý thuyết ………

B- Ví dụ………

2 Các phép tính về phân thức………

A- Tóm tắt lí thuyết ………

B- Các dạng toán ………

C- Bài tập tự luyện ………

3 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ………

A- Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử ………

B- Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử ………

C- Phương pháp hệ số bất định ………

D- Phương pháp xét giá trị riêng ………

E- Bài tập ………

4 Tính chia hết của số nguyên ………

A- Chứng minh quan hệ chia hết ………

B- Tìm số dư ………

C- Tìm điều kiện để chia hết ………

D- Bài tập ………

5 Tính chia hết đối với đa thức ……….…

A- Tìm dư của phép chia mà không thực hiện phép chia ………

B- Sơ đồ Hoóc-ne ………

C- Chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức khác ………

D- Bài tập ………

CHƯƠNG 3: Phương trình bậc nhất một ẩn 1 Khái niệm về phương trình Phương trình bậc nhất ………

2 Phương trình tích ……… ………

3 Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức ………

A- Tóm tắt lí thuyết ………

B- Các ver ve ………

C- Bài tập tự luyện ………

4 Giải bài toán bằng cách lập phương trình ………

CHƯÓNG 4: Bất phương trình bậc nhất 1 Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, phép nhân ………

A- Tóm tắt lí thuyết ………

B- Một số ví dụ ………

2 Bất phương trình bậc nhất một ẩn ………

A- Tóm tắt lí thuyết ………

B- Các dạng toán ………

3 Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ……… ……

A- Tóm tắt lí thuyết ………

B- Một số ví dụ ………

4 Bất phương trình chứa ẩn trong dấu trị tuyệt đối ………

A- Tóm tắt lí thuyết ………

B- Một số ví dụ ………

5 Bất phương trình tích Bất phương trình thương ………

A- Tóm tắt lí thuyết ………

B- Một số ví dụ ………

6 Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức ……….……

A- Các tính chất của bất đẳng thức ……… …

B- Các hằng bất đẳng thức ……… …

C- Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ……… …

D- Bất đẳng thức với số tự nhiên ……….……

E- Vài điểm chú ý khi chứng minh bất đẳng thức ………

D- Áp dụng chứng minh bất đẳng thức vào giải phương trình ………

7 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức ………

A- Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức ………

B- Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa một biến ………

C- Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức có quan hệ ràng buộc giữa các biến

D- Các chú ý khi tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lón nhất của một biểu thức ………

E- Bài toán cực trị với số tự nhiên ………

PHẦN 2 HÌNH HỌC CHƯƠNG 1: Tứ giác 1 Tứ giác ………

A- Tóm tắt lí thuyết ………

B- Một số bài tập ………

2 Hình thang ………

A- Tóm tắt lí thuyết ………

B- Các dạng toán ……….……

3 Dựng hình bằng thước và com pa ……….…

A- Bài tập ……….………

4 Đối xứng trục ……… ……

A- Tóm tắt lí thuyết ………

B- Các dạng toán ……….…

C- Bài tập tự luyện ………

5 Hình bình hành ………

A- Tóm tắt lí thuyết ………

B- Các dạng toán ………

C- Bài tập tự luyện ……….………

6 Đối xứng tâm ……… ………

A- Tóm tắt lí thuyết ………

B- Bài tập ………

7 Hình chữ nhật ………

A- Tóm tắt lí thuyết ………

B- Bài tập ………

8 Hình thoi ………

A- Tóm tắt lí thuyết ………

B- Các dạng toán ………

9 Hình vuông ……….…

A- Tóm tắt lí thuyết ………

B- Các dạng toán ………

CHƯƠNG 2: Đa giác – Diện tích đa giác

1 Đa giác ……… …

A- Tóm tắt lí thuyết ………

B- Bài tập ………

2 Diện tích của đa giác ……… ………

A- Tóm tắt lí thuyết ………

B- Bài tập ………

CHƯƠNG 3: Chuyên đề 1 Tìm tập hợp điểm ……….……….……….……….…

A- Hai tập hợp bằng nhau ………

B- Các tập hợp điểm đã học ………

C- Ví dụ ……….…………

D- Thứ tự nghiên cứu và trình bày lời giải bài toán tìm tập hợp điểm ………

E- Phân chia các trường hợp trong bài toán tìm tập hợp điểm ………

F- Bài tập ……….…………

2 Sử dụng công thức diện tích để thiết lập quan hệ về độ dài của các đoạn thẳng ………

A- Các ví dụ ……….…

B- Bài tập ………

CHƯƠNG 4: Tam giác đồng dang 1 Định lý Ta-lét ……….………

A- Lí thuyết ……….………

B- Bài tập ……….…………

2 Định lý Ta-lét đảo ……… ……….…

A- Tóm tắt lí thuyết ………

B- Bài tập tự luyện ………

3 Tính chất đường phân giác của tam giác ……… ……

A- Tóm tắt lí thuyết ……….…

B- Bài tập tự luyện ……….….…

4 Các trường hợp đồng dạng của tam giác ………

A- Tóm tắt lí thuyết ……….…

B- Các dạng toán ……….……

Dạng 1 Trường hợp cạnh - cạnh - cạnh ………

Dạng 2 Trường hợp cạnh - góc - cạnh ………

Dạng 3 Trường hợp góc - góc ………

Dạng 4 Phối hợp các trường hợp cạnh - góc - cạnh và góc - góc ……… …

Dạng 5 Dựng hình ………

5 Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông ………

A- Các dạng toán ……….……

Dạng 1 Hai tam giác vuông đồng dạng ………

B- Tỉ số các đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng ………

C- Ứng dụng thực tế của tam giác đồng dạng ………

CHƯƠNG 5: Hình lăng trụ đứng Hình chóp đều 1 Hình hộp chữ nhật ……….……

A- Tóm tắt lí thuyết ……….…

B- Các dạng toán ……….……

Dạng 1 Hình hộp chữ nhật ………

Dạng 2 Diện tích ……… ……

Dạng 3 Thể tích ……….…

Dạng 4 Các dạng khác ………

CHƯƠNG 6: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian 1 Hình lăng trụ đứng ………

A- Tóm tắt lí thuyết ………

B- Bài tập ……….……… …

2 Hình chóp đều Hình chóp cụt đều ………

A- Tóm tắt lí thuyết ………

B- Bài tập ……….……….…

C- Tính các đại lượng hình học bằng cách lập phương trình ……….…

3 Toán cực trị hình học ……….…

A- Bài toán cực trị ……….…

B- Các bất đẳng thức thường dùng để giải toán cực trị ……….…

C- Các chú ý khi giải toán cực trị ……… …

PHẦN I ĐẠI SỐ

6

Nhóm word hóa tài liệu PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA

Chương

1

c) 6264 43361

a) 3x n6x n 3 1 2x n9x n 3 1 18x2n 3 3x n 18x2n 3 2x n 5x n

.b) 5n1 4.5n 5.5n 4.5n 5n

156 56 24 x x 324

156 324 24  x56x

80x 480

x 6b) 5 3 x5 4 2 x 3 5x3 2 x121

Tính giá trị của các biểu thức

a) A x 3 30x2 31x1 tại x  31

b) B x 515x416x3 29x213x tại x 14

c)Cx14 10x1310x12 10x1110x210x10 tại x  9

Lời giải a) Vì x  nên 31 x  31 0 do đó ta biến đổi

x 

b)

3x2 2  x9  x2 6  x1   x1  x 6

6x231x18  6x213x2 7

1 8x 9

12

Cho dãy số

 11,3,6,10,15, , ,

 Bài 13

Cho a gồm 31 số 1 , số b gồm 38 số 1 Chứng minh rằng ab  chia hết cho 3.2

Lời giải

Vì a gồm 31 số 1 nên số a chia cho 3 dư 1

vì b gồm 38 số 1 nên số b chia cho 3 dư 2

Vì tích của hai số tự nhiên liên tiếp là một số chẵn và có số tận cùng là 0, 2,6

Do đó phần dư của tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia cho 3 là 0 hoặc 2  1

Lời giải

a) Ta có

29 27 1 2  23 221 219 217 214 210 29 27 1

nên (2 1)không là số nguyên tố.

Thực hiện phép nhân đa thức, ta được các hằng đẳng thức đáng nhớ sau:

n n 



.Hai kết quả trên có thể viết chung trong một công thức

 1( 1)

m n n

.Cách 2 Ta có

c) 3x12 2 3 x1 3 x5  3x52

.d) 3 1 3   21 3  41 3  81 3  161 3  321

.e) (a b c  )2(a b c  )2 2(b c )2

f) (a b c  )2(a b c  )2(b c a  )2(c a b  )2

g) (a b c d   )2(a b c d   )2(a c b d   )2(a d b c   )2

Lời giải a) 2 (2x x1)2 3x x 3 x 3 4 (x x1)2

c) Đặt a3x , 5 b3x 1

Biểu thức đã cho trở thành b2 2ba a 2 (a b )2 42 16

d) Nhân biểu thức đã cho với 3 1 , ta được 3641

Giá trị của biểu thức là

Hãy viết các số sau đây dưới dạng tích của hai số tự nhiên khác 1

a) 899

b) 9991

Lời giải a) 899 900 1 30   212 30 1 30 1     29 31

Theo câu a suy ra: a b c  0.

BÀI 30 Hãy viết các biểu thức sau dưới dạng tổng của ba bình phương:

c)

 2 2 22

2

a b c

Lời giải

a) Bình phương hai vế của a b c   , được0

a b c  ab bc ca    a b c  ab bc ca Bình phương hai vế của (1) ta được:

A 

khi

32

x 

.b) B(2x1)2(x2)2 5x255

Giá trị nhỏ nhất của là B  khi 5 x  0

BÀI 35 Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:

a )Nếu p và p  là các số nguyên tố thì 2 8 p  cũng là số nguyên tố.2 2

b) Nếu p và 8p  là các số nguyên tố thì 2 1 2p 1 cũng là số nguyên tố.

a) Xét p3k1 ( k nguyên) thì p   , là hợp số.2 8 3

Xét p3k2 thì p   , là hợp số.2 8 3

Lời giải

Lời giải Lời giải

Vậy p3k, mà p là số nguyên tố nên p 3

BÀI 42 Cho a b c   Chứng minh 0 a3b3c3 3abc.

Từ giả thiết a b c   0 c(a b ), thay vào đẳng thức cần chứng minh ta được

Vậy ta có điều phải chứng minh

BÀI 43 Cho x y a  và xy b tính giá trị của các biểu thức sau theo a và b

a) x2y2

b) x3y3

a) Cho x y 1 Tính giá trị của biểu thức x3y33xy.

b) Cho x y 1 Tính giá trị của biểu thức x3 y3 3xy

Lời giải

Lời giải

BÀI 46.

a) Cho x y  và 2 x2y2 10 Tính giá trị của biểu thức x3y3

b) Cho x y a  và x2y2  Tính giá trị của biểu thức b x3y3 theo a b,

d) Nếu mỗi số m và n đều là tổng của hai số chính phương thì tích m n cũng là tổng của hai

số chính phương

a) Giả sử n a 2b a b2( ,   Khi đó)

2n2a 2b (a b ) (a b )b) Giả sử 2n a 2b a b2( ,   Khi đó)

a) Ta có 9a 1 10 ,n b10n 5 9a Do đó6

ab a a   a  a  ab) Ta cần chứng minh mọi số có dạng  1

BÀI 55 Chứng minh rằng tích ba số nguyên dương liên tiếp không là lập phương của một số tự

nhiên

BÀI 58 Chia 18 quả cân có khối lượng 1 , 2 ,3 , ,182 2 2  2 gam thành ba nhóm có khối lượng bằng nhau.

Lời giải

Áp dụng các đẳng thức trên: Lần thứ nhất, chia sáu quả cân 1 , 2 , ,62 2  2 thành ba phần: A 12,4,

Lần thứ hai, chia sáu quả cân 7 ,8 , ,122 2  2 thành ba phần: B B, 12,B4

Lần thứ ba, chia chín quả cân 13 ,14 , ,182 2  2 thành ba phần: C4, ,C C12

Nhóm thứ nhất gồm các phần: A12, ,B C4 Nhóm thứ hai gồm các phần: A4,B12,C Nhómthứ ba gồm các phần: A B, 4,C12 Khối lượng mỗi nhóm đều bằng A B C  16 [ BÀI 59 Chia 27 quả cân có khối lượng 1 , 2 ,3 , , 272 2 2  2 gam thành ba nhóm có khối lượng bằng nhau

- Phối hợp nhiều phương pháp

Trong phạm vi bài viết này sẽ trình bày ba phương pháp đầu Bốn phương pháp còn lại sẽ trình bày

Ví dụ 5 Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Ví dụ 6 Xét hằng đẳng thức Lần lượt cho bằng rồi cộng từng vế đẳng thức trên để tính giá trị của

! Cần nhớ kết quả của câu 1) để vận dung vào giải toán để được kết quả nhanh nhất.

Khai triển hai hạng tử cuổi rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung

b) x32x22x1x31  2x22x x1 x2 x12x x 1  x1 x2 x 1

.c) x3 4x212x 27x3 27  4x212x

Vậy 1993199 chia hết cho 200

Bài 4 Tính giá trị của biểu thức sau, biết x3 x6

Bài 6 Phân tích thành nhân tử :

a) ab a b   bc b c  ac a c  

b) a b 2c2b c 2a2c a 2 b22abc

;c) a b a   2 b2b c b   2 c2c a c   2 a2

;d) a b c3  b c a3  c a b3  

Bài 9 Chứng minh rằng nếu a2b2 2ab thì a b

Bài 12 Xét hằng đẳng thức (x1)2 x2 2x Lần lượt cho 1 x1,n rồi cộng từng vế n đẳng

thức trên để tính giá trị của biểu thức

 12

Bài 14 Chứng minh rằng nếu a3b3c3 3abc và a b c, , là các số dương thì a b c 

Theo ví dụ 3 ở nội dung này Ta có: a3b3c3 3abca b c a    2b2c2 ab ac bc  

Vậy nếu a3b3c3 3abc và a b c, , là các số dương thì a b c 

Bài 15 Chứng minh rằng nếu a4b4c4d4 4abcd và a b c d, , , là các số dương thì

Vậy nếu a4b4c4d4 4abcd và a b c d, , , là các số dương thì a b c d  

Bài 16 Bằng phương pháp tương tự ở ví dụ 6 và bài tập trên Hãy tính giá trị của biểu thức

4S (n1)  1 n n n 1 2n1  2n n1

Lời giải Lời giải

được gọi là chia hết cho đa thức B x 

khác đa thức 0 nếu tồn tại đa thức Q x 

Ví dụ 1 Cho đa thức và đơn thức

a) Tìm số tự nhiên để đa thức chia hết cho đơn thức

b) Tìm thương trong trường hợp đó.

Ví dụ 2 Xác định các số hữu tỉ và để đa thức chia hết cho đa thức

Vậy với a3,b2 thì đa thức x3ax b chia hết cho đa thức x2 x 2, thương là x 1.

Vậy với a3,b2 thì đa thức x3ax b chia hết cho đa thức x2 x 2, thương là x 1.

Cách 3: (Phương pháp xét giá trị riêng)

Gọi thương khi chia đa thức x3ax b cho đa thức x2 x 2 là Q x 

Chia đơn thức cho đơn thức

Bài 2 Chứng minh rằng biểu thức A  15x y3 6 : 5 xy2

không âm với mọi giá trị của biến

Ta có A  15x y3 6 : 5 xy2 3x y2 4

Vì x 2 0 với mọi số thực x và y  với mọi số thực 4 0 y nên 3x y  với mọi 2 3 0 x y, .

Vậy biểu thức A  15x y3 6 : 5 xy2

không âm với mọi giá trị của biến

Bài 3 Chứng minh rằng giá trị của biểu thức 2 2 3 1    

Vậy giá trị của biểu thức B không phụ thuộc vào giá trị của biến y.

Bài 4 Tìm số tự nhiên n để đơn thức A4x y n1 2 chia hết cho đơn thức B3x y3 n1

Để đơn thức A chia hết cho đơn thức B thì

Vậy với n  hoặc 2 n  thì đơn thức 3 A chia hết cho đơn thức B.

Chia đa thức cho đơn thức

Vậy với n  hoặc 3 n  thì đa thức 4 A chia hết cho đơn thức B.

Chia đa thức cho đa thức

2 2

Vậy với a 15 thì 2x2 x a chia hết cho x 3

c) Giải tương tự câu a), câu b) ta được a 3.

Bài 11 Xác định hằng số a sao cho:

Vậy với a 12 thì 10x2 7x a chia hết cho 2x  3

b) Giải tương tự câu a) ta được a  5

c) Giải tương tự câu a) ta được a  4

Bài 12 Xác định các hằng số a b, sao cho:

2

2 2

4

44

Vậy với a0,b16 thì x4ax b chia hết cho x 2 4

b) Giải tương tự câu a) ta được a b  (tức là 0 a tùy

ˆ

,

y ba)

c) Giải tương tự câu a) ta được a6,b4

Bài 13 Xác định các hằng số a b, sao cho

1

1

Vậy với a b  thì 1 x4ax2b chia hết cho x2 x1

b) Giải tương tự câu a) ta được a1,b8

c) Giải tương tự câu a) ta được a3,b4

Lần lượt cho x  , 1 x 14 ta được a b c   và 6 a b c   (4)4

Muốn rút gọn một phân thức đại số, ta có thể:

- Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử;

- Chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung

1 Tìm giá trị , ,a b c để phân thức được xác định (tức là để mẫu khác 0).

  là phân số tối giản

Để chứng minh phân số đã cho là tối giản, ta sẽ chứng tỏ rằng tử và mẫu chỉ có ước chung là 1 Gọi d là ước của n32n và n43n21

Trong cả hai trường hợp, đẳng thức (1) đều đúng.

 Bài 1 Tìm giá trị của x để các phân thức sau bằng 0 :

Thay x 1 vào mẫu thức ta được ( 1) 4 ( 1)32( 1) 2  1 1 0 

Vậy x 1 thỏa yêu cầu bài

Với x 2 1 thay vào mẫu thức, ta được 1 10 9 0   nên loại

Với x 2 4 thay vào mẫu thức, ta được (4)210 4 9 0   nên x 2 thỏa yêu cầu bài

 là phân số tối giản

 Bài 7 Chứng minh rằng phân số

8

11

 Bài 10 Cho biết ax by cz   Rút gọn 0.

 Bài 12 Tính giá trị của biểu thức

x y A

x  ; c) 2

71

x  x ;

Lời giải

Lời giải

Lời giải

x x

Xét x2  4 8 x ; thử lại ta thấy 2 x 2 thỏa yêu cầu bài toán

 Bài 16 Tìm số hữu tỉ x để phân thức 2

101

3

37

14

19

Gọi số học sinh nam và nữ của hai lớp 8A theo thứ tự là a a và b, số học sinh nam và nữ của lớp 8B theo thứ tự làcvàd d