TỰ học TOÁN 8 PHẦN 3 ( Có lời giải chi tiết)

Chứng minh rằng nếu đa thức f x có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức ấy chia hết cho... và B x bằng nhau.Tập hợp các giá trị đó gọi là tập nghiệm của phương trình đã cho, và thường đ

khi và chi khi f a( ) =0

(túc là khi a là nghiệm của da thức)

 Ví dụ 2 Chứng minh rằng nếu đa thức f x( )

có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức ấy chia hết cho

Theo định lí Bê-du, số dư khi chia f x( )

cho x+1

bằng( )

1. Đa thức có bậc tử từ bậc hai trở lên

 Ví dụ 4 Tìm dư khi chia

7 5 3 1 cho  2 1

Để tìm dư trong trường hợp này, ta thường dùng các cách sau:

Cách 1 (Tách ra ở đa thức bị chia nhưng đa thức chia hết cho đa thức chia)

Dự án 1: Bài tập Toán 8

Gọi thương là Q x( )

, dư là ax b+

Ta có( ) ( ) ( )

2 1

x +, cần nhớ lai các hằng đẳng thức 8 và 9 :

Trở lại câu a) ở ví dụ trên (x3−5x2 + −8x 4 :) (x−2)

Các hệ số của đa thức bị chia thứ tự là 1 ,5,8, 4

Ta có thương bằng

2 3 2

x − +x

, số dư bằng 0

Sơ đồ của thuật toán trên được gọi là sở đồ Hoóc-ne

Bạn đọc hãy dùng sơ đồ trên để kiểm tra lại kết quả của các câu b) và c)

Như vậy nếu đa thức bị chia là

Từ đó, suy ra điều phải chứng minh.

4 Áp dụng sơ đồ Hoóc-ne để tính giá trị của đa thức f x( )

, với mọi số tự nhiên n

CHỨNG MINH MỘT ĐA THỨC CHIA HẾT CHO MỘT ĐA THỨC KHÁC

Dự án 1: Bài tập Toán 8

Chứng tỏ rằng mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia (ta công nhận rằng điều

này dẫn dến đa thức bị chia chia hết cho đa thức chia).

) Như vậy dư cần tìm là − +2x 7

Gọi thương khi chia f x( )

5, f x

chia cho (x−2) (x−3)

thì được thương là 3x và còn dư

Trước hết ta tìm dư khi chia f x( )

cho (x−2) (x−3)

Xét( ) ( 3) ( ) 7

f x = x− ×A x +

(1)

Dự án 1: Bài tập Toán 8

là 2x+1

Do đó f x( ) =3x x( −2) (x− +3) 2x+ =1 3x3−15x2+20x+1

.Cách 2 Từ (1) suy ra

x+ thì được thương là B x( )

và dư là số 1

r

Khi chia B x( )cho

1, Chứng minh rằng mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia.

không có nghiệm nguyên

Giả sử a là nghiệm nguyên của f x( )

và B x( )

bằng nhau.Tập hợp các giá trị đó gọi là tập nghiệm của phương trình đã cho, và thường được ký hiệu là S

2 Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm

3 Khi giải một phương trình, ta có thể

• Chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó

• Nhân (hoặc chia) cả hai vế với cùng một số khác 0

Khi đó phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

a b x

b a

=

−

Nếu a b=

thì phương trình nghiệm đúng với mọi x (nếu b=0

) hoặc vô nghiệm (nếu b≠0

Biến đổi phương trình thành (a2−b x b a b2) = ( − )

rồi giải tương tự như câu a

Bài 4 Giải các phương trình với tham số a b,

a≠ thì x=2

=+

Để giải (1), ta chỉ cần giải từng phương trình A x( ) =0;B x( ) = …0,

rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng

Dự án 1: Bài tập Toán 8

Dự án 1: Bài tập Toán 8

y y y

x y

x x x

thì x+ = −1 4

nên x= −5Vậy S= −{ 5;3}

Với y= −1

, ta có

11

x x

x x

Phương trình (1) là phương trình đối xứng bậc chẵn, phương trình (2) là phương trình đối xứng bậc

lẻ Phương trình đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng nhận x= −1

làm một nghiệm, do đó bằng cách chia hai vế cho x+1

, ta thu được phương trình đối xứng bậc chẵn 2n

Phương trình đối xứng bậc chẵn 2n đối với x đưa được về phương trình bậc n đối với y bằng

Cách 1 Nhân hai vế của ( )2

Trường hợp y= −3

suy ra

14

Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức:

• Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình

• Quy đồng mẫu thức ở hai vế của phương trình rồi khử mẫu thức

• Giải phương trình vừa nhận được

• Nghiệm của phương trình là các giá trị tìm được của ẩn thỏa mãn điều kiện xác định

Dự án 1: Bài tập Toán 8

x = không thỏa mãn

x= −

Giá trị này là nghiệm của phương trình đã cho nếu

( ) ( )

3

3 32

3

42

a a

Giải điều kiện (3), ta được a≠ −3

Giải điều kiện (4), ta cũng được a≠ −3

Dự án 1: Bài tập Toán 8

Nếu a≠ ±3

thì

32

1) ĐKXĐ của phương trình là:

1, 2

x≠ − x≠

.Biến đối phương trình, ta được

2 230

3) ĐKXĐ của phương trình là: x≠8,x≠5

.Biến đổi phương trình, ta được

2

2 10 005

6 x - 8 + x+ 2 x - 5 = -18 - x - 5 x - 8

x x

( ) ( ) ( ) ( )

  x - 4 x+1 + x+4 x - 1 = 2x - 2 2

2 = 0

⇔ −Vậy S =∅

5) ĐKXĐ của phương trình là: x≠ −1,x≠2

.Biến đổi phương trình, ta được

Dự án 1: Bài tập Toán 8

Lời giải

3 x - 2 - x+1 = -9 2x = -2

x = -1

⇔

⇔Vậy S =∅

32

x+1 x x - x+1 - x - 1 x x + x+1 = 3 2x = 3

Dự án 1: Bài tập Toán 8

Lời giải

38

x x+ 2 x - 2x+4 - x x - 2 x + 2x+4 = 6 16x = 6

a

a x

( ) ( ) ( )

a x a

=

−

Giá trị này là nghiệm của phương trình đã cho nếu:

211

1

a a

a a a

a S

-8a a

Suy ra phương trình vô nghiệm

 Bài 5 Giải các phương trình sau:

1) ĐKXĐ của phương trình là x a x b≠ , ≠

.Biến đổi phương trình, ta được

0

x - a +1 x - b - x - b+1 x - a = a -b+ a = a

b

⇔

⇔ =Kết luận11Equation Section (Next): Nếu b=0

thì phương trình có vô số nghiệm: x bất kỳ khác a

2

a a a a a a a

Dự án 1: Bài tập Toán 8

Lời giải

Nếu a≠ −1

thì

2 11

a x a

+

=+

1

11

1

11

1

11

a

a a

a

a a

a

a a

a

a a

a S a

Lời giải

( ) 2 ( 2 2 )

x = a+b a+b x - a +b x = 0

• Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.

• Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

• Lập phương trình biểu thị sự tương quan của các đại lượng

Bước 2 Giải phương trình

Bước 3 Chọn kết quả thích hợp và trả lời

 Ví dụ 1 Vào thế kỷ thứ III trước công nguyên, vua xứ Xi-ra-cút giao cho Ac-si-met kiểm tra xem

chiếc mũ bằng vàng của mình có pha thêm bạc hay không Chiếc mũ có trọng lượng 5 niutơn (theo đơn

vị hiện nay), khi nhúng ngập trong nước thì trọng lượng giảm đi 0,3 niutơn Biết rằng khi cân trong

nước, vàng giảm

120

trọng lượng, bạc giảm

110

trọng lượng Hỏi chiếc mũ chứa bao nhiêu gam bạc?

Dự án 1: Bài tập Toán 8

Lời giải

Lời giải

(vật có khối lượng 100 gam thì trọng lượng bằng 1 niutơn)

Gọi trọng lượng bạc trong mũ là x (niutơn) (0< <x 5)

Trọng lượng vàng trong mũ là 5 x−(niutơn) Khi nhúng ngập trong nước, trọng lượng bạc giảm 10

* Khi giải toán bằng cách lập phương trình, ngoài ẩn đã chọn, đôi khi người ta còn biểu thị nhũng đại lượng chưa biết khác bằng chữ Điều lý thú là các chữ đó tuy tham gia vào quá trình giải bài toán nhưng chúng lại không có mặt trong đáp số của bài toán Ta xét ví dụ dưới đây:

 Ví dụ 2 Một người đi một nửa quãng đường AB với vận tốc 20 km / h

, và đi phần còn lại với vận tốc 30 km / h

Tính vận tốc trung bình của người đó trên toàn bộ quãng đường

Gọi vận tốc trung bình phải tìm là x  km / h (, x >0)( )

Ta biểu thị một nửa quãng

đường AB là a km  ( a >0)

Thời gian người đó đi nửa đầu của quãng đường là

a20

giờ, thời gian

đi nửa quãng đường là

a 30

Vận tốc trung bình là 24 km / h

Lưu ý:

• Nếu vận tốc trên nửa đầu của quãng đường là a km / h

, vận tốc trên nửa sau là b km / h

thì vận tốc trung bình trên cả quãng đường bằng

Đại lượng này được gọi là trung bình điều hòa của a và b

• Trung bình điều hòa của hai số dương a và b nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của hai

 Bài 1 Hỡi khách qua đường, cho hay Đi-ô-phăng thọ bao nhiêu tuổi?

Biết thời thơ ấu của ông chiếm

16

cuộc đời

1

12

cuộc đời tiếp theo là thời thanh niên sôi nổi

Đến khi lập gia đình thì lại thêm

17

cuộc đời

5 năm nữa trôi qua, và một cậu con trai đã được sinh ra

Nhưng số mệnh buộc con chỉ sống bằng nửa đời cha

Ông đã từ trần 4 năm sau khi con mất

Dự án 1: Bài tập Toán 8

Lời giải

Lời giải

Lời giải

Đi-ô-phăng thọ bao nhiêu hãy tính cho ra?

Gọi số tuổi của Đi-ô-phăng là x x, ( >0)

vậy Đi-ô-phăng thọ 84 tuổi

 Bài 2 Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng nếu viết thêm một chữ số 1 vào đằng trước và một

chữ số 1 vào đằng sau thì số đó tăng gấp 21 lần

Gọi số tự nhiên có bốn chữ số là x abcd x= ,( >0)

Sau khi thêm chữ số 1 vào đằng trước và chữ số

1 vào đằng sau thì số mới là: 1abcd1, có giá trị là 100001 10+ ×abcd =100001 10+ x

.Theo đề bài ta có phương trình

100001 10+ x=21x

Giải ra ta được x=9091

Vậy số cần tìm là 9091

 Bài 3 Tìm một số tự nhiên có sáu chữ số, biết rằng chữ số tận cùng của nó bằng 4 và nếu chuyển

chữ số 4 đó lên vị trí chữ số đầu tiên thì số phải tìm tăng gấp 4 lần

Gọi số tự nhiên có sáu chữ số cần tìm là x abcde= 4,(x>0)

Sau khi chuyển chữ số 4 lên vị trí đầu

tiên, ta được số mới là 4abcde có giá trị là

x

x

Dự án 1: Bài tập Toán 8

Lời giải

Lời giải

Giải ra ta được x=102564

Vậy số tự nhiên cần tìm là 102564

 Bài 4 Tính tuổi của hai mẹ con hiện nay, biết rằng cách đây 4 năm thì tuổi mẹ gấp 5 lần tuổi con,

sau đấy 2 năm thì tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con

Gọi số tuổi của mẹ hiện nay là x x,( >0)

Cách đây 4 năm, số tuổi của mẹ là x−4

Theo đề bài, ta có tuổi của con 4 năm trước là

45

và số tuổi của mẹ sau 2 năm nữa (dối với hiện tại) là x+2

.Theo đề bài, ta lại có

Vậy tuổi của mẹ là 34 và tuổi của con là 10

 Bài 5 Một hình chữ nhật có chu vi bằng 320 m Nếu tăng chiều dài 10 m, tăng chiều rộng

20 m

thì diện tích tăng

2

2700 m

Tính độ dài mỗi chiều

Gọi chiều dài hình chữ nhật là x( ) m ,(160> >x 0)

(x+10 160) ( − +x 20) (=x 160− +x) 2700

Giải ra ta được x=90

Vậy chiều dài hình chữ nhật là 90 m, chiều rộng hình chữ nhật là 70 m

Dự án 1: Bài tập Toán 8

Lời giải

Lời giải

 Bài 6 Một ca nô tuần tra đi xuôi khúc sông từ A đến B hết 1 giờ 10 phút và đi ngược dòng từ B

về A hết 1 giờ 30 phút Tính vận tốc riêng của ca nô, biết rằng vận tốc dòng nước là 2 km / h

Gọi vận tốc riêng của ca nô là x( km / h , () x>0)

, suy ra vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là x+2

, khi ngược dòng là x−2

Đổi đơn vị: 1 giờ 10 phút

76

=

giờ, 1 giờ 30 phút

32

Vậy vận tốc riêng của ca nô là 16 km / h

 Bài 7 Một người đi từ A dến B với vận tốc 24 km / h rồi đi tiếp từ B đến C với vận tốc

32 km / h

Tính quãng đường AB và BC, biết rằng quãng đường AB dài hơn quãng đường BC

là 6 km và vận tốc trung bình của người đó trên cả quãng đường AC là 27 km / h

Gọi quãng đường AB là x( km () x>6)

x−

, thời

gian đi hết đoạn đường AC là

627

Lời giải

Giải ra ta được x=30

Vậy quãng đường AB dài 30 km, quãng đường BC dài 24 km

 Bài 8 Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC, đoạn nằm ngang CD, đoạn xuống dốc

DB

, tổng cộng dài 30 km Một người đi từ A đến B rồi từ B về A hết tất cả 4 giờ 25 phút Tính quãng đường nằm ngang, biết rằng vận tốc lên dốc (cả lúc đi lẫn lúc về) là 10 km / h, vận tốc xuốngdốc (cả lúc đi lẫn lúc về) là 20 km / h, vận tốc trên đường nằm ngang là 15 km / h

Gọi độ dài quãng đường AC CD DB, , lần lượt là a x b, , ( km ,( , ,) a x b>0)

Lời giải

Lời giải

 Bài 9 Lúc 8 giờ, An rời nhà mình để dến nhà Bích với vận tốc 4 km / h lúc 8 giờ 20 phút, Bích cũng rời nhà mình đến nhà An với vận tốc 3 km / h An gặp Bích trên đường, rồi cả hai cùng đi về nhà Bích Khi trở về dến nhà mình, An tính ra quãng đường mình đã đi dài gấp bốn lần quãng đường Bích đã đi Tính khoảng cách An dến nhà Bích

Gọi quãng đường từ nhà An đến nhà Bích là x( km ,() x>0)

x

Thời gian An đi từ nhà mình đến nơi hai người gặp nhau

344

x

Thời gian Bích đi từ nhà mình dến nơi hai người gặp nhau

43

x

An đi sớm hơn Bích 20 phút

13

=

giờnên ta có phương trình

4 3 34

x

Giải ra ta được x=3, 2

Vậy quãng đường từ nhà An đến nhà Bích dài 3, 2 km

 Bài 10 Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô cùng đi từ A đến B, khởi hành lần lượt lúc 7 giờ, 8 giờ, 9 giờ với vận tốc theo thứ tự bằng 10 km / h,30 km / h và

50 km / h

Đến mấy giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy

Dự án 1: Bài tập Toán 8

Lời giải

Gọi x là thời gian xe đạp đi, (x>2)

Suy ra thời gian xe máy và ô tô đi lần lượt là x−1

Vậy vào lúc 9 giờ 50 phút, xe ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy

 Bài 11 Người ta pha 3 kg nước nóng ở 90 C

o

với 2 kg nước lạnh ở 20 C

o

Tính nhiệt độ sau cùng của nước (bỏ qua sự mất nhiệt)

Gọi nhiệt độ sau cùng của nước là x (độ), (20< <x 90)

, nhiệt dung riêng của nước là c Nhiệt

lượng 3 kg nước nóng tỏa ra để giảm xuống còn x độ là: Q1=3 90c( −x)

 Bài 12 Có hai loại dung dịch muối I và muối II Người ta hòa tan 200 gam dung dịch muối I

và 300 gam dung dịch muối II thì được một dung dịch có nồng độ muối là 33% Tính nồng độ

Dự án 1: Bài tập Toán 8

Lời giải

Lời giải

muối trong mỗi dung dịch I và II, biết rằng nồng độ muối trong dung dịch I lớn hơn nồng độ muối trong dung dịch II là 20%

Gọi nồng độ muối trong dung dịch I là x x,( >0)

, suy ra nồng độ muối của dung dịch

Giải ra ta được x=0, 45 45%=

Vậy nồng độ muối trong dung dịch I và II lần lượt là 45% và25%

 Bài 13 Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì hoàn thành công việc đó trong 24 giờ Nếu

đội thứ nhất làm 10 giờ, đội thứ hai làm 15 giờ thì cả hai đội làm được một nửa công việc Tính thờigian mỗi đội làm một mình để xong công việc

Gọi số giờ đội I làm xong công việc là x (giờ), (x>0)

Suy ra 1 giờ đội đó làm được

10 15

24 2

x x

− +

=

 Bài 15 Trong một buổi họp mặt giữa hai lớp 8 A và 8 B, có tất cả 50 học sinh tham gia Các bạnlớp 8 B tính số người quen ở lớp 8 A và thấy rằng bạn Anh quen 11 ban, ban Bắc quen 12 ban, bạnChâu quen 13 bạn, và cứ như vậy dến bạn cuối cùng là bạn Yến quen tất cả các bạn của lớp 8 A Tính số học sinh mỗi lớp tham gia họp mặt

Vậy lớp 8 B có 20 học sinh, lớp 8 A có 30 học sinh.

 Bài 16 Một nông dân mang cam ra chợ, bán cho người khách thứ nhất

12

số cam và thêm

12

quả, bán cho người khách thứ hai

12

số cam còn lại và thêm

12

quả, bán cho người khách thứ ba

12

số cam còn lại và thêm

12

quả Cứ tiếp tục như vậy cho đến khi người khách thứ sáu mua xong thì

số cam vừa hết Tính tổng số cam mà người nông dân đem bán

Gọi x là số cam ban đầu của người nông dân, (x>0)

 Bài 17 Có ba cánh đồng cỏ như nhau, cỏ cũng luôn mọc đều như nhau trên toàn bộ mỗi cánh

đồng Biết rằng 9 con bò ăn hết số cỏ có sẵn và số cỏ mọc thêm của cánh đồng I trong 2 tuần, 6 con bò ăn hết số cỏ có san và số cỏ mọc thêm của cánh đồng II trong 4 tuần

a) Tính xem trên mỗi cánh đồng, số cỏ mọc thêm trong một tuần bằng mấy phần của số cỏ có san lúc đầu?

b) Bao nhiêu con bò ăn hết số cỏ có sẵn và số cỏ mọc thêm của cánh đồng III trong 6 tuần?

a)Gọi lượng cỏ ba đầu là a, tỉ lệ cỏ mọc thêm trong một tuần so với lượng cỏ ba đầu là x x, ( >0)

−

= (con)

Lời giải

Dự án 1: Bài tập Toán 8

 Bài 18 Bài toán của Niu-tơn Một cánh đồng cỏ mọc dày như nhau, cỏ luôn mọc đều như nhau

trên toàn bộ cánh đồng Biết rằng 12 con bò ăn hết cỏ trên

103

acrơ trong 4 tuần, 21 con bò ăn hết

cỏ trên 10 acrơ trong 9 tuần Hỏi bao nhiêu con bò ăn hết cỏ trên 24 acrơ trong 18 tuần ( 1 acrơ

(con)

 Bài 19 Một khách du lịch đi từ A dến B nhận thấy cứ 15 phút lại gặp một xe buýt đi cùng chiều vượt qua, cứ 10 phút lại gặp một xe buýt chạy ngược lại Biết rằng các xe buýt đều chạy với cùng một vận tốc, khởi hành sau những khoảng thời gian bằng nhau và không dừng lại trên đường (trên chiều từ A đến B cũng như trên chiều ngược lại) Hỏi cứ sau bao nhiêu phút thì các xe buýt lại lần lượt rời bến?

Lời giải

Lời giải

Dự án 1: Bài tập Toán 8

Giả sử người đó đi từ A

đến B rồi từ B trở về A, số xe buýt người đó gặp là 15 10

(phút)

 Bài 20 Trên quãng đường AB của một thành phố, cứ 6 phút lại có một chiếc xe buýt theo chiều

từ A dến B, và cũng cứ 6 phút lại có một chiếc xe buýt theo chiều ngược lại Các xe này chuyển động đều với cùng vận tốc như nhau Một khách du lịch đi bộ từ A dến B nhận thấy cứ 5 phút lại gặp một xe đi về phía mình Hỏi cứ bao nhiêu phút lại có một xe đi từ A vượt qua người đó?

Gọi x y, lần lượt là vận tốc của xe buýt và vị khách du lịch, ( ,x y>0)