De Toan chuyen vao 10 truong Le Khiet Quang Ngai nam hoc 20142015

+ Bài Hình học, nếu không có hình vẽ nhưng học sinh thực hiện các bước giải có logic và đúng thì cho nửa số điểm tối đa của phần đó.. Vẽ hình sai về mặt bản chất nhưng lời giải đúng thì [r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NGÃI TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

NĂM HỌC 2014-2015

Môn thi: Toán chuyên Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (1,5 điểm)

a) Cho biểu thức – – –

x x x

x x x x x Tìm tất cả các giá trị của x sao cho P > 2.

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = –x 2 và đường thẳng

(d): y = mx –1 (m là tham số) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x1 x2 2

Bài 2: (1,5 điểm)

a) Tìm tất cả cặp số nguyên dương (a; b) sao cho

2 2 2





a

ab là số nguyên.

b) Cho 3 số nguyên dương a b c, , thỏa điều kiện 2 = b +1a c và a 1 Tìm tất

cả các giá trị của c thỏa mãn đẳng thức đã cho

Bài 3: (2,5 điểm)

a) Cho x, y là các số thực thỏa mãn x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = 0

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x + y + 3

b) Giải phương trình: (x4)2 6 x33x 13

Bài 4: (3,5 điểm)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Trên cạnh BC lấy điểm E; đường thẳng qua B vuông góc với đường thẳng DE cắt DE tại H và cắt DC tại K Gọi M là giao điểm của DB và AH

a) Chứng minh ba điểm M, E, K thẳng hàng

b) Chứng minh E là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác CHM

c) Khi E di chuyển trên cạnh BC thì điểm H di chuyển trên đường nào ?

d) Khi MCH 30  0, tính độ dài của đoạn HK theo a

Bài 5: (1,0 điểm)

Cho 2014 số tự nhiên bất kỳ Chứng minh rằng trong số các số đó có một số chia hết cho 2014 hoặc có một số số mà tổng của các số ấy chia hết cho 2014

-HẾT -ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NGÃI TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

NĂM HỌC 2014-2015

HƯỚNG DẪN CHẤM

Môn thi: Toán chuyên

Bài 1: (1,5 điểm)

a) Cho biểu thức – – –

x x x

x x x x x Tìm giá trị của x

sao cho P > 2

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = –x 2 và đường thẳng

(d): y = mx –1 (m là tham số) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x1 x2 2

a) Với x  3

P

  

x x x

Vậy

4





           





x

x

0,25 điểm

0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P): y = –x 2 và đường thẳng (d):

y = mx –1 là –x2 = mx –1  x2 + mx –1 = 0 (*).

Hệ số a và c trái dấu nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm trái dấu

Vậy đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt

Gọi x1, x2 là hoành độ giao điểm  x1.x2 = –1

Do đó

2

0,25 điểm

0,25 điểm

Bài 2: (1,5 điểm)

a) Tìm tất cả cặp số nguyên dương (a; b) sao cho

2 2 2





a

ab là số nguyên.

b) Cho 3 số nguyên dương a b c, , thỏa điều kiện 2 = b +1a c và a 1 Tìm tất

cả các số c trong biểu thức đã cho

a) Với a = 1 không thỏa mãn Vậy a 2

ĐỀ CHÍNH THỨC

Để

2 2

2





a

ab là số nguyên thì a – 2 ab 2  2

 b(a2 – 2 ) = a ab( 2) 2( a b ) ( ab2)

 2(a + b)(ab 2) Do đó tồn tại số nguyên dương k sao cho:

2(a + b) = k(ab + 2)

Nếu k2 thì a + b  ab + 2  (a – 1)(b – 1) +1  0 vô lý

Vậy k = 1 thì 2(a + b) = ab + 2  (a – 2)(b – 2) = 2

Ta được:

    

    

  chọn được căp sô (4;3)

Vậy cặp số (a; b) cần tìm là (4; 3)

0,25 điểm 0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

b) Từ 2a b c1 (1)

Với a Z , a1 nên a 2 2 4a Từ (1) suy ra b là số nguyên dương

lẻ Giả sử b2n1 với n Z .

* Nếu c là số nguyên dương chẵn thì : c2m với m Z .Khi đó ta có:

( ) (2 1) (4 4 1) 4 1

với k Z  Suy ra 2a b c 1 4k 2 4 vô lý Do đó c là số nguyên dương lẻ.

* Ta đặt c2m1 với m N .Suy ra:

( 1)

 b A với A Z  và A lẻ Suy ra A là ước lẻ của b c1, tức là ước lẻ của 2a suy ra A 1

Ta có b c   1 b 1 c1 Vậy c 1 là giá trị cần tìm

0,25 điểm

0,25 điểm

Bài 3: (2,5 điểm)

a) Cho x, y là các số thực thỏa mãn x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = 0

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x + y + 3

b) Giải phương trình: (x4)2 6 x33x 13

a) Từ điều kiện: x 2 + 2xy + 7(x + y) + 2y 2 + 10 = 0

 x y 2 7x y  10 y2

x y2 7x y 10 0

 (x + y + 2)(x + y + 5)  0

 (S  1)(S + 2)  0

  2  S  1

Vậy Smin =  2 khi x =  5; y = 0

Smax = 1 khi x =  2; y = 0

0,25 điểm

0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm

b) Giải phương trình (x4)2 6 x33x 13 (1)

Điều kiện x33x 0 x0

* Nhận thấy x 0 không thỏa phương trình

* Vì thế (1) x28x 3 6 x33x 0

     

Đặt

3

 

t x

x với t 2 3

Ta có phương trình

6 8 0

4





     



t

t t

t

+ Với t 2 ta có

1 3

2

3





    



x x

x x

+ Với t 4 ta có

8 61 3

4

8 61

  

   

 



x x

Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm:

1; 3; 8 61; 8 61

0,25 điểm 0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

Bài 4: (3,5 điểm)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Trên cạnh BC lấy điểm E; đường thẳng qua B vuông góc với đường thẳng DE cắt DE tại H và cắt DC tại K Gọi M là giao điểm của DB và AH

a) Chứng minh ba điểm M, E, K thẳng hàng

b) Chứng minh E là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác CHM

c) Khi E di chuyển trên cạnh BC thì điểm H di chuyển trên đường nào ?

d) Khi MCH 30  0, tính độ dài của đoạn HK theo a

M

K

H

E

a) Chứng minh ba điểm M, E, K thẳng hàng

Ta có tứ giác ABHD nội tiếp (vì có tổng hai góc đối bằng 1800)

Nên ABDAHD450(góc nội tiếp cùng chắn AD)

Tứ giác DMHK có MDK MHK  4501350 1800

Do đó tứ giác DMHK nội tiếp

Suy ra DMK DHK(góc nội tiếp cùng chắn DK )

Mà DHK  900nên DMK  900

BDK có 3 đường cao DH, BC, KM mà DH và BC cắt nhau tại E nên E

là trực tâm của tam giác BDK

Do đó 3 điểm M, E, K thẳng hàng

0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

b) Chứng minh E là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác CHM

Ta có tứ giác CMBK nội tiếp nên có MCE MKB  ( góc nội tiếp cùng

chắn MB)

Ta cũng có tứ giác CEHK nội tiếp (vì có tổng 2 góc đối bằng 1800) nên

ECH MKH (góc nội tiếp cùng chắn EH)

Do đó MCE ECH  nên CE là phân giác của MCH

Chứng minh tương tự ta cũng có HE là phân giác của MHC

Suy ra E là giao điểm của hai đường phân giác trong của tam giác MCH

Vậy E là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác MCH

0,25 điểm 0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

c) Khi E di chuyển trên cạnh BC thì điểm H di chuyển trên đường

nào ?

Ta có ABDAHD450( góc nội tiếp cùng chắn cung AD)

mà AD = a cố định nên điểm H nằm trên cung chứa góc 450 dựng trên

đoạn thẳng AD

Khi E  B thì H  B, khi E  C thì H  C

Do đó khi E di chuyển trên cạnh BC thì điểm H di chuyển trên cung BC

chứa góc 450 dựng trên đoạn thẳng AD

0,25 điểm

0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm

d) Khi MCH  300, tính độ dài HK theo a

Khi MCH  300thì MCE MKH  MDE150Do đó CDE  300

 450

EKC

  nên ECK vuông cân tại C Suy ra CE = CK (1)

Ta có tam giác DHK vuông tại H nên HK = DK sin300 = 2

DK

(2)

Trong tam giác CDE vuông tại C nên CE = CD tan300 =

3 3

a

(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra:

HK =

0

0 tan 30

(1 tan 30 )

DK DC CK DC EC DC CD a

Vậy: HK =6(3 3)

a



0,25 điểm

0,25 điểm

Bài 5: (1,0 điểm)

Cho 2014 số tự nhiên bất kỳ Chứng minh rằng trong số các số đó có một số chia hết cho 2014 hoặc có một số số mà tổng của nó chia hết cho 2014

Gọi 2014 số tự nhiên đã cho là a a1, , ,2  a2014

Xét dãy S1a1

S2a1a2

S2014a1a2a2014

Chia tất cả các số hạng của dãy cho 2014 ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Nếu có một số hạng nào của dãy chia hết cho 2014 thì

bài toán được chứng minh

Trường hợp 2: Nếu không có số hạng nào của dãy chia hết cho 2014 thì

vì có tất cả 2014 phép chia mà số dư chỉ gồm 1, 2, , 2013 do đó theo

nguyên lý Dirichle có ít nhất hai số hạng của dãy có cùng số dư khi chia

cho 2014 Gọi hai số hạng đó là S i và S j

Không mất tính tổng quát, giả

sử 1 i j2014 thì

S a a a

S a a   a   a

Lúc đó S j  S i 2014  a i1   a j 2014

điều phải chứng minh

0,5 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

Ghi chú :

+ Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải, học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa Tổ chấm thảo luận thống nhất biểu điểm chi tiết cho các tình huống làm bài của học sinh

+ Bài Hình học, nếu không có hình vẽ nhưng học sinh thực hiện các bước giải

có logic và đúng thì cho nửa số điểm tối đa của phần đó Vẽ hình sai (về mặt bản chất) nhưng lời giải đúng thì không cho điểm

+ Điểm từng câu và toàn bài không làm tròn số

-HẾT -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NGÃI

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT

NĂM HỌC 2014-2015

Môn thi: Toán chuyên Thời gian làm bài: 150 phút

MA TRẬN ĐỀ

Phân

môn

Mức độ

BIẾT

THÔNG HIỂU

VẬN

Số

học

Biểu thức nguyên;

phương trình nghiệm

nguyên

2a 1,0 1,5 đ Tìm số thỏa mãn điều

kiện cho trước

2b 0,5

Đại

số

Căn thức Biến đổi đồng

nhất Hàm số 1a 1,0 1b 0,5

4,0 đ

1,5 Bất đẳng thức Giá trị lớn

nhất, nhỏ nhất 3a 1,0

Hình

học

Đường tròn, tứ giác nội

tiếp Tính toán; chứng

minh Tìm tập hợp điểm

4a,b 2,0

4c,d 1,5 3,5 đ

Nâng

cao Nguyên tắc Dirichlé, suyluận logic 5 1,0 1,0

ĐỀ CHÍNH THỨC