Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A3;5;0 và mặt phẳng.. Tìm tọa độ điểm đối xứng của A qua P.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CAO BẰNG KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG GIÁO VIÊN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016
Môn: TOÁN (http://tinhbg.violet.vn )
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI
(Đề gồm: 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y x3 mx24 có đồ thị (C m)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số khi m3
b) Tìm tất cả các giá trị của m để điểm cực đại, cực tiểu của (C m) và điểm M(1;10) thẳng hàng Câu 2 (1,0 điểm)
a) Cho số phức z thỏa mãn: (1i z i)( ) 2z2i Hãy tính w biết: z 22z 1
w
z
b) Giải phương trình 1
25x 51.5x 2 0 (x )
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân: 2
2
0
2 (sin x )
Câu 4 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;5;0)và mặt phẳng
( ) : 2P x3 - - 7y z 0 Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P) Tìm tọa độ điểm đối xứng của A qua (P)
Câu 5 (1,0 điểm)
a) Giải phương trình 3 cos5x2sin 3 cos 2x xsinx0 (x )
b) Cho tập A{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau chọn trong
A sao cho số đó chia hết cho 3
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Tam giác SAB đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Biết SD2a 3và góc tạo bởi
đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD) bằng 0
30 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC)
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 2)
Đường phân giác trong và đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ B lần lượt có phương trình
2x y 5 = 0 và 7 - x y 15 = 0 Tính diện tích tam giác ABC
Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
3 2
( , )
x y
Câu 9 (1,0 điểm) Cho các số thực x y z, , thỏa mãn x0,y0,z0 và x y z 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 16
P
x y z
_Hết _
Họ và tên thí sinh:……… ……… Số báo danh:………
Họ tên, chữ ký của giám thị 1:……… ………
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CAO BẰNG
HDC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG GIÁO VIÊN
ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016
Môn: TOÁN
(Hướng dẫn chấm có 06 trang)
I Hướng dẫn chung:
1 Điểm của bài thi theo thang điểm 10, phần lẻ được tính đến 0,25 điểm Giám khảo giữ nguyên điểm lẻ, không được làm tròn điểm
2 Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm
3 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng giải theo cách khác mà lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác thì vẫn cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định
II Đáp án và thang điểm:
1
Cho hàm số 3 2
4
y x mx có đồ thị (C m)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số khi m3
b) Tìm tất cả các giá trị của m để điểm cực đại, cực tiểu của (C m) và điểm M(1;10)
thẳng hàng
2,0
a)
Với m3, ta có y x3 3x24
* TXĐ: D
* Chiều biến thiên:
2
y x x, y' 0 x 0 hoặc x2
0,25
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-;0) và (2;+); Hàm số đồng biến trên
khoảng (0;2)
- Đồ thị hàm số đạt cực đại tại (2;0), cực tiểu tại (0;-4)
- Giới hạn:lim , lim
0,25
- Bảng biến thiên:
0,25
* Đồ thị:
0,25
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 3b)
2
0
3
x
x
0,25 Hàm số có cực đại, cực tiểuPT y'0có hai nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu
khi x qua các nghiệm đó 2
3
m
m
Với m0 (C m) có điểm CĐ, CT là
3
Để A B M, , (1;10)thẳng hàng thì AB AM, cùng phương
3
3
0
m
m
0,25
2
a) Cho số phức z thỏa mãn: 1iz i 2z2i Hãy tính w biết:
2
z z
w
z
b) Giải phương trình 1
25x 51.5x 2 0 (x )
1,0
a)
Ta có1iz i 2z2i 3i z 1 3i z i 0,25 Suy ra: w 1 3i w 10 0,25
b)
PT 25.25x 51.5x 2 0 Đặt t5x(t0), ta có phương trình:
2
1
2
t
t
0,25
x
Với t 2 5x 2 x log 25
0,25
3
Tính tích phân: 2
2
0
2 (sin x )
- Với
2
0 sin
x xdx
đặt
0
0,25
- Với
2 2
2xe dx x
ta đặt t x2 dt 2xdx Khi
2
x t x t 0,25
Trang 42 2 2
4 4 0
2xe dx x e dt t e t e 1
Vậy
2
4 1
I e
4
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;5;0)và mặt phẳng
( ) : 2P x3 - - 7y z 0 Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc
với (P) Tìm tọa độ điểm đối xứng của A qua (P)
1,0
Véc tơ pháp tuyến của mp(P) là n P 2;3; 1 0,25 Đường thẳng qua A và vuông góc với (P) nhận nlàm VTCP nên có phương
trình:
3 2
5 3
z t
0,25
Gọi B là điểm đối xứng của A qua (P), suy ra B thuộc Do đó
(3 2 ;5 3 ; )
Trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc (P) nên
10 3
Do đó B(-1; -1; 2)
0,25
5
a) Giải phương trình 3 cos5x2sin 3 cos 2x xsinx0 (x )
b) Cho tập A{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác
nhau chọn trong A sao cho số đó chia hết cho 3
1,0
a
TXĐ:
3 cos 5 sin 5 sin sin 0
cos 5 sin 5 sin
0,25
Nhận xét: Số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3
Các bộ số gồm 5 số có tổng chia hết cho 3 là: (0; 1; 2; 3; 6), (0; 1; 2; 4; 5), (0; 1;
3; 5; 6), (0; 2; 3; 4; 6), (0; 3; 4; 5; 6),(1; 2; 3; 4; 5), (1; 2; 4; 5; 6)
0,25
b
- Trong 5 bộ số có chứa số 0, mỗi bộ số tạo được số các số có 5 chữ số khác
nhau là: 4.4! 96 , do đó số chữ số có 5 chữ số tạo bởi 5 bộ số đó là:
5.96480;
- Số các số có 5 chữ số khác nhau tạo thành từ 2 bộ số cuối là: 2.5!240
Vậy số các số cần tìm là: 480 240 720 số
0,25
6
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Tam giác SAB đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Biết SD2a 3và góc tạo
bởi đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD) bằng 0
30 Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC)
1,0
Trang 5C H
A
B
D S
I K
Gọi H là trung điểm của AB Suy ra SH (ABCD) và SCH 300
Ta có: SHC SHDSCSD2a 3
Xét tam giác SHC vuông tại H ta có:
0
0
0,25
Vì tam giác SAB đều mà SHa 3 nên AB2a Suy ra
2 2
BC HC BH a Do đó, 2
ABCD
S AB BC a
Vậy, . 1 4 3 6
S ABCD ABCD
a
0,25
Vì BA2HA nên d B SAC , 2d H SAC ,
Gọi I là hình chiếu của H lên AC và K là hình chiếu của H lên SI Ta có:
ACHI và ACSH nên ACSHI AC HK
Ta lại có: HKSI Do đó: HK SAC
0,25
Vì hai tam giác AIH và ABC đồng dạng nên
3
2 3
HI
BC AC AC AB BC a
Suy ra,
2
6 3
2 3
3
a a
HS HI HK
a
66 11
a
Vậy 2 66
11
a
d B SAC d H SAC HK
0,25
7
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 2) Đường
phân giác trong và đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ B lần lượt có phương trình
2x y 5 = 0 và 7 - x y 15 = 0 Tính diện tích tam giác ABC
1,0
Trang 6d
A'
A
Gọi d: 2 - x y 5 0 và d' : 7 - x y15 = 0
Tọa độ B là nghiệm của hệ: 2 5 0
x y
x y
⇒ B( 2; 1).
0,25
Gọi H là hình chiếu của A trên d : H t t( ;2 5) AH t( 1;2t3), u d(1; 2)
Ta có: AH u d 0 t 1 4t 6 0 t 1 H( 1;3)
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d A'( 3;4)
0,25
Khi đó A' BC, BA'( 1;3)
Phương trình BC: 2
1 3
Do C thuộc đường thẳng BC nên C(-2 - ; 1 3 )t t Gọi M là trung điểm AC
Ta có 1 3 3
;
M
M thuộc d’ nên 7(- -1) - (3t t 3) 300, suy ra t2, suy ra C(-4; 7)
0,25
Ta có: BA(3;1),BC( 2;6) BA BC 0 tam giác ABC vuông tại B
Vậy tam giác ABC có diện tích là
S BA BC
0,25
8
Giải hệ phương trình: 3
2
( , )
x y
Điều kiện: 4 x 1; y Ta có:
3 3 3
0,25
Xét hàm số f t ( ) 2 t3 t trên , ta có:
2
f t t t f đồng biến trên
Vậy
2
0 (1) ( ) ( 1 ) 1
1
y
f y f x y x
y x
0,25
Thế vào pt thứ 2 ta được 3 2 x 1 x 4 x 4 (2) Xét hàm số
g x x x x liên tục trên [4;1], ta có 0,25
Trang 71 1 1
g x
, x ( 4;1) g x ( ) nghịch biến trên [4;1] Lại có g ( 3) 4 nên x 3 là nghiệm duy nhất của
phương trình (2)
Với x 3 suy ra y 2.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ; ) x y ( 3;2) 0,25
9
Cho x y z, , 0 và x y z 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 16
P
x y z
1,0
Ta có: 3
3 3
* 4
x y
Dấu "=" xảy ra khi x y Thật vậy:
3
2
0
x y x y
( luôn đúng )
0,25
Áp dụng (*) ta có:
3
4
x y
P
Tức
1
16 4
P
1
4
P
0,25
Đặt z t,0 t 1
x y z
Suy ra 1 3 3
4
P f t t t t 0,25
Ta có 3 2 2
4
f t t t , 2 3 2 1
f t t t t
0;1
min
Dấu "=" xảy ra khi x y 4,z1
0,25