Chứng minh d Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên đường thẳng d... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2013-2014
Môn: Toán (Chuyên Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao
đề)
Bài 1 (2,0 điểm)
Cho biểu thức:
M
2 3
a) Tìm điều kiện của a b , để M xác định và rút gọn M.
b) Tính giá trị của M khi
22 2
1 3 2, 10
3
.
Bài 2 (2,0 điểm)
Cho phương trình x 2 x2 3 x 2 m 1 0
, m là tham số.
a) Tìm điều kiện của m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt x x x1, ,2 3.
b) Tìm giá trị của m để x12 x22 x32 11
Bài 3 (4,0 điểm)
Cho đường tròn (O), đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D Từ điểm M tùy
ý trên d kẻ các tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm) Gọi I là trung điểm của CD.
a) Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp.
b) Các đường thẳng MO và AB cắt nhau tại H Chứng minh MHC= MDO
c) Các đường thẳng MD và AB cắt nhau tại K Chứng minh
HC KC
=
HD KD .
d) Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên đường thẳng d.
Bài 4 (1,5 điểm)
Cho 3 số thực x y z , , 0 thoả mãn
1 2 3
6
x y z và biểu thức P x y 2 z3 a) Chứng minh P x 2 y 3 z 3
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 5 (0,5 điểm)
Giải phương trình: 3 1 x 3 3 3 x 28 x2 12 x 9
HẾT
Họ và tên thí sinh: Số báo danh: .
Trang 2Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013-2014 Môn: TOÁN (Chuyên Tin)
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Hướng dẫn chấm này gồm 4 trang)
Câu 1
(2,0đ)
a)
M
ĐK xác định của M:
0,25
M
0,25
b) Ta có
3
a
Với
22 2
3
1 3 2
b a
2
6 4 2 17
0,25
Vậy 3 b 6 4 2 2 2 2 2 2
Từ đó ta có M 2 2 2 2 0,25
Câu2
(2,0đ)
a)
2
2
x
x x m
0,25
Để pt (1) có 3 nghiệm phân biệt thì pt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 2 0,25
Điều kiện là
m
m
0,5
b) Ta có 3 nghiệm của pt (1) là x1 2; ; x x2 3 trong đó x x2; 3 là 2 nghiệm của
pt (*)
0,25
Khi đó x12 x22 x32 11 4 x2 x32 2 x x2 3 11 x2 x32 2 x x2 3 7 (**) 0,25
Áp dụng định lý Vi-ét đối với pt (*) ta có
2 3
2 3
3
Vậy (**) 9 2 2 m 1 7 m 1
(thỏa mãn điều kiện)
0,5
Trang 3Vậy m 1 là giá trị cần tìm.
Câu 3
(4,0đ)
a) MA, MB là các tiếp tuyến của (O)
I là trung điểm của CD OI CD MIO =90 0 0,25 A, I, B cùng thuộc đường tròn đường kính MO 0,25 Tứ giác MAIB nội tiếp đường tròn đường kính MO. 0,25 b) MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
OA = OB MO là đường trung trực của AB
MO AB
MH.MO = MB2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1)
0,25
MBC= MDB
2
sđBC
ΔMBC đồng dạng với ΔMDB (g.g)
MB MD
=
MC MB MC.MD = MB2 (2)
0,25
Từ (1) và (2) MH.MO = MC.MD
MC MO
=
MH MD ΔMCHđồng dạng với ΔMOD (c.g.c)
MHC= MDO
0,5
c) MHC= MDO (chứng minh trên)
tứ giác HCDO nội tiếp
Như vậy CHK =90 0 MHC=900 MDO=90 0 OCD (vì ΔCOD cân tại O) 0,5
A
M
D B
O H
Q d
Trang 4= 900 OHD (vì tứ giác HCDO nội tiếp)
= DHK
HK là đường phân giác của ΔCHD
HC KC
=
HD KD ( tính chất đường phân giác trong tam giác).
0,25
d) Gọi Q là giao điểm của AB và OI
Hai tam giác vuông MIO và QHO có IOH chung
ΔMIOđồng dạng với ΔQHO
0,25
MO OQ
=
OI OH
2 2
OH.OM OA R
OI OI OI (R là bán kính (O) không đổi)
0,25
O, I cố định độ dài đoạn OI không đổi
độ dài đoạn OQ không đổi
lại có Q thuộc tia OI cố định
Q là điểm cố định đpcm.
0,5
Câu 4
(1,5đ)
a) Ta có
y 1 2 z 2 z 1 2 0 (1)
Vì y 1 2 0; z 1 2 0; z 2 0
vì z 0theo giả thiết Vậy bđt (1) đúng
Ta có đpcm
0,5
b) Theo câu a) ta có
(vì
6
x y z theo giả thiết), hay
0,25
Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương ta có
(2)
0,25
Do đó P 2 4 6 9 3
Dấu “=” xảy ra khi các dấu “=” ở (1) và (2) xảy ra x y z 1
Vậy GTNN của P là 3, đạt được khi x y z 1
0,25
Câu 5
(0,5đ)
Ta có
2
1 0
x
Với điều kiện trên, bình phương 2 vế
0,25
Trang 5của phương trình ta được 9 x 9 27 27 x 18 3 1 x2 28 x2 12 x 9
18 3 1 x2 28 x2 6 x 27 9 3 3 x2 18 3 3 x2 x2 6 x 0
Đặt
2
t x t , pt trở thành
Ta có pt (3) vô nghiệm vì VT(3) 0do t 0 còn VP(3) 0 do 1 x 1
Xét pt (2)
2
3 3 3
28
Kết luận: Pt đã cho có nghiệm duy nhất
27 28
x
0,25
Lưu ý: Các cách giải khác mà đúng cho điểm tương đương theo từng phần như hướng dẫn chấm.