Lấy 1 điểm M trên cung nhỏ BC và gọi D,E,F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA,AB.. Gọi P là giao điểm MB với DF , Q là giao điểm MC với DE..[r]
Trang 1Năm học: 2015-2016
Ngày thi: 01/12/2015
MÔN THI: TOÁN
Bài 1: (3đ)
B CMR A=10 và B>A
Bài 2: (5đ)
a) Giải pt: x2+4x+5=2 2x3 b) Tìm các nghiệm nguyên của pt: 2x2+4x=19-3y2
Bài 3: (5đ)
a) CMR nếu ba số a,a+k,a+2k đều là số nguyên tố lớn hơn 3 thì k 6
b) Cho a, b, c là các số thực dương sao cho ac, bc CMR: c a c c b c ab
Bài 4: (3đ) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=3
4AC, đường phân giác BD cắt đường phân giác CE ở I Gọi M là trung điểm của BC CMR:
Bài 5: (4đ) Cho đường tròn (O) và điểm A ở bên ngoài (O) Từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC với (O) (B,C là các tiếp điểm ) Lấy 1 điểm M trên cung nhỏ BC và gọi D,E,F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA,AB Gọi P là giao điểm MB với DF , Q là giao điểm MC với DE CMR:
…… /……
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: (3đ)
Ta có:
1 1
n n
=>A= 1 2 2 3 3 4 120 121 1 121 1 11 10
=>B >2 1 2 2 2 22 32 32 4 2 35 2 36 2 1 2 36 2 12 10
=> B>A
Bài 2: (5đ)
a) x2+4x+5=2 2x3 (ĐK: 3
2
x )
2 2
1
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=-1
b) 2x2+4x=19-3y22(x+1)2 +3y2 =21 (*) => 3y221 =>y27 , mà yZ => y20;1; 4
-Nếu y2=0 hay y=0 thì (*)2(x+1)2 =21 2 21
1 2
x
Trang 22 1
1
2 1
2 1
E
D I
M B
-Nếu y2
=4 hay y=2 thì (*)2(x+1)2 =9 2 9
1 2
x Z(loại) Vậy pt có bốn nghiệm nguyên (x;y) là (1;2) ;(1;-4) ; (-1;2) ;(-1;-4)
Bài 3: (5đ)
a) CMR nếu ba số a,a+k,a+2k đều là số nguyên tố lớn hơn 3 thì k 6
Vì a là số nguyên tố lớn hơn 3 => a là số lẻ và a không chia hết cho 3 => a=3p 1 (với p N)
Vì a là số lẻ mà a+k là số nguyên tố => k là số chẵn => thì k 2 (1)
Nếu k không chia hết cho 3 => k=3q1 ( với qN)
-Xét trường hợp: a= 3p+1,
+ Nếu k=3q+1 thì a+2k=3p+3q+3 3 => a+2k là hợp số (loại)
+Nếu k=3q-1 thì a+k=3p+3q 3 => a+k là hợp số (loại)
Xét trường hợp: a= 3p-1,
+ Nếu k=3q-1 thì a+2k=3p+3q-3 3 => a+2k là hợp số (loại)
+Nếu k=3q+1 thì a+k=3p+3q 3 => a+k là hợp số (loại)
Vậy k 3 (2)
Vì (2;3)=1 nên từ (1) và (2) suy ra k k 6
b) Với a, b, c là các số thực dương sao cho ac, bc Theo BĐT Cô-si cho hai số không âmTa có:
.2 1
c a c c b c c a c c b c c a c c b c
c a c c b c a b
b a a a b b a b
1
c a c c b c
nên => c a c c b c ab
Bài 4: (3đ) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=3
4AC, đường phân giác BD cắt đường phân giác CE ở I Gọi M là trung điểm của BC CMR:
a)CMR: CD=CM
Đặt AC= 4a>0 => AB= 3
Theo tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:
BC
a
b) CMR :BIM 900
Ta có DCI=MCI (c-g-c) => D2=M2 =>D1=M1,
lại có B1=B2 => ABD IBM
Bài 5: (4đ) Cho đường tròn (O) và điểm A ở bên ngoài (O) Từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC với (O) (B,C là các tiếp điểm ) Lấy 1 điểm M trên cung nhỏ BC và gọi D,E,F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA,AB Gọi P là giao điểm MB với DF , Q là giao điểm MC với DE CMR
a)CMR: MD2=ME.MF
BDM+BFM=1800 => Tứ giác BDHF nội tiếp
Trang 32 2
2
1
1
1
2
1
Q P
E
D
F
C
B
M
CDM+CEM=1800 => Tứ giác BDHF nội tiếp
Ta có : D1=B1=C1=E1 ;
D2=C2=B2=F2
suy ra MDFMED (g-g)
MF MD
b) CMR: PQ//BC
D1=B1=C1
và D2=C2=B2
=> PMQ+PDQ=PMQ+D1+D2
=PMQ+C1+B2 = 1800 ( tổng 3 góc của)
=> Tứ giác MPDQ nội tiêp => Q1=D1
mà D1=C1 suy ra Q1=C1 Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên PQ//BC