Định lý Ta-lét có nhiều ứng dụng trong giải toán hình học như: Các bài toán liên quan đến tỉ số các đoạn thẳng; các bài toán chứng minh hệ thức đoạn thẳng; các bài toán chứng minh nhiều [r]
Trang 1Đơn vị: Trường THCS Vĩnh Tường
Đối tượng học sinh bồi dưỡng: Lớp 8, 9
Số tiết: 6 tiết (2buổi)
Trang 2Thông qua việc vận dụng định lý Ta-lét vào giải toán ta có thể ôn lại cho họcsinh các tính chất về tỷ lệ thức các kỹ năng biến đổi đại số, chứng minh đẳng thức,giải phương trình, chứng minh đường thẳng song song, diện tích đa giác
Vận dụng định lý Ta-lét vào giải toán ngoài việc học sinh được rèn luyệncác kỹ năng toán học, chủ yếu còn được nâng cao về mặt tư duy toán học Các thaotác tư duy như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá, đặc biệt hoá, … thườngxuyên được rèn luyện và phát triển
2 Cơ sở thực tiễn.
Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy khả năng vận dụng định lý Ta-lét vàogiải bài toán của học sinh còn hạn chế Khi học về phần này, học sinh còn khókhăn:
- Việc sử dụng các kỹ năng về biến đổi đại số vào hình còn lúng túng haymắc sai lầm
- Kỹ năng phân tích giả thiết, kết luận của bài toán để vẽ thêm yếu tố phụ,tìm lời giải cho bài toán còn chậm và hạn chế
- Khả năng vận dụng bài toán này cho bài toán khác, kỹ năng chuyển đổi bàitoán, khai thác bài toán theo hướng đặc biệt hoá, khái quát hoá chưa cao
- Học sinh chưa có thói quen tổng hợp và ghi nhớ những tri thức phươngpháp qua từng bài toán, dạng toán
3 Kết luận khái quát.
Nhận thức rõ được vị trí và tầm quan trọng của định lý Ta-lét trong chương
trình Toán THCS từ đó ý tưởng về chuyên: “Định lý Ta-lét và ứng dụng” ra đời.
Thông qua thực tế giảng dạy kết hợp với bồi dưỡng học sinh giỏi và một số sáchviết chuyên đề của các nhà giáo khác, tôi nghiên cứu và thực hiện đề tài này
Những năm gần đây, trong các kỳ thi giao lưu HSG lớp 8,9 cấp huyện, kì thichọn HSG lớp 9 cấp tỉnh và các kỳ thi tuyển sinh vào các lớp chuyên Toán, chuyênTin của các trường THPT chuyên thường xuất hiện các bài toán hình học có nộidung áp dụng định lý Ta-lét Đây không phải là một kiến thức mới, tuy nhiên đòihỏi học sinh phải có tư duy linh hoạt và cái nhìn nhạy bén thì mới áp dụng đượcnội dung định lý
Trang 3II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
Từ thực tế giảng dạy môn Toán cho đối tượng học sinh khá, giỏi tôi đã rút ra
được một số kinh nghiệm khi giảng dạy chuyên đề: “Định lý Ta-lét và một số ứng
dụng” với mục đích áp dụng kinh nghiệm này trong giảng dạy để giúp học sinh :
- Nắm vứng nội dụng định lý Ta-lét trong tam giác và định lý Ta-lét tổngquát
- Trang bị cho học sinh một cách có hệ thống các dạng bài tập và phươngpháp giải Qua đó rèn luyện cho học sinh các kỹ năng tính toán, vẽ hình, phân tích,suy luận, tổng hợp,…
- Rèn luyện và phát triển cho học sinh các phẩm chất trí tuệ, các thao tác tưduy: So sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hoá,…
Trang 4PHẦN 2: NỘI DUNG
I – GIỚI THIỆU VỀ TA- LÉT
Thalès de Milet hay theo phiên âm tiếng Việt
là Ta-lét ( tiếng Hy Lạp: ΘαλῆςὁΜιλήσιος;
khoảng 624 TCN – khoảng 546 TCN ), là một triết
gia , một nhà toán học người Hy Lạp sống
trước Socrates , người đứng đầu trong bảy nhà hiền
triết của Hy Lạp Ông cũng được xem là một nhà
triết gia đầu tiên trong nền triết học Hy Lạp cổ đại,
là "cha đẻ của khoa học" Tên của ông được dùng
để đặt cho một định lý toán học do ông phát hiện
ra
Ta-lét sống trong khoảng thời gian từ năm 624 TCN– 546 TCN, ông sinh ra
ở thành phố Miletos, một thành phố cổ trên bờ biển gần cửa sông Maeander(của Thổ Nhĩ Kỳ).Tuổi thọ của ông không được biết một cách chính xác Có hainguồn: một nguồn cho là ông sống khoảng 90 tuổi, còn một nguồn khác cho là ôngsống khoảng 80 tuổi
Trước Ta-lét, người Hy Lạp giải thích nguồn gốc tự nhiên của thế giới, vạn
vật qua các câu truyện thần thoại của chúa trời, của các vị thần và các anh hùng.
Các hiện tượng như sấm , sét hay động đất được cho là do các vị thần trong tự
nhiên.Ông quan niệm toàn bộ thế giới của chúng ta được khởi nguồn từ nước.Nước là bản chất chung của tất cả mọi vật, mọi hiện tượng trong thế giới Mọi cáitrên thế gian đều khởi nguồn từ nước và khi bị phân hủy lại biến thành nước
Với quan niệm nước là khởi nguyên của thế giới, của mọi sự vật, hiện tượng Ông
đã đưa yếu tố duy vật vào trong quan niệm triết học giải thích về thế giới Thế giớiđược hình thành từ một dạng vật chất cụ thể là nước chứ không phải do chúa trờihay các vị thần
Định lý Ta-lét:
- Hai đường thẳng song song định ra trên hai đường thẳng giao nhau những đoạnthẳng tỷ lệ
- Góc chắn nửa đường tròn thì bằng một vuông
- Đường kính chia đôi đường tròn thành hai phần bằng nhau
- Hai góc đáy của tam giác cân thì bằng nhau
- Hai tam giác nếu có hai cặp góc đối và cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì bằngnhau
- Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau
Trang 5Ta-lét là người đầu tiên nghiên cứu về thiên văn học, hiểu biết về hiện tượng nhậtthực diễn ra do mặt trăng che khuất mặt trời.
Ông cũng nghĩ ra phương pháp đo chiều cao của các kim tự tháp Ai Cập căn cứvào bóng của chúng
Ta-lét được coi là người đầu tiên đặt vấn đề nghiên cứu về Sự sống ngoài Trái Đất.Ta-lét chết lúc già một cách đột ngột khi đang xem một thế vận hội Trên mộ ông
khắc dòng chữ: “Nấm mồ này nhỏ bé làm sao! Nhưng vinh quang của con người này, ông vua của các nhà thiên văn, mới vĩ đại làm sao”.
II - KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1 Đoạn thẳng tỉ lệ.
1.1.Tỉ số hai đoạn thẳng
- Tỉ số hai đoạn thẳng là tỉ số các độ dài của chúng với cùng một đơn vị đo
Như vậy tỉ số hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào đơn vị mà ta chọn.
- Tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng có các tính chất như của tỉ lệ thức giữa các số
*1 Tích các trung tỉ bằng tích các ngoại tỉ
AB A'B'
'D' ' '.CD
CD C'D' AB C A B *2 Có thể hoán vị các trung, ngoại tỉ:
AB CD A'B' C'D'
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh
của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên
Trang 6KL AB' AC ' AB' AC' BB' C 'C
AB AC B'B C 'C AB AC
2.2 Định lý đảo.
N u m t ế ộ đường th ng c t hai c nh c a tamẳ ắ ạ ủ
giác v à định ra trên hai c nh n y nh ng o n th ngạ à ữ đ ạ ẳ
tương ng t l thì ứ ỉ ệ đường th ng ó song song v iẳ đ ớ
tỉ lệ với 3 cạnh của tam giác đã cho
GT ABC, B'C ' BC(B' AB,C' AC)
KL AB' AC' B'C '
AB AC BC
Chú ý: Định lý Ta-lét thuận, đảo và hệ quả vẫn đúng trong
trường hợp đường thẳng a song song với một cạnh của
tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại:
3 Định lý Ta-lét tổng quát:
3.1 Định lý thuận:
Nhi u ề đườ ng th ng song song ẳ đị nh ra trên
hai cát tuy n b t k nh ng o n th ng t ế ấ ỳ ữ đ ạ ẳ ươ ng ng ứ
Trang 7Ta có thể chứng minh định lý này bằng cách qua A kẻ một đường thẳngsong song với d’ Đường thẳng này cắt b, c theo thứ tự tạiB '', C '' Dễ dàng chứngminh đượcAB'' A 'B', B''C '' B 'C ' Sau đó áp dụng định lý Ta-lét trong tam giác
Cho 3 đường thẳng a, b, c cắt hai cát tuyến d, d’
tại các điểm theo thứ tự; A, B, C và A’, B’, C’ thoả
mãn tỉ lệ thức:
' ' ' '
AB A B
BC B C mà 2 trong 3 đường thẳng a,
b, c là song song với nhau thì 3 đường thẳng a, b, c
song song với nhau
3.3 Hệ quả(các đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song)
Hệ quả 1: Nhiều đường thẳng đồng quy định ra trên hai đường thẳng song song
Hệ quả 2: Nếu nhiều đường thẳng không song song định ra trên hai đường thẳng
song song các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì chúng đồng quy tại một điểm
Trang 8Ta có thể chứng minh định lý bằng cách gọi giao điểm của hai đường thẳng d1, d2
là O Ta chứng minh d3 cũng đi qua O
Gọi C” là giao điểm của OC và đường thẳng b Ta chưng minh C' C'' Thật vậy,
vì AC//A’C’ nên hệ quả 1 ta có:
AB AC
A 'B'A 'C '' mà theo giả thiết ta có :
AB AC
A 'B'A 'C '
Từ đó suy ra C' C'' Hay d3 đi qua O hay ba đường thẳng d1, d2, d3 đồng quy
III – CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ TA-LÉT.
Định lý Ta-lét có nhiều ứng dụng trong giải toán hình học như: Các bài toán liên quan đến tỉ số các đoạn thẳng; các bài toán chứng minh hệ thức đoạn thẳng; các bài toán chứng minh nhiều điểm thẳng hàng, nhiều đường thẳng song song, nhiều đường thẳng đồng quy; các bài toán về diện tích, vận dụng để chứng minh định lý Tuy nhiên trong khuân khổ của chuyên đề, tôi chọn hai ứng dụng chính để trình bày là: Chứng minh hệ thức đoạn thẳng; chứng minh nhiều đường thẳng đồng quy và nhiều điểm thẳng hàng
Dạng 1 CHỨNG MINH HỆ THỨC ĐOẠN THẲNG.
Dạng bài tập chứng minh hệ thức đoạn thẳng là dạng bài tập hay và khó.Nếu như ở lớp 7, các hệ thức về đoạn thẳng còn đơn giản: Chứng minh đoạn thẳngbằng nhau, chứng minh đoạn thẳng này bằng tổng hai đoạn thẳng khác,… thì lênlớp 8, 9 học sinh sau khi học xong về diện tích đa giác, định lý Ta-lét, tam giácđồng dạng, hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông và các kiến thức
về đường tròn thì lớp bài tập về chứng minh hệ thức đoạn thẳng trở lên đa dạng vàphong phú Đối với các bài toán lớp 8, 9 thì định lý Ta-lét và các trường hợp đồngdạng của tam giác là những công cụ để giải toán
Ví dụ 1(lớp 8) Một đường thẳng đi qua A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC,
Trang 9c) Khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giátrị không đổi.
Hướng dẫn tìm lời giải:
BK BE AB BK.DG AB.AD
Ví dụ 2 (lớp 8): ABC, O là một điểm thuộc miền trong tam giác, qua O kẻ
HF//BC, DE//AB, MK//AC với H, K AB;
Trang 10* Hướng dẫn tìm lời giải:Giả thiết đã cho các đường thẳng song song, ta cố định
một trong 3 tỉ số trong hệ thức cần chứng minh chẳng hạn: BC
BE
Hãy tìm cách
chuyển các tỉ số
AK ,
Ví dụ 3 (lớp 8) Cho hình thang ABCD có AB = a, CD = b Qua giao điểm O của
hai đường chéo, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD và BC theo thứ tự ở E
Trang 11Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:
Cho tam giác ABC, PQ//BC với P, Q là các điểm
tương ứng thuộc AB và AC Đường thẳng PC và QB
cắt nhau tại G Đường thẳng đi qua G và song song với
BC cắt AB tại E và AC tại F Biết PQ = a và EF = b
Tính độ dài của BC
Hướng dẫn tìm lời giải:
Sau khi vẽ hình ta thấy tứ giác BPQC là hình thang có các yếu tố thỏa mãn
ví dụ 3 Từ đó ta có thể vận dụng kết quả của ví dụ 3 vào giải bài toán
a x ax GF
hay
ab BC 2a b
*Nhận xét: Định lý Ta-lét ngoài việc ứng dụng cho chứng minh đẳng thức hình
học còn được vận dụng để chứng minh bất đẳng thức hình học Sau đây ta có thểxét một ví dụ về việc vận dụng định lý Ta-lét để chứng minh bất đẳng thức
Trang 12Ở ví dụ này ta biến đổi hệ thức cần chứng minh về dạng 2.
Qua C kẻ CF //AD, F AB, ta có nhận xét gì về AFC?
Từ (1) và (2) suy ra AFC đều =>AF=FC=AC =>BF =AB+AF=AB + AC
Áp dụng hệ quả định lý Ta-lét vào BFC, AD//FC:
b c
Trang 13Lời gải tóm tắt:
Kẻ AD là tia phân giác góc A, D∈BC Qua D kẻ
DE song song với AB, E∈AC
Ta có ∆EAD cân tại E Suy ra AE =ED
Áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét vào ∆ABC ta
này ta có thể giải bài toán sau:Ví dụ 7 (lớp 8) (Trích đề thi HOMC 2014).Cho a,
b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và x, y, x là độ dài của các đường phân giác
tương ứng Chứng minh bất đẳng thức sau:
Ví dụ 9(lớp 8).Cho tứ giác lồi ABCD Gọi O là giao điểm của AD và BC Gọi I, K
,H là chân các đường cao kẻ từ B, O ,C tới AD Chứng minh rằng :
HC ⇒ AO HC=OK AC.
Ta lại có AD.BI.CH=2 SABD CH
Trang 14Dấu “=” xảy ra khi AE=AO hay AC BD
Ví dụ 10 (lớp 9)(Câu 4c_Trích đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2012 – 2013)
Cho tam giác nhọn ABC(AC AB) có các đường cao AA', BB',CC' và trựctâm H. Gọi ( )O là đường tròn tâm O, đường kính BC Từ A kẻ các tiếp tuyến
AM, AN tới đường tròn ( )O (M, N là các tiếp điểm) Gọi M ' là giao điểm thứ
hai của A N' và đường tròn ( )O , Klà giao điểm của OH và B C' ' Chứng minh
* Hướng dẫn tìm lời giải:
Ta thấy đẳng thưc cần chứng minh là đẳng thức của các tỉ số Để chứngminh các hệ thức giữa các tỉ số ta có thể vận dụng một trong các kiến thức: Định lýTa-lét; tam giác đồng dạng; hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác; tínhchất của cát tuyến cắt nhau với đường tròn Tuy nhiên trong bài toán này sử dụngphương pháp loại trừ ta có thể thấy chỉ có thể sử dụng kiến thức về định lý Ta-lét
và tam giác đồng dạng
Để có thể sử dụng được định lý Ta-lét ta cần phải vẽ thêm hình phụ:Qua O
kẻ đường thẳng d song song với B’C’ Từ đó ta có thể tìm được mối quan hệ giữacác tỉ số và chứng minh được định lí
F K
Trang 152 2
a)
3 3
AC CH AC HC CE AE
AB HB ABHB AE BF hay
3 3
AC CE
AB BFb/ Dễ thấy MD//AC và ND //AB
Vì MD//AC nên theo hệ quả của định lý Ta-lét
Trang 16Lại có BAK BCH (cùng phụ với góc ABC) suy
ra BCH BCM nên tam giác BCM cân tại C, do
A A MK
A A KA Kết hợp với (1) suy ra:
1 2 1
HAB ABC
A A HK S
A A KA S (2)
Tương tự ta có:
1 2 1
HAC ABC
S
B B
B B S (3) và
1 2 1
HAB ABC
Đến lớp 8, sau khi học song định lý Ta-lét đảo, từ hệ thức về
độ dài đoạn thẳng cũng cho ta kết luận 2 đường thẳng song
song
Trang 17 ABC,
AM AN
AB AC MN BCNhư vậy định lý Ta-lét đảo cho ta thêm một cách chứng minh 2 đường thẳng songsong
Ví dụ 1 (lớp 8): ABC, trung tuyến AM, phân giác AMC cắt AC tại H, phân
giác góc AMB cắt AB tại K Chứng minh rằng HK // BC
Hướng dẫn tìm lời giải:
Ta-Ví dụ 2(lớp 8):Qua giao điểm O của 2 đường chéo tứ giác ABCD, kẻ 1 đường
thẳng tuỳ ý cắt cạnh AB tại M và CD tại N Đường thẳng qua M song song với CDcắt AC ở E và đường thẳng qua N song song với AB cắt BD ở F Chứng minhBE//CF
* Hướng dẫn tìm lời giải:
OB OE
OF OC / /
BE CF
Hãy sử dụng các đường thẳng song song
trong giả thiết và định lý Ta-lét để chứng minh hệ
Trang 18* Hướng dẫn tìm lời giải:
Để chứng minh IG // BC, ta phải chứng minh
AI AG
ID GMhay
AI 2
ID
Từ giả thiết của bài toán suy ra:
AB AC
2 BC
* Lời giải:
Gọi AI cắt BC ở D, AG cắt BC tại M
Nối B với I, C với I sử dụng tính chất
đường phân giác trong tam giác ta được:
Từ (1) và (2) suy ra
AI 2
Vì G là trọng tâm của ABC nên:
AG 2
Ví dụ 4 (lớp 8) : ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H Gọi M,
N, P, Q lần lượt là hình chiếu của D trên AB, BE, CF, CA Chứng minh rằng M, N,
P, Q thẳng hàng
* Hướng dẫn tìm lời giải:
Yêu cầu bài toán chứng minh M, N, P, Q
thẳng hàng Giả thiết của bài toán cho các đường
Trang 19thẳng vuông góc, từ đó sẽ có các đường thẳng song song Hãy chứng minh M, N,
P, Q thẳng hàng bằng cách chứng minh nó cùng nằm trên một đường thẳng songsong với EF
* Nhận xét: Chứng minh các điểm thẳng hàng bằng cách chứng minh chúng
cùng nằm trên một đường thẳng cố định
Ví dụ 5(lớp 8): Cho tứ giác ABCD, vẽ các đường thẳng d1//d2 // AC d1 cắt AD,
BC theo thứ tự tại E và F d2 cắt BA, BC theo thứ tự tại G và H (GH khác EF).Chứng minh rằng EG, DB, HF đồng quy
* Hướng dẫn tìm lời giải:
Theo giả thiết EF // AC // GH yêu cầu
bài toán phải chứng minh GE , BD, HF đồng
quy, ta suy nghĩ đến việc sử dụng hệ quả của
định lý Ta-lét tổng quát, EG, BD, FH đồng quy
nếu như ta chứng minh được hệ thức
ME NG
.
MF NH,
ME DM
AO DO
* Lời giải tóm tắt:
Trang 20NG MEmà EF // GH nên suy ra: GE, BD, HF đồng quy
Nhận xét: Hệ quả của định lý Ta-lét tổng quát cho ta một cách chứng minh
đường thẳng đồng quy
Ở bài toán trên nếu GH = EF thì 3 đường thẳng GE, BD, HF có mối quan hệvới nhau như thế nào?
Ví dụ 6(lớp 8): Cho hình thang ABCD (AB < CD), AD cặt BC tại I, AC cắt BD
tại O M, N lần lượt là trung điểm của AB, DC Chứng minh rằng I, M, O, N thẳnghàng
Hướng dẫn giải
Đây là một bài tập khá đơn giản, việc chứng
minh nó có thể sử dụng định lý Ta-lét trong tam giác
hay phương pháp diện tích ở đây ta trình bày lời giải
theo cách sử dụng hệ quả của định lý Ta-lét tổng quát
Lời giải:
Theo giả thiết M là trung điểm của AB, N là
trung điểm của DC, nên suy ra:
“Trong hình thang có hai đáy không bằng nhau, đường thẳng đi qua giao
điểm của các đường chéo và đi qua giao điểm các đường thẳng chứa hai cạnh bên
thì đi qua trung điểm của hai đáy”