Tài liệu Phép tính Tenxơ_chương 1 docx

Ten-xơ hiện hữu độc lập với hệ tọa độ bất kỳ và được xác định trong một hệ tọa độ bởi các thành phần của nó.. Định rõ các thành phần của ten-xơ trong 1 hệ tọa độ sẽ xác định được các thà

Chương 1 PHÉP TÍNH TEN-XƠ

1.1 TEN-XƠ VÀ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC:

Cơ học môi trường liên tục (CHMTLT) nghiên cứu các đại lượng vật lýmang tính độc lập với mọi hệ tọa độ biểu diễn chúng Các đại lượng vật lý nàyđược xác định bởi một hệ tọa độ thích hợp Theo toán học những đại lượng nhưvậy được biểu diễn bởi ten-xơ

Ten-xơ hiện hữu độc lập với hệ tọa độ bất kỳ và được xác định trong một

hệ tọa độ bởi các thành phần của nó Định rõ các thành phần của ten-xơ trong 1

hệ tọa độ sẽ xác định được các thành phần của nó trong các hệ tọa độ khác

Định luật biến đổi các thành phần của một ten-xơ được sử dụng ở đây như

là công cụ để xác định ten-xơ

Định luật vật lý của cơ học môi trường liên tục được biểu diễn bởi cácphương trình ten-xơ Bởi vì sự biến đổi của ten-xơ thì tuyến tính và đồng nhất.Những phương trình ten-xơ như vậy nếu nó có hiệu lực trong một hệ tọa độ thì sẽhiệu lực đối với mọi hệ tọa độ khác Sự bất biến của phương trình ten-xơ dướiphéïp biến đổi tọa độ là trọng điểm của phương pháp ten-xơ trong cơ học môitrường liên tục

1.2 TEN-XƠ TỔNG QUÁT _ TEN-XƠ DESCARTES _ HẠNG CỦA TEN-XƠ:

- Ten-xơ tổng quát: là các ten-xơ được xét trong các hệ tọa độ cong bất kỳ

- Ten-xơ Descartes: là các ten-xơ được giới hạn trong các phéïp biến đổi

hệ tọa độ đồng nhất với nhau

- Hạng của ten-xơ: Trong không gian Euclide 3 chiều, chẳng hạn nhưkhông gian vật lý thông thường, số thành phần của ten-xơ là 3N, N được gọi là bậchay hạng của ten-xơ Nghĩa là:

* ten-xơ hạng zero sẽ được xác định trong bất cứ hệ tọa độ không gian 3chiều nào bởi 1 thành phần và được gọi là số vô hướng

* ten-xơ hạng nhất sẽ có 3 thành phần tọa độ trong không gian vật lý, đượcgọi là véc-tơ, nhằm biểu diễn các đại lượng vật lý có ý nghĩa cả về độ lớn vàchiều

* ten-xơ hạng hai tương ứng với nhị thức (dyadics) Nhiều đại lượng quantrọng trong CHMTLT được biểu diễn bởi ten-xơ hạng 2 (có 9 thành phần trong hệtọa độ Descartes)

* các ten-xơ hạng cao hơn như hạng ba (triadics) hoặc hạng tư (tetradics)được định nghĩa và xuất hiện trong toán học của CHMTLT

1.3 VÉC-TƠ VÀ SỐ VÔ HƯỚNG:

1.3.1 Véc-tơ: Các đại lượng vật lý như là: lực, vận tốc, hàm chứa cường độ và

chiều, được biểu diễn trong không gian 3 chiều bởi các đoạn thẳng có định hướng

và tuân theo luật hình bình hành về phéïp cộng véc-tơ Đó là sự biểu diễn hìnhhọc của ten-xơ hạng nhất, được gọi là véc-tơ, bao gồm các loại như sau:

- Véc-tơ đơn vị (ê): là véc-tơ có độ lớn là 1 đơn vị.

- Véc-tơ hoành vi: là các véc-tơ có cùng độ lớn, phương và chiều

- Véc-tơ đối đẳng: là các véc tơ có cùng độ lớn, cùng phương nhưngngược chiều

Ký hiệu: Véc tơ được ký hiệu bởi các chữ cái thường và in đậm a, hoặc ar ,

độ lớn của véc tơ được ký hiệu bởi chữ thường a hoặc a

1.3.2 Số vô hướng: Các đại lượng vật lý như: khối lượng và năng lượng, chỉ

có ý nghĩa về độ lớn nên được biểu diễn bởi các ten-xơ hạng zero, gọi là số vôhướng

Ký hiệu: bởi các chữ thường như a, b, l.

1.4 CÁC PHÉP TÍNH VÉC TƠ VÀ SỐ VÔ HƯỚNG:

1.4.1 Cộng véc tơ : tuân theo luật hình bình hành, phéïp trừ véc tơ tuân theo luật

tam giác

Phép cộng véc tơ có tính giao hoán và kết hợp

cr= ar+ br= br+ ar ; dr= ar- br= _ br+ ar ; ( ar+ br) + cr= ar+ ( br+ cr) = gr [1.1]

Hình 1 Biểu diễn phép cộng của các véc tơ

Hình 2 Biểu diễn các phéïp nhân của các véc tơ

1.4.2 Nhân véc tơ cho một số vô hướng: tạo thành một véc tơ mới có cùng

phương nhưng khác về độ lớn Luật nhân véc tơ có tính kết hợp và phân bố

b m + a m

= ) a + b m(

= ) b + a m(

b + b m

= b m) + (n

= b n) + (m

b (mn)

= ) b n(m

= ) b m(n

rrrrr

r

rrrr

rr

b

c f

a/.Tích vô hướng hay tích chấm (.) : của 2 véc tơ ar và br

là một số vô hướng, ký hiệu:

λ= ar br= br ar= ab cosθ [1.4]

Tích vô hướng của véc tơ ar với véc tơ đơn vị eˆ sẽ cho hình chiếu của véc tơ ar trên hướng của véc tơ eˆ

b/ Tích hữu hướng hay tích chéo (() của véc tơ ar trên véc tơ br

là véc tơ cr cho

bởi:

vr= ar×br= - br×ar= (ab sinθ) eˆ [1.5]

θ là góc kẹp < 180o giữa 2 véc tơ ar và br

eˆ là véc tơ đơn vị trực giao với mặt phẳng tạo bởi 2 véc tơ theo quy tắc bàn tay

phải

Độ lớn của véc tơ vr bằng với diện tích của hình bình hành có 2 cạnh là ar và br

Tích véc tơ thì không giao hoán

c/ Tam tích vô hướng (scalar triple product): là tích vô hướng của 2 véc tơ trong

đó 1 véc tơ được tạo ra từ tích hữu hướng của 2 véc tơ khác

λ

= c b a

= c ).

b a (

= ) c b (

Vị trí của các dấu (.) và (() có thể trao đổi và vì dấu của tích hữu hướng phải thực hiện trước nên các dấu ngoặc không cần thiết Độ lớn của λ là thể tích của

hình khối bình hành có ar , br

và cr là các cạnh biên.

d/ Tam tích hữu hướng hay tam tích véc tơ (vector triple product): là tích hữu hướng của 2 véc tơ trong đó 1 véc tơ là tích véc tơ của 2 véc tơ khác

[1.7]

w = c ) b a ( - b ) c a ( = ) c b ( ar× r×r r r r r r r r Véc tơ tích rw sẽ nằm trên mặt phẳng của r b và cr 1.5 NHỊ TÍCH VÀ NHỊ THỨC: 1.5.1 Nhị tích: Tích véc tơ bất định của 2 véc tơ ar và br được định nghĩa bởi phép nhân ghéïp (juxtaposition), ký hiệu: b arr , được gọi là nhị tích Tích bất định, một cách tổng quát, thì không giao hoán: a b b arr≠ rr [1.8] Véc tơ đầu tiên trong nhị tích được gọi là tiền kiện và véc tơ thứ hai được gọi là hậu thức. 1.5.2 Nhị thức D: Tương ứng với 1 ten-xơ hạng hai được biểu diễn theo tổng hữu hạn của các nhị tích b a +

+ b a + b a

=

_ Nhị thức liên hiệp Dc: Khi tiền kiện và hậu thức hoán đổi vị trí trong mỗinhị tích.

c = b a + b a + + b a1 1 2 2 N N

_ Nhị thức vô hướng Ds: Nếu mỗi nhị tích được thay bằng tích vô hướng

của 2 véc tơ thì được gọi là số vô hướng của nhị thức D

b a +

+ b a + b a

+ b a + b a

=

D v r1×r1 r2× r2 rN× rN [1.12]

_ Nhị thức đơn vị hay nhân tử lũy đẳng I: là nhị thức trong đó , eˆ 1 eˆ , 2 eˆ 3

là cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide 3 chiều bất kỳ

eˆ eˆ + eˆ eˆ + eˆ eˆ

Tích véc tơ bất định tuân theo luật phân bố:

c a b a ) c b (

ar r+ r = rr+ rr [1.15]

c b c a c ) b a (r+ r r = rr+ rr [1.16]

d b c b d a c a ) d c )(

b a

+++

=+

nếu λ và µ là 2 số vô hướng thì:

b a b a b a )

µλµ

λ+ = + [1.18]

) b a ( ) b ( a b ) a

λλ

λ = = [1.19]

Tích chấm của vr D và D.vr là 1 véc tơ được định nghĩa bởi:

u

= b ) a v ( +

+ b ) a v ( + b ) a v (

+ ) v b ( a + ) v b ( a

+ b ) a v ( + b ) a v (

= ) v b ( a +

+ ) v b ( a + ) v b ( a

= v

= d

+ d c + d c ).(

b a +

+ b a +

+ d a ) c b ( + d a ) c

= ) D

- (D 2

1 + ) D + (D 2

= D) + (D 2

1

= ) ) (D + (D 2

1

=

H

-= D)

- (D 2

1

= ) ) (D

- (D 2

1

=

1.6 CÁC HỆ TỌA ĐỘ_ VÉC TƠ CƠ SỞ_ BỘ BA VÉC TƠ ĐƠN VỊ:

1.6.1 Hệ tọa độ Descartes vuông góc : Biểu diễn bằng ba trục vuông góc nhau

từng đôi một Oxyz

_ Các véc tơ cơ sở: Một véc tơ r v bất kỳ được biểu diễn bằng tổ hợp tuyếntính với 3 véc tơ tùy ý, không cùng mặt phẳng và khác không của hệ tọa độ bất kỳđược gọi là 3 véc tơ cơ sở

c + b + a

νµ

được thỏa chỉ nếu: λ = µ = ν = 0

_ Bộ ba véc tơ đơn vị: Thường các véc tơ cơ sở của hệ tọa độ Descartesvuông góc được chọn là 3 véc tơ đơn vị iˆ , , kˆ dọc theo 3 trục tọa độ Các véc tơ

cơ sở cấu thành bộ 3 véc tơ đơn vị theo luật bàn tay phải

jˆ

= iˆ kˆ

; iˆ

= kˆ

; kˆ

=

và iˆ iˆ = jˆ jˆ=kˆ kˆ = 1

= iˆ.

kˆ

= kˆ jˆ

Tập họp các véc tơ cơ sở như vậy được gọi là cơ sở trực chuẩn

kˆ v + v + iˆ v

cos v kˆ v v

cos v jˆ v v

cos v iˆ.

v v

z y x

rr

v

=

với eˆ v = (cosα iˆ + (cosβ) + (cosγ ) kˆ [1.39b]

Do đó véc tơ đơn vị bất kỳ sẽ có các thành phần Descartes là các cosin chỉphương của véc tơ đó Theo dạng các thành phần Descartes , tích vô hướng của

2 véc tơ ar và br

là:

) kˆ b + jˆ b + iˆ ).(b kˆ a + jˆ a + iˆ (a

= b

) b a + b a + b (a

và tích hữu hướng của ar và br

là:

kˆ ) b a - b (a + jˆ ) b a - b (a + iˆ b a - b (a

z y x

b b b

a a a

kˆ jˆ iˆ b

Tam tích vô hướng của 3 véc tơ ar, br, cr có thể được viết dưới dạng định thức sau:

z y x

z y x

z y x

c c c

b b b

a a a ] c b a

và nhị tích b arr

được viết thành:

kˆ b a + kˆ b a + iˆ kˆ b a

+ kˆ jˆ b a + ˆ b a + iˆ jˆ b a

+ kˆ iˆ b a + iˆ b a + iˆ b a

=

) kˆ b + jˆ b + iˆ )(b kˆ a + jˆ a + iˆ (a

= b a

z z y z x

z

z y y y x y

z x y x x x

z y x z y x

rr

[1.44]

trong đó có 9 thành phần của nhị tích b arr

Do đó có thể viết 1 nhị tích bất kỳ thànhdạng 9 thành phần như trên

_ Nhị thức đơn vị (hay là nhân tử lũy đẳng) có 9 thành phần dưới dạng bộ

ba véc tơ đơn vị iˆ jˆ , kˆ , được viết:

kˆ + jˆj ˆ + iˆ

1.7 HÀM VÉC TƠ TUYẾN TÍNH - TOÁN TỬ VÉC TƠ TUYẾN TÍNH VÀ NHỊ THỨC:

1.7.1 Hàm véc tơ tuyến tính: cho 1 véc tơ ar là hàm số của véc tơ br

, ký hiệu:

( )b f

Hàm số f được gọi là tuyến tính khi:

) b f(

= ) b f(

) c f(

+ ) b f(

= ) c + b f(

rr

rrrrλ

λ là số vô hướng bất kỳ

Theo [1.37] :

) kˆ b + b + iˆ f(b

=

Nếu f tuyến tính:

) kˆ f(

b + ) jˆ f(

b + ) iˆ f(

k w + jˆ v + iˆ u (

=

) b kˆ ( w + ) b ( v + ) b iˆ u

= a

rrrrr

rrrrrrr

hay

b D.

1.8 KÝ HIỆU CHỈ SỐ_ KHOẢNG VÀ QUI ƯỚC CỘNG CHỈ SỐ:

1.8.1 Ký hiệu chỉ số: Thành phần ten_xơ hạng bất kỳ, cũng như chính bản thân

ten_xơ đó có thể được biểu diễn chính xác và rõ ràng bởi các ký hiệu chỉ số Chỉ

số được gắn phía dưới hay phía trên của các chữ thường ( véc tơ ) hay chữ inhoa (ten_xơ hạng 2 trở lên)

Ví dụ: ai , b j , T ij , F i j , ∈ijk , R pq

Trường hợp xuất hiện các chỉ số trên và chỉ số dưới đồng thời cho 1 ten_xơ, thìdấu chấm kèm theo cho biết chỉ số đó là chỉ số thứ nhì

D i .j , D i .j , B ij jk

1.8.2 Khoảng của chỉ số và qui ước cộng chỉ số:

Một ký hiệu chỉ số cóï thể xuất hiện giống nhau 2 lần trong 1 ten_xơ

- Nếu 1 chỉ số chỉ xuất hiện 1 lần thì khoảng của chỉ số sẽ lấy giá trị số

nguyên từ 1,2, ,N Chỉ số này được gọi là chỉ số tự do, ví dụ các ten_xơ: ai , b j , D ij ,

tổng số các chỉ số tự do của ten xơ đó

- Nếu cùng 1 ký hiệu chỉ số xuất hiện hai lần trong một ten_xơ thì được hiểu là chỉ

số giả, giá trị của ten_xơ đó được tính bằng tổng các giá trị trong khoảng biến

thiên của chỉ số này, kết quả là chỉ số này sẽ biến mất, đây là qui ước cộng chỉ số.

2 32 1 31 3

3 23 2 22 1 21 2

3 13 2 12 1 11 1

z C + z C + z C

= x

z C + z C + z C

= x

z C + z C + z C

= x

hay:

xi = Ci1z1 + Ci2z2 + Ci3z3 [1.49]

tức là chỉ số j đã biến mất trong ten_xơ xi

- Ten_xơ hạng 1 (véc tơ) cóï thể nhận biết bởi 1 chỉ số tự do sau đây:

A ij b j ; F ikk ; R p .qp ; ∈ijk u j v k

- Ten_xơ hạng 2 sẽ có 2 chỉ số tự do sau đây:

D ij ; D i .j ; D i .j ; D ij ; A ijip ; B ij jk ; δij u k v k

- Ten_xơ hạng 3 sẽ có 3 chỉ số tự do v.v , và số vô hướng λ sẽ không có chỉ số

đi kèm tức là ten_xơ hạng zero

- Ten_xơ Aij được biểu diễn bằng 1 ma trận vuông có 9 thành phần là 9 hệ số:

A A A

A A A

A A A

= A

33 32 31

23 22 21

13 12 11

1 i

a a

thành phần của ten_xơ

1.8.3 Ngoại lệ của quy ước cộng chỉ số:

Trong hệ toạ độ Descartes, 1 véc tơ cóï thể được biểu diễn bằng kết hợp tuyếntính của 3 véc tơ cơ sở mang chỉ số như sau:

3 3 2 2 1

1 eˆ + v eˆ + v eˆ v

=

kết hợp với qui ước cộng chỉ số, ta viết thành:

eˆ v

=

trong đó vr là ký hiệu véc tơ mang ý nghĩa ten_xơ hạng 1, i là chỉ số tự do củaten_xơ hạng 1

Chú ý : i ở đây không mang ý nghĩa của chỉ số giả do đó luật về cộng chỉ số không

có hiệu lực trong trường hợp này

Tương tự ten_xơ hạng 2 cũng được biểu diễn bởi kết hợp tuyến tính của 3 véc tơ

cơ sở mang chỉ số:

eˆ eˆ b a

= ) eˆ )(b eˆ (a

= b

[1.53a]

hay thu gọn thành nhị thức:

j i

ij eˆ eˆ D

=

Hình 5 Véc tơ Vr

được biểu diễn bởi các véc tơ cơ sở

1.9 PHÉP BIẾN ĐỔI TỌA ĐỘ _ CÁC LOẠI TEN_XƠ:

1.9.1 Phéïp biến đổi tọa độ: Gọi x i là hệ toạ độ x 1 , x 2 , x 3 trong không gian Euclide

3 chiều, và θi là hệ toạ độ θ1 , θ2 , θ3 thứ hai trong cùng 1 không gian

Hàm biến đổi tọa độ:

1

eˆ

vr

j i

3

3 2

3 1 3

3

2 2

2 1 2

3

1 2

1 1 1

x x

x x

x x x

x x x J

1.9.2 Ten_xơ phản biến: véc tơ vi phân dθθθθi

được cho bởi:

j j

i

x ' b

∂

∂θ

trong đó đạo hàm riêng phần được tính tại điểm P; b j là các thành phần của

ten_xơ trong hệ toạ độ x j ; b’ i là các thành phần của ten_xơ trong hệ toạ độ θi

Chú ý: ký hiệu chỉ số i, j được gắn ở phía trên của ký hiệu biểu diễn ten_xơ phản

biến

tương tự ten_xơ phản biến hạng 2 được viết:

rs s

j r

i

x x ' B

j i

i

x ' b

Tổng quát các ten_xơ hiệp biến hạng 2 tuân theo luật biến đổi:

rs j

s i

r '

Ngoài ra còn có các ten_xơ hổn tạp ( vừa là hiệp biến và phản biến ) được viếtnhư sau:

nq m p

q s

n m

r sp r

x

T

θθ

trong đó các chỉ số r, m là của thành phần phản biến và s, p, n, q là của thành

phần hiệp biến của ten_xơ

1.9.4 Ten_xơ Metric _ Ten_xơ Descartes:

Ten_xơ Metric:

Gọi x i là hệ toạ độ Descartes vuông góc 3 chiều và θ i là hệ toạ độ khác bất kỳ(vuông hay cong), trong cùng 1 không gian

Gọi véc tơ xr là véc tơ vị trí của điểm bất kỳ P(x 1 ,x 2 ,x 3 ) có thành phần

Descartes là x i Bình phương của vi phân khoảng cách ds giữa 2 điểm lân cận

i p

i

) ds

i p

i pq

' x

x ' x

Trong hệ toạ độ đồng nhất, tức là (ds) 2 = dx i dx i , phép biến đổi tọa độ giữa các hệ toạ độ này được gọi là phép biến đổi trực giao, và những ten_xơ được giới hạn

trong phép biến đổi đó được gọi là ten_xơ Descartes

Đối với ten_xơ Descartes thì không phân biệt giữa các thành phần phản biến vàhiệp biến, và thường dùng chỉ số phía dưới để ký hiệu ten_xơ Trong phép biếnđổi tọa độ các đạo hàm riêng phần được thay bằng các hằng số (cho các côngthức [1.61], [1,62])

1.10 ĐỊNH LUẬT BIẾN ĐỔI CÁC TEN_XƠ DESCARTES :

1.10.1 Ký hiệu Kronecker:

Gọi 2 hệ tọa độ Ox1 x 2 x 3 và O x’ 1 x’ 2 x’ 3 là 2 hệ tọa độ vuông góc Descartes (hình 6) Ký hiệu aij chỉ cosin của góc giữa 2 trục tọa độ x’ i và xj

) x , ' x cos(

Hình 6 Phép biến đổi hệ trục cho véc tơ vr

Góc của các hệ trục của một hệ tọa độ đối với 1 hệ tọa độ khác cho bởi bảng sauđây:

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a

Gọi eˆ là véc tơ đơn vị trên trục x’ ' i i , từ [1.39b] ta viết thành:

3

' eˆ

2

' eˆ

1

' eˆ

j j 1 3 13 2 12 1 11

'

Tổng quát cho các véc tơ cơ sở đơn vị eˆ ta có: ' i

j ij

i a eˆ '

hay

i ij

hoặc:

i

i eˆ ' ' v

suy ra:

i ij j j ij

i a eˆ v a eˆ ' '

v

tức là:

k kj i ij ij i

Tương tự khi thay đổi dấu phẩy cho 2 vế, ta viết được:

k ik j ij

hay

k kj ij

i a a v ' '

Từ 2 phương trình[1.67h] và [1.67k] nhất thiết phải trở thành:

v j = v j và v’i = v’ i

vì thế hệ số aij a kj phải bằng 1 khi i = k hoặc bằng 0 khi i ≠ k,

và tương tự aij a ik phải bằng 1 khi j = k hoặc bằng 0 khi j ≠ k.

Do đó có thể dùng ký hiệu Kronecker để biểu diễn aij a kj và aij a ik:

a ij a kj = δik và aij a ik = δjk [1.68]

1.10.2 Các điều kiện trực giao:

Từ phương trình[1.68] ta có thể khai triển thành 9 phương trình, được gọi

là các điều kiện trực giao theo cosin chỉ phương aij.

Ký hiệu Kronecker thường được gọi là toán tử thay thế, chẳng hạn:

_ Ten_xơ hạng 2: T ' ij =a ip a jq T pq [1.70b]

Do điều kiện trực giao ta viết được:

pq qj pi

ij a a T '

_ Ten_xơ hạng Nth:

pqm

km jq ip

'

1.11 PHÉP TÍNH TEN_XƠ:

1.11.1 Cộng trừ ten_xơ: Các ten_xơ Descartes có cùng hạng có thể cộng hoặc

trừ các thành phần tương ứng với nhau

ijk ijk

1.11.2 Nhân 1 số vô hướng cho ten_xơ: tạo thành 1 ten_xơ mới có cùng

hạng Trong đó các thành phần của ten_xơ được nhân cho số vô hướng đó

1.11.3 Tích ngoài của ten_xơ (Outer Product)(ngoại tích):

Ngoại tích của 2 ten_xơ có hạng bất kỳ là 1 ten_xơ mới có các thành phần đượctạo bởi vìệc nhân mỗi thành phần của ten_xơ thứ nhất cho tất cả các thành phầncủa ten_xơ thứ hai Hạng của ten_xơ mới bằng tổng các hạng của 2 ten_xơ yếutố

Chú ý: Ngoại tích được thành lập bằng phép nhân ghép các ten_xơ yếu tố

ijkm km

ij ij

j

i b = T ; D T =

ijkm m ijk ijk

jk

i F = a ; v =

1.11.4 Nội tích hay phép thu gọn của 1 ten_xơ: là cách gán 2 chỉ số tự

do của ten_xơ thành chỉ số giả Đưa đển 1 ten_xơ mới có hạng kém hơn 2 bậc sovới ten_xơ cũ ( đối với phép thu gọn 2 chỉ số)

_ Thu gọn T trở thành T ij ii và u i v j trở thành ui v i , tức là:

T ii = T 11 + T 22 + T 33 = αvà

u i v i = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 = β [1.71d]

_Thu gọn của Eij a k trở thành 1 trong 3 dạng sau đây:

j i ij

i j ij

b

= a E

a

= a E

[1.72e]hoặc là E ii a k = d k

trong đó: