d Tứ giác AMBD là hình vuông khi ADB 90 Hình thoi có một góc vuông là hình vuông AD BC Mà ABC vuông tại A có AD là đường trung tuyến nên cũng là đường cao ABC vuoâng caân taïi[r]
Trang 1ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I
Tổ Toán Môn: Toán 8 – Năm học: 2015 – 2016
I Đại số:
1 Làm tính nhân:
a ( x2 – 2x + 3 )(
1
2x – 5 ) b ( x3 – 2x2 + x – 1)( 5 – x )
2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 b 10x( x – y ) – 8y( y – x)
1 8
e 3x2 – 3xy – 5x + 5y f 3x2 + 6xy + 3y2 – 3 z2
g 2xy – x2 – y2 + 16 h 2x – 2y – x2 + 2xy – y2
3 Tìm x, biết:
a 5x( x – 2000) – x + 2000 = 0 b 2 – 25x2 = 0
c 2x( x + 3 ) – x – 3 = 0 d x2( x – 3 ) + 12 – 4x = 0
4 Làm tính chia:
a ( - 2x5 – 4x3 + 3x2) : 2x2 b ( x3 – 2x2y + 3xy2 ) : ( -
1
2x)
c ( x3 – x2 – 7x + 3 ) : ( x – 3 ) d ( x4 – x3 + x2 + 3x ) : ( x2 – 2x + 3)
5 Rút gọn các phân thức sau:
a
2
4 8
45 (3 )
3
15 ( 3)
x x
6 Thực hiện các phép tính sau:
a
1
x
x
3
2 1
x -
3
x x
1 3
x x
1 3
x x
2 (1 )
2 9
x
c
2
x
x
7 Cho phân thức:
2 10 25
2 5
a Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định
b Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 2
II Hình học:
1 Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA
a Tứ giác EFGH là hình gì ? vì sao ?
Trang 2c Tính diện tích hình chữ nhật EFGH biết độ dài đường chéo AC = 6cm; BD = 8cm.
2 Cho hình thang cân ABCD (AB // CD ) Gọi E, N, G, M theo thứ tự là trung điểm của AB,
BC, CD, DA
a Chứng minh tứ giác ENGM là hình thoi
b Hình thang cân ABCD cần điều kiện gì hình thoi ENGM là hình vuông
c Tính diện tích hình vuông ENGM, biết đường chéo AC = 16cm
3 Cho ABC cân tại A, đường trung tuyến AD Gọi H là trung điểm của AC, M là điểm đối xứng với D qua H
a Chứng minh tứ giác AMCD là hình chữ nhật
b Tứ giác ABDM là hình gì ? vì sao?
c Tìm điều kiện của ABC để tứ giác AMCD là hình vuông
4 Cho hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo Vẽ đường thẳng qua B song
song với AC, vẽ đường thẳng qua C và song song với BD, hai đường thẳng này cắt nhau ởM
a Chứng minh tứ giác OBMC là hình chữ nhật
b Chứng minh AB = OM
c Tìm điều kiện của hình thoi ABCD để hình chữ nhật OBMC là hình vuông
5 Cho ABC vuông tại A, đường trung tuyến AD Gọi I là trung điểm của AB, M là điểm đối xứng với điểm D qua điểm I
a Chứng minh M đối xứng D qua đoạn thẳng AB
b Tứ giác AMBD là hình gì ? vì sao ?
c Chứng minh tứ giác AMDC là hình bình hành
d Tam giác vuông ABC có điều kiện gì thì AMBD là hình vuông
I Đại số:
1 Làm tính nhân:
a ( x2 – 2x + 3 )(
1
2x – 5 ) = x2
1
2x – 2x
1
2x + 3
1
2x - x2 5 + 2x 5 – 3 5 =
1
2x3 – x2 +
3
2x – 5x2 + 10x – 15 =
1
2x3 – 6x2 +
23
2 x - 15
b ( x3 – 2x2 + x – 1)( 5 – x )
= x3 5 - 2x2 5 + x.5 - 1 5 – x3 x +2x2.x - x x + 1 x
= 5x3 – 10x2 + 5x – 5 – x4 + 2x3 – x2 + x
= - x4 + 7x3 – 11 x2 + 6x – 5
2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 b 10x( x – y ) – 8y( y – x)
= 7xy( 2x – 3y + 4xy ) = 5x.2( x – y ) + 4y.2( x – y)
= 2( x – y)( 5x + 4y )
Trang 3c x2 + 6x + 9 d 8x3 -
1 8 = x2 + 2.x.3 + 32 = (2x)3 – (
1
2)3
= ( x + 3)2 = ( 2x -
1
2)( 4x2 + x +
1
4)
e 3x2 – 3xy – 5x + 5y f 3x2 + 6xy + 3y2 – 3 z2
= (3x2 – 3xy ) – (5x - 5y) = 3(x2 + 2xy + y2 – z2 )
= 3x( x – y) – 5( x – y) = 3[(x2 + 2xy + y2 ) – z2 ]
= ( x – y)( 3x – 5) = 3[( x + y )2 – z2 ]
= 3 ( x + y – z )( x + y + z )
g 2xy – x2 – y2 + 16 h 2x – 2y – x2 + 2xy – y2
= 16 – ( x2 – 2xy + y2 ) = ( 2x – 2y ) – ( x2 – 2xy +y2 )
= 42 – ( x – y )2 = 2( x – y ) – ( x – y)2
= [ 4 – ( x – y )][ 4 + ( x – y )] = ( x – y )[ 2 – ( x – y )]
= ( 4 – x + y )( 4 + x – y ) = ( x – y )( 2 – x + y )
3 Tìm x, biết:
a 5x( x – 2000) – x + 2000 = 0 b 2 – 25x2 = 0
5x( x – 2000) – (x – 2000) = 0 2 2 5x 2
= 0 ( x – 2000 )( 5x – 1 ) = 0 2 5 x 2 5 x
= 0
x – 2000 = 0 hoặc 5x – 1 = 0 2 5x = 0 hoặc 2 5x = 0
x = 2000 hoặc x =
1
5 - 5x = - 2 hoặc 5x = - 2
x =
2 5
c 2x( x + 3 ) – x – 3 = 0 d x2( x – 3 ) + 12 – 4x = 0
2x( x + 3 ) – ( x + 3 ) = 0 x2 ( x – 3 ) – ( 4x – 12 ) = 0
( x + 3 ) ( 2x – 1 ) = 0 x2 ( x – 3 ) – 4( x – 3 ) = 0
x + 3 = 0 hoặc 2x – 1 = 0 ( x – 3 )( x2 – 4 ) = 0
x = - 3 hoặc x =
1
2 ( x – 3 )( x – 2 )( x + 2) = 0
x – 3 = 0 hoặc x – 2 = 0 hoặc x + 2 = 0
x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = - 2
4 Làm tính chia:
a ( - 2x5– 4x3 + 3x2) : 2x2 b ( x3 – 2x2y + 3xy2 ) : ( -
1
2x)
Trang 4= (- 2x5): 2x2 + (- 4x3 ): 2x2 + 3x2: 2x2 = x3: ( - 2x) – 2x2y : ( - 2x) + 3xy2 : ( - 2x) = - x3 - 2x +
3
2 = - 2x2 + 4xy – 6y2
c ( x3 – x2 – 7x + 3 ) : ( x – 3 ) d ( x4 – x3 + x2 + 3x ) : ( x2 – 2x + 3)
x3 – x2 – 7x + 3 x – 3 x4 – x3 + x2 + 3x x2 – 2x + 3
- x3 - 3x2 x2 + 2x – 1 - x4 –2x3 + 3x2 x2 + x
2x2 – 7x + 3 x3 - 2x2 + 3x
- 2x2 – 6x - x3 - 2x2 + 3x
- x + 3 0
- - x + 3 Vậy: ( x4 – x3 + x2 + 3x ) : ( x2 – 2x + 3) = x2 + x
0
Vậy: ( x3 – x2 – 7x + 3 ) : ( x – 3 )= x2 + 2x – 1
5 Rút gọn các phân thức sau:
a
2
4 8
45 (3 )
3
15 ( 3)
x x
=
x x
3.15 ( 3)
3
15 ( 3)
x x
x x
=
2
x
=
3 2
6 Thực hiện các phép tính sau:
a
1
x
x
3
2 1
x -
3
x x
=
1
2( 1)
x
x
3 ( 1)( 1) x x -
3 2( 1)
x x
=
( 1)( 1)
2( 1)( 1)
3.2 ( 1)( 1).2 x x +
( 3)( 1) 2( 1)( 1)
2
2( 1)( 1)
=
2( 1)( 1)
2( 1)( 1)
Trang 5=
10
2( 1)( 1) x x =
5
2 1
x
b
1
3
x
x
1 3
x x
2 (1 )
2 9
x
1 3
x x
(1 ) 3
x x
2 (1 ) 2
x
=
1
3
x
x
1 3
x x
2 (1 )
2 9
x
=
( 1)( 3) ( 3)( 3)
( 1)( 3) ( 3)( 3)
2 (1 ) ( 3)( 3)
=
( 1)( 3) ( 1)( 3) 2 (1 )
( 3)( 3)
( 3)( 3)
=
2 6
( 3)( 3)
x
c
3
.
=
3
.
=
3
.
=
3
2
3
2
=
2
x x
=
2
=
2
x
x x x
=
2
2 1 2 2
2 ( 1)
2
x
1
2 1
x x
d
x
x
2
:
Trang 6: ( 1) ( 1).
: ( 1)
=
.
=
1 1
x
7 Cho phân thức:
2 10 25
2 5
a Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định.
b Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 2.
Giải
a) Điều kiện của x để giá trị của phân thức
2 10 25
2 5
được xác định khi:
x2 – 5x 0 hay x( x – 5 ) 0
x 0 và x – 5 0
x 0 và x 5
Vậy điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định là: x 0 và x 5
b)
2 10 25
2 5
2
( 5)
Giá trị của phân thức bằng 2 có nghĩa là
5
x
x
II Hình học:
Bài 1: ( Hình 1 )
a) Tứ giác EFGH là hình gì ? vì sao ? A Tứ giác EFGH là hình bình hành vì tứ giác EFGH có: H E
AE = EB ( E là trung điểm của AB)
AH = HD (H là trung điểm của AD) D B
HE là đường trung bình của ABD G F
HE // DB và HE =
1
2DB (1) Hình 1 C Chứng minh tương tự ta có GF là đường trung bình của BCD
GF // DB và GF =
1
2DB (2) Từ (1) và (2) suy ra HE // GF và HE = GF
Trang 7 Tứ giác EFGH là hình bình hành b) Để tứ giác EFGH là hình chữ nhật thì HEF 90 0( hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật) hay EH EF
Chứng minh tương tự câu a) ta có EF là đường trung bình của ABC
EF // AC và EF =
1
2AC (3) Từ (1) , (3) và EH EF AC DB
Vậy để tứ giác EFGH là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau
c) SEFGH = EF GH =
1
2DB
1
2AC = 4.3 = 12(cm) A E B
Bài 2: ( Hình 2 )
a) Chứng minh tứ giác ENGM là hình thoi M N
Xét tứ giác ENGM có:
AE = EB ( E là trung điểm của AB)
BN = NC ( N là trung điểm của BC) D G C
EN là đường trung bình của ABC ( Hình 2)
EN // AC và EN =
1
2 AC (1) Chứng minh tương tự ta có MG là đường trung bình của ACD
MG // AC và MG =
1
2 AC (2) Từ (1) và (2) suy ra EN // MG và EN = MG
Tứ giác ENGM là hình bình hành ( Tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau )
Chứng minh tương tự ta có ME là đường trung bình của ABD
ME =
1
2DB (3)
Mà AC = DB ( tính chất đường chéo hình thang cân ) (4)
Từ (1), (3) và (4) EN = ME
Vậy hình bình hành ENGM có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi
b) Để hình thoi ENGM là hình vuông thì MEN 90 0 ( hình thoi có một góc vuông là hình vuông) hay ME EN
Theo chứng minh trên: EN // AC ; ME // DB và ME EN AC DB
Vậy để tứ giác ENGM là hình vuông thì hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau
c) Tính diện tích hình vuông ENGM, biết đường chéo AC = 16cm
Ta có: EN =
1
2 AC =
1
2 16 = 8 (cm)
SENGM = EN2 = 82 = 64 (cm)
Trang 8a) Chứng minh tứ giác AMCD là hình chữ nhật Xét tứ giác AMCD có: A M
AH = HC (H là trung điểm của AC )
DH = HM ( M đối xứng với D qua H )
Tứ giác AMCD là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau H
tại trung điểm của mỗi đường
Mặt khác ABC cân tại A, có AD là đường trung tuyến nên cũng
là đường cao B D C ADC 900 ( Hình 3 ) Vậy hình bình hành AMCD có một góc vuông nên là hình chữ nhật
b) Tứ giác ABDM là hình bình hành vì có:
AM // BD ( Hình chữ nhật AMCD có AM // DC )
AM = BD ( cùng bằng DC )
( Tứ giác có một cặp cạnh vừa song song vừa bằng nhau là hình bình hành )
c) Tứ giác AMCD là hình vuông khi AD = DC AD =
1
Theo định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông, ta có ABC vuông tại A
Vậy để tứ giác AMCD là hình vuông thì ABC vuông cân tại A
Bài 4: ( Hình 4 )
a) Chứng minh tứ giác OBMC là hình chữ nhật B M
Xét tứ giác OBMC có:
BM // OC ( BM // AC )
CM // OB ( CM // DB ) A O C
Tứ giác OBMC là hình bình hành ( Định nghĩa hình bình hành)
Mà BOC 90 0 ( Tính chất đường chéo hình thoi ) D
Vậy hình bình hành OBMC có một góc vuông nên là hình chữ nhật (Hình 4)
b) Chứng minh: AB = OM
Ta có: AB = BC ( Tính chất đường chéo hình thoi ) (1)
OM = BC ( Tính chất đường chéo hình chữ nhật ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB = OM ( đpcm )
c) Hình chữ nhật OBMC là hình vuông khi OB = OC 2OB = 2OC
Hay DB = AC Tứ giác ABCD là hình vuông ( hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông )
Vậy để hình chữ nhật OBMC là hình vuông thì tứ giác ABCD là hình vuông
Bài 5: ( Hình 5 )
a) Chứng minh điểm M đối xứng điểm D qua đoạn thẳng AB M A
Ta có: AI = IB ( I là trung điểm của AB ) (Hình 5)
Trang 9DB = DC ( AD là đường trung tuyến ) I DI là đường trung bình của ABC
DI // AC B D C Mà AC AB
DI AB hay DM AB (1)
MI = ID ( M đối xứng điểm D qua qua điểm I ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB là đường trung trực của đoạn thẳng DM
M đối xứng D qua đoạn thẳng AB
b) Tứ giác AMBD là hình thoi vì có:
AI = IB ( I là trung điểm của AB )
DI = IM ( M đối xứng D qua I )
Tứ giác là hình bình hành ( Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường )
Mặt khác: ABC vuông tại A có AD là đường trung tuyến AD = DB =
1
2BC Vậy hình bình hành AMBD có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi
c) Chứng minh tứ giác AMDC là hình bình hành
Xét tứ giác AMDC có:
MA // DC ( Tứ giác AMBD là hình thoi có MA // BD )
MA = DC ( cùng bằng DB )
Vậy tứ giác AMBD có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau nên là hình bình hành
d) Tứ giác AMBD là hình vuông khi ADB 90 0( Hình thoi có một góc vuông là hình vuông ) AD BC
Mà ABC vuông tại A có AD là đường trung tuyến nên cũng là đường cao
ABC vuông cân tại A
Vậy để tứ giác AMBD là hình vuông thì ABC vuông cân tại A
HẾT