DE THI HOC SINH GIOI TOAN THCS TINH PHU YEN NAM 20122013

Đường phân giác của ACD và đường thẳng vuông góc với AB tại E cắt nhau tại I..  là đường tròn tiếp xúc với AC; DC và O..[r]

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO

PHÚ YÊN

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS

Năm học : 2012 – 2013 Môn thi : Toán Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian phát đề)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Đề thi có 1 trang)

Câu 1: ( 5,0 điểm)

a) Cho A  2012 2011; B= 2013 2012 So sánh A và B?

b) Tính giá trị biểu thức: C 315 3 26  315 3 26

c) Cho 2x33y3 4z3 Chứng minh rằng:

3

1

2 3 4

 



 

Câu 2: ( 3,0 điểm) Giải phương trình :  2 2  2 2

4

Câu 3: ( 4,0 điểm) Giải hệ phương trình :

2

2

x y

x y









Câu 4: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi Q là điểm trên cạnh BC ( Q khác B; C)

Trên AQ lấy điểm P( P khác A; Q) Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB lần lượt cắt AB; AC tại M, N

b) Xác định vị trí điểm Q để

1 27

AM AN PQ

AB AC AQ



Câu 5: ( 3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Điểm C thuộc bán

kính OA Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại D Đường tròn

tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn (O) và tiếp xúc với các đoạn thẳng CA, CD Gọi E

là tiếp điểm của AC với đường tròn ( I ) Chứng minh : BD = BE.

Câu 6: ( 2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 1 – xy, trong đó x, y là các số thực

thỏa mãn điều kiện : x2013 y2013 2x1006 1006y

Hết

-Thí sinh không sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay

Giám thị không giải thích gì thêm

ĐÁP ÁN THAM KHẢO Câu 1: ( 5,0 điểm)

a) Cho A  2012 2011; B= 2013 2012 So sánh A và B?

b) Tính giá trị biểu thức: C 315 3 26  315 3 26

c) Cho 2x3 3y34z3 Chứng minh rằng:

3

1

2 3 4

 



 

Giải: a) Ta có :

2012 2011

2012 2011





2013 2012

2013 2012





Mà 2012 2011 2013 2012

Nên

2012  2011  2013  2012 hay A > B

b) Tính giá trị biểu thức: C 315 3 26  315 3 26

3 3 3 18 12 3 8 3 3 3 18 12 3 8

3 3 3 3 2 3 3 2 2 2 3 3 3 3 3 2 3 3 2 2 2 3

c)Cho 2x3 3y3 4z3 Chứng minh rằng:

Mình chưa biết giải, bạn nào biết chỉ giúp Nhưng mình kiểm tra thấy đề không đúng Cho x 312; y = 8; z = 63 3

Thì 2x3 3y3 4z3  2 12 3 8 4 6 24      ( Thỏa mãn đẳng thức)

Nhưng

2 2 2 3 3 2 3 2 3 2

3

2 3 4 2 12 3 8 4 6

1

Câu 2: ( 3,0 điểm) Giải phương trình :  2 2  2 2

(*) 4

4

ĐKXĐ :  x R

Đặt t x2 2x2 thì  

2

2 2

4



5t 10t 3t 8t 4 0 t 1 5t 15t 12t 4 0

5 15 12 4 0 voâ nghieäm vì t 1

Câu 3: ( 4,0 điểm) Giải hệ phương trình :

 

2

2

I

x y

x y











* Điều kiện xác định : x2y.

 Nếu



 2y

x

thì

 

2 2

0

1 2

2 2

y

y I

y y

y

        

        









Nên hệ PT ( I ) vô nghiệm

Nếu



 2y

x

Chia 2 vế phương trình (1) cho 2x y  2x y  Ta có :









Đặt

2

2

x y

t

x y





 thì

 *  8 10t  3 0

t

         

+ Với 

3

2

t

thì

x y

x y





Thay vào (**) Ta có :

 

5

I H

N M

A

Q P

( thỏa mãn ĐKXĐ)

 Với

 1    5 1  5

( thỏa mãn ĐKXĐ)

+ Với

1 4

t 

thì



x y

x y Thay vào (**) Ta có :

3

10





y y

y y  8y 2  20y 25 0  : Phương trình vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm :

   

5 1;

2 6 và

5 1;

4 2

Câu 4: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi Q là điểm trên cạnh BC ( Q khác B; C)

Trên AQ lấy điểm P( P khác A; Q) Hai đường thẳng qua P song song với AC, AB lần lượt cắt AB; AC tại M, N

d) Xác định vị trí điểm Q để

1 27

AM AN PQ

AB AC AQ



GIẢI:

Gọi H PNBC; I=MPBC

AC  AC  (1)

Mặt khác : Áp dụng định lí Talet Ta có:



(2)

Vì MI // AC nên ;

BC  AB (3)

Vì ABC PHI (g-g)

mà

AB AQ nên

BC AQ (4)

N M

P

Q

A

b) Từ câu a Ta có :

1 27

3 27

BC

CI IH HB

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức cô si cho ba số không âm

Ta có :

3

Dấu “ = ” xảy ra khi CI = IH = HB

Đẳng thức xảy ra khi Q là trung điểm của BC

và

2

3

Câu 5: ( 3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Điểm C thuộc bán

kính OA Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại D Đường tròn

tâm I tiếp xúc với nửa đường tròn (O) và tiếp xúc với các đoạn thẳng CA, CD Gọi E

là tiếp điểm của AC với đường tròn ( I ) Chứng minh : BD = BE.

Giải:

Cách vẽ: + Vẽ phân giác của ADB cắt AB tại E.

Đường phân giác củaACD và đường thẳng vuông góc với AB tại E cắt nhau tại I.

Ta có : I; IE là đường tròn tiếp xúc với AC; DC và (O)

Thật vậy : Hạ IF DC Ta có : IE = IF ( t/c đường phân giác)

Nên (I; IE) tiếp xúc với AC; DC và IECF là hình vuông

Chứng minh:

+ Chứng minh ba điểm B; F và G thẳng hàng

Ta có : IGF cân tại I nên

IF

2

sd PF

Xét OBG AOG: 2OBG ( Tính chất góc ngoài)

IF

=

2 GFI   IGF  2  GF

Nên ba điểm G, F và B thẳng hàng ( vì 2 tia GF và GB trùng nhau)

+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ADB ADB: 900

+Áp dụng tính chất tiếp tuyến Ta có :

BE2 BF BG. (2)

Mặt khác : AGB FCB ( g-g)

BF BC     (3)

Từ (2) và (3) Suy ra : BE2 AB BC. (4)

Từ (1) và (4), suy ra : BD = BE

Câu 6: ( 2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 1 – xy, trong đó x, y là các số thực

thỏa mãn điều kiện : x2013 y2013 2x1006 1006y

Giải: Từ x2013 y2013 2x1006 1006y

* Nếu x = 0  y0; Nếu y = 0  x0

* Nếu x0; y 0

Thì x2013 y2013 2x1006y1006 



1006 1006

2013 2013

Đặt tx 0

y

Thì  *  xt y   1 2

t  xt2  2t y  0

Giải phương trình theo biến t Ta có :

 

  ' b'2 ac  1 2 xy  1 xy.

Để phương trình có nghiệm ( Dấu đẳng thức xảy ra )

Thì   ' 1 xy0  xy 1

Nên giá trị nhỏ nhất của P = 1 – xy = 0 khi xy = 1

( Nếu có thắc mắc cần trao đổi xin liên hệ qua hòm thư

“ info@123doc.org” )