Tai lieu on thi Ly thuyet Vi du

Lưu ý: Việc quy đồng hai vế thường được áp dụng khi giải bất phương trình có ẩn ở mẫu nhưng lúc thực hiện phép quy đồng hai vế chúng ta không được bỏ mẫu chung đi trừ khi mẫu chung ấy là[r]

Quyển 1:

Lý thuyết Các Ví dụ Đề tham khảo

M C L C

Phần 1: Hàm số và một số bài toán có liên quan 1

Phần 2: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit 16

Phần 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng 23

Phần 4: Phương pháp toạ độ trong không gian (Oxyz) 32

Phần 5: Số phức 45

Phần 6: Khối đa diện, khối tròn xoay 49

Phần 7: Một số vấn đề về lượng giác 56

Phần 8: Tổ hợp – Xác suất & Nhị thức Newton 64

Phần 9: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng (Oxy) 69

Phần 10: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình 75

Phần 11: Bất đẳng thức, giá trị lớn nhất & giá trị nhỏ nhất 84

Phụ lục: Đề và đáp án kỳ thi THPT.QG năm 2015 91

Phụ lục: Phương pháp xét dấu biểu thức chứa biến 95

Phụ lục: Một số vấn đề về tam thức bậc hai 96

Phụ lục: Một số vấn đề về toạ độ trong mặt phẳng 98

Phụ lục: Bảng công thức đạo hàm 99

Phụ lục: Bảng công thức lượng giác 100

Th.S Dương Phước Sang 1 0942.080383

KH O SÁT HÀM S VÀ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN

I Sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đa thức

Tìm điểm uốn khi y′ =0 vn Lập bảng giá trị

Vẽ đồ thị và nêu nhận xét

Số nghiệm của phương trình y′ = 0 a > 0 a < 0

Đồ thị hàm số bậc ba luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

Số nghiệm của phương trình y′ = 0 a > 0 a < 0 Cực trị

Đồ thị hàm số trùng phương luôn nhận trục tung làm trục đối xứng

Nếu đồ thị của hàm số trùng phương có 3 điểm cực trị thì chúng tạo thành 3 đỉnh của một tam giác cân

−

→ −

và ( )

lim

d c x

Tiếp tuyến của đồ thị ( ) :C y = f x( ) tại x0 có hệ số góc k = f x′( )0

Tiếp tuyến song song với △ : y = ax + b có hệ số góc k = a

Tiếp tuyến vuông góc với △ : y = ax + b có hệ số góc 1 ( 0)

a

k = − a ≠

Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc ϕ có hệ số góc k = ±tanϕ

Dạng 1 (phương trình tiếp tuyến TẠI một điểm)

Xác định đủ ba giá trị x y0, 0 và f x′( )0

Dùng công thức (*) để viết phương trình tiếp tuyến

Dạng 2 (phương trình tiếp tuyến biết trước hệ số góc k)

Xác định hệ số góc k từ giả thiết của bài toán

Dùng công thức f x′( )0 = để xác định k x0rồi tìm y0

Dùng công thức (*) để viết phương trình tiếp tuyến

Tiếp tuyến của đồ thị

TẠI một điểm

khác hoàn toàn với

tiếp tuyến của đồ thị

Đặc biệt lưu ý

Th.S Dương Phước Sang 3 0942.080383

Dạng 3 (phương trình tiếp tuyến thoả một điều kiện nào đó cho trước)

Đặt x0 = rồi tính a y0 = f a( ) và f x′( )0 = f a′( )

Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại x0 theo công thức y = f a x′( )( − +a) f a( )

Dùng điều kiện đề cho để xác định a Từ đó viết được phương trình tiếp tuyến

IV Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị

lµ ®−êng th¼ng n»m ngang ®i qua

Kết quả: Phương trình (*) có n nghiệm ⇔( )C và d có n điểm chung ⇔ ⋯

V Điều kiện xác lập cực trị của hàm số bậc ba và hàm số trùng phương

Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên K chứa x0 sao cho f x′( )0 =0 Khi đó,

f′′x ≠ ⇒ f x đạt cực trị tại x0 f′′( )x0 =0 : không suy ra được điều gì

(nếu y x′′( )0 =0 ta cần vẽ bảng biến thiên của hàm số để xác định về cực trị của hàm số) Hàm số bậc ba y =ax3 +bx2+cx+d có cực trị ⇔y′ =0 có 2 nghiệm phân biệt

Hàm số trùng phương y =ax4 +bx2+c có 3 cực trị ⇔y′ =0 có 3 nghiệm phân biệt Hàm số trùng phương y =ax4 +bx2+c có 1 cực trị ⇔y′ =0 có 1 nghiệm duy nhất

VI Sự tương giao giữa đồ thị hàm số và một đường thẳng

Số giao điểm của ( ) :C y = f x( ) và :d y=kx + bằng với số nghiệm của phương trình b

( )

f x =kx +b

Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi hàm số ấy có 2 điểm cực trị sao cho 2 giá trị cực trị tương ứng trái dấu với nhau

Đồ thị hàm số trùng phương cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi hàm số

có 3 điểm cực trị sao cho 2 giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số trái dấu với nhau

VII Sự đơn điệu của hàm số nhất biến trên một khoảng

Hàm số y ax b

cx d

+

=+ đồng biến trên khoảng K ⊂ ⇔D f x′( )> ∀ ∈0, x K Hàm số y ax b

cx d

+

=+ nghịch biến trên khoảng K ⊂ ⇔D f x′( )< ∀ ∈0, x K

IX Một số công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có đúng 1 nghiệm dương ?

Lấy đối xứng với phần còn lại của ( )C qua Ox

3

(C ) :y = f x( ) Giữ nguyên phần đồ thị ( )C nằm bên phải Oy

Lấy đối xứng với phần đã giữ lại đó qua Oy

y = f (|x |) là hàm số chẵn

nên có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng

2

(C ) :y = u x v x( ) ( )

Giữ nguyên phần đồ thị

( )C ứng với ( )u x ≥ 0

Lấy đối xứng với phần

còn lại của ( )C qua Ox

Th.S Dương Phước Sang 5 0942.080383

x y

-2-1

-2

-1

64

Đồ thị hàm số là một đường cong nhận điểm

I(2;1) làm tâm đối xứng (như hình vẽ)

bằng với số giao điểm của ( )C và d

(1) có 3 nghiệm ⇔( )C và d có đúng 3 điểm chung

m m

y

1

-1 -1

O

1

x y

Hàm số đồng biến trên khoảng (–1;0), (1;+∞) và nghịch biến trên khoảng (–∞;–1), (0;1)

Hàm số đạt cực đại tại xCĐ = 0 với yCĐ= 0

đạt cực tiểu tại xCT= ±1 với yCT= –1

Hàm số đạt cực tiểu tại xCT = 0 với yCT= 0 và không đạt cực đại

Bảng giá trị: x –1 0 1

Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng (như hình vẽ bên đây)

1

x y x

−

=

−

Th.S Dương Phước Sang 7 0942.080383

y

x

3 2

3 2

Đồ thị hàm số gồm hai nhánh nhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng (như hình vẽ)

Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số sau đây với điều kiện kèm theo

Với x0 =2 thì y0 = −2 Phương trình tiếp tuyến của ( )C tại M(2;–2) có phương trình

y = − x − − ⇔ = − + (tiếp tuyến này trùng với d) y x

Như vậy ( )C chỉ có một tiếp tiếp song song với d là y = – 3x

1

x y x

−

=

1( 1)

y x

−

=

−

Tiếp tuyến tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân nên tạo với trục Ox một góc bằng 45

Từ đó hệ số góc của tiếp tuyến đó là k = ±tan 45 = ± ⇔1 y x′( )0 = ± 1

Hàm số đạt cực tiểu tại x0 = −2 nên y′ − = ⇔ −( 2) 0 m2+4m− = ⇔3 0 m = hoặc m = 3 1

Với m = 3 thì y′′ − =( 2) 12>0 ⇒ hàm số đạt cực tiểu tại x0 = −2

Với m = 1 thì y′′ − =( 2) 0 (kết quả này bằng 0 thì phải dùng sự biến thiên của hàm số)

y′ =x + x + = x + ≥ ∀ ∈x ℝ ⇒ hàm số không đạt cực trị

Vậy với m = 3 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 = −2

muốn xác định được sự tồn tại cực trị của hàm số tại x0 ta phải xét dấu f x′( )

Tiếp tuyến qua A khác với

tiếp tuyến tại A

Chú ý

Th.S Dương Phước Sang 9 0942.080383

y = m + x + mx + −m x −

a) Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại và cực tiểu

b) Với giá trị nào của m thì hàm số có các điểm cực trị cùng dương

m P

⇔ − + − + + = ⇔ + = ⇔ = − (thoả điều kiện (*))

Vậy m = –6 là giá trị tham số cần tìm

y =x + mx +m + Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

có các điểm cực trị A, B sao cho đường thẳng AB đi qua điểm C(1;0)

So với điều kiện m ≠ ta nhận 0 m = ± là các giá trị tham số cần tìm 1

có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác vuông

Hàm số có 3 điểm cực trị ⇔ phương trình y′ =0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔m > 0

Khi đó, 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A(0;m2 – m), ( B− m;−m) , (C m;−m)

AB = − m −m AC = m −m và AB = AC

Từ đó để ABC∆ vuông thì AB AC = Giải tiếp rồi đối chiếu điều kiện ta nhận m = 1 0

Th.S Dương Phước Sang 11 0942.080383

Đặt g x( )=x2− + +x 1 m

( )C và △ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt ⇔ phương trình (*) có 3 nghiệm x x x1, ,2 3 ph.biệt

⇔ phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 2

m∈ −∞ − − thì ( )C và △ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt

mx − m− x + m− = (1) Đặt 2

0

t =x ≥ ta được 2

mt − m− t + m− = (2) ( )C cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt

⇔ phương trình (2) có hai nghiệm t t1, 2 dương phân biệt

tại 3 điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho tiếp tuyến của ( ) C tại B và C vuông góc với nhau?

Tiếp tuyến của ( )C tại B và C vuông góc với nhau khi và chỉ khi y x′( ) ( )1 y x′ 2 = −1

điểm M, N phân biệt sao cho tam giác OMN vuông tại O

m

m m

Th.S Dương Phước Sang 13 0942.080383

–9

1

x y x

−

=+ sao cho khoảng cách từ điểm M đến trục

hoành gấp 3 lần khoảng cách từ điểm M đến trục tung

Ví dụ 16: Gọi △ là tiếp tuyến của đồ thị ( ) : 2 1

− tại giao điểm của ( )C với trục tung

Tìm toạ độ điểm N thuộc đồ thị ( ) C sao cho N có hoành độ lớn hơn 1 đồng thời khoảng cách từ điểm N đến tiếp tuyến △ đạt giá trị nhỏ nhất

Bài giải

1

x y

x

−

Gọi A là giao điểm của đồ thị ( ) C với trục tung thì (0;1)A

Tiếp tuyến của đồ thị ( )C tại A là đường thẳng △:y= 3x + ⇔1 3x − + =y 1 0

n

n

n n

VÍ DỤ MINH HOẠ VỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

x − x < thì ( )C và ( )C′ đối xứng nhau qua Ox

Như vậy dựa vào ( )C ta vẽ được ( )C′ như hình 2 dưới đây

Th.S Dương Phước Sang 15 0942.080383

1

x x

2 11

x x x x

x < thì ( )C và ( )C′ đối xứng nhau qua Ox

Như vậy dựa vào ( )C ta vẽ được ( )C′ như hình 2 dưới đây

Từ đó ta có đồ thị ( )C′ như hình 6 dưới đây( )C : y = 2x3 – 9x2 + 12x – 3 ( )C ′ :y = 2|x|3– 9x2+12|x| – 3

x

y

21

2 11

x x

−

=

Th.S Dương Phước Sang 17 0942.080383

I Các định nghĩa và tính chất của lôgarit

Với cơ số 0 <a≠ 1 ta định nghĩa a x = ⇔ =b x loga b

Với cơ số 0 <a≠ 1 ta có các tính chất sau đây:

10

logb =lgb =log b (b > 0) log ( )n m m loga

a b = n ⋅ b (n ≠ 0, b > 0)

lnb = loge b (b > 0) log (a m n )=loga m+loga n (m,n > 0)

Ví dụ 3: Chứng minh rằng các đẳng thức sau đây luôn đúng với điều kiện kèm theo

a) log( 2 ) 2 log 2 1(log log )

c) loga x.logb y =loga y logb x với mọi số dương , , ,a b x y thoả mãn a ≠ 1, b ≠ 1

Th.S Dương Phước Sang 19 0942.080383

Ví dụ 4: Giải các phương trình và bất phương trình sau đây:

⇔  = ⇔  = Vậy phương trình có tập nghiệm S ={ }0;1

So với điều kiện t > 0 ta nhận 0< ≤ , khi đó 3t 3 x ≤ ⇔ ≤ 3 x 1

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = −∞ ( ;1]

Th.S Dương Phước Sang 21 0942.080383

Ví dụ 7: Giải các phương trình và bất phương trình sau đây:

So với điều kiện x > 0 ta nhận hết các nghiệm nêu trên

x = + làm nghiệm của phương trình

1

x x

1

x

x x

0

x x

Ví dụ 8: Giải các phương trình và bất phương trình sau đây:

Hướng dẫn: đặt t =log (33 x − 1) Đáp số: x ∈(0; log 3109 ∪[log 4; 3 +∞)

5

0< ≠ ta có x

5 5

Hướng dẫn: xét 2 trường hợp theo cơ số (3x + 2)

Giải trường hợp 3x + > ta được 2 1 ( 1 5] 1 5

x ∈ −∞ − ∪  +  Giải trường hợp 3x + < ta được 2 1 [1 5 ] 1 5 )

Th.S Dương Phước Sang 23 0942.080383

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN & NG D NG

I Bảng nguyên hàm cơ bản và nguyên hàm mở rộng

( ).ln (n )

f x ax b dx

dx x

III Phương pháp nguyên hàm đổi biến số

( ) ( ) ( )

f t x  t x dx′ =F t x +C

∫ Vài dạng tích phân đổi biến thông dụng:

Dạng tích phân Đặc điểm nhận dạng Cách đặt

( ) ( )( )

Đôi khi thay cách đặt t =t x( ) bởi t =m t x ( )+n ta sẽ gặp thuận lợi hơn

IV Công thức Newton-Leibnitz (tính tích phân xác định)

Th.S Dương Phước Sang 25 0942.080383

VII Công thức tính diện tích hình phẳng

VIII Công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay

Hình phẳng ( )H giới hạn bởi truïc

( ) ;,

V =π∫ f x  dx

Dưới đây hình minh hoạ cho 1 số trường hợp khác và công thức xử lý tương ứng:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng F x( )=ln(x + x2 +1) là 1 nguyên hàm của ( ) 21

F x = x − + là nguyên hàm của ( ) 4 3

x x

–

Th.S Dương Phước Sang 27 0942.080383

A B

=



⇔  =−

quy đồng rồi nhóm số hạng

ở tử thức theo luỹ thừa của x

Với tích phân này ta thực hiện

1 ln

.ln

2 2

1 2 1

Th.S Dương Phước Sang 29 0942.080383

y

3-1

O x

y

Th.S Dương Phước Sang 31 0942.080383

hạn bởi các đường sau đây : ( ) :C y =e x x , trục hoành và đường thẳng x = 1

hạn bởi các đường sau đây : ( ) :C y = x , d : y = x – 2 và trục hoành

Lời giải

Hoành độ giao điểm của ( )C với trục hoành: x = ⇔ = 0 x 0

Hoành độ giao điểm của d với trục hoành: x − = ⇔ = 2 0 x 2

Hoành độ giao điểm của ( )C với trục hoành:

PH NG PHÁP TO Đ TRONG KHÔNG GIAN

Trung điểm I của Trọng tâm G của Trọng tâm G của

đoạn thẳng AB tam giác ABC tứ diện ABCD

222

y y y

z z z

Hình chiếu vuông góc của điểm (M x M;y M;z M):

Trên trục Ox là M x1( M; 0; 0) Trên mp(Oxy) là M12(x M;y M; 0)

Trên trục Oy là M2(0;y M; 0) Trên mp(Oxz) là M13(x M; 0;z M)

Trên trục Oz là M3(0; 0;z M) Trên mp(Oyz) là M23(0;y M;z M)

Lưu ý: Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔AB và BC cùng phương

Ba điểm A,B,C không thẳng hàng ⇔AB và BC không cùng phương

Th.S Dương Phước Sang 33 0942.080383

A'

C' B'

A

B A

C

B A

C' B'

C

D A

Thể tích khối tứ diện ABCD:

1[ , ]

2

ABC A B C

V ′ ′ ′ = AB AC AA′Ứng dụng 4: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng △

d △ △( ,1 2) 1 2 1 2

1 2

, ,

Nếu ( )P đi qua ( ;0;0), (0; ;0), (0;0; )A a B b C c với abc≠ thì 0

III Phương trình đường thẳng

Đường thẳng d đi qua điểm M x y z0( ; ; )0 0 0 và có véctơ chỉ phươngu =( ; ; )a b c có:

Phương trình tham số:

0 0 0

Nếu d €∆ thì d nhận véctơ chỉ phương u∆ của ∆ làm véctơ chỉ phương tức là u d =u∆

Nếu d ⊥( )P thì d nhận véctơ pháp tuyến n P của ( )P làm véctơ chỉ phương tức là u d =n P

Nếu d =( ) ( )P ∩ Q thì d có véctơ chỉ phương u =[n n P, Q]

C

A

B

Th.S Dương Phước Sang 35 0942.080383

Q P

M P

Q

M P

I Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

Không giao nhau Tiếp xúc với nhau Cắt nhau theo đường tròn

R

r P

I

( ),( )

d I P >R d I P( ),( ) =R d I P( ),( ) <R

II Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Cho mặt phẳng ( ) :P Ax+By +Cz + = có vtpt D 0 n P =( ; ; )A B C và đi qua điểm M P

và mặt phẳng ( ) :Q A x′ +B y′ +C z′ +D′ = có vtpt 0 n Q =( ;A B C′ ′ ′; ) và đi qua điểm M Q

cïng ph−¬ng

( )P cắt ( )Q ⇔n P không cùng phương n Q (chú ý thêm: ( ) P ⊥( )Q ⇔n P ⊥n Q)

III Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho đường thẳng d1 đi qua điểm M x y z1( ; ; )1 1 1 có véctơ chỉ phương u1 =( ; ; )a b c1 1 1

đường thẳng d2 đi qua điểm M x y z2( ; ; )2 2 2 có véctơ chỉ phương u2 =( ; ; )a b c2 2 2

Để tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng d d1, 2 cắt nhau ta viết phương trình tham số của d1 và d2 (theo 2 tham số khác nhau) Lập hệ phương trình tạo nên bởi chúng để tìm t t1, 2Cuối cùng thay t1 vào phương trình tham số của d1 để tìm toạ độ của giao điểm

IV Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng

0

0 0

Thay (1) vào (2) ta được phương trình (*) theo t Tuỳ theo số nghiệm của phương trình (*)

ta suy ra được vị trí tương đối của đường thẳng d và mặt phẳng ( )P

Th.S Dương Phước Sang 37 0942.080383

VÍ DỤ MINH HOẠ

( )S có tâm I(0;–1;3) và đi qua A nên có bán kính R =IA= 24

Vậy phương trình mặt cầu ( ) :S x2 + +(y 1)2 + −(z 3)2 =24

Gọi I là trung điểm của đoạn MN thì I(–1;1;1)

( )S có đường kính MN nên có tâm I và bán kính 1

R = MN =

Vậy phương trình mặt cầu ( ) : (S x +1)2+ −(y 1)2+ −(z 1)2 =22

Vậy phương trình mặt cầu ( ) :S x2 + −(y 2)2 + +(z 6)2 =25

đi qua các điểm O(0;0;0), A(1;3;1), B(2;1;2), C(0;2; –6) Khi đó d = và 0

9 2 13 10 29 10

tâm ( ; ; )I a b c ∈Oy đồng thời đi qua A(2;1;–1) và T(–1;–3;2) Khi đó,

I

C I B

qua A(1;2;1), B(0;–1;1), C(2;3;0) và có tâm I thuộc ( ) :β x− + − = Khi đó 2y 3z 3 0

2

a b c d

qua hai điểm A(3;2;–4), B(4;5;0) sao cho tâm I của ( )S thuộc đường thẳng d Khi đó

Thay (**) vào (*) ta được t = −1 vµ d = − 43 ⇒ =a 1, b = −1, c = 2

Vậy phương trình mặt cầu ( ) :S x2+ + − + − −y2 z2 2x 2y 4z 43= 0

Mặt phẳng ( )P đi qua điểm A(2;–1;3) và vuông góc với d

nên ( )P có véctơ pháp tuyến n =u d = −(2; 1;2)