Kiến thức về dãy số sẽ giúp ta giải quyết vấn ñề này 1.Dãy số: Nhớ lại ñịnh nghĩ trong SGK: một hàm số u xác ñịnh trên tập hợp các số nguyên dương Ν * ñược gọi là một dãy số vô hạn hay g[r]
Trang 1DÃY SỐ VÀ ỨNG DỤNG VÀO CÁC BÀI TOAN VẬT LÝ
By: Lê ðại Nam Nhớ lại một bài thi tuyển sinh lớp 10 của trường PTNK, có một năm ñã ra một mạch ñiện thế này
Mỗi ñoạn dây có ñiện trở là R Tính ñiện trở tương ñương của 2 ñầu AB RAB = ?
Liệu với hình vuông nxn thì ñiện trở tương ñương R n bằng bao nhiêu?
Kiến thức về dãy số sẽ giúp ta giải quyết vấn ñề này
1.Dãy số:
Nhớ lại ñịnh nghĩ trong SGK: một hàm số u xác ñịnh trên tập hợp các số nguyên dương *
Ν ñược gọi là một
dãy số vô hạn hay gọi tắt là dãy số
Chính từ ñịnh nghĩa này, một số người ñã nghĩ rằng, trong vật lý, các thông số vật lý thường là hàm xác ñịnh trên tập hợp số thực R nên giữa dãy số và các bài toán vật lý không có mối quan hệ
Tuy nhiên, thực tế vẫn có những bài toán vật lý, một vài thông số là hàm xác ñịnh trên tập *
Ν
Dãy số ñược cho bởi các cách sau ñây:
Cách 1: cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát
n
u = f n ∀ ∈n N
: ; ; ;
n
n
n
+ Cách 2: cho dãy số bởi hệ thức truy hồi
Hệ thức truy hồi của một dãy số là một hệ thức cho phép ta xác ñịnh một số hạng của dãy số nếu ta biết một, hai hay nhiều số hạng ñứng trước nó
Ví dụ: dãy Fibonacci
*
Dãy số ñơn ñiệu:
Tính ñơn ñiệu của hàm số ñóng vai trò quan trọng trong việc xác ñịnh tính ñơn ñiệu của dãy số xác ñịnh bởi hàm số ñó Ta thường dùng tính chất cơ bản sau
Cho dãy số { }u n ñược xác ñịnh theo công thức u n = f u( n−1)∀ ≥n 2
Giả sử u n∈[a b, ]∀ ∈n N và f ñồng biến trên [a b, ] thì
a) Nếu x1 < x2 thì dãy là ñơn ñiệu tăng
b) Nếu x1 > x2 thì dãy là ñơn ñiệu giảm
2 Một vài dãy số cơ bản:
1 Cấp số cộng :
Một cấp số cộng ñược xác ñịnh theo 2 yếu tố: số hạng thứ nhất u1 và công sai d
Trang 2Theo ñịnh nghĩa ( )u n là cấp số cộng ⇔u n =u n−1+ ∀ ≥d n 2
Do ñó, một cấp số cộng có thể ñược biểu diễn bằng một hệ thức truy hồi sau
1
1
2
n n
=
Hay bằng một công thức cho số hạng tổng quát như sau:
* 1
1
n
Tổng n số hạng ñầu tiên của một cấp số cộng là:
1 1
2
−
2 Biến thể của cấp số cộng:
Biến thể của một cấp số cộng là một dãy số u n nào dó, mà tồn tại một hàm f sao cho
( )
a = f u là một cấp số cộng
ðể xác ñịnh ñược dãy ( )a n thì cần xác ñịnh ñược hàm f Thông thường dãy ( )u n ñược biểu diễn theo công thức truy hồi
Ví dụ:
Ta có một ví dụ ñơn giải sau: ( 1 ) 1( ) ( 1 )( )
1
1
u
=
ðể giải dãy này, trước hết ta có nhận xét
Nếu (u n−1+1)(u n +1)=0⇔(u n+1) (= u n−1+1)⇔u n−1=u n = − ∀ ≥1 n 2 thì vô lý, vì u =1 1
Vậy (u n−1+1)(u n +1)≠0
Từ công thức truy hồi, ta có:
1 1
1
1
n
u
−
−
1
2 1 1
2
n n n
n
n
a a u
a
−
+ = thấy ngay ( )a n là cấp số cộng có 1
1 2
a = và công sai d = 2
n
n n
n
u
−
3 Cấp số nhân:
Một cấp số nhân ñược xác ñịnh theo 2 yếu tố: số hạng thứ nhất u1 và công bội q
Theo ñịnh nghĩa ( )u n là cấp số nhân ⇔u n =qu n−1∀ ≥n 2
Do ñó, một cấp số cộng có thể ñược biểu diễn bằng một hệ thức truy hồi sau
Trang 31
2
n n
u qu − n
=
Hay bằng một công thức cho số hạng tổng quát như sau:
( 1)( 1 2)( 2 3) ( 2 1) 1 1 1
1
n
n
u u q n N
−
−
Tổng n số hạng ñầu tiên của một cấp số cộng là:
( 1)
1 1
n
i
q
q
−
−
−
4 Biến thể của cấp số nhân:
Biến thể của một cấp số cộng là một dãy số u n nào dó, mà tồn tại một hàm f sao cho
( )
a = f u là một cấp số nhân
ðể xác ñịnh ñược dãy ( )a n thì cần xác ñịnh ñược hàm f Thông thường dãy ( )u n ñược biểu diễn theo công thức truy hồi
Ví dụ:
Ta cũng có một ví dụ ñơn giản như sau: 1
1
1
u
−
=
Ta sẽ giải dãy số này như:
⇔
1
3
10
n n
a
−
=
=
thấy ngay ( )a n là cấp số nhân có a =1 10 và công bội q = 3
1
10.3n
n
Giải ra ta ñược 1 3 1
10.3
n n
n
a
5 Cấp số ñiều hoà
Ngoài 2 cấp số trên, còn có cấp số ñiều hoà Cấp số ñiều hoà ñược ñịnh nghĩa là dãy số { }u n với
0
n
u ≠ ∀ ∈n N thoả mãn ñiều kiện
*
1 1
2 n n
n
n n
u u
− +
+
Từ ñiều kiện trên, ta thấy bản chất của cấp số ñiều hoà là một biến thể của một cấp số cộng
thật vậy
*
1 1
n
u u
− +
+
Tức là nếu { }u n là một cấp số ñiều hoà thì 1
n
u
là một cấp số cộng
6 Mỗi liên hệ giữa cấp số cộng , cấp số nhân và cấp số ñiều hoà
1 Xét dãy số sau:
Trang 41
ons
−
=
Với A,B,C là hằng số và A khác 0
Nếu A + B = 0 thì dãy trên là một cấp số cộng
Nếu C = 0 thì dãy trên là một cấp số nhân
Nếu A + B , C ựều khác 0 thì ta có:
1
1
1 1
1 1
ons
ons
2 ons
u c t
u c t
u c t
−
−
−
=
⇔
=
⇔
=
Chọn C1+C2 =C thoả 1 1
+ = − + ∀ ≥
2
A
A B
C B C
B
A A A
A B
⇔
=
n n
C
A
= + thì dãy ( )a n là cấp số nhân với công bội q B
A
−
1 1
C
A
Dãy trên ựược gọi là cấp số suy rộng
Dạng này cũng thường gặp trong các bài toán về dãy số đôi khi giải quyết các bài toán vật lý, ta cũng dùng ựến chúng
2 Nếu dãy { }u n là một cấp số cộng thì dãy { }v n với u n , 0
n
v =a ∀ ∈n N a> sẽ lập thành cấp số nhân Nếu dãy { }u n là một cấp số nhân thì dãy { }v n với v n =loga u n∀ ∈n N,0<a≠1 sẽ lập thành cấp số cộng
3 Nếu ta có hàm số f x( ) thoả mãn ựiều kiện ( ) ( ) ( ) , 0
2
f x f y
f xy = + ∀x y> và một cấp số nhân dương { }a n thì dãy {f a( )n } là một cấp số cộng
Nếu ta có hàm số :f R→R+ thoả mãn ựiều kiện ( ) ( ) ,
2
x y
f + f x f y x y R
{ }a n thì dãy {f a( )n } là một cấp số nhân
Nếu ta có một cấp số nhân dương { }a n và một hàm :f R+ R+
→ thoả
( ) 2( )f x f y( ) ( ) ( ) ,
f x f y
+
+ thì dãy {f a( )n } là một cấp số ựiều hoà
7 Dãy Lucas
Chắc hẳn các bạn ựã quen thuộc với dãy Fibonacci rồi chứ nhỉ
Mình xin nói sơ về dãy Fibonacci
Công thức truy hồi của dãy là
*
Trang 5Và công thức tổng quát của nó là 1 1 5 1 5
5
n u
= −
Công thức trên ñược gọi là công thức Binet
Thông thường, trong số học các nhà toán học thường ký hiệu F n ñể chỉ số Fibonacci thứ n trong dãy Fibonacci
Dãy Fibonacci có nhiều tính chất ñặc biệt, tuy nhiên mình không ñề cập ñến các tính chất này Tổng quát hơn dãy Fibonacci là dãy Lucas Cụ thể mình ñề cập ñến dãy Lucas ñơn giản nhất ^^
*
1, 2 ons
u u c t
trong ñó a,b là các hằng số khác 0
Chúng ta thứ giải dãy Lucas một cách bài bản nhé
ðể giải dãy Lucas một cách bài bản, ta có 2 cách sau:
Cách 1:
*
1, 2 ons
u u c t
Từ u n+2 =au n+1+bu nta ñặt a n =u n+1−Au n Ta tìm A sao cho ( )a n là một cấp số nhân
n
a+ =Ba ⇒a =B −a với B là hằng số chưa biết
Suy ra (u n+2−Au n+1)=B u( n+1−Au n)⇔u n+2 =(A+B u) n+1−ABu n
ðồng nhất hệ số, ta ñược A B a
AB b
+ =
= −
suy ra A và B là nghiệm của phương trình r2−ar−b=0
n
a =u + −Au =B − u −Au
Do A, B tương ñương nhau nên ta có thể hoán vị A, B ñể ñược: 1( )
n
u + −Bu =A − u −Bu
Ta ñược hệ phương trình sau:
1
1
n
n
− +
− +
Nếu A = B thì
n
Nếu A,B là 2 nghiệm phân biệt thì:
1
n
− +
− +
+
⇔
Ta có công thức tổng quát của dãy số là
Trang 6( ) ( )
n
n
Cách biễu diễn u n theo n
A và n
B cĩ một ý nghĩa Tí nữa chúng ta sẽ biết ở cách giải 2
Với dãy Fibonacci ta thay 1 2
1 5 2
1 5 2
A
B
=
= = = = ⇒
−
=
5
n
u
= −
Cách 2:
Cách giải trên cĩ vẻ phức tạp và ra kết quả khơng được đẹp
Ta thấy dãy Fibonacci cĩ cơng thức tổng quát là 1 1 5 1 5
5
n F
= −
cĩ dạng 1 1n 2 2n
n
u =C r +C r
Vậy ta phỏng đốn với trường hợp tổng quát hơn thì dãy Lucas vẫn cĩ cơng thức tổng quát tuân theo dạng trên
Ta giả sử 1 1n 2 2n(1)
n
u =C r +C r với r r C C1, , ,2 1 2 là hằng số
Khi đĩ ta cĩ:
u au bu C r C r a C r C r b C r C r
C r r ar b C r r ar b
Chọn r r1, 2 là nghiệm của phương trình r2−ar−b=0
Khi đĩ biểu thức (*) được thoả
Dựa vào u u1, 2 thay vào (1) ta được hệ 2 phương trình 2 ẩn bậc nhất, 2 ẩn C1 và C2 Từ đĩ ta giải ra C1 và C2
Cách giải này giúp ta cĩ một cách giải nhanh và gọn các dãy Lucas
Phương trình r2−ar−b=0 là phương trình đặc trưng của dãy Lucas
Từ đĩ ta rút ra cách giải gọn gàng, dùng để tính dãy Lucas như sau:
- từ hệ thức u n+2 =au n+1+bu n ta rút ra phương trình đặc trưng của dãy Lucas như sau:
Chỉ số chân n nhỏ nhất coi là bậc 0, n+1 ứng với bậc 1 và n+2 ứng với bậc 2 Nghĩa là khi đĩ
u →r u + →r u + →r ta được phương trình đặc trưng r2−ar−b=0
- Giải phương trình đặc trưng, lưu ý rằng ta nếu biệt thức ∆ <0thì ta nhận luơn nghiệm phức
- Giải hệ phương trình
1 1 1 2 2
2 1 1 2 2
u C r C r
u C r C r
- Thay r r C C1, , ,2 1 2 ta được cơng thức tổng quát 1 1n 2 2n
n
u =C r +C r
*** Lưu ý:
Tổng quát hơn dãy Lucas đã nếu ở trên là các dãy Lucas với phương trình đặc trưng bậc 3
Dãy Lucas là nghiệm của một quan hệ hồi quy đơn giản
Trang 7Ngoài ra, tổng quát hơn nữa là quan hệ hồi quy tuyến tắnh hệ số hằng
Quan hệ hồi quy tuyến tắnh hệ số hằng bậc k ựược ựịnh nghĩa là quan hệ có dạng:
f n+k =a f n+k− +a f n+k− + +a f n
Và dãy Lucas mà ta xét ở trên là nghiệm ứng với bậc k = 2
Ở ựây chỉ mang tắnh chất giới thiệu chứ không giải chi tiết
3 Nguyên lý quy nạp toán học:
Nguyên lý quy nạp toán học là một nguyên lý giúp ta giải các dãy số theo một phương pháp mới, phương pháp quy nạp toán học
Nguyên lý quy nạp toán học ựược phát biểu như sau:
Giả sử S là một tập hợp nào ựó các số nguyên dương, chứa số 1 Khi ựó nếu với mọi n∈S, S ựều chứa số n+1 thì S là tập hợp tất cả các số nguyên dương
Nếu hiểu nôm na, nguyên lý quy nạp toán học cho phép ta mở rộng một tập S ra N nếu thoả ựiều kiện với mọi n∈S, S ựều chứa số n+1
Giả sử ta có một mệnh ựề, ựúng với mọi n∈S, ta hiểu như S là một tập xác ựịnh của mệnh ựề ựó Nếu với mọi n∈S, ta chứng minh ựược n+1 thuộc S thì theo nguyên lý quy nạp toán học, S = N* tức mệnh ựề ựó luôn ựúng với mọi số nguyên dương đó là một phương pháp quy nạp toán học ựơn giản
Dựa vào phương pháp này, ta có thế giải một bài toán dãy số như sau:
- tắnh ra các giá trị ứng với các giá trị cụ thể của n, thường là 1,2,3
- tìm quy luật chung giữa các giá trị của các số hạng của dãy
- rút ra công thức tổng quát
- chứng minh rằng công thức nêu ra là ựúng Tức nếu ựúng với n thì ựúng với n+1
Bước thứ 2 là bước khó nhất đòi hỏi phải có kinh nghiệm, óc quan sát và một chút cái gọi là may mắn , hay nói gọn hơn là các tố chất nhạy cảm toán học Hoặc ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp nếu ta ựã nhớ ựược công thức tổng quát của dãy số chẳng hạn
4.Các bài toán vật lý có sử dụng dãy số:
Hy vọng với các phần trên, các bạn ựã có một vốn kiến thức kha khá về dãy số
Ta bước vào phần chắnh của chuyên ựề này: các bài toán vật lý có sử dụng dãy số
Bài toán 1: Các mạch ựiện vô hạn
Các bài toán về mạch ựiện vô hạn quá quen thuộc với các học sinh chuyên lý phổ thông, kể cả cấp 2 lẫn cấp
3 Tuy nhiên, cách giải thông thường là mắc thêm 1 mắc xắch và ựiện trở tương ựương không ựổi Vậy liệu
ựó có là cách giải duy nhất Ta có thể nghĩ ựến 1 cách giải khác, trâu bò hơn, nhưng cũng không phải là dở Nếu ựiện trở tương ựương của mạch ựược biểu diễn như một dãy số thì sao nhỉ???
Dưới ựây là một vài bài tập ựể ta làm thử
Bài tập 1:
Mỗi ựiện trở có giá trị là R tắnh ựiện trở tương ựương RAB của mạch biết có vô hạn mắc xắch
Giải:
Trang 8Mỗi mắc xích là 2 ñiện trở như trên
Gọi Rn là ñiện trở tương ñương giữa 2 ñầu AB của mạch có n mắc xích
Xét mạch có n+1 mắc xích Ta dễ thấy R n+1:(R n / /R ntR) nên
n
n
RR
R R
+ = +
+
Và R1 = 2R
Ta tìm ñược cách biểu diễn ñệ quy của dãy số (Rn) 1
1 2
n n
n
RR
R R
+
+
=
Bây giờ ta giải dãy số này là giải quyết ñược vấn ñề
Thử với n = 1,2,3,4
Ta ñược: 2 ;5 ;13 ;34
1R 3R 8 R 21R Nhận thấy các số 1 2 3 5 8 13 21 34 là các số Fibonacci 2 3 4 5 6 7 8 9 Như vậy ta rút ra công thức tổng quát là
2 1
2
n
n
n
F
F
+
Ta cùng chứng minh thử nhé
Thay vào 1 n
n
n
RR
R R
+ = +
+ ta ñược
2 1
2( 1) 1
1
2
2 1
1
n
n
n
n
n
F
F
F
F
+
+ +
+
Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học, nhận ñịnh của ta là ñúng
Ta có 2 1
2
n n
n
F
F
+
=
Khi số mắc xinh lớn vô hạn thì n → ∞
Ta có một tính chất khá lý thú của dãy Fibonacci
Từ công thúc Binet 1 1 5 1 5
5
n F
= −
ta chứng minh ñược tỉ số 1 1 5
2
n n
F F
→ khi n → ∞
Vậy 1 5
2
R∞ = + R
Bài tập 2:
Bây giờ ta xét một mạch ñiện na ná như mạch ñiện trên
Trang 9Mỗi ñiện trở là R Tính ñiện trở tương ñương RAB của mạch có vô hạn mắc xích như trên
Giải:
Trước hết xin giới thiệu một lời giải trong sách “Một số vấn ñề nâng cao trong Vật lý Trung học phổ thông tập 2” của thầy Phạm Quang Thiều Ta kí hiệu các cường ñộ dòng ñiện và hiệu ñiện thế như hình vẽ sau:
Lời giải và ký hiệu hiệu ñiện thế của mình hơi khác trong sách của thầy Thiều một chút ñể phù hợp hơn với chuyên ñề tuy nhiên vẫn giữ ñược ý tưởng chính của lời giải gốc
Ta có n
n
n
U
R
I
=
Áp dụng ñịnh luật Ohm, ta có các hệ thức sau:
1
1 1
2
4 2
4
n
n n
U
I I
R
−
−
−
Ta xét dãy Lucas u n =4u n−1−u n−2 Phương trình ñặc trưng là r2−4r+ =1 0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt r1 =2+ 3;r1 =2− 3
Ta ñược 1 1n 2 2n
n
u =C r +C r
Áp dụng cho Un và In ta ñược
Trang 101 2
n
n
U Ar Br
I Cr Dr
Giải A,B Ta có
0 2 1
0 1 1
1 2
U r U A
U r U
U Ar Br
B
r r
−
=
⇒
−
=
0 2 1
2 1 0
0 1 1
1 2
I r I C
r r
I r I
D
r r
−
=
−
⇒
−
Và nhớ rằng
0 1
1 1 1 0
3 0
I
=
=
Vì coi như I0 ñi qua giữa 2 ñầu U0 và không khí ☺ nên I0 = 0
Ta ñược kết quả
1
1
2 3
2 3
n
n
I R
U Ar Br
I
I Cr Dr
Ta chia Un cho In , tìm ñược
n
n
U
I
ðể tìm ñược R∞ thì ta có:
lim
2 3
2 3
2 3 1
2 3
n
n
n
n n
n
∞
→∞
→∞
=
−
+
−
− + Vậy R∞ =R( 3 1+ )
Và ñây là một lời giải khác cho bài toán này
Tương tự bài tập 1, ta cũng có: gọi Rn là ñiện trở tương ñương của mạch AB có n mắc xích Khi ñó Rn+1 : R nt (Rn // R)nt R
Trang 11Nên 1 2 n
n
n
RR
R R
+
Và R1=3R Ta thấy dãy này khá giống bài tập 1 nên ta sẽ nghĩ ñến cách làm sau:
Ta ñặt n
n
n
a
b
= thì khi ñó 1
1
2
1
n
n
n
a
a
b
+ +
+
+ +
ðồng nhất tử và mẫu ta ñược 1 2 1 1 1
4
⇒
Như ở cách 1, ta giải dãy Lucas u n =4u n−1−u n−2 ñược 1 1n 2 2n
n
u =C r +C r với r1=2+ 3;r1 =2− 3
ðiều kiện ban ñầu là a1 =3b1 Ngoài ra khi n = 0 thì R = ∞0 nên b =0 0
Coi 1 1
0
3 1
1
a b
a
=
= ⇒
=
Giải dãy {an} và {bn} ta ñược
n
n
a
b
n
n
U
I
Và R∞ =R( 3 1+ )
Nhận xét
Qua 2 bài tập trên, ta rút ra một tính chất khác của dãy Lucas
Xét dãy số 1
1
n n
n
bu
u c u
+
+
Ta ñặt n
n
n
x
u
y
1
n
a b u ac a b x acy x
+ +
Từ ñó ta có thể suy ra
1
x a b x acy
x a b c x bcx
+
Trang 12Vậy ta có thể biểu diễn số hạng tổng quát của dãy 1
1
n n
n
bu
u c u
+
+
bằng một tỉ số của 2 số hạng của 2
dãy Lucas có cùng quan hệ hồi quy dạng X n+2 =(a b+ +c X) n+1−bcX n
Dãy số 1
1
n n
n
bu
u c u
+
+
cũng hay xuất hiện trong các mạch ñiện bởi nếu thay R n =u R n thì
1
n n
n
bR R
R aR
R cR
+ và thường xuất hiện dưới dạng b = c Bởi số hạng n
n
bR R
R +cR khi b = c biểu diễn ñiện trở tương ñương của Rn //(bR)
Bài tập 3
Quay lại vấn ñề ñã nêu ở ñầu chuyên ñề
Với hình vuông 3x3 thì khá dễ với những ai ñã có kinh nghiệm trong việc gỡ nút mạch ñiện
Do mạch là ñối xứng nên ta gỡ nút như sau:
Khi ñó ta dễ dàng tính ñược 13
7
td
Khi mạch ñiện là một hình vuông 2x2 như hình sau
Thì ta tách nút ở giữa và tính ra ñược 3
2
td
R = R và khi mạch ñiện là một hình vuông 1x1
Trang 13Thì R td =R
Liệu với hình vuông nxn thì ñiện trở tương ñương R n bằng bao nhiêu?
Ta xét hình vuông (n+1)x(n+1) như hình sau:
Ta tách các nút ở ñường chéo AB Ta ñược 2 nhánh song song giống hệt nhau nên mỗi nhánh có ñiện trở là
1
2R n+
Mỗi nhánh có hình dạng như sau: