Bai tap on tap HKI Hinh 9 co dap an

Gọi H là trung điểm của AE, kẻ dây CD vuông góc với AE tại H a Tính góc ACB; b Tứ giác ACED là hình gì, chứng minh?. c Gọi I là giao điểm của DE và BC.[r]

Bài 1: Cho (O; R) có đường kính AB Lấy điểm C trên đường tròn sao cho AC = R

a) Tính BC theo R và các góc của ΔABC

b) Gọi M là trung điểm của OA Vẽ dây CD vuông góc với AB tại M

Chứng minh: tứ giác ACOD là hình thoi

c) Tiếp tuyến tại C của đường tròn cắt đường thẳng AB tại E

Chứng minh: ED là tiếp tuyến của (O)

d) Hai đường thẳng EC và DO cắt nhau tại F Chứng minh: C là trung điểm của EF

b)▪ Xét ΔAMD và ΔOMD có:

MA = MO (M trung điểm OA) MD: chung

ΔAMD = ΔOMD (c.g.c)

▪ Xét tứ giác ACOD có:

OC = OD = AC = R (gt)

OD = AD (cmt)

OC = OD = AC = AD

Tứ giác ACOD là hình thoi

c) ▪ Vì ACOD là hình thoi

OA là phân giác

▪ Xét ΔECO và ΔEDO có:

OC = OD (= R) OE: chung ΔECO = ΔEDO (c.g.c) hay ED là tiếp tuyến của (O) (vì D thuộc (O))

d) ▪ ΔOAC đều (vì OA = OC = AC = R) nên: O  2 600

▪ Vì EC, ED là hai tiếp tuyến (O) nên: O1 O 2 600

=>O  3 600

▪ ΔOCE = ΔOCF (g.c.g)

CE = CF (2 cạnh tương ứng) hay C là trung điểm EF

Bài 2: Cho ΔABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH Cho biết BH = 9cm, HC = 16cm.

a) Tính AB, AH

b) Gọi M là trung điểm của BC Đường vuông góc với BC tại M cắt đường thẳng AC và BA theo thứ tự tại E và F Chứng minh: BH.BF = MB.AB

c) Gọi I là trung điểm của EF Chứng minh: IA là bán kính của đường tròn tâm I bán kính IF

d) Chứng minh: MA là tiếp tuyến của đường tròn tâm I bán kính IF

AH // FM (cùng vuông góc BC)

(Talet) hay BH.BF = BM.BA

c)

Vì ΔAEF vuông tại A, AI là đường trung tuyến nên:

(vì I là trung điểm EF)

IA bán kính đường tròn tâm I, bán kính IF ngoại tiếp ΔAEF

d) Vì ΔABC vuông tại A, AM là đường trung tuyến nên:

(vì M là trung điểm BC)

ΔMAC cân tại M (vì MA = MC: do trên) (1)

ΔIAE cân tại I (vì IA = IE = R) (2)

Mà: (3) (2 góc đối đỉnh)

Từ (1), (2) và (3) (2 góc phụ nhau)

Hay và A thuộc (I, IF)

Vậy MA là tiếp tuyến của đường tròn tâm I bán kính IF

Bài 3: Cho đường tròn (O,R) đường kính AB Một điểm M nằm trên đường tròn ( M khác A, B) Gọi N là

điểm đối xứng của điểm A qua điểm M Gọi E là giao điểm của đường thẳng BM với tiếp tuyến tại A của đường tròn (O)

1 Nếu biết góc ABE bằng 60o và R = 3cm Hãy tìm độ dài cảu đoạn thẳng EA và EB

2 Chứng minh EN NB

3 Chứng minh EN là tiếp tuyến của đường tròn (B, 2R)

K _ _

=

=

H E

O

N M

C B

A

1 Tính độ dài EA, EB

Xét EAB vuông:

+ Tính EB =12cm

+ Tính EA = 6√3 cm

2 Chứng minh EN NB

+ Chứng minh ENBEAB

+ ENNB

3 Chứng minh EN là tiếp tuyến của đường tròn (B,2R)

Chỉ ra:

+ AB NB

+ EN NB

+ BN là bán kính của đường tròn (B,2R)

Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB ở M và cắt AC ở N Gọi H là

giao điểm của BN và CM

1) Chứng minh AH  BC

2) Gọi E là trung điểm AH Chứng minh ME là tiếp tuyến của đường tròn (O)

3) Chứng minh MN OE = 2ME MO

4) Giả sử AH = BC Tính tgBAC

1) Chứng minh AH  BC

ΔBMC và ΔBNC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC

Suy ra BMC BNC  900 Do đó: BN AC, CM AB,

Tam giác ABC có hai đường cao BN , CM cắt nhau tại H

Do đó H là trực tâm tam giác Vậy AH  BC

2) (1đ)Gọi E là trung điểm AH Chứng minh ME là tiếp tuyến của đường tròn (O)

OB = OM (bk đường tròn (O))  ΔBOM cân ở M

Do đó: OMB OBM  (1)

ΔAMH vuông ở M , E là trung điểm AH nên AE = HE =

1

2AH Vậy ΔAME cân ở E

Do đó: AME MAE (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OMB AME MBO MAH    Mà MBO MAH 900(vì AH  BC )

Nên OMB AME  900 Do đó EMO  900 Vậy ME là tiếp tuyến của đường tròn (O)

3) (0,5đ)Chứng minh MN OE = 2ME MO

OM = ON và EM = EN nên OE là đường trung trực MN

Do đó OE  MN tại K và MK = 2

MN

M E

N

ΔEMO vuông ở M , MK  OE nên ME MO = MK OE = 2

MN

.OE Suy ra: MN OE = 2ME MO

4) (0,5đ) Giả sử AH = BC Tính tan BAC

ΔBNC và ΔANH vuông ở N có BC = AH và NBC NAH (cùng phụ góc ACB)

ΔBNC = ΔANH (cạnh huyền, góc nhọn)  BN = AN

BN NAB

AN

Do đó: tan BAC =1

Bài 5:Cho đường tròn (O, R) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường

tròn (B, C là các tiếp điểm) Gọi E là giao điểm của BC và OA

a) Chứng minh: BE vuông góc với OA

b) Chứng minh: OE.OA = R2.

c) Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O, R) lấy điểm K bất kỳ (K khác B, C) Tiếp tuyến tại K của đường tròn (O, R) cắt AB, AC theo thứ tự tại P, Q

Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC.

a) AB, AC là 2 tiếp tuyến của (O)

⇒ AB = AC (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Mặt khác: OB = OC = R

⇒ OA là trung trực của BC

⇒ OABE

b)Xét OAB vuông tại B,đường cao BE, ta có:

OE OA OB2R2(theo hệ thức lượng trong tam giác vuông)

c) * PB, PK là 2 tiếp tuyến kẻ từ P đến (O) nên PK = PB(t/c2 tiếp tuyến cắt nhau)

QK, QC là 2 tiếp tuyến kẻ từ Q đến (O) nên QK = QC(t/c2 tiếp tuyến cắt nhau)

* Cộng vế ta có:

Bài 6: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Vẽ các tiếp tuyến Ax, By về nửa mặt phẳng bờ AB chứa

nửa đường tròn Trên Ax và By theo thứ tự lấy M và N sao cho góc MON bằng 900

Gọi I là trung điểm của MN Chứng minh rằng:

a AB là tiếp tuyến của đường tròn (I;IO)

b MO là tia phân giác của góc AMN

c MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.

I

y x

H M

N

B O

A

a Tứ giác ABNM có AM//BN (vì cùng vuông góc với AB) => Tứ giác ABNM là hình thang

Hình thang ABNM có: OA= OB; IM=IN nên IO là đường trung bình của hình thang ABNM

Do đó: IO//AM//BN Mặt khác: AMAB suy ra IOAB tại O

Vậy AB là tiếp tuyến của đường tròn (I;IO)

b Ta có: IO//AM =>AMO = MOI ( 1)

Lại có: I là trung điểm của MN và MON vuông tại O (gt) ;

nên MIO cân tại I

Hay OMN = MOI (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AMO =OMN Vây MO là tia phân giác của AMN

c Kẻ OHMN (HMN) (3)

Xét OAM và OHM có:

OAM = OHM = 900

AMO =OMN ( chứng minh trên)

MO là cạnh chung

Suy ra: OAM = OHM (cạnh huyền- góc nhọn)

Do đó: OH = OA => OH là bán kính đường tròn (O; 2

AB

) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: MN là tiếp tuyến của đường tròn (O; 2

AB

)

Bài 7: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R M là một điểm tuỳ ý trên đường tròn ( MA,B)

Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng nằm trên một nửa mặt phẳng

bờ AB) Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba với đường tròn cắt Ax và By tại C và D

a Chứng minh: CD = AC + BD và tam gic COD vuông tại O

b Chứng minh: AC.BD = R2

c Cho biết AM =R Tính theo R diện tích BDM

d AD cắt BC tại N Chứng minh MN // AC

a/ CA = CM (tính chât hai tiếp tuyến cắt nhau)

DB = DM (tính chât hai tiếp tuyến cắt nhau)

 CD = CM + MD = CA + DB

Hay CD = AC + BD

OC là tia phân giác của góc AOM

OD là tia phân giác của góc BOM

Mà góc AOM và góc BOM là hai góc kề bù

Nên: CÔD = 900

Vậy tam giác COD vuông tại O

b/.Tam giác COD vuông tại O có OMCD

 OM2 = CM.MD (2)

suy ra: AC.BD = R2

c)Tam giác BMD đều

SBMD =

2

4

R

đvdt d) Chứng minh MN song song với AC bằng Talet đảo

Bài 8: Từ một điểm ở ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) (B là tiếp điểm) Gọi I là

trung điểm của đoạn AB, kẻ tiếp tuyến IM với đường tròn (O) (M là tiếp điểm)

a Chứng minh rằng : Tam giác ABM là tam giác vuông

b Vẽ đường kính BC của đường tròn (O) Chứng minh 3 điểm A; M; C thẳng hàng

c Biết AB = 8cm; AC = 10cm Tính độ dài đoạn thẳng AM

a/Theo giả thiết IM,IB là tiếp tuyến của đường tròn (O)

=>IM = IB (T/c hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà IA = IB (gt) suy ra MI =

1

2 AB Vậy tam giác AMB vuông tại M (T/c….)

b/Trong tam giác BMC ta có OM = OB = OC ( Bán kính đường tròn (O)) => MO =

1

2BC =>

tam giác BMC vuông tại M (T/c…)

Ta có AMBBMC 900900 1800

Vậy AMC 1800 Nên 3 điểm A,M,C thẳng hàng

c/Ta có AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) => ABOB( T/c tiếp tuyến)

Trong tam giác ABC vuông tại B ta có BM  AC

=> AB2 AM AC ( Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

=>

2

AB

AM

AC



Thay số được AM = 6,4

Bài 9: Cho nửa đường tròn ( O , R) có đường kính AB Dựng dây AC = R và tiếp tuyến Bx với nửa đường

tròn Tia phân giác của góc BAC cắt OC tại M , cắt tia Bx tại P và cắt nửa đường tròn tâm O tại Q

a) CM : BP2 = PA PQ

b) CM : 4 điểm B,P, M, O cùng thuộc đường tròn tìm tâm

c) Đường thẳng AC cắt tia Bx tại K C/m : KP = 2 BP

a, Ta có AQB nội tiếp đường tròn đường kính AB => AQB vuông tại Q =>BQAP

xét ABP vuông đường cao BQ áp dụng hệ thức lượng b2 = a.b/

BP2 = PA PQ

b, AC = AO = R => ACO cân tại A

mà AM là phân giác => AM là đường cao

=>

OMQ 90 mµ BPO 90 (Bx lµ tiÕp tuyÕn)

M, B cïng thuéc ® êng trßn

t©m lµ trung ®iÓm cña OP



c, ta có  AOC đều => góc A = 600

xét AKB v uông

O

C A

B I

M

M

O C

K

B A

AP lµ ® êng ph©n gi¸c => 2

PK 2BP

Bài 10 :

Câu 11: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Vẽ đường tròn (A ; AH) Vẽ các tiếp tuyến BD,

CE với đường tròn (D, E là hai tiếp điểm khác H)

a/ Chứng minh BD + CE = BC và ba điểm A, D, E thẳng hàng

b/ Chứng minh

2

4

DE

BD CE 

c/ Đường tròn tâm M đường kính CH cắt đường tròn (A ; AH) tại N (N khác H)

Chứng minh CN song song với AM

a/ Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, có BD = BH, CE = CH

b/

2 2

4

DE

BD CE BH CH AH 

c/ HNC nội tiếp đường tròn đường tròn đường kính HC nên vuông tại N  HN  NC Chứng minh AM là đường trung trực của HN nên AM  HN

Suy ra AM // CN (vì cùng vuông góc với HN)

Bài 13 Cho (O;15), dây BC = 24cm Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và tại C cắt nhau ở A Kẻ OH

vuông góc với BC tại H

a) Tính OH ;

b) Chứng minh ba điểm O, H, A thẳng hàng ;

c) Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC ;

d) Gọi M là giao điểm của AB và CO, gọi N là giao điểm của AC và BO Tứ giác BCNM là hình

gì ? Chứng minh ?

a) Ta có HC = HB = 12cm, OH =9 (cm)

b) Tam giác OBC cân tại O có OH BC suy ra OH là

phân giác của BOC, mà OA là phân giác của BOCnên

O, H, A thẳng hàng

c) Tam giác OBA vuông tại B có BH là đường cao nên

d) Tam giác MAN có O là trực tâm nên AO  MN suy

ra MN// BC và góc MBC = góc NCB nên BCNM là

m

15

12

12 h o a

c b

Bài 14: Cho tam giác ABC có AB = 3cm ; AC = 4cm ;BC = 5cm; AH vuông góc với BC (H BC) Đường tròn (O) đi qua A và tiếp xúc với BC tại B Đường tròn (I) đi qua A và tiếp xúc với BC tại C a) Tính BAC b) Tính AH

c) Chứng minh rằng : (O) và (I) tiếp xúc ngoài với nhau tại A

d) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng: Tam giác IMO vuông và OI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC

Giải:

Hình vẽ có tam giác ABC ,đường caoAH được :

Hình vẽ có thêm (O) và (I) Và điểm M ⇒BC2=AB2 +AC2 a) AB2 + AC2 = 32+42 = 9 + 16 =25=BC2

Theo định lý đảo của Pytago ⇒ Tam giác ABC vuông tại A

Vậy BÂC= 900

b)Trong tam giác vuông ABC tacó: AH.BC=AB.AC

⇔ AH.5 = 3.4 ⇒ AH = 3 45 =2 4 cm

c) Chứng minh được : HÂC = CÂI (1)

Chứng minh được :OÂB = HÂB (2)

Chứng minh được :BÂH + HÂC = BÂC=900 (3)

Nói được O,A,I Thẳng hàng OA+AI=OI, vậy (O) và(I) Tiếp xúc ngoài với

nhau tại A

d) Chứng minh được :MI là đường phân giác của ∠ AMC MO là đường phân giác của ∠ AMB

Mà ∠AMB+∠ AMC=1800 (2 góc kề bù ) ⇒∠OMI=900 Vậy tam giác OMI vuông tại M

Ta có : MA =MB =MC = BC/2 Nên M là tâm đường tròn đường kính BC Chứng minh được : ∠MAC=∠MCA ∠IAC=∠ICA

Mà : ∠MCA +∠ACI=900 (Tiếp tuyến vuông góc bán kính)

⇒∠MAC+∠CAI =∠MAI=900⇒MA ⊥ IA Vậy OI là tiếp tuyến của

đường tròn đường kính BC

//

//

i

m h

o a

c b

_ _

=

=

H E

O

N M

C B

A

Bài 15.Cho tam giác ABC nhọn Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB ở M và cắt AC

ở N Gọi H là giao điểm của BN và CM

1) Chứng minh AH  BC

2) Gọi E là trung điểm AH Chứng minh ME là tiếp tuyến của đường tròn (O)

3) Chứng minh MN OE = 2ME MO

4) Giả sử AH = BC Tính tang BAC

Giải 1) Chứng minh AH  BC

ΔBMC và ΔBNC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC

Suy ra BMC = BNC = 900 Do đó: BNAC, CM AB,

Tam giác ABC có hai đường cao BN , CM cắt nhau tại H

Do đó H là trực tâm tam giác Vậy AH  BC

2) Gọi E là trung điểm AH Chứng minh ME là tiếp tuyến của đường tròn (O)

OB = OM (bk đường tròn (O))  ΔBOM cân ở O

Do đó: OMB OBM  (1)

ΔAMH vuông ở M , E là trung điểm AH nên AE = HE =

1

2AH Vậy ΔAME cân ở E

Do đó: AME MAE  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OMB + AME = MBO + MAH Mà MBO + MAH = 900 (vì AH  BC )

Nên OMB + AME = 900 Do đó EMO = 900 Vậy ME là tiếp tuyến của đường tròn (O)

3) Chứng minh MN OE = 2ME MO

OM = ON và EM = EN nên OE là đường trung trực MN

Do đó OE  MN tại K và MK = 2

MN

ΔEMO vuông ở M , MK  OE nên ME MO = MK OE = 2

MN

.OE Suy ra: MN OE = 2ME MO 4) Giả sử AH = BC Tính tang BAC

ΔBNC và ΔANH vuông ở N có BC = AH và NBC = NAH (cùng phụ góc ACB)

ΔBNC = ΔANH (cạnh huyền, góc nhọn)  BN = AN

ΔANB vuông ở N ⇒ tanNAB = BNAN=1 Do đó: tanBAC = 1

F E

H O

N

M

B A

Bài 15 Cho đường tròn tâm (O;R) đường kính AB và điểm M trên đường tròn sao cho MAB = 600 Kẻ dây

MN vuông góc với AB tại H

1 Chứng minh AM và AN là các tiếp tuyến của đường tròn (B; BM):

2 Chứng minh MN2 = 4 AH HB

3 Chứng minh tam giác BMN là tam giác đều và điểm O là trọng tâm của nó

4 Tia MO cắt đường tròn (O) tại E, tia MB cắt (B) tại F

Chứng minh ba điểm N; E; F thẳng hàng

Giải:

1 Chứng minh AM và AN là các tiếp tuyến của đường tròn (B; BM):

ΔAMB nội tiếp đường tròn (O) có AB là đường kính nên ΔAMB vuông ở M

Điểm M  (B;BM), AM MBnên AM là tiếp tuyến của đường tròn (B; BM)

Chứng minh tương tự ta được AN là tiếp tuyến của đường tròn (B; BM)

2 Chứng minh MN2 = 4 AH HB

Ta có: AB  MN ở H  MH = NH =

1

2MN (1)

(tính chất đường kính và dây cung)

ΔAMB vuông ở B, MH  AB nên:

MH2 = AH HB ( hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Hay

2

2

MN



  AH HB  MN2 4AH HB. (đpcm) 3) Chứng minh tam giác BMN là tam giác đều và O là trọng tâm tam giác BMN

Từ (1) suy ra AB là là đường trung trực MN nên BM = BN

MAB = NMB = 600 (cùng phụ với MBA) Suy ra tam giác BMN đều

Tam giác OAM có OM = OA = R và MAO = 600 nên nó là tam giác đều

MH  AO nên HA = HO = 2

OA

= 2

OB

Tam giác MBN có BH là đường trung tuyến (vì HM = HN) và OH =

1

2OB nên O là trọng tâm của tam giác

4) Chứng minh ba điểm N, E, F thẳng hàng

ΔMNE nội tiếp đường tròn (O) đường kính AB nên nó vuômg ở N  MN EN

ΔMNF nội tiếp đường tròn (B) đường kính MF nên nó vuômg ở N  MN FN

Do đó ba điểm N, E, F thẳng hàng

Bài 17: Cho tam giác ABC vuông tại C, đường cao CH, O là trung điểm của AB Đường thẳng vuông góc

với CO tại C cắt AB tại D cắt các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O; OC) lần lượt tại E, F

a) Chứng minh CH2 + AH2 = 2AH.CO

b) Chứng minh EF là tiếp tuyến của (O;OC) từ đó suy ra AE + BF = EF

c) Khi AC

1 2



AB = R, tính diện tích tam giác BDF theo R

a) Trong tam giác vuông ACH

AC2 = AH2 +HC2

Trong tam gi ác vuông ACB

AC2 = AH.AB

m à AB = 2CO (T/c trung tuyến của tam giác

vuông)

=> CH2 + AH2 = 2AH.CO

b) Chứng minh được DE là tiếp tuyến

EA = EC, FB = FC

AE + BF = EF

1 2 E

O

F

D

C

H

c) Sin B1= 1/2 => B 1300=>B 2 600=>Tam giác BCF đều

giải các tam giác vuông ABC, BDF => BC = BF = R 3

BD = 3R

=> SBDE = 3

3

2 R2 (đvdt)

Bài 18: Cho (O), đường kính AB = 2R và hai tia tiếp tuyến Ax, By Lấy điểm C tuỳ ý trên cung AB Từ C

kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By tại D và E

a) Chứng minh : DE = AD + BE.

b) Chứng minh : OD là đường trung trực của đoạn thẳng AC và OD // BC.

c) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng DE, vẽ đường tròn tâm I bán kính ID Chứng minh rằng: Đường

tròn (I ; ID) tiếp xúc với đường thẳng AB

d) Gọi K là giao điểm của AE và BD Chứng minh rằng: CK vuông góc với AB tại H và K là trung

điểm của đoạn CH

a) Ta có DA = DC (…) ; EB = EC (…)

Mà DC + EC = DE

Suy ra DE = AD + EB

b) Ta có OA = OC (…) ; DA = DC (…)

Suy ra OD là đ.tr.tr của AC à OD  AC

Mà ACB vuông tại C (…) à AC  CB

Do đó OD // BC

c) c/m IO là đ.t.b của hình thang vuông ABED

Suy ra IO // EB // AD mà AD  AB (gt) à IO  AB (1)

Ta lại có

AD BE IO

2





DE

2

à O I

(2)

Từ (1), (2) à AB là tiếp tuyến của (I) tại O à đpcm

d) Ta có AD // BE (…) à

BE KB mà AD = DC (…), BE = EC (…)

Suy ra

EC KB à KC // EB mà EB  AB Do đó CK  AB Kéo dài BC cắt AD tại N Ta c/m AD = DN (=DC)