gia tri luong giac cua mot so goc dac biet

Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau Chúng ta đã biết mối quan hệ giữa các tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này [r]

Lí thuyết

Ở lớp 9, chúng ta đã biết các tỉ số lượng giác: sin, côsin, tang, côtang của một góc nhọn α và kí hiệu là sinα,cosα,tanα và cotα Ở bài này, chúng ta sẽ thấy rằng, các tỉ số lượng giác đó không chỉ áp dụng cho các góc nhọn (0° < α < 90°) mà nó còn được mở rộng để áp dụng cho các góc tù (90° < α < 180°) Vậy thì, các tỉ số lượng giác của một góc nhọn và các tỉ số lượng giác của một góc tù có gì giống và khác nhau?

Hoạt

động 1

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC = b, BC = a và góc nhọn Tính sinα,cosα,tanα và cotα

Hình 2.2

Trên hình 2.2 có một hệ tọa độ Oxy và một nửa đường tròn tâm O bán kính R = 1, nằm phía trên trục hoành Ta gọi nó là nửa đường tròn đơn vị

Nếu cho trước một góc nhọn α thì ta có thể xác định một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho

Hoạt

động 2

Giả sử (xM;yM) là tọa độ của điểm M (hình 2.2) Hãy chứng

tỏ rằng:

Bây giờ chúng ta mở rộng định nghĩa giá trị lượng giác cho góc α bất kì (0° đến 180°) Ta có định nghĩa sau đây:

Định nghĩa

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), ta xác định điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho Giả sử điểm M có tọa độ (xM;yM) Khi đó:

Tung độ yM của điểm M gọi là sin của góc α, kí hiệu là sinα Hoành độ xM của điểm M gọi là côsin của góc α, kí hiệu là cosα

Tỉ số (với xM ≠ 0) gọi là tang của góc α, kí hiệu là tanα

Tỉ số (với yM ≠ 0) gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cotα

Các số sinα,cosα,tanα và cotα gọi là các giá trị lượng giác của góc α

Như vậy,

VÍ DỤ 1 Tìm các giá trị lượng giác của góc 135°

Lời

giải

Ta lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho

Từ đó suy ra tọa độ của điểm M là:

Vậy

Hoạt

động 3

Xác định tọa độ của điểm M trong hình 2.2, từ đó tìm các giá trị lượng giác của góc α khi:

a) α = 0°; b) α = 90°; c) α = 180°

Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt

Bằng cách tính như trên, ta có thể tính được các giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt mà ta cần ghi nhớ: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150° và 180° (Các giá trị lượng giác này cũng có thể tìm thấy trong bảng số hoặc bằng máy tính bỏ túi)

Kết quả được cho trong bảng dưới đây

Góc

sin

cos

Trong bảng, kí hiệu " " để chỉ giá trị lượng giác không xác định

Dấu của các giá trị lượng giác

Chúng ta đã biết, các tỉ số lượng giác của một góc nhọn luôn dương Tuy nhiên, điều đó sẽ không còn đúng cho trường hợp của góc tù Tại sao lại như vậy?

Xét hình 2.2, khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn thì dễ thấy rằng:

hay hay

Từ đó, ta có bảng sau đây về dấu của các tỉ số lượng giác:

Như vậy, sin của góc tù luôn dương còn côsin, tang, côtang của góc tù luôn âm

Hoạt

động 4

Điền dấu "x" vào ô vuông thích hợp

Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

Chúng ta đã biết mối quan hệ giữa các tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia Liệu có một quan hệ tương tự, cho các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau?

Hoạt

động 5

Lấy hai điểm M và M' trên nửa đường tròn đơn vị sao cho MM' // Ox

a) Tính tổng số đo của hai góc và

b) Hãy cho biết các cặp giá trị lượng giác nào của hai góc α

và α' bằng nhau và đối nhau?

Từ đó ta suy ra các tính chất sau đây:

Nếu hai góc bù nhau thì sin của chúng bằng nhau, côsin, tang và côtang của chúng đối nhau; nghĩa là:

Ví dụ dưới đây minh họa cách sử dụng mối quan hệ trên (của hai góc

bù nhau) để tính giá trị lượng giác của các góc lớn hơn 90°

VÍ DỤ 2 Tìm các giá trị lượng giác của góc

Lời giải Vì góc bù với góc nên:

Cách khác: ta cũng viết

Sử dụng máy tính bỏ túi

Ta cũng có thể sử dụng các loại máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc khi biết số đo của góc và ngược lại, tính số đo của góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó Chẳng hạn đối với máy CASIO fx-500MS, ta có thể thực hiện như sau:

Tính giá trị lượng giác

Sau khi mở máy, ấn phím MODE nhiều lần để màn hình hiện lên dòng chữ ứng với các số sau đây:

Deg Rad Gra

Sau đó ấn phím 1 để xác định đơn vị đó góc là "độ" và tính giá trị lượng giác của góc

Ví dụ: Tính sin 60°52'41

Giải

Ấn liên tiếp các phím sau đây:

sin 63 o''' 52 o''' 41 o''' =

Ta được kết quả là: sin 60°52'41'' ≈ 0,897859012

Để tính cos α và tan α ta cũng làm như trên, chỉ thay việc ấn phím sin bằng phím cos hay tan

Tính số đo của góc

Sau khi mở máy và chọn đơn vị đo góc, để tính góc x khi biết các giá trị lượng giác của góc đó, ta làm như ví dụ sau:

Ví dụ: Tìm x biết sin x = 0,3502

Giải

Ta ấn liên tiếp các phím sau đây:

SHIF T

si n

0.350

SHIF T

o'' '

và được kết quả là: x ≈ 20°29'58''

Muốn tìm x khi biết cos x, tan x ta làm tương tự như trên, chỉ thay phím sin bằng phím cos hay tan

BÀI TẬP

1 Xác định dấu của các giá trị lượng giác của góc khi:

a)

b)

2 Góc là góc tù hay góc nhọn để:

e) có giá trị âm f) có giá trị dương

3 Tìm góc thỏa mãn:

4 Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn đơn vị trong mỗi trường hợp sau đây ( là số đo của góc ):

5 So sánh các cặp số sau đây:

6 Tính giá trị các biểu thức sau:

45°; 60°

l) khi x bằng 60°; 45°;

30°

45°; 60°; 90°; 145°

7 Chứng minh rằng với mọi góc (0° ≤ ≤ 180°) ta đều có

Cho góc x, với Tính giá trị của biểu thức:

8 Chứng minh rằng:

a) sin105° = sin75°; b) cos170° = -cos10°; cos122° = -cos58°

9 Sử dụng máy tính, hãy tính các giá trị lượng giác sau, theo giá trị lượng giác của các góc bé hơn 90°:

10 Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:

a) sin A = sin(B + C); b) cosA = -cos(B + C)

11 Cho AOB là tam giác cân tại O có OA = a và có đường cao OH và AK Giả sử Tính AK và OK theo a và