Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠0)

Sáng kiến kinh nghiệm THCS được hoàn thành với một số dạng bài tập như sau: Nhẩm, tính nghiệm của phương trình bậc hai; Cho phương trình có hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm, tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình; Lập phương trình bậc hai; Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng;...Mời các bạn cùng tham khảo!

TRƯỜNG THCS LỆ CHI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“NÂNG CAO HIỆU QUẢ CỦA HỆ THỨC VI–ÉT TRONG GIẢI CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH

BẬC HAI AX 2

+ BX + C = 0 "

Tác giả: Đào Thị Hạnh

Mơn: Tốn Cấp học: THCS

Năm học 2018 - 2019

Dạng 4: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng 7

Dạng 6: Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai 9 Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho

hai nghiệm này không phụ thuộc (hay độc lập) với tham số 11 Dạng 8: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa

Dạng 9: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai 14 Dạng 10: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm 15

V KÕt qu¶ thùc nghiÖm: 17

PHẦN I: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình bộ môn toán 9 nhiều bài tập, đặc biệt là thi vào THPT xuất hiện nhiều dạng bài toán liên quan đến hệ thức VI-ÉT, nhưng thời lượng chương trình dành cho học và vận dụng hệ thức VI-ÉT là không nhiều Vì vậy muốn học sinh đọc hiểu và có khả năng vận dụng kiến thức nói chung hay hệ thức VI-ÉT nói riêng vào giải các bài tập liên quan, phần không nhỏ phụ thuộc vào lòng say mê công việc, không ngừng suy nghĩ khai thác các đơn vị kiến thức thành hệ thống các dạng bài tập để học sinh nhận diện ra phương pháp giải

và rèn kĩ năng vận dụng kiến thức vào giải dạng bài tập đó

Chính vì nhận thấy tầm quan trọng của việc khai thác có hệ thống các đơn

vị kiến thức theo dạng bài tập cơ bản liên quan và được sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của tập thể giáo viên dạy bộ môn Toán trong nhà trường, tôi mạnh dạn

đi sâu suy nghĩ khai thác và đúc kết thành kinh nghiệm "Nâng cao hiệu quả của hệ thức VI-ÉT trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax 2

+

bx + c = 0 " trong giảng dạy

PHẦN II: NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN:

1 Cơ sở thực tiễn:

Đứng trước yêu cầu của công cuộc đổi mới, giáo dục phải luôn đi trước một bước Muốn giáo dục và đào tạo tồn tại và phát triển, xứng đáng với vị trí của nó trong xã hội thì mỗi giáo viên phải tự mình đổi mới, đề ra những định hướng kịp thời

Là một giáo viên dạy toán THCS trong những năm qua tôi đã đặt cho mình những câu hỏi, những trăn trở để từ đó tìm hiểu nghiên cứu tìm ra những phương pháp dạy phù hợp

Môn toán là một môn học khó nhưng nó rất hấp dẫn và bổ ích với những

em yêu thích Toán học Nó giúp các em từng bước phát triển năng lực tư duy Hình thành kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn cũng như vào việc học tập các môn học khác

Qua tìm hiểu tình hình thực tế và kinh nghiệm của bản thân tôi thấy đa số học sinh lớp 9 gặp khó khăn khi giải các bài toán có liên quan đến "Ứng dụng của hệ thức VI-ÉT trong giải các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai: ax2 + bx + c

+bx+c=0 (a 0)

Từ thực tiễn giảng dạy tôi xin được trình bày một ý kiến nhỏ, một kinh nghiệm mà qua thử nghiệm tôi thấy đã làm giảm bớt khó khăn cho các em khi giải các bài toán có liên quan đến hệ thức VI-ÉT trong phương trình bậc hai

2 Thực trạng và nguyên nhân

2.1 Thực trạng

Qua quá trình dạy học môn Toán nhiều năm tôi nhận thấy, việc giải á p dụng

hệ thức Vi-ét trong giải các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 của học sinh là khá khó khăn Điều đó ảnh hưởng không nhỏ đến chất lượng môn toán nói chung và dạng toán này nói riêng, gây ra sự chán nản trong học tập của học sinh Cụ thể, theo điều tra tình hình học tập môn toán ở

khối lớp 9 trong nhà trường khi học chương III và kết quả học kì II năm học 2018 -2019, cho thấy:

Đề bài: Ví dụ 2: Cho phương trình 2

m x  m  x m  

a) Giải phương trình với m = 1

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

IV PHÂN DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT

DẠNG 1: NHẨM, TÍNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Phương pháp giải:

 Áp dụng hệ thức VI-ÉT: x1 x2 b; x x1 2 c

   

Phương trình (1) có dạng a  b + c = 0 nên có nghiệm x1   1 và 2

3 2

1) Ta có 3 + 4 = 7 và 3.4 = 12 nên phương trình có nghiệm x1  3; x2  4

2) Ta có (-3) + (-4) = -7 và (-3).(-4) = 12 nên phương trình có nghiệm

x  x  q  , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11 Tìm q và hai

nghiệm của phương trình

x x

 Tính tổng hai nghiệm: S  x1  x2 và tích hai nghiệm P  x x1 2

 Phương trình có hai nghiệm x1, x2 là 2

0

X  S X  P 

1 Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 ;x2

Ví dụ : Cho x1  3; x2  2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên

HD: Theo hệ thức VI-ÉT tacó 1 2

Ví dụ: Cho phương trình : 2

x  x  có 2 nghiệm phân biệt x1;x2 Không giải

phương trình trình, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : 1 2

x  xm  có các nghiệm x1 ;x2 Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1;y2 sao cho :

giải phương trình trình ta được x1  1 và x2   4

để áp dụng hệ thức VI-ÉT rồi tính giá trị của biểu thức

1 Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( x1  x2) và x x1 2

1 2

x  x ( = 2 3 2 3  2 2  4 2 2 4

(x )  (x )  x  x x x x  x = …… ) Bài tập áp dụng

Loại 3: Phương trình có nghiệm

0 0 0 0 0

a b c a b a

a b a

m m

DẠNG 7: TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ

Phương pháp:

 Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:

 Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2

(thường là a  0 và  0)

 Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số

 Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 Từ đó đưa ra

hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2

Ví dụ 1: Cho phương trình :   2

m x  m xm  có 2 nghiệm x1 ;x2 Lập hệ thức liên hệ giữa x1;x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m

HD: Để phương trình trình có 2 nghiệm x1 và x2 thì :

2

1 1

Ví dụ 2: Gọi x1 ;x2 là nghiệm của phương trình :   2

m x  m xm  Chứng minh rằng biểu thức A 3x1 x2 2x x1 2  8 không phụ thuộc giá trị của m

HD: Để phương trình trình có 2 nghiệm x1 và x2 thì :

2

1 1

1

m

x x

m m

- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm

- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số

Bài tập áp dụng:

1) Cho phương trình : 2    

x  m x m  có 2 nghiệm x1 ;x2 Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1;x2 sao cho x1 ;x2 độc lập đối với m

2) Cho phương trình : 2    

x  m  x m   Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m

DẠNG 8: TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO

Phương pháp:

Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:

 Tìm điều kiện cho tham số để phương trình đó cho có hai nghiệm x1 và x2

0 0

 Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số)

 Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm

(thoả mãn điều kiện xác định )

Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :

DẠNG 9: XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Cho phương trình: 2

0

a x b xc  (a  0) Hãy tìm điều kiện để phương

trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm …

2x  3m 1 xm m 6  0 có 2 nghiệm trái dấu

HD: Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì

2 2

Vậy với   2 m  3 thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu

Bài tập tham khảo:

m  x  xm  có ít nhất một nghiệm không thỏa mãn

DẠNG 10: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM

Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: Trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được:

  2 2 2

Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn

Ta biến đổi B như sau:

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm

điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

2 2

B B

B B

x  m  x m  Tìm m sao cho nghiệm x1 ;x2

thỏa mãn điều kiện 2 2

- Học sinh làm bài và trình bày bài khoa học, lập luận chặt chẽ

- Điều tra tình hình học tập môn toán ở khối lớp 9 trong nhà trường khi học chương III năm học 2018 -2019, cho thấy:

- Tình hình làm bài tập ở nhà:

- Học sinh hứng thú dạng toán này

Hứng thú: 59% Bình thường: 29,8% Không hứng thú: 10,2%

PHẦN III: BÀI HỌC KINH NGHIỆM

* Đối với giáo viên: Cần xác định rõ từng dạng toán đồng thời phài thấy được mối quan hệ của những bài tập mà mình cần chuẩn bi cho học sinh với trình tự hợp lí và lôgíc

- Phải dẫn dắt học sinh đi từ bài dễ đến bài khó, từ bài cơ bản đến bài nâng cao, cùng một bài toán ta có thể cho nhiều câu hỏi khác nhau đòi hỏi học sinh phải suy nghĩ đưa về dạng đã biết

- Phải hướng dẫn học sinh phương pháp giải hợp lí, nhanh gọn dễ hiểu

* Đối với học sinh:

- Rèn luyện ý thức tự giác suy nghĩ

- Phải say sưa tìm hiểu nghiên cứu và sáng tạo ttrong giải toán

* Đối với nhà trường

- Cần phân loại học sinh để giáo viên chọn kiến thức phù hợp và có phương pháp dạy hợp lí

- Tổ chức các buổi thảo luận chuyên môn để trao đổi và xây dựng chuyên

đề, sáng kiến kinh nghiệm

- Tổ chức dạy thực nghiệm chuyên đề, kinh nghiệm ở các lớp để tìm ra phương pháp dạy hợp lí

PHẦN IV: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ

Trên đây là một số vấn đề về ứng dụng của hệ thức VI-ÉT trong giải các

bài toán liên quan đến phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 hay gặp ở Đại số lớp 9 Tuy rằng chưa phải là đầy đủ nhất song đó là những vấn đề cơ bản, là nền tảng cho việc suy nghĩ và giải quyết mọi bài toán có liên quan đến phương trình bậc hai - Định lí VI-ÉT Theo tôi nghĩ:

- Đối với sách giáo khoa cần tăng thời lượng về phương trình bậc hai có

chứa tham số Đưa thêm một số bài toán có ứng dụng hệ thức VI-ÉT vào sách

giáo khoa

- Đối với giáo viên: Cần định hướng cho học sinh thấy được tầm quan

trọng của hệ thức VI-ÉT trong môn đại số và ứng dụng của nó trong giải toán

- Đối với nhà trường: Tạo điều kiện về mặt thời gian cũng như tài liệu để các đồng chí giáo viên có thể đầu tư vào công việc giảng dạy tốt hơn

Trong thực tế dạng toán này rất đa dạng Ví điều kiện thời gian và sự tiếp nhận kiến thức của học sinh và năng lực của bản thân còn nhiều hạn chế nên nội dung chuyên đề chưa được phong phú Rất mong các cấp lãnh đạo, ban giám khảo và các bạn đồng nghiệp đóng góp, xây dựng ý kiến để sáng kiến kinh nghiệm được hoàn thiện hơn, có tính khả thi hơn

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Các bài toán cơ bản và nâng cao Toán 9, NXb GD, 2009

2 Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 9, Nxb GD, 2008

3 Sách giáo khoa môn toán lớp 9, NxbGD-2008

4 Sách bài tập môn toán lớp 9, NxbGD - 2008

5 Sách hướng dẫn giảng dạy môn toán lớp 9, Nxb GD- 2008

6 Trần Phương và Nguyễn Đức Tấn, Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán, NXB Hà Nội – 2004

7 WWW.Violet.vn, Các đề thi, kiểm tra của các trường THCS

9 Số học, Nguyễn Vũ Thanh

10 Toán chọn lọc cấp II, Lê Hải Châu

11 Chuyên đề bồi dưỡng giỏi toán 9 - Đinh Vũ Nhân - Vừ Thị Ái Nương - Hoàng Chúng

12 Bùi Văn Tuyên - Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 9- NXB Giỏo dục – 2004

13 Vũ Hữu Bình - Toán bồi dưỡng học sinh lớp 9- NXB Giáo dục – 2004