Các phương pháp tính tích phân điển hình - Nguyễn Văn Cường

Những cách giải toán tích phân điển hình nhất

và trong Toán h c nói chung,không nh ng nh là m t đ i t ng nghiên c u

tr ng tâm c a gi i tích mà còn có đ c l c trong nghiên c u lý thuy t v ph ng trình, lý thuy t v hàm s

Ngoài ra phép tính vi phân còn đ c s d ng nhi u trong các môn khoa

h c khác nh V t lý Thiên v n h c ,c h c nó nh là m t gi i pháp h u hi u

c a các mô hình toán h c c th H c sinh l p 12 Khi ôn thi t t nghi p ,Thi đ i

h c –cao đ ng th ng r t g p khó kh n khi gi i các bài t p trong chuyên đ này

Nh ng ng i m i h c và làm quen v i Tích phân th ng ch a hi u rõ t t ng

c ng nh ph ng pháp ti p c n lý thuy t , đ c bi t là khâu v n d ng lý thuy t vào

gi i các bài toán th c t

Bài vi t này xin nêu ra m t s ph ng pháp đi n hình th ng đ c dùng đ

gi i các bài t p v tích phân trong các k thi i h c N i dung bài vi t c ng là n i dung c b n c a đ tài sáng ki n kinh nghi m c a tôi trong n m h c 2010 đã đ c

S giáo d c và đào t o Hà N i x p lo i B

M c dù đã tham kh o m t s l ng l n các tài li u hi n nay đ v a vi t,

v a đi gi ng d y trên l p đ ki m nghi m song vì n ng l c và th i gian có h n ,r t mong đ c s đóng góp c a các b n đ ng nghi p và nh ng ng i yêu thích môn toán đ chuyên đ này có ý ngh a thi t th c h n trong nhà tr ng ,góp ph n nâng cao h n n a ch t l ng Giáo d c ph thông.Giúp các em có ph ng pháp -

k n ng khi gi i các bài Tích phân trong các k thi cu i c p đ ng th i b c đ u trang b cho các em ki n th c v phép tính vi phân –Tích phân trong nh ng n m

đ u h c đ i h c Xin vui lòng gi i thi u v i các b n đ ng nghi p và nh ng ng i yêu toán chuyên đ :

“Ph ng pháp và k thu t đi n hình tính tích phân”

I - K thu t bi n đ i vi phân (đ a v b ng nguyên hàm )

Khi s d ng k thu t b ng nguyên hàm ta c n l u ý đ n m t s phép toán vi phân

+ + + sinxdx=d(-cosx)

sin

dx d

1

0

1 ln(1 2 ) 2

x e

dx I

= -

ò

Ví d 3 HKD -09) Tính tích phân

3 x 1

dx I

= -

-Dùng phép bi n đ i vi phân đ a v b ng nguyên hàm c b n giúp L i gi i ng n

g n,so v i Phép đ i bi n s thì không ph i đ i c n ,Trong gi i toán thêm m t phép toán là thêm m t nguy c sai đ làm rõ u đi m c a ph ng pháp này ta xét bài toán sau

Vi phân đ a v b ng nguyên hàm c b n,khi đó ta c n dùng các công th c bi n

đ i l ng giác nh h b c ,nhân đôi ,t ng thành tích ta xét các ví d sau

1 2

M t s sai l m th ng g p khi tính tích phân b ng ph ng pháp bi n đ i vi

p không xác đ nh nên tích phân trên không t n t i

Nguyên nhân sai l m :Do tích phân là t ng vô h n các h ng t nên 2 0

2

p

Þ +

x x

d x x

-+ +

Nguyên nhân sai l m là do hàm s y= 1 2

(x +1) gián đo n trên đo n [- 2; 2] nên không s d ng đ c công th c NeW ton –leibnitz nh trên

s d ng đ c thành th o k thu t s dung b ng nguyên hàm h c sinh hi u

đ c b n ch t c a các công th c,ph i hi u công th c trong tr ng thái đ ng.khi

đ ng tr c bài toán tính tích phân c n xem xét k bi u th c d i d u tích phân,n u

có ý t ng s d ng b ng nguyên hàm thì đ nh đ a v công th c nào trong b ng nguyên hàm làm đ c đi u đó hoc sinh ph i hi u k b n ch t c a công th c,

có t duy trong bi n đ i vi phân m t cách logic, đ ti p nh n nó m t cách t nhiên ,không g ng ép Ch ng h n khi h ng d n h c sinh s dung công th c

ò , h c sinh ph i hi u giá tr x trong hai s xa và dx là gi ng nhau,

n u thay x trong hai s đó b i m t bi u th c khác th công th c trên v n đúng ví

d thay

+ +

là ta đã bi n đ i vi phân T ng t đ i vói các nguyên hàm khác

luy n t p k thu t trên ta có th làm t ng t các bài t p sau

dx x

i bi n s là m t trong nh ng ph ng pháp quan tr ng nh t đ tính nguyên hàm

và tích Phân C s c a ph ng pháp đ i bi n s d ng 1 là công th c sau

Khi đ i bi n s đi u quan tr ng là ch n đ c hàm V(x) thích h p sao cho tích phân v i bi n m i ph i đ n gi n h n so v i tích phân ban đ u ,và g n li n v i vi c

đ i bi n đó là ph i đ i c n , ta xét m t s bài toán sau tr c khi rút ra nh ng kinh nghi m trong

vi c l a tr n hàm V(x)

1

ln(2 ln )

e

x dx

( tr m t s tr ng h p s có d u hi u đ i bi n s d ng 2 s trình bày sau ).Ta xét thêm m t s ví d đ làm sáng t

Ví d 2 :

Tính ( HKA-04)

+ +

2

t - và 2tdt=3dx

x Do đó K=

1 1

dx x

1 1

dx x

-Các tích phân ch a các hàm s l ng giác tr c khi nh n di n đ c bi n m i c n

có h ng bi n đ i l ng giác nh vào các công th c quen thu c nh :công th c nhân đôi , h b c,t ng thành tích ,

Ví d 7:

Tính L= /4

0

sin( / 4) sin 2 2(1 s inx cos )

+

-= +

x dx

p

ò ( HKA-08)

L i gi i:

Nh n xét P= /6 4

0

tan os2

x dx

x dx

x c x

p -

0

tan (t anx) (1 tan )

xd x

p -

x dx

ò ta vi t nh sau Cos2x=cos2x(1-tan2x); sin2x=2cos2xtan2x sau đó đ t t= tanx thì

(bsin2x+csinx cosx+dcos2x)=(btan2x+ctanx+d)cos2x do đó ta ch n t =tanx

- i v i các tích phân l ng giác (s inx, cos )

b

a

ò ch a hai hàm l ng giác sinx,cosx ta có m y đi u quan tr ng sau

+ N u l theo b c c a sinx thì nên ch n t=cosx

+N u l theo b c c a cosx thì nên đ t t=sinx

+ch n theo sinx và cosx thì đ t t=tanx

ò

t t=1+cosx (vì b c c a sinx l ) suy ra dt=-sinxdx ,x=0thì t=p / 2,x=p / 2thì t=1

d x

d x

- Tích phân t ng quát c a tích phân trên là R= 2 2

sin sin x cos os

Î +

ò

Nh n xét 7:

i v i m t s tích phân không có d u h u đ c bi t nh ch a n f x( ) hay ch a các hàm

s l ng giác nh đã xét trên khi đó ta ph i quan sát k và khéo léo phân tích đ

có th nh n diên đ c bi n m i.Ta xét thêm m t s các ví d sau

Tính G=2 24

1

1 1

x dx x

+

1 1 1

x dx x

x

+

2 1

1 1 1

x x

2 1

Các ví d trên đ c gi i nh vào vi c bi t phân tích m i quan h gi a các bi u

th c d i d u tích phân.ta g i chung là đ i bi n nh ‘Phân tích’

Nh n xét chung:

i bi n s d ng 1 là m t trong nh ng ph ng pháp r t c b n, h c sinh th ng

g p trong Các k thi t t nghiêp và thi vào các tr ng i h c,b i nó có th phát huy t i đa t duy Linh ho t c a h c sinh ,H c sinh không th dùng m t công th c

đ i bi n tông quát nào áp d ng Cho các bài toán khác nhau.Chính vì l đó trong

gi ng d y h c sinh dùng ph ng pháp đ i bi n s d ng 1 ,ng i th y không quá sa

đà vào vi c d y h c sinh nh ng d ng toán có tính ch t công th c,máy móc i u quan tr ng là phát tri n h c sinh t duy logíc,s sáng t o ,các em t mình chi m

l nh ki n th c ,t rút ra nh ng bài h c b ích t vi c gi i đ c hay không gi i đ c

nh ng bài tích phân,có nh v y khi đ ng tr c nh ng bài toán m i hay nh ng bài toán đ c ng y trang thì các em v n có đ c ‘s c đ kháng’’ đ v t qua.Tôi coi

đó là t t ng ch y u c a d y h c tích phân nói riêng và môn toán nói chung

2

x dx x

p p

t t

2 2 (1 )

du

-ò

1

du u

+

3 2

5 4

5 4

(x- 1)(2 -x dx)

6 sin (1 sint x) sin cost tdt

p

p

ò

Bi n đ i K= 4 4 2 2 4 2 2

os (tan 2 t anx 5) (tan 2 t anx 5)

-M t trong nh ng phép đ i bi n hay dùng n a là phép thay bi n x=a-t đói v i

nh ng tích phân có c n trên là a và hàm d i d u tích phân ch a các bi u th c

l ng giác và các bi u th c này có liên quan đ n c n trên là a (Theo ngh a chúng

có m i quan h đ n các góc liên quan đ c bi t).Vì l đó các tích phân này th ng

có c n trên là ; ; 2 ,

2

p p pKhi tính các tích phân này th ng d n t i gi i m t ph ng trình đ n gi n v i n

L i gi i c a các bài toán trên d a v o tính ch t :

N u hàm s f(x) liên t c trên [ ]a b; tho mãn f(x)=f(a+b-x) thì

ò ta chuy n v tính b

a vdu

ò ,Nh v y đi u quan tr ng nh t khi

tính tích phân t ng ph n là ph i ch n u,v thích h p đ m b o hai nguyên t c c b n sau

-Chon u,v sao cho du đ n gi n dv d tính

-Tích phân b

a vdu

ò d tính h n so v i b

a udv

( ) ( )

dx du

x dx

dx dv

v x

t dt

dt dv

Nh n xét 2 :Do không có công th c tính nguyên hàm c a bi u th c ch a lnx nên

m c ích c a ta khi tính tích phân trên là kh lnx ,vì v y s l n s dung công

th c Tính tích phân t ng ph n ph thu c vào s K trong tích phân ( ) ln

4

xdx du

ln

e e

4

dx du

e e

Ví d 6: N= 3 2

2 1

í =î

x dx x

x dx x

M t s tích phân tr c khi s dung tích phân t ng ph n c n bi n đ i đ đ a v

có d ng trên, ta xét m t ví d sau đ mô t đièu đó

0 (2x 1) cos xdx

p -

ì = ï

-Tích phân ( ho c sin

b kx

1 e

x x

x

x e dx

ò

L i gi i:

Nh n th y I=1 2

3 0

p + +

2 2 2 2

2 0 2

e x dx x

+

1 ( 2 ) x

mI+nJ và pI-qJ thu n l i Khi đó vi c tính I,J th ng đ a v gi i h

Khi đó ta nói I và J là các tích phân liên k t v i nhau

Vi c l a ch n tích phân liên k t v i m t tích phân cho tr c ph thu c vào

đ c đi m c a hàm d i d u tích phân và c n c a chúng Do đ c thù c a các hàm l ng giác nên ta th ng dùng ph ng pháp liên k t các tích phân đ i

v i các tích phân ch a các hàm s l ng giác

Ví d 1 I=4 3

0

4sin x (s inx cos )

dx x

dx x

I

I J

- = ì

í + = ïî

p

+

(5cos 4s inx) (5sin 4cos ) (5sin 4cos )

(s inx cos ) (sint cos ) (s inx cos )

p

ò

Ví d 5: Tính I=2 2009 2009 2009

0

( os ) (s inx) (cos )

c x

dx x

x

dx x

2009 2

xdx x

p +

1 (s inx cos ) (s inx cos )

2I=6 3 3 3 3 6 3 3 6 3 3

Do đ c đi m c a các hàm s l ng giác nên các tích phân

Liên k t th ng đ c dùng r t nhi u trong tích phân l ng giác Vì v y khi tính tích phân l ng giác h c sinh c n nhìn k vào bi u th c l ng giác n m ngay

d i d u tích phân đ có th l a ch n cách gi i nhanh và thu n l i

luy n t p ta xét các tích phân sau

p

ò ; P=2 4 4 4

0

( os ) (s inx) (cos )

c x

dx x

· nh lý t ng quan v phân tích các đa th c

M i đa th c Q(x) khác không v i h s th c , đ u có th phân có m t cách phân Tích duy nh t thành các nhân t ( không tính theo th s p x p các nhân

t ) g m các nh th c b c nh t ho c các tam th c b c hai v i bi t th c đen ta

âm

B ph ng pháp tính tích phân h u t

Xét tích phân ( )

( )

p x dx

Q x

ò v i P(x),Q(x) là các đa th c v i h s th c + N u b c c a p(x) l n h n b c c a Q(x) ta th c hiên phép chia đa th c cho đa

dx

b a

Phân tích ax2+bx+c = a x( +2b a)2-4Da =héë(mx+n)2+k2ùû sau đó đ t mx+n=ktant

đ tìm a,b ta có m t trong hai cách sau

x.ta th ng ch n các giá tri c a x làm tri t tiêu m t trong các tham s a ho c b

(ngh a là b c c a t s nh h n b c c a m u s ) sau khi ta phân tích s đ a đ c

ì = Þ = ïï

-ï = Þ = ïî

2 2

x dx x

+

1`

1 (1 ) dx

VII- Tích Phân các hàm s vô T

ï = Þ = ï

ï

ï = ïî

Trong khi tính tích phân nhi u bài toán đ tìm đ c nguyên hàm c a nó không h

đ n gi n Khi đó chúng ta nên khai thác t i đa các tính ch t đ c bi t c a hàm s

d i d u tích phân và c n c a nó ta s đ c các k t qu “ p” trong tích phân vào gi i Toán Trong ph n này Tôi mu n trao đ i v i các b n đ ng nghi p h ng

d n h c

Sinh cách tìm đ n nh ng kêta qu đ p đó trong các thí d sau có s dung bài vi t

c a th y :Tr nh tuân-Gi ng viên đ i h c Thu L i ,đ ng trên báo Toán hoc & tu i

3 2

0 sin xdx sin xdx

p p

p -

3 2

-Do tính ch t trên không đ c đ c p đ n trong sách giáo khoa nên h c sinh ph i

trình bày L i gi i nh trên xem tính ch t đó nh là đ nh h ng L i gi i

2/N u f(x) liên t c trên [-a;a] ,a>0 thì 0

2 ( ) ( )

0

a a

= í ï î

ò

ò n u f(x)- ch n ho c l Trên [-a;a]

-ò

L i gi i: Nh n xét v i m i a>0 ta có lna=-ln1

a theo đó v i m i thu c [-1;1]

x a

f x

dx f x dx a

-= +

2

p +

f x dx

ò ,J3 = 2

2 ( )

p

+ -

ò ; 5/M=4 2009

0 log (1 t anx)dx

ò

Sau đây là các bài t p v tích phân đ c l a ch n t các đ thi i H c trong nhi u

n m cho t i k thi n m h c 2009-2010.Giúp h c sinh v n d ng thành th o các

ph ng pháp và k thu t đi n hình nh trên đ gi i

1

ln ln 3 1

p

+

0 ( x cos ) cos

2

dx x

x x

23 / 3

2 / 4 cos 1 cos

ö ç è

æ +

2

-1

2 2

1

dx x

x

5

3

) 2 2

0

2

2 ) 2 (x dx

-1

1 x dx x

dx x x

p +

(x xdx

p +

3

dx x x x

53 7ò/3 ++

1

dx x

0

cos 3 sin 1

x dx x

p

ò

dx x

x x

0

3 ) 1

(x xdx

61 òe x dx- x

1

2 ln

p +

ò1 ++

2 ) 1 (

p p

+

p +

p +

-9

1

3 1 x dx x

87 ò

-+ +

89 / 4

0 1 cos 2

x

dx x

.

3

1 3

x x dx

1e dx

2

0 sin

ln

e

dx x

x

0 (2x 1) cos x dx

p -

p +

x

ln 2 3

ò