Trong trường hợp quá trình của mạch đi đến ổn định thì nếu có thay đổi ít nào đó các số hạng hay hệ số của phương trình thì nghiệm cũng thay đổi nhỏ tương ứng, lúc đó ta có thể coi số hạ
Trang 1CHƯƠNG 18 QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ Ở MẠCH PHI TUYẾN
§1 Đặc điểm của quá trình quá độ trong mạch phi tuyến
- Việc đóng nguồn hình sin vào mạch tuyến tính có chứa dung, cảm và trở có thể tạo dòng, áp quá độ cực đại không vượt quá 2 lần biên độ ở trạng thái xác lập Nhưng khi đóng vào mạch kháng phi tuyến thì có thể xuất hiện điện áp hay dòng điện quá độ lớn hơn trị số xác lập nhiều lần, trạng thái này rất dễ đưa đến sự cố
- Quá trình quá độ ở mạch phi tuyến ngoài sự thay đổi đặc biệt về lượng như trên nó còn thay đổi về chất : QTQĐ trong mạch phi tuyến có thể phát sinh những hiện tượng mới như quá trình tự dao động có tần số ω ≠ ωnguồn
- Quá trình quá độ mạch phi tuyến được miêu tả bằng những phương trình vi phân phi tuyến viết theo luật K1, K2 Bài toán quá trình quá độ là bài toán giải hệ phương trình vi phân phi tuyến cho thỏa mãn sơ kiện nên không có phương pháp nào chung mà chỉ có những phương pháp gần đúng dùng cho những mạch cụ thể
Ta xét một số phương pháp gần đúng giải quá trình quá độ mạch phi tuyến
§2 Phương pháp tuyến tính hóa số hạng phi tuyến nhỏ
I Tinh thần phương pháp :
1 Trong trường hợp quá trình của mạch đi đến ổn định thì nếu có thay đổi ít nào đó các số hạng hay hệ số của phương trình thì nghiệm cũng thay đổi nhỏ tương ứng, lúc đó ta có thể coi số hạng phi tuyến là nhỏ trong hệ phương trình mạch nên có thể gần đúng cho nó bằng 0 mà không ảnh hưởng nhiều đến nghiệm của quá trình
Ví dụ : Khi phi tuyến nhỏ có thể coi gần đúng như sau :
' i a ' i .)
i b a ( ' i )
i ( L U
i R i .) i R ( i )
i ( R U
L
0 0
R
≈ +
+
=
=
≈ + α +
=
=
2 Áp dụng tinh thần ấy để giải những bài toán mà phương trình mạch là phương trình vi phân cấp 1 liên hệ hai biến, nhưng giữa hai biến đó lại có quan hệ hàm phi tuyến (đó chính là hàm đặc tính)
Ví dụ : Xét cuộn dây lõi thép có điện trở r được đóng vào nguồn có Sđđ e(t) hình sin hình (h.18-1) ta biết sau khi đóng một thời gian thì quá trình trong mạch sẽ đến xác lập, ổn định nên có thể áp dụng phương pháp tuyến tính hóa để chuyển hệ phương trình vi phân phi tuyến thành phương trình vi phân tuyến tính gần đúng để giải mạch
Điện cảm phi tuyến được cho dạng hàm xấp xỉ :
r
ψ(i)
K e(t)
b a ) (
i
hay
bi i L )
i
(
3
3 0
+ ψ + ψ
= ψ
+ +
=
ψ
Phương trình vi phân mô tả QTQĐ của mạch là :
) t ( e dt
d
i
r + ψ =
h.18-1
Trang 2Đây là phương trình vi phân cấp 1 liên hệ hai biến trạng thái ψ, I nên rõ ràng muốn giải phương trình ta phải chuyển từ biến này sang biến kia để được phương trình
vi phân cấp 1 theo một biến Hai biến ψ, I liên hệ với nhau trong hàm đặc tính phi tuyến nên nếu dùng quan hệ này đưa vào phương trình thì hệ phương trình sẽ phức tạp khó giải Khi mạch có tính phi tuyến nhỏ bỏ qua số hạng phi tuyến trong quan hệ hàm ψ(i) thay vào hệ phương trình sẽ được phương trình vi phân cấp một tuyến tính theo một biến thì giải được dễ dàng Ta chuyển đổi các biến trong trường hợp cụ thể như sau :
a Khi quá trình trong mạch có tiêu tán ít nên có
dt
d i
r << ψ
thì đổi biến i theo biến ψ được gần đúng : i(ψ) ≈ a.ψ
Lúc này phương trình vi phân theo biến ψ là : r.a e(t)
dt
Giải phương trình vi phân tuyến tính gần đúng r.a e(t)
dt
d
= ψ +
ψ
(bằng phương pháp tích phân phương trình vi phân, hay phương pháp toán tử) cho thỏa mãn sơ kiện ψ(0) sẽ được nghiệm ψ(t), sau khi có ψ(t) dựa vào quan hệ ψ(i) xác định được dòng điện quá độ i(t)
b Khi tiêu tán trong mạch lớn, nên có
dt
d i
>> lúc đó tính biến ψ theo biến i
dt
di i dt
d
0
≈
∂
ψ
∂
=
ψ
và phương trình mô tả QTQĐ
dt
di
L
i
kiện i(0) được dòng điện quá độ i(t) và dựa vào quan hệ ψ(i) xác định được ψ(t)
II Các bước của phương pháp tuyến tính hóa số hạng phi tuyến nhỏ :
Từ ví dụ trên ta rút ra các bước thực hiện như sau :
1 Viết phương trình của mạch dưới dạng phương trình vi phân cấp 1 theo hai biến trạng thái - Tùy theo đặc điểm của mạch để qua hàm đặc tính, tính gần đúng biến này theo biến kia Thay vào phương trình vi phân để được phương trình vi phân theo một biến
2 Giải phương trình vi phân cấp 1 theo một biến cho thỏa mãn sơ kiện ta được nghiệm phân bố thời gian của một biến Dựa vào nghiệm đã có và hàm đặc tính của phần tử phi tuyến đã cho ta xác định được nghiệm còn lại (có thể dùng phương pháp toán tử Laplace hoặc phương pháp tích phân kinh điển để giải phương trình vi phân cấp một theo một biến) Chú ý rằng cuộn dây lõi thép có bão hòa thì chọn L là giá trị trung bình
m
m
i
§3 Phương pháp nhiễu loạn ( phương pháp tham số nhỏ) :
I Tinh thần của phương pháp tham số nhỏ :
Phương pháp tham số nhỏ là thủ thuật để giải phương trình vi phân nó đặc biệt tiện lợi khi nghiên cứu các hệ dao động phi tuyến nhỏ phụ thuộc một tham số
Trang 3Phương trình vi phân phi tuyến thể hiện tính phi tuyến ở số hạng bậc cao Số hạng này tham gia quyết định nghiệm quá trình Coi nó là một tham số tham gia vào phương trình mạch Kí hiệu tham số đó là : µ
Vậy phương trình vi phân của mạch là : H(x, µ, t) = 0
Ta phân tích và gộp các số hạng của phương trình thành hai nhóm số hạng :
Trong đó : H1(x, t) là tập hợp tất cả các số hạng tuyến tính trong hệ, còn H2(x,
µ, t) là tập hợp tất cả các số hạng phi tuyến trong hệ Trong đó tham số µ quyết định tính chất, mức độ phi tuyến của quá trình phi tuyến trong mạch Khi µ = 0 số hạng phi tuyến không còn
Lúc này phương trình mạch chỉ còn H1(x, t) = 0 gọi là phương trình tuyến tính suy biến Nghiệm của H1(x, t) = 0 kí hiệu là x0(t) gọi là nghiệm tuyến tính suy biến Nghiệm của H(x, µ , t) = 0 kí hiệu là x(t), nói chung x(t) ≠ x0(t) sở dĩ có sai khác đó là
do có sự tham gia của số hạng phi tuyến Tức là mức sai khác tùy thuộc µ
Đối với các quá trình đi đến ổn định, khi µ bé có thể coi nghiệm x(t) có quan hệ giải tích với tham số µ, nên có thể khai triển x(t, µ) theo chuỗi lũy thừa với tham số µ
Ta có nghiệm dưới dạng khai triển là :
k
k k
2
2 2 0
x
! k
x
! 2
x ) t ( x )
t
(
x
µ
∂
∂ µ + + µ
∂
∂ µ + µ
∂
∂ µ +
=
Viết gọn lại : x(µ t)=x0(t)+µ.x1(t)+µ2.x2(t)+ +µk.xk(t) (18-2b) Trong đó x1(t), x2(t), , xk(t) gọi là các hàm hiệu chỉnh sự sai khác giữa x(t) và
x0(t) để x0(t) tiến dần đến x(t) Nên ta còn gọi đây là phương pháp nhiễu loạn
Từ đó dẫn đến tinh thần của phương pháp là :
Tìm được nghiệm quá trình phi tuyến x(t) bằng cách giải tìm nghiệm phương trình tuyến tính suy biến x0(t), sau đó tìm các hàm hiệu chỉnh để x0(t) tiến đến x(t), ta thấy càng nhiều hàm hiệu chỉnh thì x0(t) càng tiệm cận đến nghiệm phi tuyến x(t)
II Ví dụ :
Nạp tụ điện C đến uC(-0) = U0 rồi cho phóng điện qua điện trở phi tuyến r(i) có hàm đặc tính i(u) = a.u + b.u2 như hình (h.18-2) Xác định điện áp trên tụ điện sau khi đóng khóa K
Phương trình mô tả QTQĐ của mạch : C.u' a.u b.u2 0 trong đó bu
hạng phi tuyến nên đưa tham số µ vào ta được phương trình : C.u' a.u b.u2 0
Đặt nghiệm dưới dạng khai triển : u = u0 + µ.u1 (với một hàm hiệu chỉnh u1) thì
1 1 0 2
0 2
u u u 2 u
phương trình mạch phải nghiệm đúng nên có :
0 0
) u u 2 u u
( b ) u u ( a ) ' u '
u
(
u bu 2 bu bu
u a au ' u C '
Sắp xếp các số hạng theo bậc của µ ta được :
0 bu u
bu 2 ) bu au ' Cu ( au '
Trang 4Ta biết các số hạng của khai triển lũy thừa độc lập tuyến tính, nên thay nghiệm khai triển vào phương trình mạch để nghiệm đúng phương trình mạch phải có những phương trình cân bằng riêng rẽ theo từng bậc của µ Từ đó ta được các phương trình cân bằng riêng rẽ :
Ứng với µ = 0 có C.u'0 + a.u0 = 0 là phương trình tuyến tính suy biến
Ứng với µ có : Cu'1+au1 +bu20 =0
Vì ta chỉ cần một hàm hiệu chỉnh nên không cần những phương trình bậc cao hơn của µ
1 Giải phương trình tuyến tính suy biến để xác định nghiệm tuyến tính suy biến u0(t) Từ phương trình vi phân theo thời gian : C.u'0 + a.u0 = 0 với sơ kiện uC(0) =
uC(-0) = U0 Dùng phương pháp toán tử giải phương trình vi phân tuyến tính với biến
u0(t) ta được nghiệm tuyến tính suy biến
Với u0(t) ↔ U0(p) chuyển sang phương trình đại số ảnh toán tử :
[pU (p) u (0)] aU (p) 0
C a p
U a
pC
CU )
p
(
U
CU ) 0 ( Cu a pC )
p
(
U
0 ) p ( aU ) 0 ( u C ) p ( CpU
0 0
0
0 C
0
0 C
0
+
= +
=
=
= +
= +
−
giải được nghiệm ảnh toán tử :
a 2 0 2
0
t C a
0
0(t) U e u (t) U e
dạng ảnh
C a 2 p
U )
t (
u
2 0 2
0
+
↔
2 Giải phương trình bậc µ để xác định hàm hiệu chỉnh u1(t)
thấy rõ µ là tham số, chuyển phương trình này sang dạng ảnh toán tử được phương trình :
) bu au ' Cu
0 1
µ
a 2 pC
bCU a
pC )
p
(
U
0 a 2 pC
C U b ) p ( aU ) p (
CpU
2 0 1
2 0 1
1
+
−
= +
= + +
+
ở đây lưu ý sơ kiện để tính các hàm hiệu
chỉnh là 0, từ là u1(0) = 0, , uk(0) = 0
) p ( F a 2 pC a pC
bCU )
p ( U
2 1 2
0
+ +
−
=
giải F2(p) = (pC+a)(pC+2a) = 0 được :
C
a 2 p
, C
a
Có : F' (p) 2pC2 3aC
a
2
t C a
1
1(t) A e A e
trong đó :
a
bU aC
bCU )
p ( ' F
) p ( F A , a
bU aC
bCU )
p ( ' F
) p ( F A
2 0 2
0
2 2
2 1 2
2 0 2
0
1 2
1 1
−
−
=
=
−
=
−
=
=
Trang 5Nên hàm hiệu chỉnh : Ct
a 2 0 t
C a 2 0
a
bU e
a
bU )
t (
Dạng nghiệm quá độ là : u(t) = u0(t) + u1(t)
a 2 0
t C
a 2 0
t C a
0 1
a
b e
U a
b e
U ) t ( u ) t ( u ) t (
III Các bước thực hiện theo phương pháp nhiễu loạn :
Từ ví dụ minh họa trên ta rút ra các bước thực hiện phương pháp nhiễu loạn như sau :
1 Đặt nghiệm dưới dạng khai triển với số hàm hiệu chỉnh tùy độ chính xác cần thiết
2 Thay nghiệm vào hệ phương trình của mạch, ta rút ra được những phương trình cân bằng riêng rẽ theo từng bậc của tham số µ
3 Giải phương trình tuyến tính suy biến cho thỏa mãn sơ kiện bài toán được nghiệm tuyến tính suy biến x0(t)
4 Giải các phương trình còn lại theo các bậc của µ cho thỏa mãn sơ kiện 0 ta sẽ được các hàm hiệu chỉnh x1(t), x2(t), , xk(t)
5 Cộng nghiệm tuyến tính suy biến với các hàm hiệu chỉnhta sẽ được nghiệm quá trình quá độ phi tuyến cần tìm x(t)
§4 Phương pháp biên, pha biến thiên chậm (PP VanderPol)
Đây thực chất là phương pháp biến thiên hằng số tích phân - là một thủ thuật để giải hệ phương trình vi phân phi tuyến Dùng tính cho hệ đơn giản, tiện lợi để khảo sát mạch dao động gồm hai phần tử kháng phi tuyến (hệ Ôtônôm)
I Tinh thần chung các phương pháp biến thiên hệ số tích phân.
Ta đã biết phương trình mạch phi tuyến có thể viết và sắp xếp dưới dạng :
Trong đó : H2(x,µ,t) là nhóm các số hạng phi tuyến gây khó khăn cho việc tìm nghiệm quá trình, còn H1(x,t) = 0 là phương trình tuyến tính suy biến dễ dàng tìm được nghiệm tổng quát x(t,c) với c là hệ số tích phân
Vì mạch có phần tử phi tuyến nên nghiệm tuyến tính suy biến x(t,c) khác nghiệm quá trình phi tuyến nên có thể coi nghiệm của quá trình phi tuyến cũng dưới dạng x(t,c) nhưng c(t) biến thiên theo thời gian để điều chỉnh nghiệm tuyến tính suy biến đến nghiệm quá trình phi tuyến Tức là nghiệm quá trình phi tuyến có dạng x[t,c(t)] Nếu nó là nghiệm của quá trình thì ta thay vào phương trình mạch, phương trình mạch phải được nghiệm đúng và từ phương trình nghiệm đúng đó ta rút ra phương trình với ẩn số c(t) là K(c,t) = 0
Lưu ý : thủ thuật này chỉ có lợi khi giải K(c,t) ≈ 0 dễ hơn giải H(x,t) = 0
II Phương pháp biên, pha biến thiên chậm :
Với các bài toán QTQĐ có sinh ra các dao động trong mạch dần tiến đến ổn định (dao động điều hòa) Trong quá trình này thông số của mạch phi tuyến còn thay đổi nhưng biên độ và góc pha đầu của dao động thay đổi rất ít so với bản thân dao
Trang 6động, do đó có thể bỏ qua các đạo hàm theo biên độ và góc pha đầu dẫn đến có thể giảm bậc phương trình vi phân của mạch và việc giải mạch sẽ dễ dàng hơn Ta vận dụng tinh thần đó phân tích bài toán dao động phi tuyến cấp 2 như sau :
Từ phương trình mô tả mạch là : x 20x (x,x)
•
•
µ
= ω + Trong đó : x 02x H1(x t),còn H2 (x,x)
•
•
µ
=
= ω + Thường H(x,t) phi tuyến ít nên nghiệm của H(x,t) khác chút ít so với nghiệm của phương trình tuyến tính suy biến H1(x,t) = 0
Giả thiết H (x t) x 2x 0có nghiệm điều hòa là :
0
1 = •+ω = x(t)=A.cos(ω0t+θ)
Trong đó : A, θ là hai hệ số tích phân
Ta biết trong đáp ứng mạch phi tuyến ngoài điều hòa cơ bản còn có các điều hòa bậc cao nữa song chủ yếu là điều hòa cơ bản còn các điều hòa bậc cao là nhỏ, nên có thể đặt vấn đề biểu diễn nghiệm QTQĐ phi tuyến dưới dạng điều hòa cơ bản nhưng có biên độ và góc pha thay đổi theo thời gian Tức là dao động có biên độ A(t), và góc pha θ(t)
Lúc này nghiệm QTQĐ có dạng : x(t)=A(t)cos[ω0t+θ(t)] (18-4) nên chỉ cần xác định A(t) và θ(t) lắp vào dạng (18-4) là được nghiệm quá độ phi tuyến Khi hệ phi tuyến ít nên theo phân tích ở trên sẽ có A, θ biến thiên đủ chậm
Để cho gọn ta đặt : ω0t+θ(t)=ψ thì có x(t) = cosA ψnên có :
ψ +
ψ
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ω +θ
−
•
cos A sin
) t ( )
t
(
A
Vì A, θ biến thiên chậm nên A• cosψ−Aθ•sinψ <<−Aω0sinψ
ψ θ ω
− ψ ω
− ψ ω
−
= ψ θ
+ ω ω
− ψ ω
−
•
cos A
cos A sin A cos
) (
A sin
A
0 0
0 0 0
thay vào phương trình mạch ta được :
µ
= ψ θ ω
− ψ
ω
−
ψ ω
− ψ µ
= ψ ω
+ ψ θ ω
− ψ ω
− ψ
ω
−
•
•
•
•
sin A , cos A f cos
A sin
A
sin A , cos A f cos
A cos A
cos A
sin
A
0 0
0
0 2
0 0
2 0 0
(18-6)
Từ phương trình cân bằng chung này rút ra phương trình cân bằng của các số hạng độc lập tuyến tính đượ biểu thức của là :
•
•
θ và A
ω
µ
−
=
θ
ψ ω
− ψ ω
µ
−
=
•
•
sin A , cos A f
sin A , cos A f A
0 0
0 0
(18-7)
Như vậy thay vì phải giải một phương trình vi phân bậc 2 là :
ta đưa ra được 2 phương trình vi phân bậc 1 với hai biến như (18-7) Vế phải
) x , x ( x
•
•
µ
= ω + ) t ( ), t ( A
•
•
θ
Trang 7của hai phương trình (18-7) là các hàm chu kỳ và có thể biểu diễn dưới dạng chuỗi Fourier Nếu ở chuỗi ta chỉ lấy gần đúng thì có dạng rút gọn là :
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
ψ ψ ψ ω
− ψ πω
µ
−
=
θ
ψ ψ ψ ω
− ψ πω
µ
−
=
∫
∫
π
•
π
•
2
0
0 0
0
2
0
0 0
d cos sin A , cos A f A 2
d sin sin A , cos A f 2
A
(18-8)
Bằng 2 phương trình này xác định biên độ A, góc pha θ để thay vào nghiệm x(t)
= A(t)cosψ = A(t).cos[ω0t + θ(t)]
0
0sin cos d F A
, cos A f 2
phương trong một chu kỳ đó là biên độ của điều hòa cơ bản thành phần cos
0
0sin sin d F A
, cos A f 2
thành phần sin Xác định được = ∫t • và
0
dt A
t
0
∫θ•
= θ
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
θ + θ + ω
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +
0 0 0 t
0
0 A(t)dt cos t (t)dt A
) t ( x
Trong đó A0, θ0 là biên, pha của nghiệm tuyến tính suy biến cho thỏa mãn sơ kiện của bài toán
Ví dụ : Xét tụ điện C được nạp điện đến điện áp U0 rồi cho phóng điện qua cuộn dây phi tuyến có hàm đặc tính i(ψ) = a.ψ +b.ψ3 Xác định ψ(t) sau khi đóng tụ điện vào cuộn dây như hình (h.18-3)
Xác định sơ kiện độc lập : ψ(-0) = ψ(+0) = 0, iL(-0) = iL(+0) = 0
Phương trình hiện hành : uC + uL = 0 (để xác định sơ kiện phụ thuộc) hay :
→
=
ψ +
dt
d idt
C
1
thay tại t = 0 có uC(0) + ψ’(0) = 0 nên ψ’(0) = - uC(0) = - U0
C
1 ∫ +ψ• = đạo hàm cả hai vế được phương trình :
0 C
C
b C
+
ψ•
h.18-3
C i(ψ)
K đây là phương trình vi phân cấp 2 có dạng :
0
3 2
0ψ+µψ =
ω
+
C
b và C
a
2
ω
0ψ = ω +
ψ• Giải phương trình này bằng phương pháp toán tử Laplace:
) 0 ( ) 0 ( p ) p ( p ),
p ( )
t
ψ
− Ψ
− Ψ
↔ ψ Ψ
↔
nên có phương trình ảnh toán tử là : p2Ψ(p)+U0 +ω20Ψ(p)=0 giải ra nghiệm ảnh :
2 0 2 0
0
0 2
0 2 0
p
U p
U )
p
(
ω +
ω ω
−
= ω +
−
= Ψ
Trang 8từ đây suy ra nghiệm gốc : (t) U sin t U cos( 0t 900)
0
0 0
0
ω
= ω ω
−
= ψ
0 0
0
ω
thay vào phương trình mạch ta có :
ψ µ
− ψ µ
−
= ψ µ
−
= ψ ω
θ
− ψ ω
4
1 A cos
4
3 A cos
A cos
A sin
0 0
ta cân bằng các điều hòa :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
µ
−
= ω θ
−
= ψ ω
−
•
•
3 0
0
A 4
3 A
0 sin A
rút ra được :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
ω µ
= θ
=
•
•
0
2
A 4 3
0 A
nên có :
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
ω
µ +
= ω
µ +
= θ + θ
= θ
ω
=
= +
=
∫
∫
∫
•
•
t
U 4
3 90 dt
U 4
3 90
dt )
t (
U A dt A A
) t (
A
3 0
2 0 0
t
0 3 0
2 0 0
t
0 0
0
0 0 t
0 0
Lắp A(t) và θ(t) vừa tính được vào biểu thức nghiệm Ψ(t)=A(t)cos[ω0t+θ(t)] ta
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ω
µ + ω ω
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ω
µ + + ω ω
=
4
3 t sin
U t
U 4
3 90 t cos
U ) t
0
2 0 0
0
0 3
0
2 0 0
0 0
0
III Các bước thực hiện phương pháp biên pha biến thiên chậm :
1 Viết phương trình mạch dưới dạng vi phân phi tuyến
2 Giải phương trình tuyến tính suy biến cho thỏa mãn sơ kiện xác định được
A0, θ0 từ nghiệm x(t)= A0 cos[ω0t+θ0]
3 Thay dạng nghiệm x(t) = A(t)cosψ vào phương trình vi phân của mạch phi tuyến từ đó rút ra các phương trình cân bằng theo cos, sin để được các biểu thức của
)
t
(
),
t
(
A
•
•
θ
0 t
0
dt ) t ( ) t ( , dt ) t ( A ) t ( A
5 Lắp A(t), θ(t) vào dạng nghiệm : x(t)=A(t)cos[ω0t+θ(t)] được nghiệm quá trình quá độ là : x(t)=[A0 +A(t)] [cosω0t+θ0 +θ(t)]
§5 Phương pháp số :
Việc phân tích mạch phi tuyến bằng các phương pháp đã xét sẽ trở nên rất kho khăn trong trường hợp mạch phức tạp, số lượng các phân tử phi tuyến lớn Lúc này cần thiết phải dẫn ra hệ phương trình mạch sao cho việc giải nó thực hiện trên máy tính số thì việc giải mạch phi tuyến sẽ rất nhanh chóng, độ chính xác cao Hệ phương trình như vậy sẽ có được khi ta thay hệ số của phương trình vi phân bằng biểu thức xấp xỉ rồi vận dụng các mẫu thuật toán khác nhau để dẫn ra hệ phương trình gần đúng tính được trên máy tính số cho ra nghiệm Dưới đây ta dựa vào một mẫu sai phân để chuyển hệ phương trình vi phân thành hệ phương trình sai phân rồi đưa vào máy tính giải
I Tinh thần phương pháp sai phân:
Trang 9Ta biết nghiệm bài toán mạch phải tính là phân bố thời gian x(t) Thay vì giải ra nghiệm x(t) liên tục theo thời gian ta tìm nghiệm phân bố rời rạc theo thời gian x(t0), x(t1), x(t2), , x(tn) các thời điểm t0, t1, t2, , tn lần lượt cách nhau một khoảng thời gian
∆t = h gọi là bước thời gian h do ta tự chọn Các nghiệm x(t0), x(t1), x(t2), , x(tn) lần lượt khác nhau một lượng ∆x gọi là số gia của biến số Từ đó thấy rằng nếu biết nghiệm tại t0 (là sơ kiện của bài toán), chọn bước h và có số gia ∆x thì ta tính được x(t1), cứ như vậy tiếp tục lần lượt tính đến x(tn)
Ví dụ như : Tại t0 có nghiệm là x(t0) = x0
Tại t1 = t0 + h có nghiệm là x(t1) = x1 = x0 + ∆0x
Tại t2 = t1 + h = t0 + 2h có x(t2) = x2 = x1 + ∆1x
Tại tn = t0 + nh có x(tn) = xn = xn-1 +∆n-1.x
Vậy để xác định nghiệm dưới dạng phân bố rời rạc theo thời gian cần phải tính
sơ kiện x0 tại thời điểm đóng mở t0, chọn bước thời gian h, chọn số gia ∆x
Rõ ràng nếu chọn bước h càng nhỏ thì các nghiệm sẽ ở các điểm thời gian sít nhau, độ chính xác càng cao
Có nhiều cách xác định ∆nx, mỗi cách sẽ cho độ chính xác khác nhau
II Nội dung phương pháp sai phân :
Đây là phương pháp số với mẫu sai phân là :
n 1 n n 1
n n
n) x(t ) x(t ) x(t ) x x
t
(
nên có :
h
x x
) t ( h
x ) t ( dt
dx ) t
(
n n
n
−
=
∆
≈
•
(18-9)
dt = h là bước thời gian tùy chọn và đạo hàm cấp 2 là :
) x x
2 x
(
h
1
) x x
( h
1 h
1 ) x x
(
h
1
h
x x dt
) t ( x d ) t ( dt
x d )
t
(
x
n 1 n 2 n 2
n 1 n 1
n 2 n
n 1 n n
n 2
2
n
+
−
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
≈
−
≈=
=
=
+ +
+ +
+
• +
•
•
•
(18-10)
tương tự như trên ta xác định biểu thức gần đúng của đạo hàm cấp cao hơn
Như vậy thay phép đạo hàm bằng phép tính đại số gần đúng ta sẽ chuyển được hệ phương trình vi phân thành hệ phương trình đại số liên hệ giá trị của biến ở những thời điểm kế cận nhau Từ phương trình này dùng phương pháp thích hợp tìm bằng số dần từng bước nghiệm gần đúng (biết giá trị biến ở bước k, tính được giá trị ẩn ở bước tiếp theo k + 1 cứ thế tính dần được giá trị nghiệm rời rạc gần
đúng ở các bước kể từ k = 0 là sơ kiện)
h.18-4
r i(ψ) e(t)
K
Ta minh họa phương pháp bằng ví dụ sau đây :
Ví dụ : Đóng cuộn dây lõi thép vào nguồn e(t) như hình
(h.18-4) Hãy xác định ψ(t), i(t) trong mạch
Sơ kiện bài toán :
Trang 100 L
0
L( 0) i , (0) ( 0) i
)
0
(
Phương trình mô tả quá trình quá độ của mạch : e(t)
dt
d i
Gần đúng có
h
k 1
k −ψ ψ
≈
nên phương trình của mạch là : )
t ( e h
i
k +ψ + −ψ =
Rút ra phương trình đại số : ψk+1 =ψk +h.[e(t)−r.ik] (*)
Từ phương trình (*) xác định từng giá trị ψ tại những thời điểm cách nhau bước h Tại thời điểm đóng mở : t = 0, k = 0 có :
0 ) 0 ( i i , 0 ) 0
thay vào (*) tính được : ψ1 =ψ0 +h.[e(0)−r.i0]=0+h.[e(0)−0]=h.e(0)
Biết ψ1 tại thời điểm t1 = t0 + h ta xác định được i1 qua tra hàm đặc tính là đường cong quan hệ ψ(i), có ψ1, i1 ta tiếp tục xác định ψ2 =ψ1 +h.[e(h)−r.i1] tại t2 = t1 + h, từ ψ2 xác định i2 qua ψ(i) và ta được ψ1(t1), ψ2(t2), , ψk(tk) cũng như i1(t1), i2(t2), ,
ik(tk) Cứ như vậy tiếp tục xác định các nghiệm ψk+1 kế tiếp ứng với từng bước thời gian
III Một số nhận xét về phương pháp :
1 Rõ ràng chọn bước h càng nhỏ thì nghiệm càng chính xác
2 Tùy theo mẫu sai phân sai lạc giữa nghiệm tính với nghiệm chính xác sẽ có cở lũy thừa bậc n của bước h, với cùng một bước h thì bậc n càng lớn sai lạc càng ít, nghiệm sẽ hội tụ nhanh vào nghiệm chính xác
3 Nghiệm rời rạc tính ở mỗi bước có một sai số nào đó góp phần gây sai số cho bước sau Nếu sai số mỗi bước không gây những sai số ngày càng lớn vô hạn trong từng bước sau ta nói nghiệm sai phân là ổn định, ngược lại là không ổn định Tất nhiên nghiệm là ổn định mới có ý nghĩa Ta sẽ thấy với một bài toán nếu tính mẫu sai phân này thì ổn định còn tính theo mẫu sai phân khác có thể không ổn định
4 Có thể dùng máy tính số để giải phương trình sai phân một cách nhanh chóng Đây chính là ưu điểm nổi bật của phương pháp số
§6 Phương pháp giải tích đồ thị trên mặt phẳng pha :
I Biểu diễn quá trình của hệ trong không gian trạng thái :
Tất cả các phương pháp tính mạch đã học cho phép tính được phân bố thời gian của nghiệm : x(t) là đường cong có thể biểu diễn trong mặt phẳng gồm trục hoành là trục thời gian, trục tung là nghiệm x, không gian đó là không gian trạng thái thời gian
Qua x(t) trên mặt phẳng đó thấy được cường độ ở mỗi thời điểm, cũng xác định được
•
xnhư là độ dốc của đường cong Nếu biết thêm sự phụ thuộc của x(t) vào sơ kiện (thể hiện trên đường cong)thì sẽ biết được toàn bộ tính chất của hệ kể cả ổn định
Song vì nhiều bài toán khó giải ra nghiệm x(t), khó tìm sự phụ thuộc của x(t) vào sơ kiện và đặc biệt khi chỉ cần xét tính chất của quá trình chứ không cần giải nghiệm x(t) cụ thể Lúc này nên tìm một đường cong khác (ứng với một không gian