nên theo hệ quả của định lí Thales ta có CG CH 2 GN NO mà CN là trung tuyến của ABC, suy ra G là trọng tâm của ABC Vậy đường thẳng HI đi qua trọng tâm G của ABC.... Lưu ý: - Các cá[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THẠCH HÀ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN-NĂM HỌC 2013-2014
Môn: Toán, Lớp 9
Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 10/10/2013
Bài 1:
a) Cho các số a, b, c thỏa mãn:
2012 2013 2014
Chứng minh rằng: 4 a b b c a c 2
b) Cho A 2012 2013 2014 và B 2009 2011 2019 Hãy so sánh A với B
Bài 2:
a) Tìm các số nguyên dương a, b thỏa mãn: a+b+1=ab
b) Tìm các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn: a b b c c d d a 2013
Bài 3:
a) Giải phương trình:
2 2
2
4x
x 2
b) Cho đa thức: f x x3 3x2 3x 3
Chứng minh rằng:
Bài 4: Cho ABC có 3 góc đều nhọn và góc BAC=450; h ai đường cao BD
và CE cắt nhau tại H Gọi I là trung điểm DE Kẻ EM vuông góc với AC (M AC), DN vuông góc với AB (N AB) O là giao điểm của EM và DN.
a) Tứ giác EHDO là hình gì?.
b) Chứng minh rằng: HC = 2NO
c) Chứng minh rằng đường thẳng HI đi qua trọng tâm của ABC
Bài 5: Cho hai số thực a, b khác 0, thỏa mãn:
2 2
2
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S ab 2013
Hết
Trang 2-Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Bài 1:
a)
b)
a b c a b b c a c
2012 2013 2014 1 1 2 Từ đó suy ra
; 2 b c a c
4 a b b c a c 2
Ta có
2012 2009
2012 2009 2019 2014
2013 2011
2013 2011 2019 2014 Cộng theo vế hai BĐT trên ta được:
5
2012 2009 2013 2011 2019 2014
2019 2014 Suy ra A > B
2 điểm 1đ 1đ
2 điểm 0,75đ 0,75đ
0,5đ
Bài 2:
a)
Ta có: a+b+1=ab↔(a-1)(b-1)=2 (1)
Do a, b nguyên dương, nên (1) suy ra: a-1 nguyên dương và là ước của 2
Từ đó suy ra: a-1=1 hoặc a-1=2
Với a-1=1→a=2; b=3
Với a-1=2→a=3, b=2
Trả lời: (a; b)=(2; 3) hoặc (3; 2)
2 điểm 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ b)
Với số thực x bất kì thì
2x nÕu x 0
x x
0 nÕu x < 0 Do đó x x là một số nguyên chẵn khi x Z
Mặt khác: a b b c c d d a 2013
Vế trái là
số nguyên chẵn còn vế phải là số nguyên lẻ
Vậy không có các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn đề ra
2 điểm 0,5đ
0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài 3:
a)
ĐKXĐ: x -2 Ta có
2
x
x 2 x 2
2
x
x 2 x 2
2 điểm 0,5đ
0,5đ
Trang 32
2
4x 4x x
x 2 x 2
2
2
x
x 2 x 2 x 2
Đặt
2
x y
x2 ta có phương trình:
2
y 4y 12 0 y 22 16 y 2
y 6
2
2 2
x
2 x 2x 4 0 x 1 5 x 1 5
x 2 (TMĐK)
2
2 2
x
6 x 6x 12 0 x 3 3
x 2 vô lí Vậy phương trình có nghiệm x 1 5
Ta có: f x x3 3x23x 3 x 1 34
2014 1
2013 2013 ;
2013 1
2012 2012 Do
1 1
2013 2012
2013 2012
2014 2013
2013 2012
0,5đ
0,5đ
2 điểm 1đ 0,5đ 0,5đ
Bài 4:
a)
b)
Theo bài ra ta có ADB, AEC vuông cân,
do đó nhận DN và EM làm trung tuyến,
suy ra M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB
Tứ giác EHDO là hình bình hành (do các cạnh đối
song song) nên HO đi qua trung điểm I của ED
và EO = HD Lại có hai tam giác NOE và DHC
vuông cân (do NEO HCD 450) nên
Gọi G là giao điểm của CN và HO Do NO // CH
nên theo hệ quả của định lí Thales ta có
CG CH
2
GN NO mà CN là trung tuyến của ABC, suy ra G là trọng tâm
của ABC
Vậy đường thẳng HI đi qua trọng tâm G của ABC
4 điểm
1đ
1đ
1đ
1đ
2 điểm
1đ
1đ
A
D E
M N
H I G O
0
45
Trang 4Bài 5:
Ta có
2
2
4 a 2 a ab ab 2 a a ab 2
ab + 2 Do đó ab 2 S 2015
Vậy GTLN của S là 2015 đạt được khi
1
a 0
a 1; b 2 a
b a 1; b 2
a 0 2 Mặt khác:
2
2
4 a 2 a ab ab 2 a a ab 2
-ab + 2 ab -2 S 2011
Vậy GTNN của S là 2011 đạt được khi
1
a 0
a 1; b 2 a
b a 1; b 2
a 0 2
2 điểm
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Lưu ý: - Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa
- Vẽ hình sai không chấm Không có hình vẽ nếu đúng cho 1/3 số điểm