CHƯƠNG 3 hệ PHƯƠNG TRÌNH bậc NHẤT HAI ẩn

Trang 1

CHƯƠNG 3:HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN BÀI 1:PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

A.LÍ THUYẾT:

I.Khái niệm về phương trình bậc nhất hai ẩn:

1.Phương trình bậc nhất hai ẩn là x và y là hệ thức có dạng ax by+ =c (1),trong đó a,b và c là các số đã biết ( a  hoặc 0 b  ) 0

Ví dụ 1:Các phương trình 2 x− =y 1; 3x+4y=0; 0x+2y=4; x+0y = là những phương trình bậc 5

nhất hai ẩn

2.Trong phương trình (1),nếu giá trị của vế trái tại x = và x0 y= y0 bằng vế phải thì cặp số ( ;x y được 0 0)

gọi là một nghiệm của phương trình (1)

Khi đó ta viết:Phương trình (1) có nghiệm là ( ; )x y =( ;x y0 0)

Ví dụ 2:Cặp số (3;5) là một nghiệm của phương trình 2x− =y 1 vì 2.3 5 1 − =

Chú ý:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,mỗi nghiệm của phương trình (1) được biểu diễn bởi một điểm

Nghiệm ( ;x y được biểu diễn bởi điểm có tọa độ 0 0) ( ;x y 0 0)

II.Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

1.Phương trình bậc nhất hai ẩn ax by+ =c (1) luôn luôn có vô số nghiệm.Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax by+ =c ,kí hiệu là (d)

2.Nếu a  và 0 b  thì đường thẳng (d) chính là đồ thị hàm số bậc nhất 0 y a x c

Trang 2

1) 5x+4y=8 2) 3x+5y= −3

Bài 2:Với mỗi phương trình sau,tìm nghiệm tổng quát của phương trình và vẽ đường thẳng biểu diễn tập

nghiệm của phương trình đó

1) 3x− =y 2 2) x+5y=3 3) 4x−3y= −1

4) x+5y=0 5) 4x+0y= −2 6) 0x+2y=5

Kiến thức mở rộng:

Cho phương trình bậc nhất hai ẩn ax by+ =c ( , ,a b cZ) (1)

1.Nếu phương trình (1) có nghiệm nguyên thì c chia hết cho ước chung lớn nhất của a và b

2.Ngược lại,nếu c chia hết cho ước chung lớn nhất của a và b thì phương trình (1) luôn có nghiệm nguyên

Nhận xét:Nếu a và b là hai số nguyên tố cùng nhau thì phương trình (1) luôn có ngiệm nguyên

Ví dụ 1:Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau:

Trang 3

BÀI 2:HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

A.LÝ THUYẾT

1.Khái niệm về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

*Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn.Hệ có dạng:

*Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của hệ phương trình đó

2.Minh họa nghiệm của hệ phương trình bậc nhất:

Trên mặt phẳng tọa độ,gọi (d) là đường thẳng ax+by =c,(d’) là đường thẳng a x' +b y' =c'

Khi đó,điểm chung (nếu có) của hai đường thẳng trên có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình

Vậy,tập nghiệm của hệ phương trình (I) được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của (d) và (d’)

Tổng quát,ta có:

Đối với hệ phương trình (I),ta có:

*Nếu (d) cắt (d’) thì hệ (I) có nghiệm duy nhất

*Nếu (d) song song với (d’) thì hệ (I) vô nghiệm

*Nếu (d) trùng với (d’) thì hệ (I) có vô số nghiệm

3.Hệ phương trình tương đương:

Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm

Trang 4

BÀI 3:&4:CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

A.LÍ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG

1.Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

a)Phương pháp:

Bước 1:Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thứ nhất),ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia

rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới(chỉ có một ẩn)

Bước 2:Dùng phương trình mới ấy thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ

b)Bài tập ví dụ:

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

Bước 1:Cộng hay trừ từng từng vế của hai hệ phương trình của hệ phương trình đã cho để được một

phương trình mới

Bước 2:Dùng phương trình mới áy thay thế cho một trong hai phương trìn của hệ (và giữ nguyên phương

trình kia)

b)Bài tập ví dụ:

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

Trang 5

11

x y

=+

3122

73

y x

Đọc thêm:NÂNG CAO:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Vấn đề 1:Hệ phương trình đối xứng

1.Hệ đối xứng loại I:

0),(2

1

y x F

,trong đó F 1 ,F 2 là các biểu thức đối xứng đối với x và y.Cách giải:

*Rút một ẩn theo ẩn còn lại,sau đó sử dụng phương pháp thế

*Đặt x+y=S,xy=P rồi biến đổi hệ phương trình về theo S và P.Giải hệ phương trình đó ta tìm được các

nghiệm (S,P),chọn các nghiệm thỏa mãn điều kiện S2 4P Từ đó giải ra nghiệm (x,y)

Bài tập luyện tại lớp:

Bài 1:Giải các hệ phương trình sau:

96

2082 2

xy

y x

=++

3

7

2 2

xy y x

Bài 2:Giải các hệ phương trình:

y

x

y x

=+++

12)1()1(

72

2

y y x x

2.Hệ đối xứng loại II:

0),(2

1

x y F

y x F

Phương pháp:Giữ lại một phương trình và đem hai phương trình trong hệ trừ cho nhau vế theo vế để đưa về

phương trình tích số:(x-y)F(x,y)=0

y x x

23

y x x

83

3 3

Trang 6

Bài 2:Giải hệ phương trình:

23

y

x x x

y y

(Tuyển sinh đại học khối B năm 2003)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

−

−+

=++

31)(2

112

2

y x xy y

x

y xy

=+

13

42 2

y xy x

y x

=++

7

52 2

y xy x

xy y

=+

5

62 2

y xy x

xy y x

=++

5

173 3 3 3

y xy

x

y y x x

=+

2)(

23 3

y x xy

y x

=++

37

481

2 2

4 2 2 4

y xy x

y y x x

=+++

911

511

2 2 2 2

x x y x

y x y x

=+

−+

24

5332 2

y x xy

y x y x

1642 2

y x

−+

−

=+

−

6

32

2

xy y x y x

y x xy

−

=

−++

2)1()1(

42

2

y y y

x x

y x y x

y x x

35

y x y x

22

2 2

x

y y x

36

y x x

5

3 3

Trang 7

Vấn đề 2:Các hệ phương trình khác

1.Phương pháp chung để giải hệ phương trình:

*Phương pháp thế

*Phương pháp cộng

*Phương pháp đặt ẩn phụ

2.Các dạng hệ phương trình thường gặp:

*Hệ có một phương trình bậc nhất:

+Phương pháp thế

+Biến đổi tương đương

*Hệ đẳng cấp (thuần nhất) bậc hai:

+

=++

)2(''

''

)1(2

2

2 2

d y c xy b x a

d cy bxy ax

+Khử một ẩn bậc hai

+Xét x=0,xét x0,đặt x=ty

=

−

164

22 2

=+

−12

7

2

y x

y xy x

−+

=+

04523

42

2 2

y x xy y x

=+

97

54 4

y x

−

=++

065

222

2 2

y xy x

=++

173

2

112

3

2 2

y xy x

=

−

y y

x

x y

x

y

10)(

3)(

2

2 2

=++

2 2

2

131

71

y xy

y x

xy

(Tuyển sinh đại học khối B năm 2009)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

2

242

y x

=

−

8483

49)

y x

=+

052

4

2

y x

x x

−32

0632

2

y x

y x y xy x

Trang 8

16

23 3

y x

=

−

8

23 3

y x

=+

82

44 4

y x

=+

1

16 4

y x

−

=+

−

133

3

13

2 2

y xy x

−

=+

−

7223

14

2

2 2

y xy x

−

=

−

14

43

2 2

2

y xy x

xy y

−

0675

0483

2 2

y xy x

+

=+

)(

5)(

2)(

2

20

2 2 2

2 2

2

2 2

y x y

x y

x

y x

12

2

2 2 2

y x

xy x

−

=+

+

4)

(

2

64)

(

xy y x

y x y x

−+

=

−++

01

5)(

03)1(

2 2

x y x

y x x

Trang 9

BÀI 5:GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình,ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1:Lập hệ phương trình:

*Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng

*Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết

*Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

Bước 2:Giải hệ hai phương trình nói trên

Bước 3:Trả lời:Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình,nghiệm nào thích hợp với bài toán và

kết luận

Dạng 1:Bài toán tỉ lệ thuận:

A.Bài tập luyện tại lớp:

Bài 1:Tìm số tự nhiên có hai chữ số,biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục một

đơn vị,và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được một số mới (có hai chữ số) bé hơn số cũ 27 đơn vị

Bài 2:Một số có hai chữ số,tổng của chúng bằng 7.Khi đảo thứ tự hai chữ số đó,thì số đã cho tăng lên 27

đơn vị.Tìm số đó

Bài 3:Một chiếc xe tải đi từ TP.Hồ Chí Minh đế TP.Cần Thơ,quảng đường dài 189km.Sau khi xe tải xuất

phát 1 giờ,một chiếc xe khách bắt đầu đi từ TP.Cần Thơ về TP.Hồ Chí Minh và gặp xe tải sau khi đã đi được 1 giờ 48 phút.Tính vận tốc của mỗi xe,biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13km

Bài 4:Một công ty cây xanh nọ đặt hàng tại một vườn ươm.Lần thứ nhất họ đặt 13 bụi cây và 4 cây

đơn,tổng giá tiền là 487 đô la.Lần thứ hai họ đặt 6 bụi và 2 cây,tổng giá tiền là 232 đô la

Hóa đơn nhận được khi liệt kê đơn giá từng loại.Hỏi giá tiền mỗi bụi cây và giá mỗi cây?

Bài 5:Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250m.Tính diện tích của thửa ruộng,biết rằng nếu chiều dài

tăng lên 15m và chiều rộng giảm đi 15m thì diện tích giảm đi 450m2

B.Bài tập tự luyện:

Bài 1:Tìm hai số tự nhiên,biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được

thương là 2 và số dư là 124

Bài 2:Bác Nam lái xe ô tô từ Nha Trang về nhà bác ở ngoại ô thành phố Huế.Bác đi trong một khoảng thời

gian ấn định trước với vận tốc không đổi trên toàn bộ quãng đường.Nếu mỗi giờ bác chạy nhanh hơn 10km thì về đến nhà sớm hơn 3 giờ so với dự định.Nếu mỗi giờ bác chạy chậm lại 10km thì về đến nhà trễ 5 giờ

so với dự định

Tính thời gian đã ấn định và quãng đường từ nha trang về nhà

Bài 3:Nếu tăng chiều rộng thêm 6cm và tăng chiều dài thêm 4cm cho một hình chữ nhật thì diện tích hình

chữ nhật đó sẽ tăng lên 140cm2.Nếu giảm chiều dài 4cm và giảm chiều rộng 4cm thì diện tích hình chữ nhật đó sẽ giảm 68cm2.Tính diện tích hình chữ nhật đó

Trang 10

Bài 4:Hai tỉnh A và B cách nhau 225 km.Một ô tô đi từ A đến B.Cùng một lúc ô tô thứ hai đi từ B đến

A.Sau 3 giờ chúng gặp nhau.Tìm vận tốc của mỗi ô tô;biết rằng ô tô đi từ A có vận tốc lớn hơn ô tô đi từ B là 5km/h

Bài 5:Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 32m.Nếu giảm chiều rộng đi 3m và tăng chiều dài thêm 2m

thì diện tích của miếng đất giảm đi 24m2.Tính các kích thước của mảnh đất

Bài 6:Hai thành phố A và B cách nhau 180km.Một xe ô tô khởi hành từ A về B,cùng một lúc một xe gắn

máy khởi hành từ B đi ngược về B.Sau khi gặp nhau,xe ô tô phải đi thêm 2 giờ nữa mới tới B,còn xe gắn máy phải đi thêm 4 giờ 30 phút nữa mới tới A.Tìm vận tốc của mỗi xe?

Bài 7:hai xe máy khởi hành cùng một lúc,từ thành phố A đến thành phố B cách nhau 120km.Xe thứ nhất

chạy nhanh hơn xe thứ hai 10km một giờ nên đến sớm hơn xe thứ hai 1 giờ.Tính vận tốc mỗi xe?

Bài 8:Một người đi xe đạp,một người đi xe máy và một ô tô đi từ địa điểm A đến địa điểm B.Họ khởi hành

từ A theo thứ tự nói trên lúc 6 giờ,7 giờ và 8 giờ.Vận tốc trung bình của họ theo thứ tự trên là

10km/h;30km/h và 40km/h.Hỏi mấy giờ ô tô cách đều người đi xe đạp và xe máy

Bài 9:Một ô tô đi từ A đến B dự định lúc 12 giờ trưa.Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì sẽ đến B châm 2

giờ so với dự định.Nếu xe chạy với vận tóc 50km/h thì đến B sớm 1 giờ so với dự định.Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ô tô tại A

Bài 10:Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2.17 triệu đồng,kể cả thuế giá trị gia tăng (VAT)

với mức 10% đối với loại hàng thứ nhât và 8% đối với loại hàng thứ hai.Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó trả tổng cộng 2.18 triệu đồng.Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng

Bài 11:Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 1006,nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ được

thương là 2 và số dư là 124

Bài 12:Một hình chữ nhật có đường chéo bằng 15cm.Nếu gấp đôi chiều rộng và giảm chiều dài đi một nửa

thì được hình chữ nhật mới có chu vi lớn hơn chu vi hình chữ nhật ban đầu là 6cm.Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu

Bài 13:Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 60km/h.Đi được 18 phút thì gặp đường xấu nên vận tốc

trên quảng đường còn lại là 50km/h,vì vậy đã đến nơi chậm 12 phút.Tính quãng đường AB

Bài 14:Một nhà máy đặt kế hoạch sản xuất 3500 chi tiết máy trong một thời gian nhất định;5 ngày đầu họ

đạt đúng tiến độ.Những ngày sau đó do cải tiến kỹ thuật,mỗi ngày vượt 10 chi tiết nên chẳng những hoàn thành sớm một ngày mà còn vượt 50 chi tiết nữa.Tính năng suát dự kiến theo kế hoạch ban đầu

Bài 15:Một thửa ruộng hình chữ nhật,nếu tăng chiều dài thêm 2m,chiều rộng thêm 3m thì diện tích tăng

thêm 100m2.Nếu giảm cả chiều dài lẫn chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm đi 68m2

Tính diện tích thửa ruộng đó

Bài 16:Có hai thửa ruộng hình chữ nhật:thửa thứ nhất có chu vi là 240m,thửa thứ hai có chiều dài,chiều

rồng hơn chiều dài,chiều rộng của thửa thứ nhất là 15m.Tính chiều dài,chiều rộng của mỗi thửa đất biết rằng tỉ số diện tích giữa thửa thứ nhất và thửa thứ hai là 5:8

Trang 11

Bài 17:Một phòng họp có 360 chổ ngồi và được chia thành các dãy có số chổ ngồi bằng nhau.Nếu thêm

cho mỗi dãy 4 chổ ngồi và bớt đi 3 dãy thì số chỗ ngồi trong phòng họp không thay đổi.Hỏi ban đầu số chổ ngồi trong phòng họp được chia thành bao nhiêu dãy?

Bài 18:Một ca nô chạy xuôi dòng từ A đến B,rồi chạy ngược dòng từ B đến A mất tất cả 4 giờ.Tính vận

toccs của ca nô khi nước yên lặng,biết quảng sông AB dài 30km và vận tốc dòng nước là 4km/h

Bài 19:Hai bến sông A và B cách nhau 40km.Cùng một lúc chiếc ca nô xuôi dòng từ A đến B và một chiếc

bè cũng trôi từ A đến B với vận tốc 3km/h.Sau khi đến B,ca nô quay về A ngay và gặp chiếc bè ở một địa điểm cách A là 8km.Tính vận tốc ca nô

Dạng 2:Bài toán tỉ lệ nghịch:

A.Bài tập luyện tại lớp:

Bài 1:Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong.Mỗi ngày,phần việc đội A làm

được nhiều gấp rưỡi đội B.Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu?

Bài 2:Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn (không có nước) thì sau 24

5 giờ đầy bể.Nếu lúc đầu chỉ mở

vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau 6

5 giờ nữa mới đầy bể

Hỏi nếu ngay từ đầu mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể

Bài 3:Hai người làm chung một công việc thì hết 1 giờ 12 phút.Họ làm với nhau được 30 phút thì một

người phải làm việc khác,người còn lại phải làm thêm 45 phút nữa thì xong 75% công việc.Hỏi mỗi người làm một mình thì hết bao nhiêu thời gian để xong công việc?

Bài 4:Nếu hai vòi nước cùng chyar vào một bể cạn thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút.Nếu mở vòi thứ nhất

trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ đươc 2

15 bể.Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu?

Bài 5:hai vòi nước cùng chảy vào một bể không chứa nước và chảy đầy bể trong 6 giờ.Nếu chảy riêng,vòi

thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 5 giờ.Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu đầy bể?

B.Bài tập tự luyện:

Bài 1:Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau

5

4

4 giờ thì đầy bể.Nếu lúc

đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở vòi thứ hai thì sau

5

6 giờ nữa mới đầy bể.Nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu đầy bể

Bài 2:Hai vòi nước cùng chảy vào bể (không có nước) thì sau 4 giờ đầy bể.Người ta cùng mở hai vòi trong

2 giờ,sau đó tắt vòi q,vòi 2 tiếp tục chảy trong 6 giờ nữa thì đầy bể.Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu đầy bể

Trang 12

Bài 3:Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ.Nếu mỗi đội làm một mình để

làm công việc ấy thì đội thứ nhất cần ít hơn so với đội thứ hai là 6 giờ.Hỏi mỗi đội làm một mình công việc ấy trong bao lâu?

Định dạng
Số trang	25
Dung lượng	600,84 KB