BÀI tập HÌNH học CHƯƠNG 1 hệ THỨC LƯỢNG LƯỢNG GIÁC

Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền: Định lý 1: Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc

CHƯƠNG 1 – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG CHỦ ĐỀ 1 – HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG

A NỘI DUNG LÝ THUYẾT

1 Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền:

Định lý 1: Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

Giả thiết ∆ ABC

2 Một số hệ thức liên quan tới đường cao:

Định lý 2: Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Giả thiết ∆ ABC

2 1

DẠNG 1 – TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Câu 1. Cho ∆ABC vuông ở A có AB = 5cm, AC = 12cm, đường cao AH với H ∈ BC Tính BH, CH, AH

H C B

Câu 7 (9/tr70/SGK) Cho hình vuông ABCD Gọi I là một điểm nằm giữa A và B Tia DI và tia CB cắt

nhau ở K Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L Chứngminh rằng:

a) Tam giác DIL là một tam giác cân

b) Tổng 2 2

DI DK không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

DẠNG 2 – TOÁN THỰC TẾ

Câu 8 Một người dùng cách ngắm thước eke để đo chiều cao của một cái cây với cách đo được mô phỏng

trong hình dưới đây Chiều cao tính từ chân đến mắt quan sát là 180cm và người này đứng thẳng cách gốccây 240cm Hãy tính chiều cao của cây

Câu 9 Cầu dây văng dạng rẻ quạt như hình vẽ bên dưới Khoảng cách từ dây văng ngoài cùng đến trụ tháp

lần lượt là 100m và 169m Tính chiều cao của trụ tháp tính từ mặt nước biết cầu cách mặt nước 35m và haidây văng ngoài cùng của một trụ tháp tạo thành một góc vuông

Câu 10 Một cây cau bị bão quật ngã vào bức tường và gãy ngang thân vô tình tạo thành một tam giác

vuông Hai người ở hai bên bức tường đo được khoảng cách từ gốc cau đến tường và khoảng cách từ ngọncau đến tường lần lượt là 80cm và 180cm Tính chiều cao của bức tường và chiều cao của cây cau (khôngtính phần tàu lá) khi chưa bị bão quật ngã

Câu 11 Một cần cẩu có cánh tay dài 8,5m đang nâng một vật lên cao như hình vẽ bên dưới Biết vật cách

thân cần cẩu là 5,5m Hãy tính độ cao tối đa mà cần cẩu có thể nâng vật đó lên Làm tròn kết quả đến hàngchục

Câu 12 Hai bạn Vũ và Phúc đang ở hai đầu của một bể bơi, họ cùng bơi về phía bờ bên kia nơi có lá cờ.

Bạn Vũ bơi với vận tốc 0,75m/s và bạn Phúc bơi với vận tốc 0,8m/s Chiều rộng của bể là 12m và chiều dài

là 25m Tính thời gian mỗi bạn bơi tới lá cờ

Câu 13 Bạn Mây đi xe đạp từ nhà đến trường bằng xe đạp điện theo tuyến đường thẳng thường ngày Đi

được 1,8km thì gặp một đoạn đường đang sửa chữa nên bạn Mây phải đi vòng qua trạm xăng nên tính đếnkhi đến trường đã đi thêm 8km Tính khoảng cách từ nhà bạn Mây đến trường theo tuyến đường thẳngthường ngày

Câu 14 Hãy tìm x , y , z trong các hình sau

H C B

y x

Câu 15 Cho ∆ABC (^A=90 °¿, AB = 12 cm, BC = 13cm Tính AC, đường cao AH (H ∈ BC), các đoạnthẳng BH, CH và diện tích của tam giác

Câu 16 Cho ∆ABC vuông cạnh huyền AB, cạnh AC = 15cm, đường cao CH (H ∈ AB) chia AB thành hai

đoạn AH và HB với HB = 16cm Tính diện tích tam giác vuông ABC

Câu 17 Cho ABC cân tại A có cạnh bên bằng 15cm, cạnh đáy bằng 18cm Tính độ dài các đường cao.

Câu 18 Tính diện tích của một tam giác cân có chiều cao ứng với cạnh đáy bằng 10cm, chiều cao ứng với

cạnh bên bằng 12cm

Câu 19 Cho ABC vuông tại A, đường phân giác trong BE (E ∈ AB), biết EC = 3cm, BC = 6cm Tính độ

dài các đoạn thẳng AB, AC

Câu 20 Tính diện tích tam giác có độ dài ba cạnh là 10cm, 17cm, 21 cm.

Câu 21 Cho ABC cân tại A (

Câu 22 Cho ABC vuông tại A với đường cao AH (H ∈ BC) Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A

lấy điểm D sao cho DB = DC =

=√3BC2

Câu 24 Cho ABC vuông ở A có đường cao AH (H ∈ BC) Trong các đoạn thẳng sau: AB, AC, BC, AH,

HB, HC hãy tính độ dài các đoạn thẳng còn lại nếu biết

1) AB = 6cm và AC = 8cm 2) AB = 15cm và HB = 9cm

3) AC = 44cm và BC = 55cm 4) AC = 40cm và AH = 24cm

5) AH = 9,6cm và HC = 12,8cm 6) BH = 12,5cm và CH = 72cm

Câu 25 Cho DEF vuông ở E có đường cao EK (K ∈ BC) Trong các đoạn thẳng sau: DE, EF, EF, EK,

KD, KF hãy tính độ dài các đoạn thẳng còn lại nếu biết

1) EF = 20cm và DF = 25cm 2) DE = 4cm và DK = 3cm

3) EF = 12cm và DE = 5cm 4) KD = 1cm và KF = 3cm

Câu 26 Cho HIV vuông ở I có đường cao IS Trong các đoạn thẳng sau: HI, VI, HV, IS, SH, SV hãy tính

độ dài các đoạn thẳng còn lại nếu biết

1) IV = 3cm và VH = 2cm 2) IS = 2cm và SV = 2cm

3) SH = 3 5cm và VS = 4 5cm 4) HI = 12cm và VI = 2cm

Câu 27 Cho ABC vuông ở A có đường cao AH (H ∈ BC) Trong các đoạn thẳng sau: AB, AC, BC, AH,

HB, HC hãy tính độ dài các đoạn thẳng còn lại nếu biết:

1) AB = 3a và AC = 4a (với a là độ dài cho trước, a > 0)

2) BH = 144.R và CH = 25.R (với R là độ dài cho trước, R > 0)

3) AH = a 3 và HB = a (với a là độ dài cho trước, a > 0)

Câu 28 Cho ABC vuông ở A có đường cao AH (H ∈ BC) Trong các đoạn thẳng sau AB, AC, BC, AH,

HB, HC hãy tính độ dài các đoạn thẳng còn lại nếu biết:

1) AB = 15cm và HC = 16cm 2) BC = 25cm và AH = 12cm (AB < A3)

Câu 29 Cho ABC vuông ở A có đường cao AH (H ∈ BC), đường trung tuyến AM (M ∈ BC) Tính độ dài

các đoạn thẳng AM và HM nếu biết

1) AH = 4,8cm và BC = 10cm 2) AB = 3cm và AC = 4cm

BC = 13cm Chứng minh ABC là tam giác vuông Sau đó tính độ dài của AM và AH

Câu 31 Cho ABC vuông tại A, đường cao AH (H ∈ BC) Có CH = 9cm, BH = 12cm Gọi D, E lần lượt là

hình chiếu của H trên AB, AC Tính DE

Câu 32 Cho hình thang vuông ABCD (^A=^ D=900) có AC ⊥ BD tại H Biết HB = 8cm, HD = 18cm Tính

AB, AD, CD, BC, từ đó suy ra diện tích của hình thang

Câu 33 Cho hình thang ABCD có AB // CD và hai đường chéo vuông góc Biết BD = 15 cm và đường cao

hình thang bằng 12cm Tính diện tích hình thang ABCD

Câu 34 Cho ABC có 3 góc nhọn, đường cao AH (H ∈ BC) Từ H vẽ HD, HE ⊥ AB, AC lần lượt tại D và

E Biết AH = 4cm, AD = 3,2cm, AE = 2 2cm Tính BC

Câu 35 Cho ABC vuông tại A, đường cao AH (H ∈ BC).

1) Tính các cạnh của ABC biết

Câu 42 Cho ABC nhọn có AH là đường cao (H ∈ BC) Gọi M và N theo thứ tự là hình chiếu vuông góc

của H xuống AB và AC Chứng minh AB.AM = AC.AN Từ đó suy ra AMN và ABC đồng dạng vớinhau

Câu 43 Cho hình chữ nhật ABCD Vẽ BH ⊥ AC tại H, tia BH cắt DC tại I và cắt đường thẳng AD tại K.

Chứng minh:

Câu 44 Cho hình thang vuông ABCD (^A=^ D=900) có AC ⊥ BD tại H Chứng minh rằng: AB DC =AH.AC

Câu 45 Cho ABC có 3 góc nhọn, AH là đường cao với H ∈ BC Từ H vẽ HD, HE vuông góc với AB, AC

tại D và E Đường thẳng DE cắt đường BC tại M Chứng minh MD.ME = MB.MC

Câu 46 Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax ⊥ AB và

By ⊥ AB Trên tia Ax lấy điểm C và trên tia By lấy điểm D sao cho ^COD=900

AC +AB



3 3

BE AB

CF AC .3) BC.BE.CF EF  3 4) 3 BC2 3 BE2 3CF2

Câu 48 Cho ABC nhọn có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H (D ∈ AC; E ∈ AB) Trên HB và HC

lần lượt lấy các điểm M và N sao cho ^AMC=^ ANB=900 Chứng minh AM = AN

Câu 49 Cho ABC vuông cân tại A có đường trung tuyến BM với M ∈ AB Kẻ CD  BM tại D và DH 

Câu 51 Cho hình thang ABCD; đáy nhỏ AB, AD ^ CD và AD = CD Vẽ đường cao BH (H ∈ AC) Gọi E

là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC Chứng minh 2 2 2

CD CE CB .

Câu 52 Cho hình thang ABCD; đáy nhỏ AB, AD ⊥ CD và AD = CD Vẽ đường cao BH (H ∈ AC) Gọi E

là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC Chứng minh 2 2 2

BH AC BD .

Câu 53 Cho đường tròn tâm O bán kính R = 10 cm, A và B là hai điểm nằm trên đường tròn, I là trung

điểm của đoạn thẳng AB

1)Tính AB nếu OI = 7 cm 2)Tính OI nếu AB = 14 cm

Câu 54 Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 53 cm, C là một điểm trên đường tròn sao cho AC = 45

cm Gọi H là hình chiếu của C trên AB Ttính BC, AH, BH, CH và OH

Câu 55 Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 15cm, đáy nhỏ CD = 5cm và Aµ 60o

1) Tính cạnh BC

2) Gọi M N lần lượt là trung điểm của AB và CD Tính MN

Câu 56 Cho ABC vuông tại A, đường cao AH (H ∈ BC), tia phân giác^B cắt AC tại M, kẻ AK ⊥ BM (K

∈ BM) Gọi I là giao điểm của AH và BM Chứng minh:

1) IH.IA = IK.IB 2) BH.BC = BK.BM 3) ^BHK = ^ BMC

Câu 57 Cho ∆ABC vuông tại A, có đường cao AH (H ∈ BC) Đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt tia

CA tại M, kẻ BE ⊥ MH (E ∈ MH) Chứng minh:

1) AM.AC = BH.BC 2) ^AEM= ^ ACB

Câu 58 Cho ∆ABC vuông tại A, có đường cao AH (H ∈ BC) Gọi M, N là hình chiếu của H trên AB, AC.

Chứng minh:

1) AM.AB = AN.AC 2) ∆AMN đồng dạng ∆ACB 3) HB HC = MA MB + NA NC

Câu 59 Cho ∆ABC vuông cân tại A, M là điểm bất kỳ trên cạnh BC (M ≠ B và M ≠ C) Kẻ ME ⊥ AB tại

E, MF ⊥ AC tại F Chứng minh:

1) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật

2) ∆BME và ∆CMF vuông cân Từ đó suy ra: BM2 = 2ME2và CM2 = 2MF2

3) BM2 + CM2 = 2AM2

Câu 60 Cho ∆ABC cân tại A có AH và BK là 2 đường cao (H ∈ BC; K ∈ AC) Kẻ đường thẳng vuông góc

với BC tại B cắt tia CA tại D Chứng minh:

Câu 61 Cho hình vuông ABCD Gọi E nằm giữa A và B, tia CE cắt DA tại F, đường thẳng vuông góc với

CE tại C cắt tia AB tại K

1) Chứng minh ∆FCK vuông cân

2) Chứng minh tổng 2 2

+

CE CF không đổi khi E di động trên AB

3) Gọi CO là đường cao của ∆FCK Chứng minh ba điểm D, B, O thẳng hàng

4) Gọi O là giao điểm của DB và FK Chứng minh CO là đường cao của ∆FKC

Câu 62 Cho ∆ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH (H ∈ BC), trung tuyến AM (M ∈ BC) Gọi

E và F lần lượt là hình chiếu của H lên AB và lên AC GọiI và K lần lượt là trung điểm của HB và HC.Chứng minh:

3)

2 2

=

AC HC và

3 3

CHỦ ĐỀ 2 – TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC NHỌN

A NỘI DUNG LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa: Cho ∆ABC vuông tại A như hình vẽ, ta định nghĩa:

Cạnh huyền

Cạnh đối Cạnh kề

AC BC

AC AB

Vì độ dài các cạnh của tam giác là số dương và các cạnh góc vuông luôn nhỏ hơn cạnh huyền nên ta

có 0<sin α<1 ;0<cos α<1 ;tan α >1 ;cot α>1.

2 Một số tính chất về tỉ số lượng giác.

a) Cho 2 góc nhọn ^Avà ^B:

+ Nếu ^A+ ^B=900thì sin A=cos B; tan A=tan B.

+ Nếu ^A< ^Bthì sin A<sin B và tan A<tan B.

cos A



+

cos Acot A

32

2

22

12

3

DẠNG 1 - TÍNH TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC NHỌN TRONG MỘT TAM GIÁC VUÔNG

CHO BIẾT ĐỘ DÀI HAI CẠNH.

Câu 63 Cho ∆ABC vuông tại C, có BC =1,2; CA = 0,9 Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra

các tỉ số lượng giác của góc A

Câu 64 Cho ∆ABC vuông tại A, có AB 6,AC 8   Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ

số lượng giác của góc C

Câu 65 Cho ∆ABC vuông tại A Kẻ đường cao AH Tính sin B; sinC trong mỗi trường hợp sau (làm tròn

đến chữ số thập phân thứ tư) biết rằng:

1) AB 13, BH 5   2) BH 3, CH 4  

Câu 66 Cho ∆ABC có hai cạnh góc vuông là AB 16mm, AC 3cm  

1) Tính tỉ số lượng giác của các góc nhọn 2) Tính tổng sin2B  sin2C

DẠNG 2 - DỰNG GÓC BIẾT MỘT TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC.

Câu 67 Dựng góc nhọn α biết

2sinα



Câu 70 Dựng góc nhọn α, biết

3cotgα

2



DẠNG 3 - TÍNH CẠNH, TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC CÒN LẠI KHI BIẾT MỘT SỐ TỈ SỐ

LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC.

Câu 71 Cho ∆ABC vuông tại A Biết cosB = 0,8 Hãy tính tỉ số lượng giác của góc C.

Câu 72 Cho ∆ABC vuông tại A, AB 6cm, B α   Biết

5tgα12



Hãy tính:

Câu 73 Hãy tính sinα,cosα (làm tròn đến số thập phân thứ tư) nếu biết:

1)

1tgα

3



2)

3cotgα

4



Câu 74 Tính cos , tg biết    

3sin

5

Câu 75 Tính sin , tan biết  

1cos

4

Câu 76 Tính sin , cos  biết tg   0,8

Câu 77 Tính sin , cos biết cotg   3

DẠNG 4 - SẮP THỨ TỰ CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC MÀ KHÔNG DÙNG BẢNG SỐ VÀ MÁY

Câu 79 Sắp xếp các tỉ số lượng giác theo thứ tự tăng dần:

1) sin 78 ,cos14 ,sin 47 , cos87    2) tg73 , cotg25 , tg62 , cotg38   

Câu 81 Áp dụng quan hệ tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau để viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số

lượng giác của các góc nhỏ hơn 

45 :sin 60 , c os75 ,sin 52 30 ', cotg 82 , tg80     

DẠNG 5 - CHỨNG MINH HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC

Câu 82 Với góc nhọn tùy ý, chứng minh rằng

sin 3) tg cotg    1 4) sin2  cos2  1

Câu 83 Với là góc nhọn tùy ý, chứng minh rằng

cos 2) sin2  cos2  1

Câu 85 Hãy đơn giản các biểu thức sau: (Sử dụng kết quả của các bài tập trước).

1) 1 sin  2 2) sin4  cos4  2s in cos2 2

3) 1 cos  1 cos  4) 1 sin  2  cos2

5) tg2  sin2 tan2 6) cos2 cos2.tg2

5 Hãy tính giá trị của các biểu thức sau (Sử dụng kết quả của các bài tập trước)

2 sin cos cos sin

Câu 88 Tính các tỉ số lượng giác sau (làm tròn đến độ):

1) sin 35o 2) cos 39o13’ 3) tan 80o 4) cot 30o

5) cos 58o12’ 6) cot 45o 7) cot 10o15 8) sin 42o

Câu 89 Tính các tỉ số lượng giác sau (làm tròn đến hàng phần nghìn):

1) sin 23o 2) tan 30o 3) cos 15o25’ 4) cot 65o

5) cos 75o 6) cot 75o 7) tan 45o 8) cos 45o23’

Câu 90 Tính số đo các góc sau, biết:

1) sin A = 0,6 2) sin B = 0,5446 3) tan C = 2

1) AC = √2 cm, BC = 2 cm 2) AB = 3√3 cm, AC = 3 cm

Câu 93 Cho ∆ABC vuông tại A có đường cao AH, AB = 21 cm, AC = 72 cm.

1) Tính các tỉ số lượng giác của ^BAH và số đo của nó.

2) Tính các tỉ số lượng giác của ^CAH.

Câu 94 Cho ∆ABC vuông tại A có AB = 16 cm, AC = 3 cm.

1) Tính các tỉ số lượng giác của ^B và ^ C.

2) Tính sin2 B + cos2 C và sin2 C + cos2 B

Câu 95 Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các tỉ số lượng giác sau:

1) cos22 ,sin35 ,cos37 ,sin44° ° ° ° và cos63 °

2) tan82 ,cot36 ,cot27° ° ° và tan12 °

5) =E sin 432 °+sin 252 °+sin 652 °+sin 47 2 °

6) =F cos 362 °- cos 162 °+cos 542 °- cos 74 2 °

7) G=tan10 tan78 tan80 tan22° ° ° °

Câu 97 Tính góc nhọn α Biết sinα = cosα.

Câu 98 Cho ABC vuông tại A.

1) Tính sin B, tan B, cot B nếu biết cos B = 0,8 2) Tính cos C, tan C, cot C nếu biết sin C =

8

17.3) Tính sin C, cos C, tan C nếu biết cot C = 1 4) Tính sin C, cos C, cot C nếu biết tan D =0,75

Câu 99 Cho ∆ABC vuông tại A có đường cao AH Tính các tỉ số lượng giác của ^B và từ đó suy ra các tỉ số

lượng giác của ^C, biết:

1) AB = 30 cm, AH = 24 cm 2) AB = 9 cm, AH = 7,2 cm

cosB 3sinB nếu biết cot B =

Câu 101 Cho góc nhọn  Chứng minh:

CHỦ ĐỀ 3 – HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG

A NỘI DUNG LÝ THUYẾT

1 Định lí.

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

+ Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cosin góc kề

+ Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc côtang góc kề

A

C B

a

b c

2 Các hệ thức.

Như vậy, trong tam giác ABC vuông tại A, ta có các hệ thức:

.sin cos .sinC cosB.tgB cotgC .tgC cotgB

Trong một tam giác vuông, nếu cho trước hai cạnh hoặc một cạnh và một góc nhọn thì ta sẽ tìm được

tất cả các cạnh và góc còn lại của nó Bài toán đặt ra như thế gọi là bài toán “Giải tam giác vuông”.

B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN

DẠNG 1 - GIẢI TAM GIÁC VUÔNG BIẾT ĐỘ DÀI MỘT CẠNH VÀ SỐ ĐO MỘT GÓC NHỌN.

Câu 102 Giải ABC vuông tại A, biết:

1) b 10cm, C 30    2) c 10cm, C 45    3) a 20cm, B 35   

DẠNG 2 - GIẢI TAM GIÁC VUÔNG BIẾT HAI CẠNH.

Câu 103 Giải ABC vuông tại A, biết:

1) b 8cm, c 10cm  2) b 24cm, c 12cm  3) a 16cm, b 8 3cm 

Câu 104

1) Tỉ số lượng giác nào liên quan đến cả hai cạnh góc vuông của tam giác vuông ?

2) Nêu định lí và viết hệ thức diễn tả các tỉ số lượng giác đó

Câu 105 Cho ABC, A    90 , AB c, AC b  

S mn.

DẠNG 3 - TÍNH CẠNH, TÍNH GÓC CỦA TAM GIÁC

Câu 106 Cho ABC, trong đó BC 8cm, ABC 34 , ACB 30       Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ

A xuống cạnh BC Hãy tính:

1) Độ dài đoạn thẳng AN 2) Độ dài cạnh AC

Câu 107 Cho hình vẽ sau, AC 9cm, AD 12,5cm, ABC 90 , ACB 63        và ACD 75  Hãy tính:

1) Độ dài đoạn thẳng AB 2) Số đo góc ADC

Câu 108 Tính cạnh huyền và diện tích của một tam giác vuông cân nếu a là cạnh góc vuông.

Câu 109 Nửa tam giác đều là cụm từ dùng để chi tam giác vuông có góc 60(hoặc 30) Tính hai cạnh góc

vuông và diện tích của nửa tam giác đều có cạnh huyền là a.

Câu 110 Tính chiều cao và diện tích của một tam giác đều cạnh a.

Câu 111 Cho ABC đều cạnh 5cm và góc ADB bằng 40 Hãy tính: