Chuyên đề 5 TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC, DIỆN TÍCH tứ GIÁC NHỜ sử DỤNG các tỉ số LƯỢNG GIÁC 1

TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC, DIỆN TÍCH TỨ GIÁC NHỜ SỬ DỤNG CÁC TỈSỐ LƯỢNG GIÁC A.. Đặt vấn đề Ta đã biết cách tính diện tích tam giác theo một công thức rất quen thuộc là 1 , 2 S ah trong đ

Chuyên đề 5 TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC, DIỆN TÍCH TỨ GIÁC NHỜ SỬ DỤNG CÁC TỈ

SỐ LƯỢNG GIÁC

A Đặt vấn đề

Ta đã biết cách tính diện tích tam giác theo một công thức rất quen thuộc là 1

, 2

S ah trong đó a là

độ dài một cạnh của tam giác, h là chiều cao ứng với cạnh đó

Bây giờ ta vận dụng các tỉ số lượng giác, các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để xây dựng thêm các công thức tính diện tích tam giác, tứ giác

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 Chứng minh rằng diện tích một tam giác bằng nửa tích hai cạnh nhân với sin của góc

nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy

Giải

Gọi  là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC của tam giác ABC Vẽ đường cao CH Xét ACH vuông tại H có CH AC.sin

Diện tích ABC là 1

2

S  AB CH Do dó 1

.sin 2

Lưu ý: Nếu  90 ,0 ta có ngay 1

2

S  AB AC

Như vậy sin 900 1, điều này sẽ học ở các lớp trên

Ví dụ 2 Tứ giác ABCD có AC m BD n ,  , góc nhọn tạo bởi hai đường chéo bằng 

Chứng minh rằng diện tích của tứ giác này được tính theo công thức 1

sin 2

Giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD Giả sử BOC  

Vẽ AH BD CK, BD

Ta có AH OA sin ;

sin

CK OC  và OA OC AC

Diện tích tứ giác ABCD là:

1 1

Lưu ý:

• Nếu ACBD ta có ngay 1 1

2AC BD 2m

• Phương pháp tính diện tích của tứ giác trong ví dụ này là chia tứ giác thành hai tam giác không

có điểm trong chung, rồi tính diện tích của từng tam giác

Ví dụ 3 Cho tam giác nhọn ABC Gọi độ dài các cạnh BC, CA, AB lần lượt là a, b, c Tính diện tích

tam giác ABC biết a4 2cm b, 5cm c, 7cm

Giải

Theo định lí côsin ta có: a2 b2c2 2 cos bc A

Do đó  2 2 2

4 2 5 7  2.5.7.cos A

Vậy diện tích tam giác ABC là: 1 1 4  2

sin 5.7 14

Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã tìm cos A rồi suy ra sin A Ta cũng có thể vận dụng định lí

côsin để tìm cos B rồi suy ra sin B (hoặc tìm cos C rồi suy ra sin )C

Ví dụ 4 Tứ giác ABCD có AC BD 12cm Góc nhọn giữa hai đường chéo là 45  Tính diện tích lớn nhất của tứ giác đó

Giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Giả sử AOD  45

Diện tích tứ giác ABCD là:

.sin 45

Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:

2

2

AC BD

AC BD  

2

.6 9 2

AC BD

Vậy maxS 9 2cm2 khi AC BD 6cm.

Ví dụ 5 Cho tam giác ABC A  ,  60 Vẽ đường phân giác AD

Chứng minh rằng: 1 1 3

AB AC AD

Giải

Ta có

0

.sin 30

ABD

sin 30

ACD

.sin 60

ABC

Mặt khác S ABD S ACD S ABC nên 1 1 1 1 1 3

2AB AD 2 2 AC AD 22AB AC 2

Do đó AD AB AC  AB AC 3

Suy ra AB AC 3 hay 1 1 3 .

AB.AC AD AB AC AD



Nhận xét: Phưong pháp giải trong ví dụ này dựa trên quan hệ tổng diện tích các tam giác ABD và

tam giác ACD bằng diện tích tam giác ABC.

Ví dụ 6 Tam giác ABC có mỗi cạnh đều nhỏ hơn 4cm Chứng minh rằng tam giác này có diện tích

nhỏ hơn 7cm2

Giải

Giả sử A B C   , khi đó A  60 và 3

sin

2

A 

Diện tích tam giác ABC là:

.sin 4.4 4 3 6,92 7

Nhận xét: Do vai trò các góc A, B, C của tam giác ABC là như nhau nên ta có thể giả sử A B C   ,

từ đó suy ra A  60 , dẫn tới 3

sin

2

A 

C Bài tập vận dụng

• Tính diện tích

5.1 Chứng minh rằng diện tích cùa hình bình hành bằng diện tích của hai cạnh kề nhân với sin

của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng chứa hai cạnh ấy

5.2 Cho hình chữ nhật ABCD AC a,  và BAC   0   45  Chứng minh rằng diện tích của

hình chữ nhật ABCD là 1 2

sin 2 2

5.3 Cho góc nhọn xOy Trên tia Ox lấy điểm A và C, trên tia Oy lấy điểm B và D sao cho

OC  OD  Chứng minh rằng .

AOB COD

S

m n

5.4 Tam giác nhọn ABC có BC a CA b AB c ,  ,  Gọi diện tích tam giác ABC là S Chứng minh

rằng

4cot

S

A

 

 Áp dụng với a39, b40, c41 và A  45 Tính S.

5.5 Cho góc xOy có số đo bằng 45  Trên hai cạnh Ox và Oy lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho

OA OB  cm Tính diện tích lớn nhất của tam giác AOB.

5.6 Cho tam giác nhọn ABC Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm M,N, P sao cho

1

,

4

BN  BC CP CA Chứng minh rằng diện tích tam giác MNP nhỏ hơn 1

3 diện

tích tam giác ABC.

5.7 Cho đoạn thẳng AB5cm. Lấy điểm O nằm giữa A và B sao cho OA2cm Trên một nửa mặt

phẳng bờ AB vẽ các tia Ax, By cùng vuông góc với AB Một góc vuông đỉnh O có hai cạnh cắt các tia Ax, By lần lượt tại D và E Tính diện tích nhỏ nhất của tam giác DOE.

5.8 Cho hình bình hành ABCD, góc B nhọn Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên các

đường thẳng DC và BC.

a) Chứng minh rằng KAH ABC,từ đó suy ra KH AC.sin ;B

b) Cho AB a BC b ,  và B   60 Tính diện tích AHK và tứ giác AKCH.

• Chứng minh các hệ thức

5.9 Cho tam giác ABC AB AC A(  ), 60  Đường phân giác ngoài tại đỉnh A cắt đường thẳng BC

tại N Chứng minh rằng: 1 1 1

AB AC AN

5.10 Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC  . Các đường phân giác trong và ngoài tại đỉnh A của tam giác cắt đường thẳng BC tại M và N Chứng minh rằng: 

a) 1 1 2

AM  AN AC

5.11 Cho tam giác ABC A ,  90 0 Vẽ đường phân giác AD Chứng minh rằng:

2cos



5.12 Cho góc xOy có số đo bằng 30  Trên tia phân giác của góc đó lấy điểm A sao cho OA a Qua

A vẽ một đường thẳng cắt Ox và Oy theo thứ tự tại B và C.

Tính giá trị của tổng 1 1

OB OC

5.13 Cho hình bình hành ABCD, góc nhọn giữa hai đường chéo bằng góc nhọn của hình bình

hành Chứng minh rằng độ dài hai đường chéo tỉ lệ với độ dài hai cạnh kề của hình bình hành

• Tính số đo góc Tính độ dài

5.14 Tam giác nhọn ABC có AB4,6cm BC; 5,5cm và có diện tích là 9,69cm2. Tính số đo góc B (làm tròn đến độ)

5.15 Cho hình bình hành ABCD B ,  90  Biết AB4cm BC, 3cm và diện tích của hình bình hành

là 6 3cm2 Tính số đo các góc của hình bình hành

5.16 Cho tam giác ABC có diện tích S50cm2, A  90  Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy

các điểm D và E sao cho ADE nhọn, có diện tích là 1

1 2

S  S Chứng minh rằng

 

10 tan

2

5.17 Cho tam giác ABC, đường phân giác AD Biết AB4,7cm AC, 5,3cm và A  72 Tính độ dài

AD (làm tròn đến hàng phần mười).

5.18 Cho tam giác ABC AB, 6cm AC, 12cm A,  120  Vẽ đường phân giác AD Tính độ dài AD.

5.19 Cho tam giác ABC AB, 5cm BC, 7cm CA, 8 cm Vẽ đường phân giác AD Tính độ dài AD.

5.20 Cho tam giác ABC, đường phân giác AD Biết 1 1 1

,

AB AC AD tính số đo góc BAC.

HƯỚNG DẪN GIẢI-ĐÁP SỐ

5.1 Xét hình bình hành ABCD D ,   90 

Vẽ đường cao AH.

Xét tam giác ADH vuông tại H, ta có:

.sin

AH AD 

Diện tích hình bình hành ABCD là:

S CD AH CD AD  

Vậy SAD DC .sin 

5.2 Xét ABC vuông tại B có

cos cos ; sin sin

Diện tích hình chữ nhật ABCD là:

2 cos sin sin cos

.2sin cos sin 2

2a   2a 

sin ; sin

Do đó

1 sin

1 sin 2

AOB

COD

OA OB

m n





5.4 Vì ABC nhọn nên theo định lí côsin ta có a2 b2c2 2 cosbc A

cos

2

A

bc

 

Ta có

cos cot

A

sin ) 2



Do đó

4cot

S

A

 

Áp dụng: Với a39, b40, c41 và A  45 ta có:

0

40 41 39

440 4cot 45

5.5 Ta đặt diện tích tam giác AOB là S.

sin sin 45

Nhưng

8

OA OB

OA OB     

.16 4 2 4

S   cm khi OA OB 4cm

Vậy maxS 4 2cm2

;

;

Ta đặt S AMP S S1; BMN S S2; CNP S3 và S ABC S

Khi đó:

1

sin sin sin

2

sin sin sin

3

sin sin sin

Vậy 1 2 3

1 1 1 17

8 4 3 24

S S S    S  S

24 24

MNP

24 24 3

MNP

Cách giải khác: (không dùng tỉ số lượng giác) (h.5.10)

Vẽ đoạn thẳng AN Xét các tam giác NMB và NAB có 3

4

BM  AB và chung chiều cao vẽ từ 4

đỉnh N nên 2  

3 1

4 NAB

Xét các tam giác ABN và ABC có 1

3

BN  BC nên 1  2

3

ABN

Từ (1) và (2) suy ra 2

3 1 1

4 3 4

Chứng minh tương tự ta được 3 1

;

8 4 3 24 24 3

MNP

S  S    S S  S  S

5.7 Ta có AOD BEO (cùng phụ với BOE )

Ta đặt AOD  thì BEO 

Xét AOD vuông tại O, ta có: 2

cos cos

OA OD

Xét BEO vuông tại B, ta có: 3

sin sin

OB OE

Diện tích tam giác DOE là:

 

2 2 cos sin 2sin cos

Áp dụng bất đẳng thức x2y2 2xy ta được:

sin  cos  2sin cos  hay 12sinc so 

Thay vào (*) ta đươc: 6 6

2sin cos 1

S

 

(dấu “=” xảy ra khi sin cos  45)

Vậy minS 6cm2 khi  45

Nhận xét: Việc đặt AOD  giúp ta tính được các cạnh góc vuông của DOE, từ đó tính được diện tích của tam giác này theo các tỉ số lượng giác của góc  Do đó việc tìm min S đưa về tìm

sin 

max cos đơn giản hơn

5.8 a) Ta có AB CD/ / mà AH CD nên AH AB

• ADH và ABK có: H K 90 ;

 

D B (hai góc đối của hình bình hành)

Do đó ADH∽ABK(g.g)

Suy ra AD AH

AB AK

Do đó AK AH AH

AB AD BC (vì AD BC )

• KAH và ABC có KAH B (cùng phụ với BAK ); AK AH.

Do đó KAH ∽ABC (c.g.c)

Suy ra KH AK

AC AB

Xét ABK vuông tại K có sinB AK

AB



Vậy KH sinB

AC  hay KH AC.sinB

.sin sin 60

ab

Vì S KAH∽S ABC nên  

2

2 3 sin

4

KAH ABC

B

 

 

sin 60

2

ABCD

ab

.sin 60 cos 60 sin 60

ABK

2

a

a a

.sin 60 cos 60 sin 60

ADH

2 2

2 2 2 8

b b

Mặt khác S AKCH S ABCD S ABK  S ADH

4

AKCH

5.9 Ta có NAx NAB 1800 60 : 2 600  0

.sin 60

2

1

.sin 60

2

1

.sin 60

2

ANC

ANB

ABC

Vì S ANC  S ANB S ABC

.sin 60 sin 60 .sin 60

Do đó AN AC AB   AB AC

AC AB



5.10 a) AM, AN là hai đường phân giác của hai góc kề bù nên AM AN

0

.sin 45

2 2

ABM

0

.sin 45

2 2

ABN

1

2

AMN

S  AM AN (vì AMN vuông tại A).

Mặt khác, S ABM S ABN S AMN nên:

2

1 2

AM A

AB



+

AM AN AB ;

b) Góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng AN, AC là 45 

.sin 45 ;

ANC

.sin 45 ;

AMC

1

2

AMN

S  AM AN (vì AMN vuông tại A).

Mặt khác, S ANC  S AMC S AMN nên 1 2 1 2 1

2AC AN 2  2AC AM 2 2AM AN

Do đó   2

2

Suy ra

1 2

2





AN AM

AM A

AC

5.11

• Trường hợp góc A nhọn

Ra đặt A 

.sin

ABD

.sin ; sin

Mặt khác, S ABDS ACD S ABC nên

.sin sin sin



Suy ra sin sin 2.sin cos

(vì sin 2sin cos )

2 2



2

2

AB AC





2



• Trường hợp góc A tù

Ta đặt BAC  thì BAx180 

Khi đó BAx là góc nhọn

Ta có S ABDS ACD S ABC

Do đó 1 sin 1 sin 1 sin 180 



.2.sin cos 2.sin 90 cos 90

1

.2.cos sin

AB AC

 



2

Do đó 2.cos

2

AB AC





2



Nhận xét: Nếu A  90 thì ta chứng minh được 1 1 2

,

AB AC AD vẫn phù hợp với kết luận của bài

toán

5.12

.sin15 2

AOB

0 1

.sin15

2

AOC

0 1

.sin 30

2

BOC

Mặt khác, S AOBS AOC S BOC

.sin15 sin15 2sin15 cos15

Do đó OA OB OC   2OB OC cos15 

OB OC

5.13 Gọi O là giao điểm hai đường chéo

Ta đặt OC OA x OD OB  ,  y AD m CD n,  , 

Giả sử AOD ADC   90 

Xét OCD có AOD là góc ngoài nên

  

2 C1 O D

Mặt khác D2C1A D C Suy ra C1D 1

sin ; sin

Mặt khác S ADO S DCO nên m y n x 

2

y n  y n hay

BD DC

5.14 Ta có 1

sin 2

0

2 2.9,69

4,6.5,5

S B

AB BC



Vậy B  50

5.15 Ta có S AB AC .sinB

6 3 3

4.3 2

B

AB BC

Vậy B60  D 60 ;  A C 120 

5.16 Ta đặt AD x AE , y

Khi đó diện tích ADE là 1

1 sin ; 2

2 1

1 25 2

Ta có DE2 x2y2  2 cosxy 

Mặt khác x2y2 2xy (dấu “=” xảy ra khi xy)

Do đó DE2 2xy 2 cosxy  2xy1 cos 

  1  100.2sin2

100 tan

2 2

 



100 10

5.17 Ta có 1 2cos

2

A



  (bài 5.11)

Do đó

1 1 2cos36 10 2cos36

4,7 5,3  AD  4,7.5,3 AD

0 4,7.5,3.2.cos36

4,0 10

5.18 Ta có 1 2cos

2

A



0

1 1 2cos 60 1 1

4

6 12  AD  4AD  AD cm

5.19 Vì cạnh CA là cạnh lớn nhất nên góc B là góc lớn nhất trong

ABC



Ta thấy AC2 AB2BC2 (vì 82 5272) nên góc B là góc nhọn, do dó ABC là tam giác nhọn Theo định lí côsin ta có:

2 2 2 2 cos 72 52 82 2.5.8cos

2

A  A

Ta có:

0

1 A 2cos30

 

3 2

5 8 AD 40 AD AD 13 cm

5.20 Ta đặt BAC  Ta có 1 1 2cos

2



Suy ra 2cos 1



2cos 1 cos cos 60

Do đó cos 600 1200

2



