Tài liệu Vẽ đường phụ trong CM đẳng thức - Hình 8 docx

PHẦN MỘT §ÆT VÊN §Ò Trong quá trình giảng dậy , việc hình thành và phát triển một số kĩ năng cơ bản cần thiết cho HS là vấn ñề mà người giáo viên luôn phải duy trì, ñồng thời phải ñưa r

PHẦN MỘT

§ÆT VÊN §Ò

Trong quá trình giảng dậy , việc hình thành và phát triển một số kĩ năng cơ bản cần thiết cho HS là vấn ñề mà người giáo viên luôn phải duy trì, ñồng thời phải ñưa ra ñược những giải pháp ñể hình thành và phát triển những kĩ năng ñó Với tôi, một trong những kĩ năng ñó là “vẽ hình phụ”

Trong thực tế, tôi nhận thấy học sinh còn lúng túng khi ñứng trước bài toán chứng minh hình học, nhất là với những bài cần phải kẻ thêm ñường Các em chưa ñịnh hướng ñược vấn ñề, ñôi khi còn chưa biết phải bắt ñầu

từ ñâu, vẽ hình phụ như thế nào? Có cơ sở nào giúp các em tìm ra hướng

ñi cho việc kẻ thêm hình mỗi khi chưa tìm ngay ñược lời giải của bài toán? Thiết nghĩ ñây là vấn ñề rất trăn trở với mỗi người giáo viên dạy toán Không chỉ là ñịnh hướng và rèn kĩ năng cho các em,mà thực sự ñây còn là cách ñể rèn luyện và phát triển tư duy cho HS, nâng cao khả năng suy luận lôgic và khả năng vận dụng tri thức vào thực tiễn Với mục ñích như

ñng thc hình hc”

Phạm vi áp dụng kinh nghiệm này xin giành cho các em HS lớp 8 và 9 Nội dung chỉ xin ñề cập ñến một kĩ năng nhỏ trong kĩ năng vẽ hình phụ của HS , nên rất mong sự ñóng góp bổ sung ý kiến của ñồng nghiệp ñể kinh nghiệm ñược hoàn chỉnh và ñầy ñủ hơn

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

PHẦN HAI

GI¶I QUYÕT VÊN §Ò

Khi giải các bài toán hình học , việc vẽ hình phụ tạo ñiều kiện thuận lợi cho ta tìm ra lời giải của bài toán, nhưng biết tạo ra hình phụ một cách thích hợp không phải là bài toán dễ Trong bài viết này tôi ñưa ra một cách phân tích có chủ ý ñể tìm ñược cách vẽ thêm ñược hình phụ thích hợp khi giải một số bài toán chứng minh ñẳng thức hình học dạng:

xy = ab + cd, x2 = ab + cd, x2 = a2 + cd, x2 = a2 + b2

Ta xuất phát từ một bài toán ñơn giản như sau:

“ðể chứng minh một ñoạn thẳng bằng tổng hai ñoạn thẳng khác :

AB = CD + EF, ta tìm cách phân chia ñoạn AB thành hai ñoạn bởi ñiểm M sao cho AM = CD, công việc còn lại là chứng minh MB = EF ”

Ý tưởng trên cũng ñược sử dụng ñể chứng minh ñẳng thức

xy = ab + cd và các trường hợp riêng như sau:

Bước 1:

Chia ñoạn thẳng ñộ dài x thành hai ñoạn bởi ñiểm M sao cho

x = x1 + x2 và x1y = ab

Bước 2:

Chứng minh hệ thức x2y = cd

Bước 3:

Cộng từng vế các ñẳng thức trên ta ñược ñpcm

Sau ñây là mt s ví d minh ho" áp dng ph$%ng pháp trên

Vídụ 1

ð ịnh lí Pytago: Tamgiác ABC có góc A vuông

CMR BC 2 = AB 2 + AC 2

Phân tích : Lấy ñiểm M thuộc cạnh BC sao cho

BM.BC = AB2 ⇔ = ⇒

BC

AB AB

BM

tamgiác BMA ñồng dạng với tam giác BAC nên

góc BMA bằng 900

Suy ra M là chân ñường cao hạ từ A xuống BC

Lời giải:

Hạ AM vuông góc với BC

Ta thấy M thuộc cạnh BC

Ta có tam giác BMA ñồng dạng với tam giác

BC

AB AB

=

⇒

=

⇒

Tam giác CMA ñồng dạng với tam giác CAB

BC CM AC

BC

AC

AC

⇒

Ta suy ra AB2 + AC2 = BC2

B

A

Ví dụ 2:

Cho tứ giác ABCD có góc DAB = 90 0 và góc DBC = 90 0

CMR : DC 2 = DI.DB + CI.CA

Phân tích:

Lấy ñiểm M thuộc cạnh CD sao cho

DM.DC = DI.DB ⇒ = ⇒

DC

DB DI DM

tam giác DMI ñồng dạng với tam giác

DBC , do ñó góc DMI = góc DBC = 900

hay IM vuông góc với DM (DC)

Vậy ta xác ñịnh ñược ñiểm M

Lời giải :

Kẻ IM vuông góc với DC

Ta có tam giác DBC ñồng dạng với tam

DI

DM DC

DB

.

⇒

=

⇒

(1)

Lại thấy tam giác ACD ñồng dạng với

tam giác MCI DC MC CA CI

CI

MC CD

AC

.

⇒

=

⇒

(2)

Từ (1) và (2) ta có:

DC.(DM+MC) = DI.DB + CI.CA

Hay DC2 = DI.DB + CI.CA

B

M I

A

B

M I

A

Ví dụ 3:

Cho tam giác ABC có AD là phân giác của góc A

CMR: AD 2 = AB.AC – BD.CD

Phân tích :

Lấy ñiểm E trên AD sao cho

AD.AE = AB.AC ⇒ = ⇒

AC

AD AE

AB

tam giác ABE ñồng dạng với tam giác ADC , do ñó góc ABE

= góc ADC

Như vậy ta xác ñịnh ñược ñiểm E

Lời giải:

Trên AD lấy E sao cho AD góc ABE = góc

ADC Dễ thấy AD = AE – DE Do AD là phân

giác góc A nên tam giác ABE ñồng dạng với

AC

AD AE

AB

.

⇒

=

Lại thấy tam giác BDE ñồng dạng với tam giác

DE

DC BD

AD

.

⇒

Từ (1) và (2) ta có:

AD.( AE – DE ) = AB.AC – BD.CD

Hay AD2 = AB.AC – BD.CD

E

D B

C A

E

D B

C A

Ví dụ 4:

Cho hình thang cân ABCD ( AD//BC) CMR: AB 2 + AD BC = AC 2

Phân tích:

Giả sử ñiểm M thuộc cạnh AC sao cho

AB2 = AM.AC suy ra tam giác ABM ñồng

dạng với tam giác ACB do ñó

góc ABM bằng góc ACB

Vậy ta xác ñịnh ñược ñiểm M

Lời giải:

Dựng góc ABM bằng góc ACB

( M thuộc AC)

Ta thấy tam giác ABM và tam giác ACB

AB

AM AC

Mặt khác ta thấy : góc BCM = góc CAD và

góc CBM = góc ACD Do ñó tam giác

CBM ñồng dạng với tamgiác ACD

AC CM BC AD AD

AC

CM

CB

=

⇒

=

Từ (1) và (2) suy ra

AB2 + AD BC = AM.AC + CM.AC ,

vậy AB2 + AD.BC = AC2

A

M

D

C B

A

M

D

C B

Ví dụ 5:

Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn Gọi E và F lần lượt là các ñường vuông góc hạ từ C xuống các ñường thẳng AB và AD

CMR: AC 2 = AB AE + AD AF

Phân tích:

Lấy M thuộc ñoạn AC sao cho

AM.AC = AB.AE ⇒ = ⇒

AC

AE AB

AM

tam Giác ABM ñồng dạng với tam giác ACE nên BM vuông

góc với AC

Vậy ñiểm M cần tìm là chân ñường vuông góc

hạ từ B xuống AC

Lời giải:

Gọi M là chân ñường vuông góc hạ từ B xuống

AC, ta thấy M thuộc ñoạn AC do góc A nhọn

nên AC = AM + MC

Lại thấy tam giác ABM ñồng dạng với tam giác

ACE (g.g) suy ra AM AC = AB AE

Và tam giác ACF ñồng dạng với CBM(g.g)

suy ra CM AC = BC AF

Do BC =AD ta có :

AB AE + AD AF = AM AC + CM AC = AC2

B

M

C E

B

M

C E

Ví dụ 6:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp ñường tròn tâm O

CMR: AC BD = AB CD + AD BC

Phân tích:

Giả sử M thuộc ñoạn AC sao cho

AM.BD=AB CD, suy ra tam giác ABM ñồng

dạng với tam giác DBC nên góc ABM bằng góc

DBC Như vậy ta xác ñịnh ñiểm M như sau

Lời giải:

Do góc ABC > góc DBC nên tồn tại ñiểm M trên

ñoạn AC sao cho góc ABM = góc CBD Suy ra

tam giác ABM ñồng dạng với tam giác DBC

(g.g) nên AM BD = AB CD (1)

Dễ thấy tam giác BMC ñồng dạng với tam giác

BAD (g.g) nên MC BD = AD BC(2)

Từ (1) và (2)⇒ AC BD =AB CD + AD BC

A B

D

C

M

Ví dụ 7:

Cho tam giác ABC biết 3A + 2B = 180 0

Chứng minh rằng: AB 2 = BC 2 +AB AC

Phân tích :

Giả sử ñiểm M thuộc cạnh AB sao cho

BM AB =BC2 suy ra tam giác BMC

ñồng dạng với tam giác BCA nên

góc BCM = góc BAC = góc A

Kết hợp giả thiết ta có

góc ACM = góc AMC hay tam giác

ACM cân tại A Vậy ta xác ñịnh ñược

B

A

Lời giải:

Từ giả thiết suy ra AB > AC

Trên cạnh AB lấy ñiểm M sao cho AM = AC, do ñó tam giác ACM cân tại

A nên góc ACM =

2 1

(A + B + C – A) = A+ B

Do ñó góc BCM = C – ACM = A

Suy ra tam giác BCM ñồng dạng với tam giác BAC suy ra BM BA = BC2 nên ( AB – AC ).AB = BC2, do ñó AB2= BC2 + AB AC

Ví dụ 8:

Cho tam giác ABC nội tiếp trong ñường tròn D là một ñiểm trên cung BC không chứa ñỉnh A Gọi I, K và H lầnlượtlà hình chiếu của D trên các ñường thẳng BC,AB và AC.CMR:

DH

AC DK

AB DI

BC

+

=

Phân tích :

Giả sửñiểm M thuộc cạnh BC sao cho

⇒

=

DK

AB

DI

BM

tam giác DKI ñồng dạng với tamgiác BAM suy ra góc BAM = góc DKI mà

góc DKI = góc DBI nên sñ CD = sñ BN

( N là giao ñiểm của AM với ñường tròn)

Do ñó DN // BC Vậy ta xác ñịnh ñược ñiểm

M và N như sau

D

C B

A

N

H

K

I

M

Lời giải:

Qua D kẻ ñường thẳng song song với BC cắt ñường tròn tại N( khác D)

AN cắt BC tại M

Ta thấy tam giác DKI ñồng ñạng với tamgiác BAM (g.g)

DK

AB DI

BM

=

⇒

Lại thấy tam giác ACM ñồng dạng với tam giác HDI (g.g)

DH

AC DI

CM

=

⇒

Cộng từng vế các ñẳng thức trên ta có ðPCM

Các hệ thức hình học rất ña dạng Việc tìm ra chúng tuỳ thuộc vào ñiều kiện cụ thể của bài toán và sự sáng tạo, linh hoạt của người giải

Xin giới thiệu bài toán tương tự

Bài 1:

Cho tam giác ABC có ñường cao BE, CF cắt nhau tại H CMR:

BE BH + CF CH = BC2

Bài 2:

Cho tam giác ABC vuông tại C Lấy ñiểm E trên ñường cao CH Kẻ BD vuông góc với AE tại D CMR:

a) AE.AD + BA.BH = AB2

b) AE AD – HA.HB = AH2

Bài 3:

Cho tam giác ABC vuông tại A với ñường cao AH Gọi HD, HE lần lượt là các ñường cao của tam giác ABH và ACH CMR: AH3 = AD.AE.BC

PHẦN BA

KÕT LUËN Vµ KIÕN NGHÞ

Trên ñây là một nội dung nhỏ trong việc rèn kĩ năng vẽ hình

phụ cho HS.Qua thực tế áp dụng tôi thấy ñã thu ñược kết quả

khá khả quan Các em bớt ñi những lúng túng khi phải kẻ ñường

phụ trong bài toán chứng minh hình học Và hơn cả là các em ñã

giải quyết ñược các bài toán có nội dung tương tự một cách

chính xác, logic, nhanh chóng Với những HS giỏi toán,các em còn giải quyết ñược các bài toán khó hơn,phức tạp hơn

Tuy vậy ,còn rất nhiều những bài toán hình học cần ñến kĩ

năng vẽ hình phụ mà thực sự vẫn còn là bài toán khó cho việc

ñịnh hướng cho HS.Vì vậy rất mong chờ các bài viết và kinh nghiệm quý báu của các ñồng nghiệp ñể tôi ñược học tập và trau

dồi bổ sung kiến thức cho bản thân

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

PHẦN HAI

GIảI QUYếT VấN Đề

Khi gii cỏc bi tốn hình học , việc vẽ hình phụ tạo điều kiện thuận lợi cho ta tìm lời giải tốn, biết tạo hình phụ. .. hình phụ cách thích hợp khơng phải tốn dễ Trong viết tơi đưa cách phân tích có chủ ý để tìm cách vẽ thêm hình phụ thích hợp giải số tốn chứng minh đẳng thức hình học dạng:

xy = ab + cd, x2... rèn kĩ vẽ hình

phụ cho HS.Qua thực tế áp dụng thấy ñã thu ñược kết

khá khả quan Các em bớt ñi lúng túng phải kẻ ñường

phụ tốn chứng minh hình