3 Tính chất và hình dạng của hypebol H: * Trục ñối xứng Ox trục thực Oy trục ảo... c Có tọa ñộ nguyên.
Trang 1HYPEBOL
1.ðịnh nghĩa : Tập hợp các ñiểm M của mặt phẳng sao cho |MF1 −MF2 | 2 = a (2a không ñổi vàc> >a 0) là một Hypebol
* F F1, 2: cố ñịnh là 2 tiêu ñiểm và F F1 2 =2c là tiêu cự
* MF1, MF2: là các bán kính qua tiêu
2 Phương trình chính tắc của hypebol:
a − b = với b2= c2 −a2
3) Tính chất và hình dạng của hypebol (H):
* Trục ñối xứng Ox (trục thực) Oy (trục ảo) Tâm ñối xứng O
* ðỉnh:A1(−a;0),A a2( );0 ðộ dài trục thực: 2a và ñộ dài trục ảo: 2b
* Tiêu ñiểmF1(−c; 0), F2( ; 0c )
* Hai tiệm cận: y b x
a
= ±
* Hình chữ nhật cơ sở PQRS có kích thước 2a, 2b với b2 =c2 −a2.
* Tâm sai:
2 2
e
+
* Hai ñường chuẩn:
2
x
= ± = ±
* ðộ dài các bán kính qua tiêu củaM x y( 0; 0) ( )∈ H :
+) MF1 = ex0 + a và MF2 =ex0 −a khi x0 >0
+)MF1= −ex0 −a và MF2 = −ex0 + a khi x0 <0
+)
4) Tiếp tuyến của hypebol (H):
2 2
2 2 1
x y
a − b =
*Tại M0(x0; y0) ( )∈ H có phương trình: 0 0
x x y y
a − b =
*ði qua M x y( ;1 1) là ∆: (A x−x1)+B y( − y1)=0 với ñiều kiện:
∆ tiếp xúc (H) ⇔ 2 2 2 2 2
Trang 2CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Cho (H):
2 2
1
x − y = 1) Tìm tiêu ñiểm, ñộ dài các trục, tâm sai (H)
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại ñiểm 0(16; 7 )
3
3) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) ñi qua M(12;9)
Giải:
2
3 9
b b
2 2 2
c =a +b = ⇒c=
Từ ñó suy ra:
* Trục thực :A A1 2 =2a=8
* Trục ảo: B B1 2 =2b=6
* Hai tiêu ñiểm :F1(−5;0 ,) ( )F2 5;0
4
c e
a
= =
2) Phương trình tiếp tuyến của (H) tại 0(16; 7 ) ( )
3
xx yy
3) Phương trình tiếp tuyến có dạng: A x( −12)+B y( − = ⇔9) 0 Ax+By −12A−9B=0
3 4
15 16
= −
= −
4
A= − B, chọn B= −4⇒ A=3⇒Pttt: 3x−4y=0
16
A= − B, chọn B= −16⇒A=15⇒Pttt: 15x−16y −36=0
Ví dụ 2: Biết Hypebol (H) có ñộ dài trục thực bằng 8 và tâm sai 5
4
e=
1) Xác ñịnh phương trình của (H)
2) Tìm M∈( )H sao cho MF1⊥MF2
Trang 3Giải:
1) Ta có: 2 8 {
4 5
3 4
a
a b e
=
⇒
2 2
1
x − y =
2) Gọi M x y( ) ( ); ∈ H thỏa MF1 ⊥MF2
4 34
25
5
y
;
M
Ví dụ 3: Cho hypebol (H) :
2 2
2 2 1
x y
a − b = Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một ñiểm tùy ý trên (H) ñến hai ñường tiệm cận không ñổi
Giải:
Phương trình các tiệm cận: 1
2
d bx ay b
d bx ay a
= ± ⇔
Xét
2 2
Ví dụ 4: Cho Hypebol (H) :
2 2
2 2 1
x y
a − b = ∆ là một tiếp tuyến của (H) cắt các tiếp tuyến tại hai ñỉnh thuộc trục thực A và A’ ở T và T’
a) Cmr: ðường tròn ñường kính TT’ ñi qua hai tiêu ñiểm F1 và F2
b) Cmr: AT A T ’ ’=b2
Giải:
Giả sử : xx20 yy20 1
∆ − = với b x2 20 −a y2 02 =a b2 2, tiếp tuyến tại A và A’: x=a và x= −a
1
và
2 0
F T = − − −a c +
Trang 4
4 2 2 2 2 2 2 2 2
Tương tự ta cũng có: F T2 ⊥F T2 '⇒ñpcm
b) Ta có:
4 2 2 2 2 2 2
Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp
hình học tổng hợp
Bài tập:
1/ Xác ñịnh tiêu ñiểm;tâm sai,tiêu cự của hypepol :4x2 −y2 =4
2/ Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) biết :
a) Một tiêu ñiểm là (2;0) và tâm sai bằng 3/2
b) Tm sai bằng 2 ,(H) ñi qua ñiểm A(-5;3)
c) (H) ñi qua hai ñiểm P(6;-1) và Q(-8;2 2)
3/ Tìm cc ñiểm trên hypebol (H) 4x2 −y2 =4 thỏa mãn :
a) Nhìn hai tiêu ñiểm dưới góc vuông
b) Nhìn hai tiêu ñiểm dưới góc 1200
c) Có tọa ñộ nguyên
4/ Cho Hypebol (H):
2 2
2 2 1
x y
a − b = Gọi F1,F2 là các tiêu ñiểm và A1,A2 là các ñỉnh của (H)
M là một ñiểm tùy ý trên (H) có hình chiếu trên Ox là N Chứng minh rằng:
1 2
a OM −MF MF =a −b
) b MF +MF =4 OM +b
c)
2 2
b
a
x
y
l
I
T'
