Hệ phương trình tuyến tính giải thuật gauss

Hệ phương trình tuyến tính & giải thuật Gauss... Đặt vấn đềTrong thực tế, để giải được bài toán nhiều khi cần phải tính định thức của ma trận, giải hệ phương trình tuyến tính, tìm ma trậ

Hệ phương trình

tuyến tính &

giải thuật Gauss

Đặt vấn đề

Trong thực tế, để giải được bài toán nhiều khi cần phải tính định thức của

ma trận, giải hệ phương trình tuyến tính, tìm ma trận nghịch đảo,…

Giải hệ phương trình tuyến tính.

Các khái niệm cơ bản

Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình theo n ẩn số x1, x2, x3, …, xn là hệ

có dạng:

𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥2 + … + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1

𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + … + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2

⋮

𝑎𝑚1𝑥1+ 𝑎𝑚2𝑥2 + … + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚

Hệ phương trình tuyến tính trên có thể được viết dưới dạng ma trận: 𝐴𝑥 = 𝑏

với 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑥𝑛 là ma trận các hệ số 𝐴 =

𝑎21

⋮

𝑎2𝑛

⋮

,

x là vector biến và b là vector vế phải 𝑥 =

𝑥1

𝑥2

⋮

𝑥𝑛 , 𝑏 =

𝑏1

𝑏2

⋮

𝑏𝑛

Hệ thiếu

Số phương trình ít hơn số ẩn số.

Hệ thường vô số nghiệm.

Hệ phương trình tuyến tính có thể xảy ra

Hệ vuông

Số phương trình bằng số ẩn.

Thường có 1 nghiệm duy nhất.

Hệ dư

Số phương trình nhiều hơn số ẩn số.

Hệ thường vô nghiệm.

m = n

m < n

m > n

Giải hệ phương trình tuyến tính

Lập ma trận bổ sung

Ghép cột b sau ma trận A

Biến đổi sơ cấp trên dòng

Chuyển ma trận bổ sung thành ma trận bậc thang

Thế ngược

Tìm nghiệm

Lập ma trận

bổ sung

● Viết hệ số của x dưới dạng cột, cho cột đầu.

● Viết hệ số của y dưới dạng cột, cho cột thứ 2.

● Vẽ một đường thẳng và viết các hằng số của vế phải.

Ví dụ:

ቐ

𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 3 2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 6 3𝑥 − 3𝑦 + 3𝑧 = 4

Ma trận bổ sung:

ቮ

3 6 4

Biến đổi sơ

cấp trên dòng

Phương pháp Gauss: sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận bổ sung 𝐴 thành ҧ

ma trận bậc thang dòng 𝐴 ഥ′.

Nhân một hàng với một

hằng số.

Các phép bến đổi trên dòng

một hàng khác.

1. Phương trình đầu tiên phải có hệ số đầu là 1 Trao đổi hàng hoặc nhân với hằng số nếu cần.

2. Các phần tử ở cột thứ nhất, hàng thứ 2 trở đi biến thành 0 bằng cách sử dụng các phép biến đổi trên hàng.

3. Tiếp theo làm cách tương tự với hàng thứ 3.

4. Nếu hàng nào chứa tất cả số 0 hãy để dưới cùng.

Cách thực hiện

Điều kiện nghiệm

Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào n-r ẩn tự do 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴) ≠ 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴ഥ′) 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐴 = 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐴ഥ′ = 𝑛

𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐴 = 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐴ഥ′ = 𝑟 < 𝑛

Thế ngược

tìm nghiệm

Bắt đầu từ dòng cuối cùng khác 0 và thế ngược lên các phương trình trên để tìm được nghiệm của hệ phương trình

Ví dụ 1:

Hệ phương trình ቐ

𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 𝑡 = 1 2𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 + 𝑡 = 2 3𝑥 + 5𝑦 − 4𝑧 = 3

Lập ma trận bổ sung 12

3

2 3 5

1

−5

−4

−1 1 0 ቮ

1 2 3 Chuyển ma trận bổ sung về dạng bậc thanh dung phương pháp Gauss: 1

2

3

2

3

5

1

−5

−4

−1 1 0 ቮ

1 2 3

𝑅2→𝑅2−2𝑅1 1

0 3

2

−1 5

1

−7

−4

−1 3 0 ቮ

1 0 3

𝑅3→𝑅3−3𝑅1

1

0

0

2

−1

−1

1

−7

−7

−1 3 3 ቮ

1 0 0

𝑅3→𝑅3−𝑅2 1

0 0

2

−1 0

1

−7 0

−1 3 0 ቮ

1 0 0

Hệ phương trình tương đương ቊ𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 − 𝑡 = 1−𝑦 − 7𝑧 + 3𝑡 = 0 (1)

Chọn x, y làm ẩn cơ sở; z, t làm ẩn tự do

Tìm giá trị biến y từ phương trình 2 của hệ (1): 𝑦 = −7𝑧 + 3𝑡

Tìm giá trị biến x từ phương trình 1 của hệ (1): 𝑥 = 1 − 2𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = 1 − 2 −7𝑧 + 3𝑡 − 𝑧 + 𝑡 = 1 + 13𝑧 − 5𝑡 Kết quả:

𝑥 = 1 + 13𝑧 − 5𝑡

𝑦 = −7𝑧 + 3𝑡

𝑧 = 𝑧

𝑡 = 𝑡 Nghiệm tổng quát: 1+13𝑧−5𝑡−7𝑧+3𝑡

𝑧 𝑡

với 𝑧, 𝑡 ∈ ℝ

Ví dụ 2:

Hệ phương trình ቐ

𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 − 𝑡 = 2 4𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 − 2𝑡 = 1 2𝑥 + 7𝑦 − 𝑧 = −1

Lập ma trận bổ sung 14

2

−3 1 7

2 3

−1

−1

−2 0 ቮ

2 1

−1 Chuyển ma trận bổ sung về dạng bậc thanh dung phương pháp Gauss:

1 4 2

−3 1 7

2

−3

−1

−1

−2 0 ቮ

2 1

−1

𝑅2→𝑅2−4𝑅1

𝑅3→𝑅3−2𝑅1 1

0 0

−3 13 13

2

−5

−5

−1 2 2 ቮ

2 7

−5

𝑅3→𝑅3−𝑅2 1

0 0

−3 13 0

2

−5 0

−1 2 0 ቮ

2 7 2

Ta nhận được hệ phương trình tương đương, tỏng đó hàng 0 0 0ȁ2 cho ta phương trình 0𝑥 + 0𝑦 + 0𝑧 + 0𝑡 = 2

Phương trình vô nghiệm, suy ra hệ phương trình vô nghiệm

Ví dụ 3:

Hệ phương trình

1𝑥 + 1𝑦 + 2𝑧 + 3𝑡 = 1 3𝑥 − 1𝑦 − 1𝑧 − 2𝑡 = −4 2𝑥 + 3𝑡 − 1𝑧 − 1𝑡 = −6 1𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 − 1𝑡 = −4 Lập ma trận bổ sung

1 3 2 1

1

−1 3 2

2

−1

−1 3

3

−2

−2

−1

1

−4

−6

−4 Chuyển ma trận bổ sung về dạng bậc thanh dung phương pháp Gauss:

1

3

2

1

1

−1

3

2

2

−1

−1

3

3

−2

−2

−1

1

−4

−6

−4

𝑅2→𝑅2−3𝑅1

𝑅3→𝑅3−2𝑅1

𝑅4→𝑅4−𝑅1

1 0 0 0

1

−4 1 1

2

−7

−5 1

3

−11

−7

−4

1

−7

−8

−5

𝑅3→𝑅3−(−1

4 )𝑅2

𝑅4→𝑅4−(−1

4 )𝑅2 1 0 0 0

1

−4 0 0

2

−7

−27

4

−3

4

3

−11

−39

4

−27

4

1

−7

−39

4

−27

4

9𝑅3

1

0

0

0

1

−4 0 0

2

−7

−27 4 0

3

−11

−39 4

−17 3

1

−7

−39 4

−17 3

Hệ phương trình tương đương

𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 + 3𝑡 = 1

−4𝑦 − 7𝑧 − 11𝑡 = −7

−27

4 𝑧 −39

4 𝑡 = −39

4

−−17

3 𝑡 = −17

3

1

Tìm giá trị biến t từ phương trình 4 của hệ (1): 𝑡 = 1

Tìm giá trị biến z từ phương trình 3 của hệ (1): z = 0

Tìm giá trị biến y từ phương trình 2 của hệ (1): y = -1 Tìm giá trị biến x từ phương trình 1 của hệ (1): x = -1 Nghiệm tổng quát 𝑥 =

−1

−1 0 1

CREDITS: This presentation template was created by Slidesgo, including icons by Flaticon, and infographics

& images by Freepik and illustrations by Storyset

Thanks