Hệ phương trình tuyến tính giải thuật gauss

Đặt vấn đềTrong thực tế, để giải được bài toán nhiều khi cần phải tính định thức của ma trận, giải hệ phương trình tuyến tính, tìm ma trận nghịch đảo,…... Các khái niệm cơ bảnHệ phương t

Hệ phương trình

tuyến tính &

giải thuật Gauss

Đặt vấn đề

Trong thực tế, để giải được bài toán nhiều khi cần phải tính định thức của

ma trận, giải hệ phương trình tuyến tính, tìm ma trận nghịch đảo,…

Giải hệ phương trình tuyến tính.

Các khái niệm cơ bản

Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình theo n ẩn số x1, x2, x3, …, xn là hệ

có dạng:

Hệ phương trình tuyến tính trên có thể được viết dưới dạng ma trận:

với là ma trận các hệ số ,

x là vector biến và b là vector vế phải

Hệ thiếu

Số phương trình ít hơn số ẩn số.

Hệ thường vô số nghiệm.

Hệ phương trình tuyến tính có thể xảy ra

Hệ vuông

Số phương trình bằng số ẩn.

Thường có 1 nghiệm duy nhất.

Hệ dư

Số phương trình nhiều hơn số ẩn

số.

Hệ thường vô nghiệm.

m = n

m < n

m > n

Giải hệ phương trình tuyến tính

Lập ma trận bổ sung

Ghép cột b sau ma trận A

Biến đổi sơ cấp trên dòng

Chuyển ma trận bổ sung thành ma trận bậc thang

Thế ngược

Tìm nghiệm

Lập ma trận

bổ sung

● Viết hệ số của x dưới dạng cột, cho cột đầu.

● Viết hệ số của y dưới dạng cột, cho cột thứ 2.

● Như vậy cho đến khi hết biến.

● Vẽ một đường thẳng và viết các hằng

số của vế phải.

Ví dụ:

Ma trận bổ sung:

Biến đổi sơ

cấp trên dòng

Phương pháp Gauss: sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận bổ sung thành ma trận bậc thang dòng

Nhân một hàng với một

hằng số.

Các phép bến đổi trên dòng

Đổi chỗ với các hàng khác nhân với một hằng số vào Thêm tích của một hàng

một hàng khác.

1 Phương trình đầu tiên phải có hệ số đầu là 1 Trao đổi hàng hoặc nhân với hằng số nếu cần.

2 Các phần tử ở cột thứ nhất, hàng thứ 2 trở đi biến thành 0 bằng cách sử dụng các phép biến đổi trên hàng.

3 Tiếp theo làm cách tương tự với hàng thứ 3.

4 Nếu hàng nào chứa tất cả số 0 hãy để dưới cùng.

Cách thực hiện

Điều kiện nghiệm

Hệ vô nghiệm Hệ có nghiệm duy nhất

Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào n-r ẩn tự do

Thế ngược

tìm nghiệm

Bắt đầu từ dòng cuối cùng khác 0 và thế ngược lên các phương trình trên để tìm được nghiệm của hệ phương trình

Ví dụ 1:

Hệ phương trình

Lập ma trận bổ sung

Chuyển ma trận bổ sung về dạng bậc thanh dung phương pháp Gauss:

Hệ phương trình tương đương (1)

Chọn x, y làm ẩn cơ sở; z, t làm ẩn tự do

Tìm giá trị biến y từ phương trình 2 của hệ (1): Tìm giá trị biến x từ phương trình 1 của hệ (1): Kết quả:

Nghiệm tổng quát: với

Ví dụ 2:

Hệ phương trình

Lập ma trận bổ sung

Chuyển ma trận bổ sung về dạng bậc thanh dung phương pháp Gauss:

Ta nhận được hệ phương trình tương đương, tỏng đó hàng cho ta phương trình Phương trình vô nghiệm, suy ra hệ phương trình vô nghiệm

Ví dụ 3:

Hệ phương trình

Lập ma trận bổ sung

Chuyển ma trận bổ sung về dạng bậc thanh dung phương pháp Gauss:

Hệ phương trình tương đương

Tìm giá trị biến t từ phương trình 4 của hệ (1):

Tìm giá trị biến z từ phương trình 3 của hệ (1): z = 0 Tìm giá trị biến y từ phương trình 2 của hệ (1): y = -1 Tìm giá trị biến x từ phương trình 1 của hệ (1): x = -1 Nghiệm tổng quát

CREDITS: This presentation template was

created by Slidesgo, including icons by

Flaticon, and infographics & images by

Freepik and illustrations by Storyset

Thanks