Su dung MTCT ho tro phan tich thanh nhan tu trong viecgiair phuong trinh he phuong trinh

Bài viết này này nhằm giúp học sinh dùng Máy tính cầm tay MTCT Loại mà Bộ giáo dục cho phép vào phòng thi, gần như học sinh nào cũng có để hổ trợ việc phân tích thành nhân tử ở những bài[r]

Sử dụng máy tính cầm tay hổ trợ phân tích thành nhân tử trong việc giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình.

Đào Văn Chánh

Trường THPT Trần Quốc Tuấn, Hòa Định Đông, Phú Hòa, Phú Yên

Trong Đề thi Đại học và Cao đẳng môn Toán từ 2014 trở về trước, Đề thi TNTHPT (Từ 2015 đến nay),

có câu giải phương trình, hệ phương trình Đại số, (thường đánh số 7 hay 8), là câu tương đối khó đối với đa số học sinh Để giải được câu này, việc phân tích thành nhân tử một vế của phương trình (vế còn lại là zero) là cách đầu tiên nghĩ tới, trước khi quan tâm tới các cách khác Vấn đề là rất khó để biết được nhân tử là gì Nếu biết được thì cũng rất “hên xui” Bài viết này này nhằm giúp học sinh dùng Máy tính cầm tay (MTCT) (Loại mà Bộ giáo dục cho phép vào phòng thi, gần như học sinh nào cũng có) để hổ trợ việc phân tích thành nhân tử (ở những bài giải được bằng cách phân tích thành nhân tử) một cách chắc chắn và nhanh gọn, không phải mò mẫm mất thời gian và sức lực Sau khi đã dự đoán được một nhân tử, việc tìm ra nhân tử còn lại cũng có rất nhiều con đường, cả dễ lẫn không dễ, mà tôi tạm phân loại và trình bày sau đây:

I Phân tích thành nhân tử đa thức 1 biến bậc bốn

Ví dụ 1: Ví dụ phân tích thành nhân tử biểu thức (2x2 x 3)2 2x

Nhập trực tiếp phương trình vào MTCT và ra lệnh giải với nghiệm ban đầu là x  0  2,0,2 ta được nghiệm x 1 1.322875656, x 2 0.6180 , x 3 1.618033 Rồi lưu các nghiệm đó lần lượt vào các

ô nhớ A,B,C(Chỉ có các MTCT plus mới có tính năng này) Muốn lưu nghiệm x1 vào ô nhớ A chẳng hạn thì sau khi MTCT tìm ra x1, ta bấm các phím   (Để lưu vào bộ nhớ tạm X) rồi các phím:

(Máy hiện X A) Sau đó nhập vào MTCT: AB:AC:BC rồi bấm dấu

“=” nhiều lần để kiểm tra tích nào “chẵn” Ở đây ta có BC 1, kiểm tra tiếp B C 1 Vậy B, C là

nghiệm phương trình x2 x1 0  dự đoán nhân tử là x2 x1 Để tìm nhân tử còn lại ta nhập

vào MTCT:

2

1

  Dễ thấy số hạng có bậc cao nhất của thương là 4x2 nên ta sửa vào

MTCT:

2 2

4 1

x



  và ra lệnh tính với x 1000 ta được kết là là 7 0. x 7 Kết quả :(2x2 x 3)2 2x(4x2 7)(x2 x1)

Ví dụ 2: Giải 3x2  x 3 (8x 3) 2x21

2

2

PT



 



Ta sẽ cố gắng phân tích thành nhân tử 3x2 x 3  (8x 3) (22 x21)

bằng cách nhập như thế vào

MTCT và ra lệnh giải với nghiệm ban đầu là x  0  2, 2 ta được nghiệm : x 1 0; x 2 0.85714

Nghiệm x2 khi nhớ vào B trở thành 2

6 7

x 

Vậy nó có thừa số là 7x2 6x Tìm thừa số còn lại bằng

cách nhập vào MTCT biểu thức

2

 Ta dễ thấy số hạng có bậc cao nhất

của thương là 17x2nên ta sửa vào MTCT:

2 2

17

x



với x 1000 ta được kết là là 9 0. x 9

Vậy 3x2 x 32 (8x 3) (22 x21) (7x2 6 )(17x x29)

Việc giải tiếp theo không có gì khó, dành cho bạn được

Nhược điểm : Không thể áp dụng nếu phương trình vô nghiệm và chỉ có các máy PLUS mới có chức

năng nhớ các nghiệm, đặc biệt là các nghiệm “lẻ” !

II Phân tích thành nhân tử đa thức bậc hai hai biến ax2by2cxy dx ey   f

Ta xem nó như tam thức bậc hai của x (hoặc y) Ta tìm x (hoặc y) theo biến còn lại Nguyên tắc

là thế nhưng áp dụng không dễ, do phải đối mặt với các phép tính bằng tay cồng kềnh, rất dễ sai sót

Ta cũng làm như thế, nhưng không biến đổi gì cả mà ra lệnh cho MTCT giải Do máy chỉ giải được với hệ số là các số cho nên ta gán 1 biến cho 1000 chẳng hạn, và giải biến còn lại theo 1000 này

Ví dụ ta gán 1000 cho biến y và giải được x 1001 chẳng hạn thì ta đoán được x y 1 và ta có thừa

số là (x y 1)

Ví dụ 3: Phân tích thành nhân tử biểu thức f x y( , ) 2 x2y2 3xy3x 2y1 (Đề ĐH khối B 2013)

Giải: Ta xem f x y( , ) như là một tam thức bậc hai của x: f x y( , ) 2 x2  3y3x y 2 2y1 Gán

1000

y  Giải phương trình bậc hai tìm x ta có

y

Vậy đoán f x y( , ) ( x y 1) 2 x y 1

Ví dụ 4: Phân tích thành nhân tử biểu thức g x y( , ) 2 ( xy x 2y) 2 ( y x1) x1 Ta cũng làm như

trên, ta có

y

Vậy đoán g x( )2xy1 2y x 1 Việc kiểm tra các điều dự đoán (thường đúng) bên trên không có gì khó khăn !

III Phân tích thành nhân tử biểu thức lượng giác.

Ví dụ 5: Giải: 8sin3x 9sinx5cosx0





nên đoán nhân tử có thể là sinxcos , tanx x1,

2sinx  2, Nếu đi theo hướng nhân tử là sinxcosx, ta phân tích được phương trình tương đương:

2

(sinx cos )(2sin 2x x 4cos x1) 0

Giải tiếp theo dành cho bạn đọc

Nếu đi theo hướng nhân tử là tanx 1, ta có 8sin3x 9sinx5cosx8sin2xtanx 9 tanx 5 0

(do cosx 0 không thỏa) Đặt ttanx,

2 2

1

1

t



Ví dụ 6: (Đề AA1-2014): Giải : sinx4cosx 2 sin 2x

Giải: Dùng MTCT nhẩm nghiệm được x 3





nên đoán nhân tử là 2cosx1,sinx 3 cos , x và ta được kết quả là PT (sinx 2)(2cosx1) 0

IV Phân tích thành nhân tử biểu thức chứa căn bằng cách đặt ẩn phụ không hoàn toàn:

Ví dụ 7: Giải phương trình 3x2  x 3 (8x 3) 2x2 1 0(1)

Đặt t 2x2 1 t22x21 Bây giờ ta giải t theo x PT (1) trở thành

mt  x t x   x m x   (1’) Vấn đề quan trọng ở đây là tìm m     3; 2; 1;1;2;3

để giải được t theo x “chẵn” (Còn nếu như “lẻ” thì coi như “bằng không” !)

Sử dụng MTCT :

Với mỗi m     3; 2; 1;1;2;3, ta giải phương trình bậc hai Ax2Bx C 0 với ba hệ số:

2

:

2

M

(không nhập được nghiệm thứ hai

2 2

2

t

M



vì MTCT không đủ bộ nhớ)

Bấm phím CALC , cho m 5(tùy) và x 1000 rồi bấm dấu “=” nhiều lần Nếu với m nào đó gặp

“đẹp” là 1

1000

x

và t22999 3 x1 (cũng dễ tìm ra t2 sau khi đã biết 1

1000 3

t 

)

3

x

Ví dụ 8: Giải (7x 2) x3 1 2x36x2 3x2(2)

Đặt t x31 Phương trình viết lại mt2 (7x 2)t2x36x2 3x 2 m x( 31) 0 Sử dụng MTCT :

Với mỗi m     3; 2; 1;1;2;3, ta giải phương trình bậc hai với ba hệ số:

Để giải tự động, ta nhập vào máy:

2

:

2

M

Ta tìm được khi m 2 thì được nghiệm “chẵn” là 1

1500

x

và t21999 2 x1

(cũng dễ tìm ra t2 sau khi đã biết t 1 1500)

Vậy ta có dự đoán: (2)2 x3 1 3x x3 1 2x10

Ví dụ 9: Giải hệ

y x y x y xy







Đặt t x22y2 , ta có

(1) mt (y1)tx2y3xy m x ( 2 )y  0

Sử dụng MTCT :

Với mỗi m     3; 2; 1;1;2;3, ta giải phương trình bậc hai với ba hệ số:

Ta tìm được khi m 1 thì được nghiệm “chẵn” là t1101x y 1 và t1200 x 2y

Vậy ta có dự đoán : (1) x22y2  x y1  x22y2  x 2y0

Kiểm tra dự đoán thì khá dễ dàng (và thường là đúng) Việc giải tiếp theo dành cho bạn đọc

V Phân tích thành nhân tử biểu thức chứa căn bằng cách nhân liên hiệp.

Ví dụ 10: Giải

5

x

ĐK:

,

x PT

x





2 11 24 0

    Vậy dự đoán nhân tử là x211x24 Trước hết ta tìm a b  , sao cho

5 3x 8ax b 0có nghiệm là x 3;8 , có nghĩa là



Tương tự cho 5 x 1 cx d 0 có nghiệm là x 3;8

Ta viết phương trình lại :

2

2

4(4')





Dễ thấy phương trình (4’) vô nghiệm vì điều kiện

8

3

Ví dụ 11: Giải

2

y x y x x y y





Giải: ĐK:

0 2

 









 Ta phân tích thành nhân tử (a) Cho x=1000 Cho máy giải phương trình tìm

y được hai nghiệm là y1,y999 x 1 Vậy ta dự đoán (a) có nhân tử là (y1)(x y 1)

( )a (1 y) x y 1 (x y 1) y1

1

1

y

y x









   vô nghiệm

Nếu y 1 thì đơn giản Bạn đọc tự giải

Nếu y x 1 thì ĐK trở thành x 1;2 và (b) trở thành 2x2 x 3 2 x

2



 

2



 



(Xem ví dụ Phân tích thành nhân tử đa thức một biến bậc bốn)

Để kết thúc bài viết, xem như rèn luyện, mời các bạn giải các phương trình, bất phương trình và hệ phương trình sau:

1) 4 x2 22 3 xx 8 (THTT)

2)

2

2

2

x

 

3)

3 3







4)







5) (x3) (4 x)(12x) 28 x0

6) 2x4 2x3 9x214x12 0

7) x22 3 x2 6x

8)

2

2





9) (4x7) x2 1 x22x 5

MTCT không chỉ hổ trợ có bấy nhiêu vấn đề trong bài viết, bạn đọc có thể tìm thấy nhiều sự hổ trợ khác của MTCT trong giải toán