BÀI GIẢNG: BÊTÔNG CƠ SỞ. TÍNH TOÁN CẤU KIỆN CHỊU UỐN - XOẮN

Sự làm việc chịu xoắn: Cấu kiện chịu xoắn là cấu kiện có xuất hiện nội lực mômen xoắn Mt tác dụng trong mặt phẳng vuông góc với trục.. Khi có đồng thời M và Q thì các vết nứt xiên xuất

Chương 5 TÍNH TOÁN CẤU KIỆN CHỊU UỐN - XOẮN

5.1 Đại cương về cấu kiện chịu uốn - xoắn:

5.1.1 Sơ lược tình hình phát triển nghiên cứu uốn xoắn:

Trong khoảng nữa đầu thế kỷ 20 các tiêu chuẩn không đưa ra quan điểm thiết kế kết cấu chịu xoắn Khi tính toán kết cấu người ta gia tăng khả năng chịu xoắn bằng hệ số an toàn Càng về sau khoa học ngày càng phát triển các phương tiện phục vụ cho công tác thực nghiệm kết cấu càng nhiều nên ngày càng nhiều, các phương pháp phân tích kết cấu phát triển

Trong nữa sau thế kỷ 20 có nhiều nghiên cứu về uốn xoắn xuất hiện với tiết diện kín

đặc và rỗng Năm 1929 Rausch lần đầu tiên đưa ra phương pháp phân tích dàn (space struss analogy) dựa trên ứng xử của kết cấu uốn xoắn Năm 1934 Andersen công bố

nghiên cứu của ông dựa trên thực nghiệm 48 mẫu dầm bêtông và bêtông cốt thép với các giá trị khác nhau của cốt dọc và cốt đai Nghiên cứu Bresler và Pister dựa trên 24 mẫu dầm rỗng vào năm 1958 Các nghiên cứu này cùng một số nghiên cứu của các tác giả khác là tiền đề cho tiêu chuẩn về tính toán xoắn xuất hiện lần đầu trong ACI318-63

Các tác giả Evans (1965), Thomas.T.C Hsu (1968) đưa ra mô hình uốn xiên (Skew bending model) mà trong đó nghiên cứu T.T.C.Hsu đóng vai trò quan trọng Đến năm

1971 tiêu chuẩn mới tương đối hoàn thiện và về cơ bản các qui định không đổi đến

1992 Những nghiên cứu tiếp theo đưa các công thức bán thực nghiệm và chỉ áp dụng với bêtông thường không ứng suất trước

Đến 1995 tiêu chuẩn tính xoắn được điều chỉnh bổ sung lại và được chấp nhận đến nay Đó là tính toán tiết diện đặc và rỗng dựa trên lý thuyết thanh thành mỏng, mô hình

hệ thanh không gian (Space truss analogy) Lý thuyết này áp dụng cả cho bêtông

thường và dự ứng lực

Sự làm việc chịu xoắn: Cấu kiện chịu xoắn là cấu kiện có xuất hiện nội lực mômen

xoắn Mt tác dụng trong mặt phẳng vuông góc với trục Thông thường cùng với Mt còn xuất hiện mômen uốn M và lực cắt Q Khi làm việc trong bêtông có các ứng suất kéo chính σkc và ứng suất nén chính σnc Khi chỉ có Mt (xoắn thuần túy) các vết nứt thường xiên góc 450 và chạy vòng quanh theo tiết diện

Khi có đồng thời M và Q thì các vết nứt xiên xuất hiện theo 3 mặt, mặt thứ tư chịu nén tạo thành tiết diện vênh trong không gian Sự phá hoại xảy ra theo tiết diện vênh, ngoài ra cấu kiện còn có thể hư hỏng khi ứng suất nén chính σnc vượt quá khả năng chịu nén của bêtông

Bài giảng: BÊTÔNG CƠ SỞ

Hình 5.1 Mặt cắt phá hoại trong cấu kiện xoắn thuần túy

(Thomas T.C Hsu – 1968)

a Phá hoại ở mặt bên dầm b Phá hoại ở đáy dầm

Hình 5.2 Mặt phá hoại trong cấu kiện uốn (cắt) xoắn

(Dương Nguyễn Hồng Toàn - 2008)

5.1.2 Phân loại chịu xoắn:

Khảo sát sự làm việc chịu xoắn người ta chia ra hai trường hợp: xoắn cân bằng

(equilibrium torsion) và xoắn tương hỗ (compatibility torsion)

- Xoắn cân bằng khi mômen xoắn đóng vai trò cân bằng của kết cấu như mái công xôn, dầm ngang chịu xoắn cân bằng Lúc này nếu khả năng chống xoắn không đủ kết cấu trở nên mất ổn định và sụp đổ Lúc này mômen xoắn Mt không phụ thuộc vào độ cứng chống xoắn Bt = GJt với G là mô đun dàn hồi chống cắt của bêtông, Jt là mômen quán tính chống xoắn của tiết diện Trường hợp này thường xuất hiện ở các cấu kiện tĩnh định hoặc Mt được truyền đến từ bộ phận tĩnh định

Hình 5.3 Minh họa cấu kiện”xoắn cân bằng”

- Xoắn tương hỗ xuất hiện khi có sự phân phối lại momen xoắn cho phần tử liền kề như trường hợp các dầm phụ trong sàn, khi các dầm biên biến dạng gây ra các góc xoay tạo nên xoắn tương hỗ trong hệ liền khối Thường xuất hiện ở các cấu kiện siêu tĩnh khi Mt phụ thuộc vào độ cứng chống xoắn Bt

Hình 5.4 Cấu kiện”xoắn tương hỗ”

5.1.3 Cấu tạo cốt thép

Để chịu momnen xoắn phải đặt cốt dọc theo chu vi cấu kiện và cốt đai phải khép kín Một phần cốt dọc đặt trong vùng kéo do uốn với lượng thép ít nhất bằng diện tích thép tính toán do chịu uốn, phần còn lại phân bố theo chu vi Các cốt dọc cần được neo

chắc chắn vào gối tựa với chiều dài l an

Cốt đai trong khung buộc cần phải tạo thành vòng kín và neo chắc chắn hai đầu, đoạn chập vào nhau không nhỏ hơn 30 ( - đường kính cốt đai ) Đầu mút cốt đai uốn móc

và ôm lấy thép dọc Nếu khung hàn - cần làm thành vòng kín, đầu mút hàn chắc với cốt dọc Đối với tiết diện chữ T, chữ I cần đặt cốt đai thành vòng kín trong cả sườn và cánh Khi cạnh tiết diện h ≤ 200 cần ít nhất hai cốt dọc, h>200 cần ít nhất ba cốt dọc dọc theo cạnh tiết diện (hình 5.2)

Bài giảng: BÊTÔNG CƠ SỞ

Hình 5.5 Cốt thép của cấu kiện chịu xoắn

5.2 Nguyên tắc tính toán

Khi tính toán tiết diện ta dựa trên các giả thiết sau:

- Bỏ qua khả năng chịu kéo của bê tông;

- Vùng chịu nén của tiết diện được coi là phẳng, nằm nghiêng một góc với trục dọc cấu kiện, khả năng chịu nén của bê tông lấy bằng R bsin2và xem

như phân bố đều trên vùng chịu nén x;

- Ứng suất kéo, nén trong cốt thép dọc và cốt thép ngang cắt qua vùng chịu

kéo của tiết diện không gian lấy bằng cường độ tính toán R s , R sc và R sw

Tính toán cấu kiện chịu uốn xoắn thì tương đối phức tạp nên ở đây ta chỉ thực hiện

bài toán kiểm tra Từ momen uốn tính sơ bộ được cốt thép chịu kéo A s, chọn đặt cốt

thép tăng hơn giá trị tính được, bố trí thêm cốt dọc theo phương cạnh h Từ lực cắt ta

tính ra cốt đai, chọn khoảng cách bé hơn giá trị tính được Sau khi sơ bộ tính và bố trí thép dọc và đai ta tiến hành tính toán kiểm tra xoắn theo trình tự sau:

 Kiểm tra về điều kiện ứng suất nén chính:

Nếu bêtông có cấp độ bền > B30 thì lấy R b ứng với cấp B30 để tính

 Điều kiện về khả năng chịu lực tiết diện vênh:

A R M M

q

w s s gh

2























Chiều cao vùng nén x xác định theo công thức:

bx R A R A

Nên hạn chế 2a’ ≤ x ≤ ξRh0

δ, λ – các tỉ số cạnh tiết diện tương ứng song song và vuông góc với đường giới hạn vùng chịu nén

b h

b



 2

b

c



w – hệ số quan hệ giữa cốt thép ngang và cốt thép dọc

s

b A R

A R

s s

sw sw

Giá trị w cần được hạn chế trong khoảng:

u w w

M



2 / 1

5 , 0

min ,



















u w

M

M

1 5 , 1

max ,

Nếu w < w,min thì RsAs trong (5.3) giảm xuống là (R s A s )x( w / w,min )

Trong các công thức dùng các ký hiệu sau:

b – kích thước cạnh song song vùng nén;

h – kích thước cạnh vuông góc với đường giới hạn vùng nén;

As’ – diện tích cốt thép dọc đặt theo cạnh b trong vùng nén;

As – diện tích cốt thép dọc đặt theo cạnh b đối diện vùng nén;

ho – khoảng cách từ trọng tâm As đến mép vùng nén;

Rs, Rsc – cường độ tính toán về kéo và nén của cốt thép dọc;

Rsw – cường độ tính toán cốt thép ngang;

Asw1 – diện tích tiết diện của một thanh cốt đai nằm ở cạnh phía cốt

thép As của sơ đồ đang xét;

s – khoảng cách của cốt đai;

M – mômen uốn, sơ đồ 2 lấy M = 0, sơ đồ 3 lấy M với dấu trừ;

Mu – mô men uốn lớn nhất mà tiết diện thẳng góc với trục dọc

cấu kiện chịu được;

p,  – được xác định theo từng sơ đồ

Tiêu chuẩn 356 - 2005 đưa ra ba sơ đồ để tính M gh của tiết diện vênh, các sơ đồ ứng với vùng nén khác nhau

Sơ đồ 1: Cạnh bị nén do uốn của cấu kiện

Sơ đồ 2: Cạnh của cấu kiện song song với mặt phẳng tác dụng của mômen uốn

Sơ đồ 3: Cạnh bị kéo do uốn của cấu kiện

Bài giảng: BÊTÔNG CƠ SỞ

b

h 0 h

A ' s

A s

h

b

h 0

x

A ' s

A ' s

Hình 5.6 Sơ đồ vị trí vùng nén của tiết diện vênh

5.2.1 Tính theo sơ đồ 1 (M t và M) :

Hình 5.7 Sơ đồ tính toán theo sơ đồ 1

Trong sơ đồ này:  = M/M t và p = 1

Thông thường chọn As, As’, Asw, s rồi tiến hành tính toán Xác định x theo công thức (5.3), kiểm tra 2a’ ≤ x ≤ ξRh0 Nếu x > ξRh0 cần tăng As’, b, h0,

Tính Mu theo công thức sau:

M u = R b bx(h 0 – 0.5x) + R sc A s ’(h 0 – a’) (5.9)

A

C

A

D E

B

A

M

E

D

B

b









Tính w,min , w , w,max theo (5.6) và (5.8a), (5.8b)

Tính các hệ số

 = M/M t , δ = b/(2h+b),  p = 1 và λ = c/b

Đem các hệ số vào (5.2) vế phải sẽ là hàm số theo c Giá trị c xác định từ điều kiện tiết diện vênh nguy hiểm nhất ứng với vế phải (5.2) là bé nhất Thực hiện việc tính toán bằng cách tính đạo hàm, giá trị c đồng thời phải thỏa điều kiện:

Ví dụ 5.1:

Cho dầm tiết diện chữ nhật 25x35cm, bêtông cấp B20, cốt dọc nhóm AII, cốt đai

nhóm AI Mômen uốn là M = 4,50Tm = 450000 daNcm, mômen xoắn Mt = 0,9 Tm =

90000 daNcm Chọn, bố trí và kiểm tra theo sơ đồ 1

Số liệu:

B20 có R b = 11.5MPa = 115 daN/cm 2 , ξ R = 0.62 (bêtông nặng,  =0.85)

AII có R s = R sc = 280 MPa = 2800 daN/cm 2

AI có R sw = 175 MPa = 1750 daN/cm 2

1 Chọn a = 4cm, h0 = h – a = 35 – 4 = 31cm

Xác định As theo bài toán cốt đơn với γ =0.8, ta có:

2 0

48 6 31 8 0 2800

450000

cm x

x h

R

M

s





Chọn A s = 418 = 10.18cm 2, đặt thành một hàng

Hình 5.8 Mặt cắt tính toán dầm theo ví dụ 5.1

Bài giảng: BÊTÔNG CƠ SỞ

Chọn chiều dày lớp bảo vệ 2.0cm, cốt đai 10, ta có:

a = 2.0 + 10+ 18/2 = 3.9cm  4.0 cm (thỏa giả thiết)

Chọn thép vùng nén 214 có A s ’ = 3.08cm 2 Thép dọc đặt giữa cạnh h là 214

Cốt đai 10, khoảng cách s = 5cm có Asw = 0.785cm2

Tính các hệ số:

 = M/M t = (450000)/(90000) = 5.0

δ = b/(2h+b) = 25/(2x35+25) = 0.263  p = 1

2 Kiểm tra điều kiện về ứng suất nén chính:

0.1R b b 2 h = 0.1x115x25 2 x35 = 251562 daNcm

M t = 90000  0.1R b b 2 h = 251562 daNcm

Thỏa điều kiện bắt buộc theo (5.1)

3 Kiểm tra theo tiết diện vênh:

a’ = 2.0+1.0+1.4/2 = 3.7cm

Theo (5.3) ta có: (115x25)x = 2800(12.56 – 4.02)

 x = 8.32cm > 2a = 3.7x2 = 7.4cm

Tính Mu theo (5.9):

M u = 115x25x7.6(31 – 7.6/2) + 2800x3.08(31 – 3.6)

= 830617 daNcm  8.3 Tm

241 0 5

25 18 10 2800

785 0 1750





x

x s

b A R

A R

s s

sw sw w



235 0 ) 3 8 241 0 2 ( 5 4 1

5 0 2

/ 1

5 , 0

min









x x M

w





687 0 3 8

5 4 1 5 1 1

5 , 1 max































u w

M

M



Thỏa theo điều kiện w,min ≤ w ≤ w,max

λ = c/b = c/25

  (31 4.15)

5 1

263 0 241 0 1 18 10 2800 5

, 0

0

2

































x

x x x

x h

A R M

q

w s s t

Đạo hàm bậc nhất vế phải, cho bằng không, ta có: λ = 1.385

 c = 1.385x25 = 34.625 cm < 2h + b = 2x35 + 25 = 95cm (thỏa)

Thay λ vào phương trình Mt:

M t = 0.9 Tm ≤ 134437 daNcm = 1.34 Tm

Cấu kiện đủ khả năng chịu lực

5.2.2 Tính toán theo sơ đồ 2 (M t và Q):

A' s1

B

C1



E A

R sw A sw

Q

R s A s1

R sw A sw

D

A s1

a a'

x

b

b 

Hình 5.9 Sơ đồ tính toán theo sơ đồ 2

5.2.2.1 Trường hợp 1 : Mt > 0,5Qb

Kiểm tra theo tiết diện vênh tức là M t ≤ M gh theo (5.2), các bước tính giống như

sơ đồ 1, không cần xác định Mu và lấy  = 0, p như sau:

φ q = 1 +

t

M

Qh

Nếu x < 2a’ trong (5.2) lấy x = min(2a’,x1) (5.12)

b

s s

bR

A R

Chọn w,min = 0.5 và w,max = 1.5 Lúc này vị trí vùng nén song song theo cạnh h nên các cạnh b, h hoán đổi nhau, As và As’ lấy theo hình 5.8

5.2.2.1 Trường hợp 2 : Mt ≤ 0.5Qb

Kiểm tra theo điều kiện: Q ≤ Qsw + Qb –

b

M t

3

(5.14)

Bài giảng: BÊTÔNG CƠ SỞ

Trong đó: Qb – là khả năng chịu cắt của bêtông, xác định theo công thức

(4.48) trong chương 4, với C là C1

Qsw =

s

A

R sw sw

Giá trị C1 là giá trị làm cho vế phải (5.14) là nhỏ nhất, tức là ta đạo hàm vế phải (5.14) hai lần theo C1 và cho bằng 0 sẽ tìm được C1

Ví dụ 5.2:

Cho dầm tiết diện chữ nhật 25x35cm, bêtông cấp B20, cốt dọc nhóm AII, cốt đai

nhóm AII Lực cắt Q = 2,50T = 2500 daN, mômen xoắn Mt = 0,9 Tm = 90000 daNcm Chọn, bố trí thép như ví dụ 5.1 và kiểm tra khả năng chịu lực dầm theo sơ đồ 2

Ta có:

M t = 90000 > 0.5Qb = 0.5x2500x25 = 31250 daNcm

Cần tính toán theo tiết diện vênh

Số liệu:

B20 có R b = 11.5MPa = 115 daN/cm 2 , ξ R = 0.62 (bêtông nặng,  =0.85)

AII có R s = R sc = 280 MPa = 2800 daN/cm 2

AI có R sw = 225 MPa = 2250 daN/cm 2

a = a’ = 2.0 + 1.0 + 0.9 = 3.9 cm  4.0 cm

A s = A s ’ = 18 + 14 +14 = 5.62cm 2

Hình 5.10 Mặt cắt tính toán dầm theo ví dụ 5.2

1 Kiểm tra điều kiện về ứng suất nén chính: đã thực hiện ở ví dụ 5.1

2 Kiểm tra theo tiết diện vênh:

Do A s = A s ’ , R s = R sc theo (5.3) ta có R s A s R sc A s R b bx0 x = 0

x

x bR

A R x

b

s s

47 5 115 25

62 5 2800

Chọn x = min(2a’,x1) = (2x4.0,5.47) = 8.0cm

561 0 5

25 62 5 2800

785 0 2250





x

x s

b A R

A R

s s

sw sw w



Thỏa điều kiện w,min = 0.5 ≤ w =0.561 ≤ w,max =1.5

δ = b/(2h+b) = 35/(2x25+35) = 0.41

φ q = 1 +

t

M

Qh

2 = 1 +

90000 2

25 2500

x

x

=1.35

λ = c/b = c/35

 = 0

35 1

41 0 561 0 1 62 5 2800 5

, 0

0

2































x

x x x

x h

A R M

q

w s s t

Đạo hàm bậc nhất vế phải, cho bằng không, ta có: λ = 2.085

 c = 2.085x25 = 52.128 cm < 2h + b = 2x35 + 25 = 95cm (thỏa)

Thay λ vào phương trình Mt:

M t = 0.9 Tm ≤ 301875 daNcm = 3 Tm

Cấu kiện đủ khả năng chịu lực

5.2.3 Tính toán theo sơ đồ 3 (M t và Q):

Sơ đồ 3 tính với cặp moment xoắn M t và moment uốn –M (ngược dấu với M),

nhưng vùng nén nằm về phía thớ kéo do uốn Giá trị Mgh được tính toán theo công thức

(5.2) trong đó  = - M/M t ,  p = 1

Các giá trị φ wmin , φ wmax cũng được tính toán với M mang dấu trừ

Do sơ đồ 3 có vị trí vùng nén của tiết diện ở cạnh bị kéo do uốn nên As trong sơ

đồ 3 là A’s trong sơ đồ 1 và ngược lại

Bài giảng: BÊTÔNG CƠ SỞ

Trong TCXDVN 356-2005 không quy định khi nào cần hoặc không cần tính theo sơ đồ 3.Theo nghiên cứu của một số tác giả chỉ cần tính theo sơ đồ 3 trong những đoạn dầm có mômen xoắn tương đối lớn hơn mômen uốn theo điều kiện:

M t > 2M

b h

b



 Ngoài ra trong một số đoạn dầm có M = 0 cũng cần kiểm tra theo sơ đồ 3

Ví dụ 5.3:

Cho dầm như ví dụ 5.1 Mômen uốn M = 0, mômen xoắn Mt = 0,9 Tm = 90000 daNcm Kiểm tra khả năng chịu lực dầm theo sơ đồ 3

Số liệu: B20 có R b = 11.5MPa = 115 daN/cm 2 , ξ R = 0.62 (bêtông nặng,  =0.85)

AII có R s = R sc = 280 MPa = 2800 daN/cm 2

AI có R sw = 175 MPa = 1750 daN/cm 2

A s = 214 = 3.08cm 2 , A’ s = 418 = 10.18cm 2

Hình 5.11 Mặt cắt tính toán dầm theo ví dụ 5.3

1 Kiểm tra điều kiện về ứng suất nén chính: đã thực hiện ở ví dụ 5.1

2 Kiểm tra theo tiết diện vênh

25 115

2800 ) 18 10 08 3 (





cm x

x bR

A R x

b

s

115 25

08 3 2800

Chọn x = min(2a’,x1) = (2x4.0,3.0) = 8.0cm

024 1 5

25 08 3 2800

785 0 2250





x

x s

b A R

A R

s s

sw sw w



Với M = 0 theo (5.8a) và (5.8b) thì w,min = 0.5 và w,max = 1.5

Vậy thỏa điều kiện w,min = 0.5 ≤ w = 1.024 ≤ w,max = 1.5

δ = b/(2h+b) = 25/(2x35+25) = 0.263

λ = c/b = c/25

 = - M/M t = 0,  p = 1

1

263 0 024 1 1 08 3 2800 5

, 0

0

2































x

x x x

x h

A R M

q

w s s t

Đạo hàm bậc nhất vế phải, cho bằng không, ta có: λ = 1.927

 c = 1.927x25 = 48.174 cm < 2h + b = 2x35 + 25 = 95cm (thỏa)

Thay λ vào phương trình Mt:

M t = 0.9 Tm ≤ 121148 daNcm = 1.21 Tm

Cấu kiện đủ khả năng chịu lực

Bài giảng: BÊTÔNG CƠ SỞ

TÓM TẮT TÍNH TOÁN CẤU KIỆN CHỊU UỐN - XOẮN

Số liệu đã biết: M, M t , Q, b, h, R b , R s , R sc , R sw , ξ R

 Từ bài toán cốt dọc (chịu uốn) biết : A s , A’ s , bố trí thép thực tế biết: a, a’

 Từ bài toán cốt đai biết : A sw , s

Kiểm tra điều kiện tiết diện:

M t  0.1R b b 2 h

Tăng tiết diện, đặc biệt là b hoặc tăng cấp độ bền bêtông

Không thoả

Kiểm tra điều kiện:

M t > 2M

b h

b

 2

Tính toán như trường hợp không thoả nhưng đổi vai trò A’ s và A s , với

M mang dấu (-)

thoả

Tính: χ =

t

M

M

; 

b h

b



x =

b

R

A R

A

R

b

s sc

s

, nếu x < 2a’ xem như A’ s= 0

Tính M u =R b bx(h o -0,5x)+R sc A’ s (h o –a’)

Tính φ w =

s s

sw sw

A R

A R

s

b

; φ wmin =

u

M



2 1

5 , 0



φ wmax = 1,5 













u

M

M

1 Nếu φ w < φ wmin thì nhân R s A s với tỉ số

φ w /φ wmin tính lại x;

tính: h o – 0,5x;  =C/b; φ q = 1 +

t M

Qb

2

Nếu x>ξ R h o thì nhân R s A s với tỉ số ξ R h o /x

q

w s s

2





















Kiểm tra điều kiện:

Mt>0,5Qb

Hoán đổi vị trí b

và h trong công thức, trừ công thức tính φ q , với A s và A’ s là thép bố trí theo cạnh h

Tính:

Qsw =

s

A

R sw sw C 1 Tính Q b theo (4.48), chương 4

Kiểm tra điều kiện cường độ theo công thức:

Q ≤ Qsw + Qb –

b

M t

3

Đạo hàm vế phải theo C 1 cho = 0  C 1 ; nếu không thoả đk trên thì điều chỉnh b, h, thép đai, thép dọc (theo cạnh h)  tính lại

Đạo hàm M gh theo C, cho = 0  C; nếu

không thoả đk M t ≤ M gh thì điều chỉnh b,h,

thép đai, thép dọc (theo cạnh b)

 tính lại