Tài liệu Giáo trình hình học và 400 bài tập P1 ppt

Đường thẳng vectơ JR được gọi là phương của Ð và được ký hiệu là Ð ; một phần tử khác vecto khong của lầ# được gọi là một vectg chỉ phương của Ð... Như vậy, Ð song song với D' néu va chỉ

TY x1 1

(ido trinh va

400 bai tip co loi giải

Lời nói đầu

Bộ giáo trình Toán mới này, với nhiều bài tập có lời giải, được biên soạn dành cho sinh viên giải đoạn Ï các trường đại học công nghệ quốc gia (năm thứ | va thứ 2, mọi chuyên ngành), cho sinh viên giai đoạn I đại học khoa học, và cho các thí sinh dự thi tuyển giáo sư trung học phổ thông

Bố cục của bộ giáo trình như sau:

Tập 6: Đại số 2: Đại số — năm thứ 2

Tập 7: Hình học: Hình học năm thứ Ivà thứ 2

Để kiểm chứng mức độ lĩnh hội kiến thức, trong mỗi chương độc giả sẽ thấy nhiêu bài tập có lời giải in ở cuối sách Trừ một vài trường hợp đặc biệt, các bài tập này đều khác với những bài đã có trong bộ bài tập có lời giải gồm tám tập

Lời cám ơn

Tơi xin bày tỏ ở đây lịng biết ơn đối với nhiều bạn đồng nghiệp đã vui lịng đọc lại từng phần của bản thảo hoặc của bản đánh máy là : Henri Baroz,

Alain Bemard, Jean-Philippe Beme, Isabelle Bigeard, Gérard Bourgin,

Gérard Cassayre, Gilles Demeusois, Catherine Dony, Hermin Durand, Marguerite Gauthier, André Gruz, Annie Michel, Michel Pernoud, René

Roy, Philippe Saunois

Sau cùng, tơi chân thành cám ơn Nhà xuất bản Dunod, Gisèle Mạus và Michel Mounic, mà năng lực cũng như lịng kiên trì đã tạo điều kiện cho các tập sách này ra đời

Jean-Marie Monier

Muc luc

Phần thứ nhốt - Giáo trình

Chương 1 - Hình học cfin trong mặt phẳng vờ †rong

không giœn bơ chiều

1.1 Cdc khong gian afin R’ va R® 3 1.1.1 Nhắc lại về R -kgv R’ va R? 3 1.1.2 Các không gian añn R và RẺ 3 1.2 Đường thẳng và mặt phẳng afin 6

1.2.1 Đường thang afin trong A, 6

1.2.2 Mat phing afin trong A, 14

1.3 Hệ quy chiếu Descartes 29

Chương 2 - Hinh hoc afin Euclide trong mat phẳng

vò trong không gian ba chiều

2.1 Nhấc lại về hình học vectơ Euclide trong IR? va R® 33 2.1.1 Tích vô hướng dạng chính tắc 53

Chương 3 - Hinh hoc afin Thực

3.1 Cấu trúc afin chính tắc của một không gian vectơ

3.3.2 Các ví dụ thông thường về ánh xa afin

3.4 Các hệ quy chiéu Descartes

3.4.1 Đại cương

3.4.2 Hệ quy chiếu Descartes và không gian afin con

3-4-3 Hệ quy chiếu Descartes và ánh xa afin

3.6 Tam ty cy, tinh lồi

3.5.1 Tâm tỷ cự

3.5.2 Tinh I6i

Chương 4 - Đường cong trên mặt phdéing

4.1 Cung tham số hóa

-6 Lược đồ khảo sắt một cùng tham số hóa

7 _ Ví dụ về cách vẽ cung tham số hóa

*%

Mục lục

4.2.2 Biểu diễn một đường cong trong tọa độ cực 194

4.2.3 Đường thẳng trong toa độ cực 194

4.2.4 Đường tròn trong tọa độ cực 195 4.2.5 Các đường cônic có tiêu điểm tại gốc tọa độ 195,

4.2.6 Khảo sát một đường cong xác định

bởi một phương trình cực trong lân cận một điểm 196

5.2.3 Đường túc bế của một đường cong trên mặt phẳng 243

5.2.4 Các đường thân khai của một đường cong trên mặt phẳng 247

Chương ó - Đường cong trong khéng gian va

6.2.6 - Ví dụ về khảo sát các đường cong vẽ trên một mặt

cong và thỏa mãn một điều kiện vi phan

Phẩn thứ hơi - Chỉ dẫn và lời giải các bài tập

Phần thứ nhất

GIAO TRINH

Chuong 1

Hinh hoc afin trong

mat phang va trong

không gian ba chiều

1.1 Các không gian afñn R? va R°

1.1.1 Nhic lai vé cdc R - kgv IR? va R?

Ta sẽ xét i, vi uutmg hop RR? ciing tuong a

Ta nhắc lai (xem Tap 5, 6.1) rang RR 1a mot IR - kgv déi véi cdc luat thông,

thường, được xác định, với (x, y, 2), (x”, y', z2 thuộc )§ và A thude R, bai :

Cay D+ ZH + xy + yz 4+ 2’)

Ax, ys 2) = (Ax, Ay, 22),

va rang : eye yd

B° (x,y,2)-(x y,2)=(X- X2 yyz-£?),

RỂ được trang bị cơ sở chính tắc (Ƒ,7,Ê), xác định bởi : Ï = (l, 0, 0),

j =(0,L0), £ =(0,0,D Phần tử (0,0,0) của [Rˆ được ký hiệu là Ö hoặc 0

1.1.2 Các không gian afin R? va R*

Ta sẽ khảo sát trường hợp R’, vì trường hợp IR? cũng tương tự

Vậy, một phần tử (+, y) của IR?,

tùy ngữ cảnh, sẽ được xem như

một vectu, hoặc mội điểm

Chương 1 Hình học afin trong mat phẳng và trong không gian ba chiều

Khi các phân tử của IR? được xem như những điểm, ta nói lÈ? được trang bị

cấu trúc afin của nó (hoặc : ïE* là một không gian afin), và không gian

afin IR? thường được gọi là mặt phẳng afin (hoặc : mat phẳng) Để chuẩn

bị cho việc nghiên cứu các không gian afin (chương 3), ở đây ta sẽ ký hiệu

Z4; là tập hợp các điểm của lR? và sẽ gọi „4, là (một) mặt phẳng afin

Tương tự, ta sẽ ký hiệu „A, là (một) không gian afin (ba chiều)

Nhằm tính đến việc đổi hệ quy chiếu (hoặc : mục tiêu) (xem 1.3, dưới đây),

ta sé viel M(x, y) thay vi M = (x, y)

+ ¡Mệnh để 1 Với mọi A, B,C thuộc >4, :

xe

1.1 Các không gian afin J và R? §

¢ | Ménh dé 2 Với mọi điểm A, Ö thuộc „2A; và mọi vectơ #, vihuộc R?:

DAt atv A+ (uty) Atuey

i

Ching minh : ——_—~- _Ö

1) Suy từ tính kết hợp của + trong JE?, A B=Atu

Với ký hiệu A = (a, a’), B= (d, 6), he (4,0), 0 = Ov):

2) AB =u ©œ (ba, b`« 4) = (6 4) « (b, bs (a, a) + (u,v)

Ta nói rằng một cạp - điểm (A, 8)

tương đẳng với một cặp - điểm

(C, D), va ta ky hieu (A, 8) ~

(C, D), khi và chỉ khi :

Rõ ràng ~ là một quan hệ tương

đương trong tap hợp các

cặp - điểm cia A)

Cho A, B,C, D € A, ; ta nói rằng

ABCD là một hình bình hành khi

và chỉ khi: A8 = ĐC.

6 Chương 1 Hình học afn trong mặt phẳng và trong không gian ba chiều

1⁄2 Đường thẳng và mặt phẳng afin

1.2.1 Dudng thang afin trong A,

1) Dai cuong

+ Định nghĩa 1

1) ChoAe A), a © R2- {6} Tap hợp các điểm M thuộc zÄ; sao cho

AM cộng tuyến với z (ức là: AM e Ra) goi la dường thing

afin di qua A va định phương bởi ứ

2) Một bộ phận Ð của zA; được gợi là đường thing afin (hoặc :

đường thẳng) khi và chỉ khi tổn tại (A, ư) € zA; x OR? - (0) sao

cho D là đường thang afin di qua A va duge dinh phuong béi #

D

D

'Với cách ký hiệu + giữa điểm và vectơ (xem 1.1.2), đường thẳng afin đi qua A và định

phương bởi Z là {A + 4#; 2 e JE], đường thẳng này cũng được ký hiệu làA+iii

Với Á € zÃ; và ứ e RR”- (Ö } đểu cố định, anh xa R —> Á + Rũ là một song ánh À BÁ+Âu

Dac biét do R vo han, nén moi đường thẳng afin là một tập hợp vô hạn

Ta ký hiệu D=A+Rñ

Có thể thấy ngay : VBeD, B+IRữũ =A+lRi

Tổng quát hơn, với mọi điểm A, 8 thuộc „A; và mọi vectơ 1,v khác vectơ không

A+Rñ=B+RäB @ [GD Phtiuee | (#, AB) phuthuộc

«| Mệnh để - Định nghĩa 1 Cho Ð là một đường thang afin cla Ap

Mọi vectơ ÿ thuộc R? - {6 }, sao cho t6n tai mot điểm A thuộc z3; thỏa

mãn Ð = A + ïRÿ, đêu cộng tuyến với cùng một vectơ ¡ khác vectd không Đường thẳng vectơ JR được gọi là phương của Ð và được ký

hiệu là Ð ; một phần tử khác vecto khong của lầ# được gọi là một

vectg chỉ phương của Ð

« Định nghĩa 2 — Ta gọi mọi cặp (D, ø), trong đó D là một đường thang afin ctla A, và ø là một vectơ chỉ phương của D, là trục của z3a

1.2 Đường thẳng và mặt phẳng afin

¢ Định nghĩa - Ký hiệu 3 Cho (2, z) là một trục, A, 8 € Ð Ta ký

hiệu số thực t sao cho AB =tu 1A AB, và ta nói rằng AB là số đo đại

số của cặp - điểm (A, 8) trên trục (D, ñ )

« a

A B D

NHẬN XÉT :

1) Ky higu (AB)q thay vi AB chính xác hơn, vì AB phụ thuộc việc chọn #

trong D— {0} Véi moi A, B, A’, B’ œ D sao cho Á' # 8', số thực AB khong

AB phụ thuộc việc chọn ñ thuộc З [ÔỊ

2) Các tính chất sau đây là hiển nhiên, với mọi điểm A, B, C thuộc Ð, các số đo đại số đều được "tính" trên trục (Ð, ÿ ) :

8 Chương 1 Hình học afin trong mặt phẳng và trong không gian ba chiều

+ Mệnh để3 Với mọi điểm Mx, y) (¡ 6 (1,2, 3)) thuộc z3›, các tính

chất sau đây tương đương từng cặp :

"Tổng quát hơn, với là một bộ phận của „^;, ta nói rằng các điểm của F 1a

thắng hàng (hoặc : đếu thẳng hàng) khi và chỉ khi tổn tại một đường

thẳng afin Ð sao cho £ C Ð

Mọi bộ ba, ký hiệu là ABC, gồm ba điểm của +3; gọi là tam giác (trong

+2;) ; thường A, 8, C duoc giả thiết là không thẳng hàng ; khi đó, các điểm

A, B, C được gọi là các đỉnh của tam giác ABC Mọi bộ bốn, ký hiệu ABCD, gồm bốn điểm thuộc +2; gọi là tứ giác (trong z^;) ; thường A, Ö, C,

D duoc giả thiết là từng ba điểm một không thẳng hàng và lúc bấy giờ ta nói rằng đó là một tứ giác thực sự

2) Phương trình Descartes của đường thẳng trong z3;

1) Cho Milo, ys) € An =) € R- {0}, D=My+ Ru V6i moi

hy + = O} RO rang [a tén tai M(x, yo) sao cho My © A (ta c6 thé chon

-5,0 néua#0

@ (oe Yo) = / , và khi ký hiệu @ = Cb, a), ta 06 voi moi

(0.-<) nếu bz0 M(x y) thuge Ay:

M € Ac ale-%) + ly - y0) = 069 (2, MyM ) phu thuge > Me My + Xai Điều này chứng tô 44 là một đường thẳng afin.

4.2 Đường thẳng và mặt phẳng afin

3) Cho (4, b, €), (ø, be) e IRỲ sao cho (ø, b) z (0, 0) và (2, b) z (0, 0), D và

D' là các đường thẳng afin xác định bởi :

ta nói rằng ax + by + c = 0 là một phương trình Descartes (viết tắt :

PTD) của đường Ð và ký hiệu: DI ax+ by +c= 9

Ngược lại, với mỗi (a, b, c) thuộc R? sao cho (a, b) # (0, 0), tập hợp (M(x, y) ; ax + by + c =0} là một đường thẳng afin

Ta xem như nhau ax + by + c = 0 là phương trinh Descartes cha D hoac là một

phương trình Descartes của Ð

Một vectơ chỉ phương của Ð | ax + by + € = 0 1a (-b, a)

Mot PTD của đường thẳng D đi qua Mo(xo, Yo) va được định phương bởi

ø =(, v) # (0, 0), là -vŒ - xg) + HỚ - yo) = 0, ma ta cd thể nhận được bằng cách khai triển định thức :

Một PTD của đường thẳng (M,M;), trong đó M C4, y2), Ma, y;), là :

40 Chương1 Hình học afin trong mat phẳng và trong không gian ba chiều

VÍ DỤ:

Lập PTD của đường thẳng Ð nối các diém M (2, -1) va M21, 4)

-2 -3 moneda {050-2420 4 D206 5149)-7=0m

y

Các trường hợp riêng quan trọng :

1) PTD của dường thẳng D di qua A(a, 0) và B(O, b) (ta gia thiét ab 4 0) M(x, y) € D& \AB, 2) phụ thuộc

Chẳng hạn, một PTD của đường thẳng nối A(2, 0) và 8(0, 3) là tr =)

2) PFD ctia đường thẳng D nối O(0, 0) và một diểm bất kỳ A(œ, Ø) (khác điểm O)

3) Tính song song của hai đường thẳng trong A;

«© Định nghĩa 1 Cho D, D' 1a hai dutmg thang afin cha Ay Ta nói rằng,

D song song với ?, và ta ký hiệu Ð // D', khi và chỉ khi : D=D Như vậy, Ð song song với D' néu va chỉ nếu p

Hiển nhiên quan hệ // là một quan hệ tương

đương trong tập hợp các đường thẳng afin

của „Ä, Đạc biệt, vì / là một quan hệ đối

xứng, đáng lế phải nói "Ð song song với

Ð", ta có thể nói "Ð va D' song song”

Một PTD của đường thẳng Ð' song song với một đường thẳng đã cho D | ax

+ hy + c=0 và đi qua một điểm cho trước Ä⁄q(xo, yo) la:

12 Chương1 Hình học afin trong mặt phẳng và trong không gian ba chiều

@| HE qua Cho (D, i), (D’, i’)

là hai trục sao cho Ð ¬ Ð' là một

đơn tử {C}, và cho A, B e D,

A',B'e D' đều khác C Ta có :

(AA')/1(BB) © œ.œ ‹

Giao của hai đường thẳng afin cha A,

'Ta có thể quy vẻ việc giải hệ hai phương trình hai ẩn ;

Dlar+by+c=0

9) 9) Đlzx+by+c=0

1) Néu DYKD', tiie 1a néu * lB > z0, t 0, thì hệ ì hệ

phương trình (S) là một hệ Cramer, vậy sẽ có một và Ð

chỉ một nghiệm Trong trường hợp đó, Ð ¬ Ð' là một D

hoặc có vó số nghiệm (nếu c =

"Ta tóm tắt việc khảo sát

De?

song khi và chỉ khi chúng đồng quy hoặc (đều) song song

4) Nửa đường thẳng, nửa mặt phẳng trong A,

+ Định nghĩa Cho Ð là một đường thẳng afin của A,, A, 8 là hai điểm

thuộc D sao cho A # B Tap hop A + IR, AB (tuong tmg : A + RA)

gọi là nửa đường thẳng đóng (tương ứng : mở) có gốc A và đi qua B,

và ký hiệu là [4) (tương ứng : }AB))

(AC) = [AB) va JAC) = JAB)

2) JAB) = [AB) - {A}

3) Việc cho một điểm A trên đường thẳng Ð xác định hai nửa dường thẳng gốc

A bao ham trong D.

14 Chương 1 Hình học afin trong mat phẳng và trong khơng gian ba chiều

+¡ Mệnh đề - Định nghĩa D

Cho D là một đường thẳng an,

D +Tt, AB (tương ứng : D+ R} AB)

khơng phụ thuộc việc chọn A thuộc A

D và được gọi là nửa mặt phẳng

đĩng (tương ứng : mở) giới hạn bởi

D và chứa B

Ta nhắc lại ký hiệu : D+TR,AB =(H+2AB ; (H,2) e DxÌR,)

Chứng mình :

Giả sử A, A' e D,M e D +TR, A8 Tơn tại H e D, Â e ÏR, sao cho M =/1 +2.A8

Khi đĩ tacĩ: M=(Œ1+4AA')+244'8 eD+Ït,A8,vìH+ÃẬ' eD

Điều này chứng tỏ Ð + lề, AB CD +], A'8 „rồi do các vai trị đối xứng cia A, A” suy ra cĩ đẳng thức

Cũng lập luận tương tự với R} thay cho R,

3) Việc cho một đường thang

D của „A; xác định đúng hai nửa

mat phang déng P,P) gidi han

bởi D, và ta cĩ :

Picea aD!

1.2.2 Mặt phẳng afin trong A,

Việc nghiên cứu các mặt phẳng afïn trong +3; tương tự việc nghiên cứu các đường

thang afin trong „A; Nĩi tổng quát hơn thì đĩ là vấn để nghiên cứu các siêu phẳng

afin của một khơng gian afin hữu hạn chiéu (xem 3.2.1, Định nghĩa 3).

"Ta nhắc lại rằng, theo định nghĩa :

A+P=|Mez^,;3š e P,M=A+#]=[M czÀ: AM e P]

Vậy: VM € zÀy, (MĂeA+ Ê œ AM e P}

Từ đó suyra: VE ER € œGM e Ay ¥= AM))

Giả sis Ay, Ap € As V8 Po, P¿ là hai mặt phẳng vectơ, sao cho Ái + Pi =Ay+ Po

Khid6 A, € Ay + Pi, vay A4 Ki

A,+Ÿy= Ái + Xụ, từ đó & = ADA +H € “Py

Điệu này chứng tô P2 C PL, rồi do các vai rò đối xứng, A =r

Ta tóm tắt việc nghiên cứu :

sao cho tồn tại A thuộc z2; thỏa man P = A + 8

Ta goi mọi cơ sở của là hệ chỉ phương của P

Mệnh để sau đây là hiển nhiên

+ | Mệnh để - Ky higu 2 Cho My, Ma, M; là ba điểm thuộc z^; không

mot mat phẳng afin chứa Mỹ, Mạ, M: ; mặt phẳng này được ký hiệu là (MM2M)), và chính đó là mặt phẳng đi qua Mí¡ và định phương bởi

(M\M2,M Mz )

46 Chương 1 Hình học afin trong mặt phẳng và trong không gian ba chiều

¢ Định nghĩa 2 Bốn điểm &í,, Mẹ, M;, 4/4 thuộc z3; được gợi là đồng phẳng khi và chỉ khi có một mặt phẳng P sao cho: Ví e {L, , 4|, M; € P-

Với ký hiệu M,G„ y„ z), Ì < Í < 4, ta có :

Tổng quát hơn, với ? là một bộ phận của A;, ta ndi rằng các điểm thuộc #°

là đồng phẳng (hoặc : đều đồng phẳng), khi và chỉ khi có một mặt phẳng afin P sao cho Fc P

Ta goi (trong ~A;) mọi bộ bốn, ký hiệu 1a ABCD, gồm bốn điểm thudc A;,

là tứ diện Thường A, 8, C, D được giả thiết là không đồng phẳng ; khi đó

các điểm A, B, C, D được gọi là các đỉnh của tt dign ABCD

2) Phương trình Descartes của một mặt phẳng cia A,

Cũng lập luận tương tự ở 1.2.2, 2), ta đi đến mệnh đề sau

«¡ Mệnh để - Định nghĩa Với mọi mặt phẳng afin P của z^;, tồn tại

(a, b, c, d) © IR - {(0, 0, 0)} x 1, duy nhất sai khác một hệ tử nhân

khác không, sao cho P = {MŒ, y, 2) ; dx + by + cz + d= Ô] ; la nói rằng

ax + by + cz + d = 0 là một phương trình Descartes của P, và ta ký hiệu : Plax+by+cz+d=0

Ngược lại với moi (a, b, c, đ) thuộc IR* sao cho (a, b, e) z (0, 0, 0), tập

hop (MG, y, 2) 5 ax + by + cz + d = 0} là một mặt phẳng afin của z4;

“Ta sẽ xem như nhau ax + by + cz + d = 0 là phương trình Descartes cila P hoac mot

phương trình Descartes của P

Ta viết tắt “phương trinh Descartes” bing PTD

PTD của mặt phẳng P xác định bởi một dién Mo(Xo, vụ, 2o) và định phương bởi hệ độc lập (IV), trong đó ñ = (tạ, tạ, tạ), Ÿ = (VỊ, Vạ, Và):

K-xy om OM

M(x, y, z) € P< (MoM, #,¥ ) phu thude @ Jy- yoy ¥| =O

z-3 -4 -1

© 13 - 4) + 19 + 1)+ L1 - 3)=0

Trường hợp riêng quan trọng

PTD của mặt phẳng đi qua A(a, 0, 0),

BO, b, 0), C(O, 0, c) (ta giả thiết abc # 0)

18 Chương1 Hình học afin trong mặt phẳng và trong không gian ba chiều

3) Tính song song của hai mặt phẳng trong Ay

+ Định nghĩa Cho P, P' là hai mặt phẳng aBn Ta nói rằng P song song với P', và ký hiệu P//P", khi và chỉ khi Ê=?P"

Hiển nhiên quan hệ // là một quan hệ tương

đương trong tập hợp các mạt phẳng afin

của A; Dac biệt, vì // là một quan hệ đối

xứng, nên đáng lẽ phải nói “P song song

với P° ", ta có thể nổi "P và P” song song” L_/

1) Phương trình Descartes tổng quát của một mạt phẳng P” song song với một

mạt phẳng Plax+by+cz+d=0, là: P`laxr+by+cz+d'=0, @@eR Đặc biệt, với một điểm M,(x,, yo z,) và một mạt phẳng P | ax + by +cz+ d=0 đã cho, tổn tại một và chỉ một mạt phẳng ?* đi qua M, va song song với ?, và ta có :

P’ la(x-x,) + ĐỘ + y,) + cứ - z) =0,

2) Nếu P và P' là hai mạt phẳng song song, thì ¬ P” = Ø hoặc P = Pˆ Chúng

ta sẽ thấy phần đảo dưới đây

4) Nửa không gian

'Việc nghiên cứu tương tự như ở 1.2.1,4)

¢| Mệnh để - Định nghĩa Cho P là một mặt phẳng afin, A e P,

B e A, sao cho B ¢ P Tập hợp P + IR, AB (tuong ing : P +R” AB)

không phụ thuộc việc chọn A thuộc P, và

được gọi là nửa không gian đóng (tương ứng

: mỡ) giới hạn bởi P và chứa B

1) Ta ký hiệu £” (tương ứng : £) là nửa không gian ty íPì BE đóng (tương ứng : mở) giới hạn bởi P và chứa B ; với

mọi 8# thuộc #, É” (tương ứng : E) cũng là nửa không

gian đóng (tương ứng : mở), giới hạn bởi ? và chứa 4

2) Với các ký hiệu ở trên : P c E' và E=

3) Việc cho một mạt phẳng ? xác đị

nửa không gian đóng E;,E, giới hạn bởi P, và ta có #J E) =P.

4.2 Đường thẳng và mat phang afin 19

1.2.3 Dudng thang afin trong A;

3) Đại cương

Việc khảo sát một phần giống như đối với các đường thẳng trong mặt phẳng, xem

1.2.1,7)

¢ Binh nghĩa 1

1) Cho A € Ay, @ € ;Ä” - [Ö ] Ta gọi tập hợp các điểm M thuộc zA; sao

cho AM cộng tuyến với a (tức là AM ¢ ‘8 @) là đường thẳng afin

đi qua A và định phương bởi 2

2) Một bộ phận Ð của „^A; được gọi là đường thẳng afin (hoặc : đường

thẳng) của z3; khi và chỉ khi tồn tại (A, 7) e z3; x (8? - (6 }) sao cho

Ð là đường thang afin di qua A và định phương bởi ứ

Đường thẳng añn đi qua A và định phương bởi # là {A + 4ã ; Â e 'Š}, cũng được

ký hiệu là Á +8 Ảnh xạ K —> Á + Rúc là một song ánh

Â>A+Âu

Đặc biệt, vì ;& vô hạn, nên mọi đường thẳng afin đều là một tập hợp vô hạn

NHẬN XÉT :

Ta có thể đồng nhất 'S với một đường thẳng bất kỳ của A, nh ánh xạ

ROA _với (A, 2) © 2A, x CR? - {Ổ ]) cố định Ngược lại, mỗi đường

AOA + AG

thẳng afin của ~A, 06 thé duge déng nhat voi’

+¡ Mệnh đề - Định nghĩa 1 Cho Ð là một đường thang afin cha Ay

Mọi vectơ ÿ khác vectơ không sao cho tồn tại một điểm Á thuộc z3; thỏa mãn Ð = A + 8¥ đều cộng tuyến với cùng một vectơ z Đường

thẳng vectơ'Kñ được gọi là phương của Ð và được ký hiệu là 5

©¡ Mệnh để - Ký hiệu 2 Với hai điểm phân biệt bất kỳ M, M; thuộc +Ä;, tồn tại một và chỉ một đường thing afin chita M, va M, ; đường

thẳng này được ký hiệu là (M,M;)

Vậy: (\M,)=M, +2 MM, = M, +R MQM,

¢ Định nghĩa2 Ba điểm Mụ, Mạ, M; thuộc zÄ; được gọi là thắng hàng

khi và chỉ khi tổn tại một

đường thẳng afin D sao cho:

Vie {1,2,3},M,eD

Rõ ràng ring M,, M2, Mg thing

hang khi va chi khi

(M\Mz, M3) phu thuéc Téng

20 Chuong1 —Hinh hoc afin trong mat phang và trong không gian ba chiều

quát hơn, với F 1a mét bé phan cia 4, ta nói rằng các điểm của F 1A

thẳng hàng (hoặc : đều thắng hàng) khi và chỉ khi tồn tại một đường

thang afin D sao cho: F cD

Ta gọi mỗi bộ ba, ký hiéu 18 ABC, gém ba diém thuéc A, là tam giác

(trong zÄ;) Thường A, B, C được giả thiết là không thẳng hàng ; khi do A,

B, C được gọi là các đỉnh của tam giác ABC:

2) Hệ phương trình Descartes của đường thẳng afin trong ~,

1) Gi sit Molxp, Yo 20) © Ay, @ = (u,v, w) © 29-0}, Do Mgt Ra là đường thẳng afin đi qua Mạ và định phương bởi i Véi moi MC, y, 2) thuộc „Ä; ta có :

z=5

« Nếw=ve0, dì: MeDo poe Z=%

2) Ngược lại, gid stt (a, b,c, d, a’, b,c’, d’) e ›RÊ sao cho ((, b, c), (4ˆ, b`, c"))

1.2 Đường thẳng và mặt phẳng ạin 21

Vay: YMG,y 2 oy, | Med AeRJ y= Bitg |

|

Nhu thé, A là đường thang afin di qua dim A(p, q, 0) và định phương bởi : Z (ø, 8, 1)

Ta t6m tat việc khảo sát :

+ ¡ Mệnh đề - Định nghĩa 1

1) Cho D là một đường thẳng afin của „3, Tổn tại (ø, b, c„ da, be, a’)

€ R¥ sao cho ((a, & ¢), (a’, b’, e”)) độc lập trong IE* và thỏa mãn :

D = om( LV Z) ) ax+bytez+d=0) `

> đx+b'y+cz+d'=0 ax+byt+ez+d=0

axtbyteztd’ =0) Descartes (viét tét : HPTD) của 7)

2) Ngược lại, với mọi (ø, b, c, d, a’, 5’, ¢’, d’) thudc IR® sao cho

22 Chương1 Hình học afin trong mặt phẳng và trong không gian ba chiều

2) Tìm một điểm 4 và một vectơ chỉ phương zœcủa đường thẳng afin Ð

“Ta ký hiệu tập hợp các đường thẳng afin của A, là 72 và tập hợp các đường thẳng afin

D của „À; sao cho Ö Ø xOy là 7“(trong đó xÓy là mặt phẳng có phương trình z = 0)

Ta đã thấy ở trên là mỗi đường thẳng D thuộc ZZ nhận một HPTD có dạng

Một đường thẳng bất kỳ của ;3; nhận một và chỉ một HPTD thuộc một

trong ba dạng sau đây :

1.2 Đường thẳng và mat phang afin 23

+ | Mệnh đề 2

D Giao của hai mặt phẳng không song song là một đường thẳng

2) Mọi đường thẳng đều có thể xem, theo vô số cách, như giao của hai mặt phẳng không song song

Chứng mình :

1) Nếu P | ax + ủy + cz + d= 0 và

Pˆla'x+ by + c’z +d’ =0 không song song,

thi (a, b, c), (a’, 6’, c’)) độc lập trong R?,

vay D = Pry P? la dudng thẳng có HPTD po

Vì ((, b, c), (4`, b*, cˆ)) độc lập, nên rõ ràng là với mọi 4 thuộc Ïš”, ((, b, c),

(a+ da’, b +2", ¢ + he’) độc lập Với ký hiệu P„ là mặt phẳng afin có PTD (a +

Aa’)x + (b + Ấb”}y + (c + Ác”z + (d + Ad’) = 0, ta có: D = P ¬ Py Hơn nữa, rõ

ràng ánh xạ 4 r> ? là đơn ánh trên R va rằng với mọi 4 thuộc FR,

1) Cho hai dutmg thang afin D, D’

của A, Ta nói rằng 7 song

song với Ð', và ký hiệu Ð / D',

khi và chỉ khi Ð = Ø

2) Cho đường thẳng afin Ð của A,

P là một mặt phẳng afin của ;Ä;

Ta nói rằng Ð song song với P

(hoặc : P song song với D, hoặc

Ð và P song song), và ta ký hiệu

Chueng 4 Hình học afin trong mặt phẳng va trong không gian ba chiều

2) Quan hệ // giữa đường thẳng

và mặt phẳng không có tính bắc ,

câu Thật vậy, với các đường thẳng D See

D, D’ va mot mat phang P, có thé

xây ra trường hợp :

DIP

PHD

3) Để khảo sát tính song song

của hai đường thẳng D, Ð', trong thực hành ta xác định các vectơ chỉ phương i, ii’

Isa ˆ

4) Để khảo sát tính song song của một đường thẳng Ð và một mặt phẳng P,

trong thực hành ta xác định vectơ chỉ phương # = (u, v, w) cla Ð và một PTD

ax + by + cz + d = Ö của P, và ta có :

DIP DcP œ&ñ e P œau+bv+ cu =0

VÍ DỤ :

x=2:-3

ĐKCĐ đối wae 4# heÐ| y=az+ 1 Song song với P Ìx + 2y - 4e + 5 =,

Một vectơ chỉ phương của Ð là ở = (2, đ, 1) Ta có :

DPciecPœ2+24-4=0Ga=l

Giao của đường thắng và mặt phẳng

a) Giao của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng P, P”

NéuP =P” Nếu P/P' vàPzP,|Nếu P W P` th

thi PAP’ =P thhP AP’ = POP' là một đường

thẳng afin

hot, YX

1.2 Đường thẳng và mat phdng afin 25

b)_ Giao của một đường thẰng và một mặt phẳng

Cho một đường thẳng 7, và một mặt phẳng P

NéuD cP, N&uD//PvAD GP Nếu D%P, thì D=¬P thi DA P=D thi DA P= là một đơn tử

c) Giao của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng /) và а

Neu D=D’, Nếu 2//D'và Dz+Ðp'|Nếu DX D’, thi

thiDAD =D thhD AD =f Dov D 1a tap hop

« Định nghĩa 2 Hai đường thẳng Ð, Ð' được gọi là đồng phẳng khi và

chỉ khi tổn tại một mặt phẳng P sao cho : 2 C P và Ð' CP

Gia sit D, D' là hai đường thẳng được cho bởi một điểm và một vectơ chỉ

26 Chương1 Hình học afin trong mặt phẳng và trong không gian ba chiều

Dutng thing D di qua A(-1, 3, 0) va định phương bởi Z = (a, 2, 1) Đường thẳng

Ð' đi qua A'(-2, -1, 0) và định phương bởi ứ' = (1, 3, 1) Ta có :

Các bài rập 1.2.1 đến 1.2.5 được xét trong mặt phẳng afin A, khi cân thiết được trang bị

một hệ quy chitu Descartes (O; ï, j)

9 1.2.1 Cho bốn điểm A, B, C, D sao cho A, B, C không thẳng hàng Chứng mình rằng các

tính chất sau tương đương từng cặp:

(i) AB=CD

(ii) AC=BD

iti) (A, D) va @B, C)c6 cùng trùng điểm

iv) (AB) #/ (CD) va (AC) // (BD)

0 4.2.2 Choa € N sao cho ø > 4, A,, 4, là những điểm phân biệt từng cập sao cho với mọi í thuộc (1, :] các điểm Á, (1 <j < n và j # ¡) thẳng hằng, Chứng mình Á, 4„ thẳng hàng

9 4.2.3 ChoA, B,A’,B' x3; sao cho Á # B và Á' ,

A=A

Ching minh : |AB) = [A’B’) x —_

3k e R} ,A'B'= KAB

1.2 Đường thẳng và mặt phẳng afin 27 91.24 Cho@,g) £N?,n=p + g (giả thiết n > 1), Á,,„ Á, là ø điểm từng cập phân biệt Chứng mình rằng tồn tại một đường thẳng 2 của mặt phẳng tách các điểm Á,, 4„ sao cho về một phía có đúng p điểm và phía kia là đ điểm còn lại

là chùm tuyến tính các đường thẳng xác định bởi D va Ð' khi (2, Z) chạy khắp

(aa + ava’, ah + afb’) #0, 0)

Ta cần chú ý là o_o khong phy thude vite chon c4c phutong trink cia D va D'

Ta cũng xét tập hợp ÑŸ '„,„„ các đường thẳng 4 có phương trình :

(ax + by +c) +  (4% + by + c) =0 khi  chạy khắp # và @ + 47, b + Ab} # (0,0)

a) Chimg minh ring %,, » chita D, Ð' và rằng: 8 ‘p,0 Bo.o- (Dl

b) Ta giả thiết ring D va D' déng quy tai diém Mol yo) Chiing minh ring Bp, „ là tập hợp các đường thẳng đi qua My

c) Ta giả thiết rằng D và D' song song, Chứng minh rằng ; „ là tập hợp các đường thẳng song song với D (và với D)

Các bài tập 1.2.6 đến 1.2.9 được xét trong không gian afin „A,, khí cần thiết được trang bị

một hệ quy chiéu Descartes (0:7, ,Ê)

04.2.6 Cho hai hinh bình hành ABC, A'B'C'D” Ta ký hiệu 7, J, K, L 1a tung điểm tương ứng của các cặp điểm (A, 42, (B, B3, (C, C9, (Ð, D2, Chứng mình rằng LJKL, là một hình bình hành

04.2.7 Xác định giao của 3 mật phẳng :

Pilx-2y+2+3 =0, Py|2c+y-z-2=0,Py|4x-3y+z+4=0,

04.2.8 Cho P, P'là các mặt phẳng được xác định bởi :

P diquaA (1, -1, 0) và định phương bởi Ø (2,1,-1), P (1,4, 1)

P' di qua A'(1, 2, 1) và định phương bởi a’ (0, 2, -1), Ø' (1, -1,3)

Chứng minh ring P và P' cắt nhau theo một đường thẳng 7 và xác định một điểm và một

vectơ chỉ phương của ?

Ta cần lưu ý là 8; „ không phụ thuộc vào việc chọn các phương trình của P và P' Ta

cũng xét tập hợp § ';,„ các mặt phẳng 77 có phương trình (ax + by + cz + d) + A(a’x +

b% + cz + đ) = 0, với Achay khép '& va (a + da’, b + Ab’, c + Ac) # (0, 0, 0)

28 Chương 1 Hình học afin trong mặt phẳng và trong không gian ba chiều

©) Ta giả thiết P và P' song song Chứng tổ rằng 8, z- là tập hợp các mật phẳng song song

® 3.2.111 Cho hai đường thẳng song song D, D’, P (tuong ing : P’) 1a mot mat phang chia D (tuong ung : D’) Ta gid thigt PP’ Chimg minh : PAP’ HD

$3.2.12 Cho hai mặt phẳng song song P, P’, Q 1a mot mat phang thda man QP Chimg minh: PA GH P'AQ

91.2.13 Cho ba mat phing timg cap khong song song P Q, & Chứng minh ring các giao

của từng cập trong, chúng là ba dường thẳng đồng quy hoặc song, song

94.2.14 Cho hai mat phẳng khong song song P, P’, A= Pm P’, Dy, D, la hai dường thẳng,

đồng quy (và không song song); ta ký hiệu 4; 4; (tương ứng : A),, A2) là các giao điểm

theo thứ tự của Ø,, Ð, với P (tương ứng : P") Chứng mình rằng các đường thẳng (A,, Ay}

Và (A1, 42) song song hoặc cát nhau tại một điểm thuộc 4

4.2.18 Xác định 2 = Ð/ trong hai ví dụ sau, biết rằng Ở đi qua 4 và định phương bởi # và Ð' đi qua A' và định phương bởi ø' : aA(2,1,0), #0,-1,2), A(0,2.1), 82,-1, 1)

94/217 Cho p| *°Z LÍ y=2z+ï pd y= z= Chứng mình rằng tôn tại một cập mat

phẳng (P, ?) duy nhất sao cho: Ð C P, Ð" C P*, P/! P*, và lập cáo PTD của P và P'

y=x+? J y= 2x +I] ,

©1.2.18 Cho Ø rex D ze2r-1 „ Tìm iất cả các đường thẳng 4 trong

không gian song song với xÓy và cất D, D’, x2’

9 1.2.18 Xác định tất cả các đường thang D trong không gian cắt các đường thẳng :

1.3 Hệ quy chiếu Descadtes 289

13 Hệ quy chiéu Descartes

“Ta xét phần này trong „3;, vì việc khảo sắt trong z3; cũng tương tự

¢ Định nghĩa Ta gọi mỗi cặp (2, B) trong dé 2 € A; va Bla mot co

sở của 3”, là hệ quy chiếu (hoặc : hệ quy chiếu Descartes) của z4s

Lj,Ê) thay vì (2,0

Nếu Ø= (7,ƒ,k), ta sẽ ký hiệu ((2;ï

Nếu P là một mặt phẳng afin của z3; ta sẽ gọi mỗi cặp (2, Ø) với

42c P và 73 là một cơ sở của , là hệ quy chiếu của P

Mệnh để sau đây là hiển nhiên

+| Mệnh để - Định nghĩa 1 Cho £= (Ø;7,7,Ê) là một hệ quy chiếu

của „3s

Ánh xạ

Gy JOM —> Ay, trong 46 M duge dinh nghia boi QM =xÏ + y ƒ +zE

là một song ánh ; ta nói rằng x, y, z (hoặc : (x, y, z) ) là các tọa độ của

M trong

Nói cách khác, các tọa độ của M trong (92;7,7,£) 1 các tọa độ (hoặc : các thành

phần) của Z2M trong (ƒ

Nếu đang xét nhiều hệ quy chiếu £, €” , thì tiện hơn là ký hiệu, chẳng hạn, các

tọa độ trong # của một điểm thuộc z3; là (x, y, 2)

Giả sử Z = (v2:7,7,Ê) là một hệ quy chiếu của ;A; Ánh xạ 18? > Ay là một

Ms Dead + yp ck

song ánh, nó cho phép đồng nhất „A; được trang bị £, và ›ä°,

Các thuật ngữ đã dùng (PTD của một mặt phẳng của zA;, HPTD của một đường

thẳng của ;A;), cũng áp dụng được cho z^; được trang bị Chẳng hạn, tập hợp các

điểm M có tọa độ (x, y, z) trong Z£ thỏa mãn áy + by + cz + đ = 0 (trong đó (4, b, c, đ) € 8“ cố định sao cho (a, ð, c) # (0, 0, 0)), là một mặt phẳng afin P, và ta nói rằng P nhận PTD; axz + by + cz + đ= 0trong K

Ta gọi cặp (O, Z) trong đó O = (0, 0,0) va B= (i;

là hệ quy chiếu chính tắc của :8°

+ ¡ Mệnh để 2 (Công thức đổi hệ quy chiếu)

Cho @= (Ø;¡,/,), ˆ= (27;Ú, j k) là hai hệ quy chiếu, (xo, Yo, 20)

là các tọa độ của £2' trong Z, P là ma trận chuyền từ cơ sở @, 7) sang

cost (i, j, ) Với mọi điểm M thuộc zA„, khi ký hiệu (+, y, 2) là các tọa

độ của M trong #€ và (x, y, z) là các tọa độ ca M trong R’, thi ta có :

30 Chương 1 Hình học afin trong mặt phẳng và trong không gian ba chiều

2) Trong trường hợp riêng khi ta chỉ đổi gốc tọa độ, thì ta sẽ có các công thức

đổi hệ quy chiếu bằng phép “đối gốc tọa độ” :

x=xp+x

y#yp+ty

Z=7a+z

VÍDỤ:

1) PTD của một đường thẳng trong một hệ quy chiếu mới

Giả sử (, j, k) là cơ sở chính tắc của 3°, Ø = (0,0, 0), Kụ = (O;Ï,7,É), A là điểm

Lập một HPTD của Ð trong £'= (A;7',ƒ',È')

Nhận xét trước tiên rằng (Ï',ƒ',Ê') đúng là một cơ sở của 2” (chẳng hạn,

2) BDTS một đường thẳng trong một hệ quy chiếu mới

Cho# =(Ó; ¡,/ ,k) là hệ quy chiếu chính tắc của 'R3, A(2,1,1) Ry? f'=21+j+E,

-4.3 Hệ quy chiếu Descartes 3T

2 1 1

Ta ký hiệu P =Matz ; p(,7,E)=|1 2 1

11 2

Vì P khả nghịch (det(P) = 4 z 0), nên (7, /',Ê') đúng là một cơ sở của '82

Các công thức đổi hệ quy chiếu cho một điểm Ä ((x, y, z) ry OY 2) pe" ) bat Ky là:

Bai tap

Các bài tập 1.3.1 và 1.3.2 được xét trong mặt phdng afin A,

04.3.1 ChoA,8,C, A”, B', C' là sáu điểm phân biệt từng cặp sao cho A, 8, C thẳng hàng

Cho Ð, Ð' là hai đường thẳng, (A, 8, C) e Ð3, (A', 8 C) e а Ta ký hiệu:

(AB) 7 (BA) = (C"} BC) 3 (CB) = A"), (CAD (AC) = 1B")

(ta giả thiết rằng các đường thẳng và các điểm được xét đều tồn tại)

Ching minh ring A", 8”, C” thang hang.

Chương 1 Hình học afin trong mặt phẳng và trong không gian ba chiều

Các bài tập 1.3.3 đến 1.3.6 được xét trong khong gian afin Ay

01.3.3" ChoA, 8, C, Ð là bốn điểm không đồng phẳng, M, N, P, Q là những điểm được lấy

theo thứ tự trên các đường thẳng (AB), (BC), (CD), (DA) Chimg minh rang M, N, P, Q

đồng phẳng khi và chỉ khi :

MA NB PC QD

—.—.—.—-¬l!

MB NC PD QA

9 1.3.4" Cho D, D', D" là ba đường thẳng đồng quy tại diém 0; P,, P,, P, I ba mat phang

song song, P, và P; không đối xứng qua Q Ta ký hiệu

Ay, By, C, là các giao điểm theo thứ tự của P, với Ð, Д, Ð"

Ay, By, Cz l& các giao điểm theo thứ tự của P; với Ð, D”, Д

Ay, By, Cy la cdc giao diém theo thứ tự của P› với Ð, Ð', Ð"

(ịC2) 3(B€) = (Lh, (CAD (CA) = (M1), (A,B) (AB, = (NỊ

Chứng mính rằng các đường thẳng (1.4;), (MB,), (NC,) đồng quy hoặc song song

01.3.5" Cho A, 4, A;, Á, là bốn điểm không đồng phẳng và &2 là một điểm Ta giả thiết

ring mặt phẳng (AƒẢ,4;) (tương ứng : (ăÁx4;), tương img : (MA, 4,), tuong ứng :

(MA,A,)) cắt đường thẳng (4;4,) (tương ứng (4,4,), tương ứng : (4,4;), tương ứng :

(A,A,)) tai mot diém B, (twong ứng : Ö;, tương ứng : Ö;, tương ứng : B,) Chứng minh ring

14 Anhxaafin 33

14 Anh xa afin

1.41 Đại cương

+ Định nghĩa Một ánh xạƒ: +3; —2 x3; được gọi là ánh xạ afin khi và

chỉ khi tôn tại Á e z3; sao cho ánh xạ ở: '3° — ;& định nghĩa bởi :

W*eR ,ø()=J7UÐ/1Ã+X)

là tuyến tính

Ta ky hiéu tập hợp các ánh xa afin từ zA¿ vào z4; là Aff 4s, zA¿)

Tổng quát hơn, ta có thể định nghĩa khái niệm ánh xạ afin từ một không gian vecto

E vào một không gian vecrơ F (xem dudi day, 3.3.1)

Với các ký hiệu trong định nghĩa trên, với mọi 8 thuộc zÄ ¿, ta có :

ø(BM) = g(AM ~ AB) = g( AM) — 9(AB) = ƒ(A)ƒ(M)~ f(A)ƒ(B) = f(B)f(M)

Đặc biệt, ø không phụ thuộc vào việc chọn 4 (trong z4) Từ đó có định nghĩa sau :

+¡ Mệnh đề - Định nghĩa - Ký hiệu 1 Choƒ: ›A; —› A, JA một ánh

xạ afin Tồn tại một và chỉ một ánh xạ tuyến tính từ gọi là bộ

phận tuyến tính của ƒ (hoặc : ánh xạ tuyến tính liên kết với /), được

ký hiệu là Ÿ , sao cho :

V(A,M)SÓM)., ƒCAM)= ƒ0Uƒ(M)

¢| Ménh dé2 Cho/ e Aff(z3;, „A;) Ta có :

VAE Ag, ViER?, f(A+i) = f(A)+ A)

Ching mink :

Ký hiệu M = A + ñ, ta có :

f(M)= f(A) + f(A)FOM) = f(A) + FAM) = f(A} + ft)

Biểu thức Descartes của một anh xa afin

Cho f € Aff(Ay, As), R =(Q;1,7,2), R= (Qi, 7,4) 1a hai hệ quy chiếu của

Ax (a, By) céc toa dé cha 2 trong R'

A =Mat( 7£) cx 75p (Ÿ) „ M là một điểm bất kỳ thuộc zA;, Œx, y, 2) là các tọa độ