Tài liệu Giáo trình đại số và 600 bài tập có lời giải P5 pdf

Chương + Ngôn ngữ của ¥ thuyết tập hợp xe ict « Tương tự đối với quan hệ kia.. ape Vie Lxe A; sø Tương tự đối với quan hệ kia... Tương tự, x là phần tử chính quy phải... Bao hàm thức k

Trang 1

Chỉ dẫn và trả lời 383

+ Giả sử y e A” VIS ICY) = Ly], tôn tại x € ƒ'({y}) sao cho y = f(a) ThE tht y =f) va

xe fa’), vay y © ff A’), điều này chứng tổ A” CAP tay

b) 1) Gia sirf 1a don Anh va gid sir (A, B) € 8œ)

A) fA BI=RAD BLA OB) =fAT B UF ARB CFAIOAB NUMA OND Tachimg minh (B)c f(B)-

Cho y € f(B) Névy € f(B) thì tổn tại b € B và c € B sao choy = fb) = f(c), mâu thuẫn với giả thiết ƒ đơn ánh Vậy y e ƒ0B)

Ching minh tuong wr: CA) f(A)

Thế thì :/(Á ¿ 8) C (4) ƒŒ) )4) Cƒ(A) S8) =/09 2/8)

Ø Giả sửy e /@) ƒ08)-

“Tổn tại a 6 A sao cho y = /(2)

Nếu ø e B, thì y = f4) € iB), mâu thuẫn Vậy a # B, y = 44) € ÑA = 8)

Điều này chứng tổ: 4) ^ ƒŒ) CA B)

Tương tự: ƒ(A) 3ƒ) C/(Ä ¬ B) Từ đó :

fA) 2 Ñ8) = đ@)n ƒŒ))12 CÍ(A) ¬ 8) CÑA Byufa oBy

=fqA B)U CA n8) = ÑA ¿ 8)

2) Ngược lại giả sir: V(A, B) © (P(E) f(A ¿ B) =/t(A) fib)

Giả sử (x, y) € E sao cho fix) = f(y)

Nếu x # y, tủ : (hen 0006 0/001<® , mâu thuẫn, Vậy + = y

Điều này chứng tổ ƒ là đơn ánh

Trang 2

Chương + Ngôn ngữ của ¥ thuyết tập hợp

xe

ict

« Tương tự đối với quan hệ kia

c)sxưe lu] a (ua, « E157 =0 S1 x0 x6 An BỘ

"+ J jet

ied

jer

exe |JA4¿oh,

ape Vie Lxe A;

sø Tương tự đối với quan hệ kia

b) Với mọi y thuộc #' :

vel

“reqs ° [=-f»»-⁄e) 7 (meets )

e) GiÁ sử ƒ là đơn ánh

Cho y e ( Ì/(4/)- Với mọi ¡ thuộc Ứ, tôn tại a, € A; sao cho y = f(a)

ied

Vì ƒ là đơn ánh, nên ta có : VỤ, j) € Pig =a,

Vậy tổn tại a € f sao cho : Ví @ ƒ, d= ad, Do đồ y = f0 e /(ÌA; -

ict

Trang 3

b) Theo bai tap 1.3.23, 6} :

1.3.25 a) + Giả sửi €/ Vì A, # Ø và ƒ là toàn ánh, ta có ƒ !(A') # Ø

* Gid sit (i, j) € P sao chof "A Af "(4)) z Ø,

THEM FTA, NAD ESIAY Nf '(4)) # Õ, vay A Ae i=]

Điều này chứng tỏ tầng Ứ '(4')),«, là một phân hoạch của E

by) © Trả lái :Z= (0,1), = (0), f: ESE’ Adin = (01111)

rH0

G11 A 1) ø) Giả sử/ tương thích với & và S

Tôn tại

Giả sử £ e E/ €; tồn tại z € E sao cho Z= p() Ta định nghĩa GS) bai : MS) = dự), điều

này là đúng đắn, vì nếu +' là niột phân tử (khác) của # sao cho £ = p(#), thì z Rx’, do đó

Gia stg, yi E/ RF} Ssao cho go p=qe fvawe p=qef

Thế thi ta có : Vx € Ế, ø(0(4)) = ự((9)), từ đó vì p là todn dnl; VEE E/ ROD = WA

/) Ngược lại giả sử tổn tại ø: E7 — F J5 sao cho Ø s p=g s£

Ta có, với mọi (x: x) thuộc É?

X RES PO) = PX) = Ø(p(+) = @(p(x)) & GO) = GU’) & (OD Sfx)

Nhu vay f tuong thich v6i Rva 5.

Trang 4

Chỉ dễn và trả lời

cúc bài tập chương 2

2.1.1 ä) Tính giao hoán là hiển nhiên

Vil #0) #22042 =-3 VAC] # (0% 2) =1) * C3) = 3, nên * không có tính kết hợp Rõ rằng 1 là phần tử trung hòa

b) © Tra lai: 1) (a 21-19 11

2.12 2*(bh*e)=(0* 4) * (hte) = (O* (0 * a) *(b$ c) = 4# (0 #0) * (h* c)

=(a* 0) * (b*¥ ec) sce (b* (a #0) = 0 * (0 * (a * AY) = (a * BY (0 0) = (a * AY * CC) Một ví dụ: * = -

24.3 (xTy)Tz=( tae yy tat zat a*(y tat) =axT VT 2)

2.4.4 Ð Ta chứng minh bằng quy nap theo Wa e1 Tx

eo n=l: xy= yx theo gid hist

nou xy = yx" this xy = x"y) = xe Ee = yx!

2) Ap dung két qua trén vao (p, y x") thay cho (, x,y), ta ket lugn: yx = 2",

2.1.5 1) Nếaxe £ là khả đối xứng đối với * thì với mọi (y, z) thuộc £°:

x*y=x*z—x*(x*y)=x (Y7) =ọ (3 x) Sự Ì* X) X7 my SZ

vậy x là phần tử chính quy trái Tương tự, x là phần tử chính quy phải

2) Trong ŒÑ, +), 1 là phần tử chính quy nhưng không khả đối xứng

2.1.6 a) y, là đơn ánh khi và chỉ khi: VỤ, y) € EỀ, (2 *®x=a* y =x= y), tức là khi và chỉ Khi ø là nhân tử chính quy trái

b) (V(Ð,€) 6E) (a*a)*®eb=a*(* b))

Trang 5

Chuong2 Cấu trúc đại số

2.17 Ta ký hiệuz,: E—>E vad: EOE

Vi x chính quy nên y, và 6, déu 12 don ánh (xem bài tập 2.1.6 a)) Vi E hữu hạn, ta suy ra rằng

(xem dưới day 3.2.2, Mệnh đẻ 6) y, và ở, đều là song ánh

@ Vay t6n tai (a, A) € £? sao cho ya) = x vi 6b) = x, tic là: x * 4 = x VÀ b * x=x

Ta có: Vy €E.x*(đ*y) =@*4)*y=x*y, vậy vì x chính quy: VyeE, a*y=y

Tươngtự WVyeE, y*+b

2/48 ã) (+r*y)*® (Y*® 2y) =(* @ VÀ) Xu ee) HVS eX) eV HY) aXe

byte ats cer ayts x! (xem 2.1, Menh dé 4)

2.1.9 ary To ty)

QTR! *# yy) TO! #9) = OTH’) * Ty) * TH) # OTY)

va (TO? # v= (Oe WT) a yoy) = GT) * OTH) # OT) * OTH):

do 66, viaTx’ va yTy’ déu chinh quy đối với *:

GTy 2# TX) = OTX) * TY)

b Kỹ hiệu £ là phần tử trung hòa của T, kết quả của a) áp dựng vao (x y & 2) thay cho (@.y +, y)) chứng tổ rằng xTe và vTe đều giao hoán được đối với *, tức là: x * y = ÿ #x

c) Hệ quả hiển nhiên của b)

2.1/10 aAnhxa fi 10; 40 {> ] 0; +0 [ là một đẳng cấu phỏng nhồm từ (J0; +œ, *) lên

xe C]0; +5 [ #)-

b) /(* *4) =4) + + Ñ@) = na, vậy a* * =ƒ (na?) = sÌng

Trang 6

2) Với mọi x thuộc X: (#* 03) = #00 * fO) = fO9 * gO) = FF * VO)

3) Ký hiệu £ là phần tứ trang hòa của / đổi với *, ánh xạ hàng e: X—>£_ là phần tử trung hồa

2) « Giả sửa € 0À x8) ®C, Tén tin (a, b,c) € BP sao cho x= (a * bye The

iv sa * (b #0) © A * (BRC) Điều này chứng mình bạo hầm thức GÀ * 8) * C CA *ÚP +) Bao hàm thức kia được chứng minh một cách tương tự

10, 11, Không tồn tại bộ phận # của 7, xao cho A + = 101,

2.4.45 ®(2#4)*(4*y)=d*®(x*d* v) 6 [d] *É

t( *b) *(y*® B) =(*+b*y) be E* (bị

sat xe byt (at yt bysar (ye btaeyyehe {al *h* {bh}

etak yt katy) ax eat (yer Rat EE * lal ek,

2.1.46 DBC BUC WE CBUC vay (xem bar tip 2.1.14, a) /)):

A*BCA*(BUC) va AHCCA*BUC)

tedd: (A* BUA FC) CAF (BUC)

2) Gid shx € A* (BUC), Tén lai (a y) € Ax (BUC) sao cho x= a y

Nếu y € B (tuong ting : ) thix € A * # (tương ứng : A * €) Vậy x € (4#) 2 (Á *C),

bì D 8 CCBvà 8 CC C vậy (xem bài tập 2 1.14, @), 29)

A*f(fOiC) CÚ * BỘ và A * (CC A xC, suy ra: A®(BAC) CAB) AAFC)

2) Bao hầm thức ngược có thể sai chẳng hạn như trong ví dụ s

Trang 7

Chuong 2 — CAu trúc đại số

QA47 — Gidsit (x, a) ¢ Ex A; ta gid thigtx* a ¢ A (tức là: x * achinh quy đối với *) Với

moi (y, z) thuge E?:

4Yy24*7Z1*(4*XV)=X* (4 #7) => (x* 4) # y= (X* 4) 97 = y7,

vậy a chính quy trái

Tương tự, z chính quy phải, vậy a chính quy, mâu thuẫn

2.1/48 a)Vta.b.e,d)€ A*.(a* bì *(c* độ cA*A,

Ta cũng có thé cha § rang C = E (xem bai tap 2.1.18)

b) Ví, b) e C?,a*b=b* a(vì a 6 C và b € E)

2121 D(Œœy) vớ y9) *ứ”, y7) = G1, yÂy) * G°, y)) = (Tx)Tx”, 1y) Ly")

2 OTT), YLOPLYD = œ, y) 9 ETH Y LY = GD EOD YD

2) Œ, y) *# Œy) = G Tx, y' L y) = OTH, yLy) = Y) * OY)

3) Nếu e (tương ứng : ø Tà phần tử trung hòa đối với T (tương ứng : 1), thi (e, #) là phần tử

trung hòa đối với * vì;

Trang 8

=(6,£)-Chỉ dẫn và trả lời 2.1/22 — a) 1) Giả sử/1à đơn ánh Với mọi (g, ñ) thuộc PÊ, ta có:

fegafeh= (xe X f(a) = Ah) > (Wx € X g) = AO) = gah,

vậy ƒ chính quy trái đối với © trong E

2) Ngược lại, giả sử ƒ chính quy trái đối với ø trong # Giả sit (x, 2°) € X? sao cho fix) = /G°) Nếu x 2C, tả xét ø: X —> X, xác dịnh bởi: {

ay Thế thì tacofe g=f=fe Ïdy vậy ø = ldy, x = +”, mâu thuẫn,

Vay x=

b) 1) Gid str f1A 1oan anh Cho (g, A) € B® sao cho ge fah s ƒ, và y € X Tổn tại x € Xsao cho y= fon; ta 06: g(y) = BGO) = AG@)) = hO)

Điều này ching 16 g = A, vay f chinh quy phai d6i véi © trong £

2) Ngược lại giả sử ƒ chính quy phải đối với e trong E Ta lập luận phản chứng: Giả sử ƒ không là toàn ánh Thế thì tổn tại Ø e X sao cho # £ /QW Ta xét # : X~> X xác định bởi:

Nhưng Ø # ƒC9 vậy sự?) = /U9)

Như thế: # = f(B) e ƒŒ mâu thuẫn

sữ)=

athsh

2123 aye foe? ,Vậy ax*xb<b*a

b*asa pees ,vậy b*a<a*b, b)eatasa

(axb)*e<ax*b<a -vậy(2*6)*e <a*(b*©)

224 — Giảsử(@,y)eG” Tacó: | Gý)=W)UV)“XOX) go de vi x và y dếu chính

(a)? =e=x?y? = xoay

quy: yx = xy

401

Trang 9

Chương 2 Cấu trúc đại số

2.2.2 Giả sửx e Ở; để chứng minh rằng tổn tại (ø, b) € Á x Ö sao cho # = đb, tức Lia"

tà sử chứng mình rằng các bộ phận của (#4 'x (xác định bối Äx = (27: á € A] và 8, đến không rồi nhau

Vi ao ay la mat song ánh từ A lên Ax, tạ có Card(A”x) = Card), và do vậy:

CardGLi) + Card(B) = Card(A) + Card(B) > Card(G) Suy ra: (AL) cB =O Vay tổn tại

ve U12) c8, vig € A sao cho y= ax, Vay: «= ay € AB

2.2.3 a) Tỉnh phản xạ và tính đối xứng là hiển nhiên, Nếu x4

hoar (y =x va 2 =v") hoae (y = +" và z = y) hoạc (y xl var yh Ui dé:

b) G/R gdm fe}, cde don ti fx} Ov @ 8) va cde tp c6 har phn lử {x, x”] (re GOV fe})) Taky hidu as Cards), B= Cardeg - (Ä© Tới)

3j s có tính kết hợp trong lÊÊ, da đó trong +Á,

44) mỗi phần tử /,„ của zả có đối xứng đối vei odo la fi,

50.9 finzhs foe fhithr bith

Xen them vi dy 2.2.6

2.2.5 L) Chiều © là hiển nhiên

Nếu xy € //, thì x = Qxy)y € Í4, mâu thuần

Nếu xy e K thì v= x"(+y) € K, mẫu thuẫn

wt wee ayn AGi xt ae aan (lh #

vì của 7 x eed dai xuing d6i xtmg doi voi *, 46 1a (2 3) vox

SEL 1) * (2,0) = (2, 1) va (2.0) * CL, 1) (2 2), vay * không giáo hoán.

Trang 10

Nhận ng cĩ thể sử dụng một sự chuyển cấu trúc nhĩm (Xe! 2;

ý rằng anh xa (x, yh £, „ (xác định trong Đải tập 2.24) là một dân

A= bho @, y) € EƑ x 2] là một nhĩm,

3, Mệnh để 3), chủ phơng nhĩnt và

b) Ký hiệu /f= RỦ xŸ Ư(CU)

Hn awe

3) VOcyie H, (ơi (2 Den mtso, x ox) x

2.27 Ipeet

9) Gad sit 8) 6 CŠ tá cĩ; Vy © Gx" by = XOCH) £ AOÁ) = VDT = GAINS FO vậy

xy ế Ở (xen thênt bãi tập 2.1.2, ở1)-

Cia ed, var mor y thude Go xy = va 8 Sot staat = ye! , và do

2.2.8 +) Tương tự như bài tập 2.2.0 2)

by Gia sit (a A) 6 Œ, tạ cổ, VỚI mội (1, y) tude

So sánh với bài lập 2.2.2

Trang 11

Chuong 2 Cấu trúc đại số

2.212 alee =fieye fu)

+) & YUDY thì, tốn tai (ey) € HP sao cho x” = fix), VÌ = Uy), từ đố:

x Ly =u 1 fiyy = fry) © fUD, visTy €

oNéux’ 6 / thả tốn tại x € // sao cho x) = ƒÐ9 Lừ đó:

xs (uo) = flr) € fun vin! ett

Bao hàm thức {e} C Ker() là tầm thường,

Giả sử x € Ker(); tà có /tx) = & = fle), vay x= ¢, va nhu thế KerU) C {e}

2) Ngược lại, giả sử Ker(Ð) = (#} Giả sử (xụ, xạ) € G sao cho ƒfx,) = f1), Ta có

Trang 12

Chỉ dẫn và trả lời = 405

2.2/15 Suy luận phản chứng

Giả sử ƒ” Id, và kỹ hiệu A = (xe Gs fay =

“Tồn tại & G san cho f7(0) # x

Nếu xe A, (ủ (70) = foo) = fo") = Gat = Gey = x mau diudn, vay x eA

y 6x21 Thế thì tốn tai a € A sao cho v= 02,

wia, Tdi th Pon = fora = Yo Yan = ya!

Didu nay chứng mình: x4 ¬ A = Ø

kl

a1 xa 1d MOL song anh it A len ¥A

“Tà suy ra: Cardi) 2 Card(a) + Card(aa) = 2Card(a), mau thudn

‘Fa cũng có thể quy vẻ bài tập 2.2.9, bằng cách chứng minh răng bộ phận # của Ở xúc định bởi

#elxeŒ:f 4ú = x] là một nhóm cọn chứa A của Œ,

2.2.16 Giá sử Ƒ: H x K —y ffK „ đó rõ ràng lất một toàn ảnh

tk he Grd sik.) 6 H x K, ta sẽ chứng núnh: CiưdỢ “(1 8È})) = CardUf m5 K)

1) Gia st) 6 JF x K sao cho fui = fh, `) Tả có KẾT" Wh’, vay WW © HK,

hE AUER) Vén laiz € HO K sao cho h” \ rồi thì =

oy

2) Ngược lại, với mọi z thuộc Ki hic © Fok Ky va fe, 21K) = (iz Xe 'B) = hk,

Nhu vay a Kf '({A.4)) la ndt song ánh

sou

Ký hiệu œ e Card//5 K), mỗi phần từ của 77K có đúng ở tạo ảnh qua ƒ, từ đồ:

Card(†Đ Card(K) = Card(f x K) = CardIK)CardU1 Kì,

Nhận xét HK 10 đều là những nhóm con của ©, những JIK cổ thể Không phải là một nhồm con của Ö

y= fy = fla’) = Yay)", điểu này chimg 16 7 = < fla >

Hơn nữa, nếu (7 hữu hạn, thì (7 hữu hạn vì ƒ là toan dnt

2.2.20 — Giả thiếttốn tại một đảng cấu nhóm /+ (0, +) —> CÓ ï , x)

Vi2e O T ký hiệu œ=/ 712) và pee „ta có: 2 =/tø) = f( + B= SY

Những tạ biết răng phường trình xŠ = 2 không có nghiệm trong Õ, (Xem Tập 1, bài tập 1.1.1)

mdu thuần.

Trang 13

2.2.21 Giả thiết tổn tại một dẳng cấu nhóm / ŒẺ”, x) — 0È” xì

và do vậy (x + y) là lũy lính

vk mR HP

b) Nếu +” = 0, thì (xy)" = x"y” = 0

bn

2.3.4 © Trả lời: Đạc số của Z¿ (tương ứng : Zn) là Ö (tương ứng : 0).

Trang 14

2.3.5 “Theo mã thiết, tổn tại Ð € A sao cho ba = 1

“Tả xét, với n€ TT c¿=b + 2"(1 - a6) (rong đố, theo quy ước, &= 1)

Với mọi ø thuộc 14, ¢, la nghịch đảo trái cits a viz

cua = bạ +iánh ca ba = 1+ g9 ca =1,

Tả chứng mình răng các c„ ứ? € T) từng đôi khác nhau Giả sử (ï, p) £ Ï sáo cho, chưng

n> p.va gid met ¢, = ¢,,

han

Tad, c, @ atl - aby = ah - ab) = bra - ab) = be -ab)

Vi bự = 1 một phép quy nạp đơn giản ching 16 rang: Vk € 11, bE a= 1

Vay ta duge 1 - ah = A") - ah) = BM BC hayh = b'? - bb = 0, tirdé ab = 1, mau thuần

2.3.6 4)

phép kiểm chứng là dể đàng (xem thêm Đài tập 2.1 13)

bye Ảnh xạ 2 Caf ge) > POD xde dinh bai: Vf € (Boo) we Lye X fla {| rõ rằng

thôa mẫn: + Ø = ldy„ và Ø e w= ldz, A diều này chứng tô rằng Ø là song ảnh,

+ Với mới (Á, 8) thuộc GBOOP ŒAAB) = Øvy¿= 0, + 0, - 20,0, = 0, + Úy = 0 + @B

(xen) bài tập 1.3.1) và Œ Áo 8) = Ø, „ = Ú,ổy = AVAB)

2.4.1 «ấy =XŒ! ty y=y+x= -1, và tưỡng Ur:

= -Ì; như vậy 4y =y4

2+2 +y), từ đây x2 + = 3

s0 02 + V)Ê = v9 + 21292 + yŸ, TỪ dây XẾ + VÌ = 7,

24.2 Giả thiết rằng đạc 6 n cha K là # 0 Nếu ø không nguyên tố thì tổn tại |ứ bÌ € ÑỶ

suo cho n= ab, a <n b <n litdd aly 20, bly #0 va (al Ola) = Aly =O du thuần,

Mỗi phần tử của K - {0} có nhiều nhất hai tạo ảnh qua ƒ; vì:

f= fe 2 > CW - VIN + ¥) =O & (y= x hOặC y= -x),

và Ø chí cố một tạo ảnh là 8

Vậy Candy: SEO +l ,tức là: Ca) > 5 CK) +

Theo bài tập 2.2.2, ta kết luận K = E + É, tức là: Vx € &, 3 (6 b) €

Người ta chứng mình (định ly Wedderburn) rang mei thể hữu hạn đều giao hoán,

Trang 15

24.4 Giả thiết tôn tại một thể K sao cho tồn tại một đẳng cấu nhóm

ex leeraox ieee ate xR VĂN

* xY cox Tre? co xe XE,

Vậy ta đã chứng minh Ẩ„„ là một quan hệ tương trong, 6

2) Giả sử (x, x', y) € Œ Vì xy" OX") =

Nhu vậy R„ tương thích trái với luật của Œ

Trang 16

1iơn nữa, tất cả các lớp modulo #„ có cùng một bản số, theo 2) b): vậy:

VEEGR, Card( = Card(@) = Cards) Nhu thé ta duge: Card(G) = Card G/R,) Card(AD (dang thức này thường được gọi là phương, trình lớp) Đặc biệt: Card/7) | Cardia)

4) a) 10 khOng chia het 24

6) VỊ // ¬ K là một nhóm con cua / và của K, nên theo định lý Lagrange Carddƒ rx K) chía hết Cardd7) và chua hết Card(K), Vĩ LÍCE.N(Cardd), Card(K)) = 1 nên suy ra Cardin Ly vậy ¬ K= 1e}

c22 TL 1) ® Theo C2.1 7) đ), £ là một nhốm con của Œ

« v67 yRe = x Rees! =e pay ee

2) © Theo €.2.1 2) a), Ry Hi MOt quan hé twong duomg trong G, tong thich trai voi buat của G, và /ƒ =

« Giả sử (x, 4”, y) € ỚẺ Tả cố

Ry? eo ve € He Oley € He (ayy ory) € Ie yxy, điều nay ching wink

rang A, tuony thich phai voi luật của (7

Nhận xếi > MOU nhém con #? của G là chuẩn tie trong G khi va chi khis Va € Ở, x1! = Hx

Ta có: &wxy) =/0) /G (Q0 !e IP, vi fi) € If và HS GÌ

Như vậy yxy” e / 0P), và cuối cùng / !đP) <Ĩ Œ Đạc biệt: Kor/) <Ĩ Œ

b) © Trả lời: G= @,„, G= Ø, H=©,,/: ©, > ©, xác định bởi /d) = Ud va

ng) = nạ (Xem 3.4.2, Ví dụ và 3) b) trên đây)

c) © ‘theo bai tap 2.2.12 a), /Œÿ) là một nhóm - con của G’

® GIÁ sử x" € ƒUĐ).y' 6 Œ' Tổn tại x © H san oho x” = /Q) và vì / là toàn ánh, nên tổn tại

y €.G sao cho y" = fy) Ta cé: y’x'y"! = fO) fa) GO" = fay") € fUD vixe Uva TG: Cuối cùng: “H) <1 Œ

5) a) ®e€ C(Ø): hiển nhiên

Trang 17

Chương 2ˆ Cấu trúc đại số

b) Giá sử # là một nhóm con của Œ sao cho Card) = ø

ấếu x € /f, thi at =H = thy,

Nhu vay ta da chimg minh: Vx € Gad? = He

2) GIA sit Gh x) € Hx G Viich © xHf = Ix, nen t6n tai & € ft sao cho xh = kx tit dd: (kw! ek eH

vay © 68 tinh ket hop

evaeG =¢ “vay moi phan ti cla C/A có một đối xứng đổi với

Cush cing G/F 1a mot nom

4) a) ® Tạ có, với mọi œ, y) thude G?:

xÂuy S=xy 6 H =0) 6P © V0)” /U) €1? © G0 J/Ð9

diều này chimg minh rang ƒ tương thích với R,va Ry

® Với mọi (4 y) thuộc G*:

Fm) = FOR =F iy) = (ref ktpef Ky)

= (fe roofs piwr= FHLG

vay f 1a m6t déng cấu nhóm

b) Ta da thay (1, 4) a)): Ker(/) <I.G Quan he & xác định trong £ï bởi:

là một quan hệ tương đương, tương thích với luat cla G

“Theo € 1.1 2) ð), tổn tại một ánh xạ đủy nhất ƒ : 8 — ImỢ) sao cho ƒ =is / sp và fla

song ảnh

Cuối cùng, ƒ là một đồng cấu nhóm vĩ, với mọi (x, y) thude 6”:

F eopon =f poy = Œ e Ê s p)0g) = fáy = fori)

=ữ °ƒ s plQod s Ệ s p)Ợ) = ƒ 0G Ệ

Z —E› Zl„g Trong ví dụ, KerV) = 9%, 1m) = Dyn, p 4 Te flatoan anh, va f = 1d

#“tuz > Elan

Trang 18

Chỉ dẫn và trả lời

C23 1 1a) Vì (2g, +, 2 là một vành, nên ((/2/Z, +, -) cũng là một vành (xem bài lập

2.3.6 hoac 2.1.13) Gid sit g € anh ve Fy tacé: PLO = (PN! = PL) vi GOD E (Oly

Nhu the: Ve € (Digg) @ = @ vay (Ei 20)" 4°) là một vành Boole

b) Ta biét rang 2), A, ^) là một vành đảng cấu với (Cin) + 2 (Xem bài tập

2.3.6, khai nidm vé ham dac tung) Ton nia: VA € Pw) ACA =A, vay CBE) A971 một

le yaa bays ye byt eat ay + yx ty, lind xy + yx = 0, 201 thi, vd yt

xy + 0) - (Wx + yx) = 0, VA cubi img: xy = yx

Theo €) (áp đụng cho y = [ox + 1) = 0, VÌ A là vành nguyên, tà suy Tả XE Ú

- Như thế, 4 C 10, 1} Cuối cũng: A = {0} hoạc A = 10, 1]

Điều này chứng tố x + y + xy là phần tử bé nhất trong các chặn (cận) trên (trong 4) của tập hợp tạo thành bởi x và y, vậy Sup(x, y) tổn tại và bằng x + y+ xy

b} & A có tính giao hoán: x A y = xy = YE=Y AX

® V có tính giao hoán: x Vÿ=X + +XÐĐ=V+A + =YM X

® A có tính kết hợp : (xA Yì Az xy)z = X2) = X A (VÀ ?)

47 + 92+ XE =X + (+7 +37) + XỘY +2 + }Z) “AM Ôy V ):

411

Trang 19

e ^ có tính phân phối đối với V:

3) ®(œxvy)*=l+(x+y+x#) = (+3) + y) =AX A y#,

LEA y= OO A YF) = (09 Vy) 1) Srv vi

4)xSy©wzx©l+X+y+x)

= yt sat

l+x*+y+x€©(I++z)(l+y)=l+y 5) x<y Chay ©XY + =Ú € x( + y) =Ú GA y# =Ũ G @A }S)%

©x*vy=l

4) a) Gia sử (x n) 6 A x ẤM tạ CÓ: mự = x © x Sim ©@ SUp(X, m) = m

Mật khác, vì m là cực đại trong 4 - {1} và m < Sup(x, ø), ta có: Sup(x, m) € {m 1} Vay:

+ Ngượể lại cho x € A sao cho (+) = Ø2 Giả thiết x # 0, tức là 1 + x z 1 Vì 4 hữu hạn, tồn lại

mẹ € M sao cho ] + x < mạ (chứng minh rằng, trong mọi tập được sáp thứ tự hữu hạn

(E, <) với mọi z Thuộc , tồn tại ít nhất tội phần tử cực dai m của E sao cho a $m)

TThế thì ta có x € mạ (VÌ mạ é Ø4) VA XE = +x € mẹ, từ đố: ] = # v x* < mẹ, mâu thuần

Điều này chứng tổ: x = 0

se

Trang 20

2) Cho xe Á Ta có, với mọi mm thuộc Mi m € đx*) © (9)* < m & x <m

em £ Ø6x), điều này chứng tổ: do) = G, Good

tirdé: dy ays Gx) 9 Ay),

4) ha v9 OP A v99 Gy goed AD = CECA) CuI

= aye) Udy) = (A) 0 FAO Y (Eu AAD) 9 HYD = ADAH)

vi m, umy déu là cdc cue dai trong A - {1} vam € A- {1}

Như thế, &p*) = (0, my} Ƒ, từ đó đlà toàn ánh

Cuối cũng, ở là một đẳng cấu vành.

Trang 21

Chỉ dẫn và trẻ lời

các bài tập chương 3

3.11 Kỹhieuz=zø-1eN,Ø@=b-LeÑ.y=c-1eNÑ tacố:

ab<cœ a8+ ø+ <yz>d+<y sứ ++24y+1©a+b<c

3.4.2 Néu (x, y, 2) là nghiệm, thì y lễ: y = 2Ÿ + 1, Y € Ñ Phương trình quy về:

19+ 22+ 32» 32" >2, 7" vì (2) > (2) >2 tta đi trước việc khảo sát các phân số)

đi) Với n = 0, 1, 2, công thức được kiểm chứng dễ dàng, Với n 2 3

Trang 22

Chương 3 Số nguyên, số hữu tỷ

“Theo công thức nhị thức Newton:

và bất đẳng thức cuối cùng nay đúng, Vì n + 2, 0+ 3 2n+ 3 đều > 8+2

đ) Với n = I, công thức được kiểm chứng dễ đàng Ta giả thiết công thức đúng với một ø thuộc EÝ Thế thì chỉ cân chứng minh:

(Ủ © tân + 5) > (Ân + 7l(án + 3) © 25 > 2L

Ó) © (ân +5) (4n +9) < (án + 7)” G45 < 49,

3.4.5 Tính chất đúng với n= 2, theo định nghĩa của A Ta giả thiết tính chất đũng với một ø

thuộc Ñ - (0, L, và giả sử A,, 4„ là những bộ phận của £

Vay A 4, là tập hợp các x của £ thuộc một số chấn các A, (1 Si Sn + 1)

in

Trang 23

đun 9) = 0+9)? v>@+y+ DỆ£w=(+W+y+(x+y +1 +) >3):

Vậy x+y>w+v, và tương tự k+V2X+V, VẬY M†VSX

Thế thì, vì @ + yÌ? + y = 0+ 0) +3 lá Suy Tả V=, H X‹

Xem thêm bài tập 3.2.6

BAT « Giả sử Ứ, g) thích hợp

Với x=y= 1, ta được #1) = 1

Với x=2, y = 1, ta được ((2))# = 2, vậy ø(1) = 1 (và #2) = 2)

Với x € N* vay = 1, ta duge: f(x) =x

= 1, ta dược ƒ(x) = x Sau đồ tương tự = h= Tdụ

Nhung thé thì, thay (+, y, z) bởi (2, 2, 1), ta gập một mầu thuẫn

3.4.9 Giả sửƒ thích hợp Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp mạnh theo œ Wa e NE fl) = 7 + Vi H—> Nàng nghiêm ngật và #2) = 2 nên ta có: #0) =0) =

« Giả sử n e R1- {0, 1]; giả thiết: VÉ e {0 #1) /##) = &-

1) Nếu ø + L chấn, tổn tai p € RÄ* sao cho ø + | = 2p, từ đồ:

tn+ 1) = fGp) = f)ƒĐ) = 2p =n+1, vipsa.

Trang 24

2) Giả thiết ø + 1 lê; tổn tại 4 e Ñ* sao cho n + 2 = 24 Vì n >2, ta có g < n, từ đó:

Quy nap theo n = #(E)

'Tính chất là tâm thường với ø = 0, vì lúc đó: E = Ø và 8Œ = (Ø)

Giả thiết tính chất đúng với một n thuộc Ñ, và giả sử E là một tập hợp hữu hạn có bản số n + I Ta xét một phần tử zøcố định của E, Ta có: % (E) =A v 4, trong d6_ A= (Xe P(E); w¢ X) = PLE - (a)

Trang 25

Tén tai mot anh xa o: N-> N sao cho: (in EN,(o(n-+1)> 5(n) Vagina) “Han

“Thế thì ta CÓ: Hạ > „e3 Hựu, + Í 2 Hạn, +23 Vậ: V n € ÑN tạ 3 Hạ, + 22m, mau thodn (chon n= uy + 1)

3.2.4 a) Antixacdm sinh A -> f(A) 1a toan 4nh va A 1a hữu hạn, vậy (xem 3.2.2, Mệnh để 5 2)

x09 fix) f(A) hi han va # (f(A) < #4)

bỳ s ƒ (8) có thể không hữu hạn, như trong ví dụ ƒ:TN-—>N thì 8 = (0),/ 0) = Ñ

xr>0

® Nếu ƒlà đơn ánh thì ánh xạ cảm sinh f£"'@)— B là đơn ánh, vậy (xem 3.2.2, Mệnh để 3 ?)),

xh fix)

ƒ 10 hữu hạn và # (F(B)) S$ #08)

3.2.5 Bằng cách sử dụng f? = Id,, ta chémg minh rang quan hệ # xác định trong & bởi:

là một quan hệ tương đương

Vì (Yx € A, x # ƒ@x)), nên mỗi lớp modolo #, là hữu hạn và có đúng hai phân tử

Trang 26

Chuong3 Số nguyên, số hữu ty

3.2.7 Quy nạp theo n

Công thức là tâm thường với ø = 1, và đã biết với m = 2 (xem 3.2.2, Mệnh để 5)

TTa giả thiết công thức đúng với một ø thuộc N*, và giả sử E, /Z„„, là những tập hợp hữu hạn

Ta có

ile fe) Ase fs

-|Ù#)› #Œzi)— ae, RE)

3.2.9 Néu tén tai (p, g) sav cho p #q vad, =a, thi (p, 4) hoạc (4, p) thích hợp

Vay gid thiét NN > NA don ánh

nea,

‘Tap hop (by; 2 € N} 66 mot phéin tir bé nbit; vay tn tai pp € Nsaocho: Wee N, b, <b,

Vì Ñ — Ñ là đơn ánh, tồn tại g € N sao cho: ¢ > p vaa, Sa,

nwa,

tie 1a: a? < Nv

Thế thì ta có: ø # 4, đụ $ Gy, by S by, Vay (p, 4) thích hợp

3.2.10 Quan hệ £ xác định trong ({1 ,.} bởi: ¿€ÿƒ ©> x = +, là một quan hệ tương đương Ta ký hiệu À = #({1 ,] / €), và X, Ấy là các lớp modulo #, vậy tạ có:

N Ya} = Umea,

Trang 27

“Trọng trường bợp (1) ít nhất p + I số x, x, từng đôi khác nhau

“Trong trường hợp (2) íL nhất p + 1 số x, x„ đếu bảng nhau

3.2.11 L) Giả sử (X, <) là một tập hợp được sap thi ut Ta cheng oun rang mor bd phan

cho y, < y„ Nếu y, khOng phar

éị không phải cực đại (trong 2, tỔn tại vạ € sao,

nn L)ắt -2) và act _ fat Valr= a= 2)

Trang 28

22 Chuong3 Số nguyên, số hữu tỷ

3.3.6 Phương pháp tiến hành như với bài tập 3.3.5,

nl (nl 3.3.7 @)1=][i= | su, trong đó

3.3.8 Quy nạp theo g (với p cố định)

Tinh chất là tâm thường với g = 1

Ta gia thiết tính chất đúng với một g thuộc Ï‡* Ta có:

Nếu tính chất đúng với một w thuộc Ñ*, thì: 3”C,.„ =| Co; [+ Coan =Con tan = Coon

Trang 30

-Chuong 3 — Sé nguyén, sd hitu ty

3.3.16 a) Bat dang thie mong muGn 1a tém thường với ¡

& Giả thiết ¡ < k; ta cổ:

Chứng minh rằng (bằng quy nạp hoạc bàng công thức nhị thức Newton) rằng, với mọi 7 thuộc

ï1 tổn tại A„ trong | XỊ sao cho: Ô + DĐ =X”+1+224,

tử 1 Suy ra rằng số các số nguyên lễ trong cáo C§ (0<8#<n) 42,

€ Teả lời: 2” trong đó m là số các số ! trong biểu diễn 3 trong cơ sở 2 Chẳng hạn với

n= 13=1101, có đúng 8 29 hệ từ Cố (0< &<ø) lẻ, vậy có 5 hệ tử chấn

3.3.18 — Với mọi ánh xạƒ [I a} — {1 j7, ánh xạ

11 #}—>ÑL1, n)) là toàn ánh, và với mọi Ê thuộc {Ó, 1 pred Ch

Trang 31

e Truth? = Cy sun + 2 Sj0, ta suy ra $100 = nine)

Chi y voi p2 Ly SpUN= PRP = LR? vi = 0

3.3.20 4) Việc cho một phần tử của ⁄1, quy vệ:

# Việc cho x; A„¿ sao cho có dúng p trong chting 06 ti L (vay es C,, , dich chyn)

Ta suy ra: Cardy) = C727

Card(A) = Scand as je ŸẲŒ, ak,

Trang 32

3.4.1 rạ 6 Tj (2)=3 VA tee AZ) = Lb vay fis 9 hạ # Ty 9 lạ

3.4.2 Phuong phap the t

'Ta phân tích ø thành những chuyển vị:

«n chân, n= 2p(peÑ*) ØZ ty 9 fp+ Sốc ° Tope từ đó 4ø) = 1

enlễ,n=2p+1@ € N*), = trap ° Bạạp ® óc ® Tạ từ đố e() = (TY

Trang 33

Chỉ dẫn va tra loi 427 3.4.5 a)

Vì các chuyển vị sinh ra Ø, và mỗi chuyển vị phân tích thành nhitng 7, (2 <i <a), ta suy ra

yang {1,52 SiS n} sinh G,

c) Theo b) ry s ñy= (1, 2, và ñ; s z¿= (L, &, 2) = (1, 2, KỶ

Từ đố: ÿ, 9 7= (fụ ° fg)Ö (nạ O RE Tụ * Tụ,

'Vậy ta suy ra từ b) rằng ti ở thuộc „Ä„ được phân tích thành những 7, (3 < í < n)

3.5.1 Tên tại một đối tượng ø không thuộc F Ta ký hiệu G = # +2 {ø\, ZŒ, F) là tập hợp các hàm từ Z đến # Với mọi ƒ thuộc Z5, F), ánh xạ

phân hoạch của (1, ., m + 1) được xác định bởi 3 +L} (chẳng hạn a =n + 1) Việc cho một

e Tiếp theo cho một phân hoạch của {1, , + 1} - 4

Suy ra: Prey = vcr

k-0

Trang 34

opt

cụ,

Chương 3 — Số nguyên, số hữu tỷ

3.5.3 aj Các phân hoạch của {1, # + LỊ thành p + 1 bộ phận là

« một mặt, các phân hoạch có chứa đơn tử {a + 1| (có /⁄,„ phần hoạch)

5 tmạt khác, các phân hoạch không chứa đơn tử Jz + {| (có (p+ HP, „„¡ phân hoạch)

« Việc cho một phân hoạch của I1, ” + 1} thành 2 bộ phận (vậy khác rỗng) quy về việc cho

một cập (Á Đ,,.„y9)) trong đó 4 # Ø, từ đồ suy rả /.,,s sạn ~2)=2"-1

Cong thie Ppp) = ——F— Hien nhiên với n= 2

Nêu công thức đúng với int a (2 2), thi:

Pagan = Prato t Pei 3 =

2) Tập hợp A,„ ¿ là hợp rời nhau của 8,; và A, cụ, từ đỒ đục = Pye Fr

by J) Quy nap theo ø + &, để chứng mình đ, , =

0 eNeun + k=O thia = k=0, Vado = b= Cn

Trang 35

4.1.3 yeu yen, Š tam)

ất là hiển nhiên với ø = 1

Giả thiết tính chất đúng với một # thuộc LÝ Vì

Tính chị

(Sar + PEs Gry - (Šn + L(ễn + 2)(6n + 3)05v + 4) 5đ + 5)

và 4Œ “lận + ])t = (40a940(n + 1), nên chỉ cần chứng mùnh: 8 (58 + L)(ễn + 2JCẤu + 3)(58 +1),

“Trong 4 số liên tiếp Sa + 1, Sa +2, 5g + 3, 5g + 4, có 2 số chân, và một trong hai sô này là bội

4.16 Ký hiệu £„= (£ € li n<&< 0+ 1), Để tổn tại & 6#

cliửa ít nhất ø` số liên tiếp (trong chúng sẽ cố một bột

sao cho #Ẻ L &, chỉ cần Z, 1) Vi Card(i,) = Ur tat nent 1, chỉ cẩn: Vn 2 4.n- nt > n+ 1, diéu nay o6 thé chime minh df dang (bang quy nap theo ñ)

Trang 36

“Thật vậy nếu n = Em, (É, m) 6 0U”, thú: đ” - 1= (ays 2k) Yay 10

Vi dnt xa BH 9 1* 1a dom anh (vi a 2 2), ta kết Jugn dea” - 1) 2 don

ka’ -1

Trang 37

Chỉ dẫn và trả lời — 431

4.4/42 Trường hợp thứ nhất: klẻ.&=2/+ 1 £11

£ Y`

The thi: m= dydy = đẩy =c = đá, š= để, từ đố: lũ | = [Jada a ry} GL

Trường hợp thứ 2: & chân, tương tự

Trang 38

Chương 4 = Sd hoc trong <

k) Gia sit (x y) thich hop

Vi 3* lý nên y chấn, vậy (xem bài tập 4.1.1) yŸ = 1 [8]

Mặt khác, nếu x lẻ thì 3*' = 3[8J, mâu thuẫn Vậy x chải

tye, SATE Bat 1) = 40, + | + Ần) cần - 4 = 4n, + 9N =0[9|

Ta có thể giải các ví dụ: b), đ), g), j, 1), K), n), s}, Ö (leo cách này

u) Ký hiệu ụ = 3, BÍ?” + Ciốn - 54)9! - A200 - L44n + 243,

Tacd: 1, =(3 9" + (40n - 29" + CBA - 9) = 64a, Bn

Trang 40

Chương 4 Sé hoc trong

Syste cho y= 3Ÿ, và: Sx? - 21? = 3, Tường tự,

to cho 4 = 3X, và: L53Ê - 7Y?

e) Nếu (x, #) là nghiệm, chuyển qua modulo 3, ta suy rast

-L |3I, như ta thấy rõ khi tách ra các trường hợp

Ð Giả thiết tổn tại một nghiệm (x, y)

Rồi v|2x+y~2 - vậy 2x+v-2 € fy 29]

Lì Nếu 2c+y-2= y, thì x= | vaz

Tiêu đề	Tài liệu Giáo trình đại số và 600 bài tập có lời giải P5
Trường học	Đại Học Sài Gòn
Chuyên ngành	Mathematics
Thể loại	Giáo trình

Định dạng
Số trang	100
Dung lượng	1,48 MB