Tài liệu Giáo trình đại số và 600 bài tập có lời giải P4 doc

T,,KÁO là một đại số con có đơn vị của đại 2 Dac biệt, các hạng tử chéo của một lñy thừa của một ma trận tam pide là các lũy thừa của các hạng tử chéo của ma trận dé: ne... | NHAN XET:

82 ĐổỔicơsở 291

8.2.4 Déi cơ sở đối với một tự đông cấu

Mệnh để sau là một trường hợp dạc biệt của Mệnh để 8.2.3,/)

+| Mệnh đề 1

Cho Ela mot K-kgy n chicu

2 là hai cơ sở của E, P = Pass(Z, 4°)

fe LL), A= Mau), A' = Mat, ()

Thế thì:

PAP

® Định nghĩa 1

Cho A, B € M,(K) Ta ndi A déng dạng với 8, và ký hiệu A ~ 8, khi và

chỉ khi tdn tai P € GL,(K) sao cho: B= PAP

Giả sử A ~ B Tên tại P e GL„(K) sao cho 8 = P'AP, nên (xem 8.1.9, Mệnh để 2)}:

trợ) = trự?!(AP)) = tr(APJP”) = tr(A)

20 - ĐS1

32 ChươngB8 Matran

NHẬN XE!

1) Hiển nhiên ràng nếu hai ma trận vuông đồng đạng thì chúng tương đương

2) Nhung (cu ø 2 2) hai ma wan tương dương có thể không đồng dang, chẳng

8.3 Các ma trận đáng chú ý 8.3 Các ma trận đáng chú ý

$.3.1 Ma trận đối xứng, ma trận phản đối xứng

rong § 8.3.1 này, ta giả thiết ràng 2.1„ # 0 Cương đĩ 1, là phần tử trung hịa đổi

với phép nhân); như vậy 2 (dược đồng nhất với 2.lz) cĩ một nghich đáo trong & ký

Một ma trận vudng A thudc M,(K) duoc goi !& di xtimg Kkhi va chi khi'A = A

“Ta ký hiệu tập hợp các ma trận đối xứng cấp ø với hệ tử trong K là S,(K) +| Mệnh để 1

Chẳng hạn, với 2=2 (@ ote MG (Beet cot a 84) ma tran

đối xứng cấp 2 viết được một cách duy nhất dưới dạng | “ ©) rong 46 (a b, d) € K”, Bln ad nentata: af) 9Ì ¿[0 9) „(0 0Ì ừ 0 Áo 1Ĩ ữ

2) Nếu n >2, tích của hai ma trận đối xứng cĩ thể khơng đối xứng, như trong ví

2) Nếu ø > 3, tích của hai ma trận phản đối xứng có thể không đối xứng , không

phần đối xứng , như trong ví dụ sau (Với n = 3) :

1 GO O10 0 0I=l10 0 -IỊ

1) Giá sử A e S,(© (1 A,(K) Thể thì ta có ‘A = A

vậy A = 0 Nhu vay: $,(K) MAK) = 10

„iM+ ‘My £8, 0.5 (M - "MEA, (KY

Điều đó chứng tô : §,(K) + AA) = M,(4)

Đối với AZ e M,(K), ma trận đối xứng om + 'M) duge gọi là phần đối xứng cúi

&, và ma trận phản đối xứng 3 (8í - '') được gọi là phần phản đối xứng của M

"Ta chú ý ràng có sự tương tự với

(Tap 1, 4.1.3)

ác khái niệm phần chăn và phần lẻ của mot ham số

8.3.2 Ma tran tam giác

Chore EY

@ Dinh nghia Cho 4 e MU)

1) Ta nói A là tam giác trên khi và chỉ khi :

T,,(KÁO là một đại số con có đơn vị của đại

2) Dac biệt, các hạng tử chéo của một lñy thừa của một ma trận tam pide là các lũy thừa của các hạng tử chéo của ma trận dé:

ne

8.3 Các ma trân đáng chuý 297

+| Mệnh để 3

VA € TAK) GLAK) AT € T, (8)

Chứng mình,

Gid sit Ae T, (KN GLA)

Theo Ménh dé 2, v6i moi Af thude T,,(K), AM thuộc T,,(€), điều đó cho phép tạ xót anh xa f,:'T,(K) > TAK)

$| Mệnh để 4 Gidsit A= 9 ` <T,,œ)

Gan Tacé: AE GL, (KO Wie (1, , a), #0)

Hon nita, néu A € GL, (K) thi cae bạng tử chéo cia AT 1a nghich dao cla cdc hang tit chéo ctia A:

aon mm —H*%

© 8.3.3 a)Chứng tổ rằng of | Œ, xa) là một nhóm nhân

b) Tìm tâm của Œ, nghĩa là tìm (A e G; VM eG, AM = MAI

©+ 8.3.4 Xác định hoán tập của T„,(Œ©) trong M,(K), nghiia là xác định tập :

(AeM,@(;VTeT,(Á), AT =TAJ

8.3.3 Ma trận đường chéo

Chon € N*

@ Binh nghia Một ma trận vuông A = (4/);<„„„ thuộc M,(K) được gọi là

ma trận đường chéo khi và chỉ khi:

V(/) e(1, ,n}, Œ#j>a;=0)

Ta ký hiệu tập hợp các ma trận đường chéo cấp n với hệ tử trong K là

DK)

Voi moi (A, ., 4,) thudc K”, ta ký hiệu ma trận dutng chéo thugc M,(K)

có cdc hé tir chéo Aj, ., Ayla diag (Ay, „}:

diag amr =] `,

en NHẬN XÉT : T„„Œf1T,„Œ = D, (4).

2) Với mọi œ € K, (Â, Â,) ụ € KP" (0u ) eK" lacé:

gdiag(3¡, „) = diag(eÃi đ„

điag(k „ ) + diagữn, 2/0) = đìng(ị +

địag(Â ¡, Âu \IAg0n J = diag(Ay hp Andl a)

“Từ đó suy ra, bằng quy nạp theo k rang v6i mgt EE HF Anna) € Khi

(diag (Ay Ad = diag(At, A

ộ 8.3.5 Xác dịnh hoán tập của Đ,Œ) rong Mụi

{Ae M(Ky VD € DAK) AD = DAY

Chương8 Ma tran

Bồ sung

0 C841 Một bất đắng thức vẻ phép đếm thiết lập bằng đai sở tuyến tính

1 Giảsu neM-(0.1].0, d,„ 6 By saocho: Ví €|l, d], 4>

Giả sử chỉ tồn tại nhiều nhất một chỉ số ¡ thuộc [1 , 0] sao cho œ= Ø

là một họ gồm n hộ phận của /? khác nhau lừng đôi một

Vũ € (1 HIẺ, cứ #j => Card f] Aj'= /)

Vi e [l, p], VÀ € K, VA\c€ È), , Tye hy, ý, VU, € lạ, OOK, cee Nias ANH Vie Mints oe My) = ÂØ CN, cài Âu cy Met PN ee Vi cee MD Nếu có thêm # = K, thì ta nói g 14 mot dang p - tuyén tinh

9.1.2 Ánh xạ đa tuyến tính thay phiên

Cho E JA mot K-kgy vap e 8’

$ Định nghĩa Một ánh xạ p - tuyến tính @: È” —> F duoc gọi là thay

phiên khi và chỉ khi, véi moi cap (i, 2 thuộc {l, , py’ sao cho i # j, va với mọi (x,, x„) thuộc F?: x4; =x, > AX wp) = O

Nếu có thêm # = K, thì ta nói @ 1a mot dang p - tuyén tinh thay phién Nói cách khác, ø là thay phién khi va chi khi g (x,, ,x,) bang khéng véi moi bd p phin ti (4, .,x,) c6 chifa it nhat mot phda ut ldp lai

NHAN XÉT:

‘Yap hợp các ánh xạ p-tuyến tính thay phiên từ £” đến Ƒ là một kgvc của 4¿(E ,E;F)

+| Mệnh để 4 Một 4nh xa p -tuyén tinh g: E” —> Ƒ là thay phiên khi và chỉ khi:

VơcØ,, Vậu, v.) € PP, Ø(XausesXee) = 2(0)0 Gá,ả v)-

'Ta nhác lại (3.3.1, Ký hiệu) rằng Ø, là nhóm đối xứng với chỉ số p, tạo nên bởi các

hoán vị của {1 p], và với mọi ø thuộc Ø„, z(Ø) chỉ dấu của o

Ching minh

1) Trường hợp một chuyển vị

Giả sử ŒJ) e (1 p]?, ¿ < ÿ ; ký hiệu tụ, là chuyển vị đổi chỗ ¡ và j và giữ nguyên

các phần tử khác cia {1, ,.p} (xem 3.4.2, Định nghĩa l)

Vi ø thay phiên nên ta có:

AK renee Kine NEE Gp Xin sa 1L Xi + Mp Mins oy Mp) =O

do đó, bàng cách khai triển theo tính chất da tuyến tính :

GK ye Xp ee Xi recep) FUR pees Ke pee NjpeeeeMip) + AL per eXpreerXireeeXp)

F ALi 2K ek eek) HO,

và do đồ Ø3, 3,s-us-sAg) # Tổ Xe Äuese ÄjeeoĂp) +

Điều đó chứng tổ: Ø(+x; yee Xq,(p)) = AIP Oreos Xp)

981 Ánhxatuyếntính 303 2) Trường hợp tổng quát

Giả sử øơ e Ø, Theo 3.4.2, Định lý 1, ơ được phân tích thành một tích những

chuyển vị; tồn tại M e ïT` và những chuyển vị ơi, ơy sao cho ơ= Ø,s s ơy; hơn

nữa £(Ø) = (-L)Ễ

Bằng cách lặp lại kết quả của L), ta được:

ØŒsays ao) = ~ Ø [gu «dd, «or }

Pmt) = apo

isl

Xp XO,

vì mọi bộ-p (u„ x„, x;) đều có chứa một phần tử lặp lại

+|Hệ quả Nếu p > dim (E), thì ánh xạ p - tuyến tính thay phiên duy nhất

từ E đến F là ánh xạ không

Chứng mình :

Mọi họ p phần tử của E đều phụ thuộc tuyến tính

Chương 9 Định thức, hệ tuyến tính

9.2 Định thức của một họ ; vectơ trong một cơ sở của một kgv n chiều

Cho a 6 ÑÏ, £ là một K-kgv n chiều

9.2.1 Không gian A,(F)

Giả sử 2= (e,„ c„) là một cơ sở của E

1) Cho §= (V,, V,) € ÉP và, với mỗi j thuộc {1, ], (4 ;Ö; cụ, am © K" S00

9.2 — Định thức của một họ n veclơ trong một cơ sở của một kgv n chiều YAV nV, + Vn

Tirds say ra FV eV) SY ed Dy ZAM ead) SO HV seedy) = 0 GÌ

K có đạc số # 2)

« Ta chứng 13 ring Y# 0

4 Véi mois thude {1, 0}, dạng phân tích của ø, trong cor sé 4 Ree; =

trong đó ở, „ là ký hiệu Kroneckcr, Do đó #2) £ SOW gun Satain = bi

ack, nếu ø # ld,, „¡„ thì một trong cde nhin tir d,,, (1S 7S 4) phải bàng ©

Ta tóm tắt sự khảo sát trên dây:

+|Định lý - Định nghĩa Tâp hợp A,Œ2 các dạng ở - tuyến tính thay

phiên trén mot K - kav 7 chiéu (= 1) 1a mot K -kpv [ chiều

Chương 9 — Binh thie, hé tuyén tinh

Nói cách khác, với mọi cơ sở ⁄ của E, các phân tử của A,(É) tỷ lệ với det„

Giá sử @ 6 A,(), 2 e BŒ2 Vì đeU, sinh ra A,(/), nên tổn tại œ € K sao cho

@= adet,„ Đặc biệt 9 (4) = adet,(4) = a, do db = ø= Ø(/29ảeU, nghĩa là:

YS © EY, lS) = (A) det AS)

1) Be nhớ công thức trên, ta chú ý đến sự tương tự dối với hệ thức Chasles

(B'S = BB+ BS) , hoac phép tinh vé cde phan thie (š-z3): màn

2) V4,2', 4" e BŒ0, đe = det, (B 4e)

3) Đạc biệt, nếu lấy 3” = 2 trong kết quả trên:

VB Be PE), (đe +0 và de) = (deu()")

2) Nếu Š độc lập tuyến tính thì vì Š có ø phần tử, nên S là một cơ SỞ của #2, và do

vậy (xem Nhận xét 3 trên đây): - dcU(S) z0

9.3 Định thức của một tư đồng cấu 307

9.3 Định thức của một tự đồng cấu

¿ là một K-kgv chiều,

Hiển nhiên ánh xạ © (fx J): EY -> K xde dinh hoi:

là ø- tuyến tính và tbay phiên

Vì A,@) có số chiều là ] và ø> 0, nên øsinh ra A2, do vậy tồn tại ở € K sao cho:

90 ( fix x2) = ag Ta ching 16 rang ø không phụ thuộc g

Giả sử #6 A,) - {0} Vì ø sinh ra A2), nén 16n (ai 2 © K - {Of sao cho = Ay

Kini đó ta có:

Wox xÐ= (ÀØ 9 xix f= Ale of x fh) = Mag) = aig) = ah

Điều đó chứng tỏ ràng œ không phụ thuộc việc chọn @ trong A,2 - {0}

'Ta tóm tắt việc khảo sát trên:,

h để - Định nghĩa 1 Với mọi ƒ thuộc Z2), tổn tại duy nhất một

ân tử ø e K sao cho: Vớộc Áj), @sCfx x/D= độ

I Vfe LED, Vp ALE) VY Vy) € /2

OPO) AVY = det) 9 VV)

2) Vơ e K.V/e /(), det(af ) = ø' đet)

3) Vig € LE), det(g of) = det)det( )

4) ve LUD, Ff € ¿/Œ) © det') z 0)

avi © GLUED, def) = (det 3)”

3) det(g of) = dety (off (A) = det(g) det, (A) = der(gndety/)

+ (f € GLE) [Be ME)) = det, (f(A) # 0 © đẹt (f) # 0

5) Gid sit fe GLP) Ta c6: det(f \det(f"') = dete of 7) = det(Id,) = 1,

vay det(f") = (defy

NHẬN XÉT: Trong phép chứng minh trên, ta đã ký hiệu: f(A) = e,) /te,)) ảnh

này cũng có thể ký hiệu là ÿ x x 29

a

Tl ect, +0 Didu 6 ching (6 ring tổng Se agqays Form được rút về

(các) hạng tử ứng với g sao cho : Vj € {11, 1, OG) Sf -

Với một ø như vậy, ta có ø(1) < 1, nên ø(1) = 1, sau đó ơ(2) <2 và ø(2) # ø(1) = 1, niên ø(2) = 2, Rõ ràng là với mọi j thuộc {, ”' ~k },nếu (ø(1) „Øø)=¿) thì Ø0 + 1) =j +1, vì đữ +1) <j +I và đỤ +1) £{1, /} Như vậy, hoán vị ø duy nhất

A thỏa mãn (Vj e(1,„ ,}, ø 0) < j) là hoán vị đông nhất, do đố: det(A) = Tl aj;

Jel (xem 9.6 dưới đây, Mệnh đề)

2)Vøe K, VÀ e M,(K), det(aA) = a'det(A)

3) W(A, B) € (M,(K))?, det(A B) = đet(A)detÐ)

Vì trong K phép nhân giao hoán, nên khi sắp xếp lại theo chỉ số thứ hai, ta có :

4= zped) “8ø Votnbetn P Sa" Fema với mọi ơ thuộc &, , va do vay:

deta) = YO) rey enn *

oct,

Cuối cùng, vì Ø, > ©, là một song ánh bảo toàn dấu (nghĩa là :

shot Voe &,, Aa") = o)), nén ta được:

detŒA)= S)£()ø;up -2r@j„ = de(4)

reÐ,

NHẬN XÉT:

1) Từ tính chất 3) ở trên, bằng quy nạp dé đàng suy ra:

VA eM,(O, Vk 6Ñ °, det(A9 = (de(A))

2) Từ nhận xét trên và tính chất 5), ta suy ra:

VA € GLK), Wk € 7, det(A') = (det(4)}!

9.4 Định thức của một ma trận vuông 311

3) Néu A e M,@) là lấy lĩnh, thì tôn tại k e 1" sao cho AS = 0, non

(dewayy = deta) = 0,

vado vay: det(A) = 0

4) Néu A M,(K) là phản đối xứng và nếu z ló, thì:

det(A) = detCAy = det(-A) = GC D'det(Ad = - det(A),

ay Ching minh: VA Be M2) (AB = BA & det(A? + BỀ) >0),

bì Cổ hay không: VA B € MCE) deta? + 8) 207

đet(A) = 5) £(0)0adi#øt2i24ettyA

oc,

Vì S, = {Id Hy, Ta tạy, % C}, trong doo = 231 We=l „ tiên ta được:

et(A) = yy dạy đạy T đại địa địy * đại địa đị dị địa as day tay † đu địa địa

'Ta có thể nhóm lại, chẳng han theo cách sau:

det(A) = 4,,( 4x, Jb edgy sen; dạy + 8y đa }# đại địa đại ~ Erg)

« GIÁ sử A = (2),e Mu“)

Đạt 4= (e,„ e„) là cơ sở chính tác của M„,(K3:

95 Khai triển theo một hàng 313

Chương9 Định thức, hệ tuyến tính

Đặt 8` = (P„) » t8 có:

bụy nếu v<mø—1 PE„= {1Ó néuuaven

Rõ ràng ánh xạ {Ø € Sonar) > ,,,, trong đó p duge xác định bởi :

A) là định thức cấp n -1, 4, nhận được bằng cách trong A bo di dong

thứ ¡ và cột thứ j:

ij địa sỉ đi1jn đ1j#L đi nn

9.5 Khai triển theo một hàng 315

2) Với mỗi (ïj) thuộc (1, ,:}” phan phụ đại số của vị trí (//) trong A (hoặc theo cách nói lạm dụng : phần phụ đại số của a, trong A), ky

hiệu là A,, là tích của (-L)”/ với định thức con cia vi tri (/,/) trong Á :

Ay= Cl) Ay | NHAN XET:

Các phần tử của Á nằm ở đòng thứ ¡ và các phần tử nằm ở cột thứ / không tham gia

Hàng của một ma trận hay một định thức, là mọi dòng hoặc cột của ma trận hay định thức đó

e|Mệnh để (Khai triển định thức theo một hàng)

Gia sit A = (a,), € M,(K) Ta cé:

1)V/e{1, m}, det(4) = Đa, A, (khai trién det(A) theo cét thi j )

i=l

2) Viefl n}, det(A) = Say (khai trién det(A) theo dòng thứ ¡)

A Chứng mình :

1) Xem trên đây

2) Áp dụng 1) vào !4 thay vì A, ta sẽ suy ra 2)

1) Để tiện thông thường ta khai triển một định thức theo một bàng nếu hàng đó

có íthạng tử khác không (nhiều hạng tử bằng không)

2) Trong việc tính toán bằng số các định thức, có những phương pháp nhanh hơn hẳn phương pháp khai triển theo các hàng

Chương 9 Định thức, hệ tuyến tính

9.5.2 Ma trận phụ hợp

Cho ne N’

¢ Binh nghĩa Cho A = (¿„); < M,(K) Ma trận phụ hợp của A là ma

trận vuông cấp ø, ký hiệu là com(A), được xác định bởi:

Án Ain )

com(A) = (Aj) =|! tị,

An 7 Aan trong đó A„là phần phụ đại số của vị trí (7 ý) trong A

Một mật, det(B) = 0, vì 8 có hai cột bàng nhau

Mạt khác, nếu khai triển det(B) theo cột thứ È, ta sẽ có:

det(B) = Yb Bu = Yay Ay»

9.5 Khai triển theo một hàng 317

Ap dụng kết quả này cho !4 thay vì A va nhan xét rang com(‘A) = ‘com(A) và

đetÈ4) = det(A) (xem 9-4, Mệnh để 2, 6)), ta được:

A.‘com(A) = det(A)l,,

và chuyển vị kết quả cha trang tritée: ‘com(A).A = det(A).L,

Ta phat bidu kết quả đạt dược:

Ta có kết quả tương tự đối với các dòng

Gọi 2 =(e,, e ) là cơ sở chính tắc của M,, (K) tạ có:

det(B) = det, (c Ct Yagey ws * |

Cũng có thể chứng minh kết quả trên từ nhận xét rằng: / =AFF trong đó:

và sau đố (ma trận tam giác): det(?3 = 1

Chueng 9 Định thức, hệ tuyến tính

4) Thay thế đồng thời nhiều cột

Gia sit A = (@,)y € M,ŒO, Cụ, C„ là các cột của A Ta sẽ chứng mình rằng có thể

thay trong Á mỗi cột bởi tổng của cột đó với một tổ hợp tuyến tính của các cột ứiếp

theo mà không làm thay đổi det(4)

Với mỗi k thuộc {2 ,"], XÉt đ~ đ,¡€ K

Xét ma trận 8 nhận được từ A bang cách thay:

Ta không làm thay đổi giá trị của một định thức khi thay (đồng thời) mỗi cột

bằng tổng của cột đó với một tổ hợp tuyến tính của các cột tiếp theo

Tương tự, bằng cách sử dụng phép nhân sau 4 với một ma trận tam giác trên:

Ta không làm thay đổi giá trị của một định thức khi thay (đồng thời) mỗi cột

bởi tổng của cột đó với một tổ hợp tuyến tính của các cột đứng trướt nó

"Ta có những kết quả tương tự đối với các dòng

đại đạ đ23| = địđạađsa ~ đau; đạy * địyay +

dị 232 3x

- #024; + địiaịth: Ý địiigđạa (xem 9.5.1, ?))

Neun=% Vaan a= |} ay Gl e}l mo Xi T32

Lựa xf Loxgexy XẾTXI3ã

ta đã khai triển theo dang thi nhất, sau đó nhân tử hóa trong mỗi đồng

Nhu vay ta duge: Vj.) = [ Ten | on)

Chuong 9 Định thức, hệ tuyến tính

ahe

9 9.63 GidstA=|d e f] eM,(R

g hk 4) Chứng mính rằng không thể có:

phần tử trong mỗi cột > 0

ich cac phan tử trong mỗi đồng (của 4) < Ö và tích các

b) Chứng mình rằng không thể có: sáu số hạng của đetG1) = deÉ + ý + cdh +ccegh+ (aff) + (- bak) déu > 0

Gia si A = (a), € M,C) trong d6 4;

99.67 Giảsữn € N*,/1à một Kkevachidu YU, É,/€ {Œ9, 2 là một cơ sở của

9.7 Định hướng một không gian vectơ thực hữu hạn chiều 327

chiều

Giả sử n € Ñ*% và E là một 'ã-kẹv n chiều Ký hiệu ð(#) là tập hợp các cơ sở của Z

& Định nghĩa 1 Ta nói hai cơ sở và Z của E là :

e cùng chiêu khi và chỉ khi : det„(2”) > 0

« ngược chiều nhau khi và chi khi det, (4’) <0

Vì `3 được sắp thứ tự toàn phần va véi moi co so 4 va 4 của E, de, (2) z 0, nên hai

cơ sở đã cho hoặc cùng chiều hoặc ngược chiều nhau

Goi 21a quan hệ xác định trong B(E) bai:

VBA’ e RE, (BRAS dety(B)>0)- Quan hệ Z€ là một quan hệ tương đương trong BŒ) vì với mọi ⁄, 27⁄2” thuộc BE):

«det,(2) =1 >0

+44 deu(2)>0 = det, (4) = (dety (BY'>0 => BRE

lon © so” det p(B) = det, (8?) deu (2) >0 = 2K 4“

Vì /2 - kạv E là hữu hạn chiếu, nên nó có ít nhất một cơ sở ⁄#, = (@¡, €;); XẾC 4= (cếi, £2„ e,), đó là một cơ sở của E Vì del„ (8; } = -1 <0, nên Z, và 44; ngược chiêu nhau

Gia sit Ze B(E)

« Nếu det, (2) > 0, thi 4 R 4

= Nếu det, (2) < 0, thì det,(A) = deta (4, ydet, 0= -ảeu,(2)> 0, do vậy 2, € 4 Điều đó chứng tỏ BŒ) có đúng hai lớp tương đương modulo #, đó là lớp của ⁄2, va

lớp của ⁄4 Do đó ta có định nghĩa sau:

$ Định nghĩa2 Định hướng E là việc chọn, trong tập hợp B(£) các cơ

sở của E, một trong hai lớp tương đương modulo quan hệ “cùng chiều" Các

cơ sở thuộc lớp này được gọi là thuận, các cơ sở khác (các cơ sở thuộc lớp kia) được gọi là nghịch Khi đó ta nói E là một :§ - kgv định hướng

Ta quy ước cơ sở chính tác của '#" là thuận (điều đó tương đương với việc

chọn một hướng trong 1)

Chương 9 Định thức, hệ tuyến tỉnh

Cho f e2/4E) Vì det/) z 0 nên ta có: det(/) > 0 hoặc det() < 0

Cho 2 6 Œ)

« Nếu det(f) > 0, thi det (f()) = det(/) > 0 và vì vậy 2 và ƒ cùng chiều

e Nếu đe(() <0, thi det (f() = det) < 0 và vì vậy ⁄2 và ƒ(⁄2 ngược chiều nhau

Từ đó ta có định nghĩa sau: `

+ Định nghĩa 3 Giả sử/e GLACE) Ta néi rang:

© ƒ bảo toàn hướng (hoặc: là thuận) khi và chỉ khi: det(f) > 0

« ƒ đối hướng (hoặc: là nghịch) khi và chỉ khi: đei@ <9

9.8 Hangvamatrancon 329 9.8 Hang va ma tran con

Nhắc lại về hang

Chúng ta đã định nghĩa:

® hạng của một hợ hữu hạn phần tử Z của một K-kgv E:

rank (A = dim (Vect(A), 6.4, Định nghĩa 3

® hạng của một 4nh xa tuyén tinh fe LE, F)

rank (f) = dim (im), 7.3.1, Dinh nghia

® hạng của một ma trận A thuộc M„„(K):

rank (A) = rank (Cy, .,C,) 8.1.6, Định nghĩa

trong đó C,, ,C, Ya cde cột của A

Các khái niệm này có liên quan mật thiết với nhau :

* Hạng của một họ hữu hạn phân tử Z của £ cũng là hạng của ma trận có các cột được tạo nên bởi các thành phần của các phần tử của Z trong một cơ sở của Ẽ

œ Với mọi cơ sở 2 = (2,, e„) của E, hạng của ƒ e ⁄{E, F) la hang cha ho Gere; eu và cũng là hạng của bất kỳ ma trận nào biểu diễn ƒ

« Hạng của một ma trận A thuộc M, „ (© là hạng của bất kỳ ánh xạ tuyến tính nào được biểu diễn boi A

Cuối cùng ta nhắc lại định lý về hạng (7.3.1, Dinh ly 1) :

vee LE, F), rank (f) = dìm E ~ dim (Ker ()) "

© Định nghĩa Giá sửŒ,p) e Œ°)°,A= (a)yeM,„„ŒO, (w, 9) e GÙỶ, Œ, ) 6 {l, , n}" sao cho Ì < < ÿ

Ẳ „J) € {1, ,/p}' sao cho j, < </\-

Ma trận con (hoặc : ma trận được trích ra) của A, bằng cách sử dụng

cdc dong jj, ., „và các cột j¡ „ /, là ma trận (ø¡ „)¡</<„ thuộc M „„(K)

xin

Chuong 9 Định thức, hệ tuyến tính

VÍ DỤ:

A Triển bi N ni II a f Lạ coace|2Z P Z J0 01/08/2060 i

B 1a mot ma tran con vudng ctia A, @ 1A cap của # và giả sử ø > z

Ký hiệu ¡¡, ,¡„ ( < < i„) là các chỉ số của các dòng của A được sử dụng dể trích ra Ö, vị, v„ là các cột 8 (trong M„ ¡()), V,, V„ là các cột của A được sử dụng để trích ra 8 (rong M,,()) Vì z>z, họ ( „ „) phụ thuộc tuyến tính

a Tôn tại (A, , 2a) € K“- {(0, , 0)} sao cho 3” A;V; = 0 Do dó, nếu chỉ lấy các dòng

e,) là cơ sở chính tác của K”, ⁄ ° = (, /„) là cơ sở chính tắc của

à ánh xạ tuyến tính được biểu diễn bởi A trong các cơ sở ⁄2 và ⁄Z

Vi rank (f/) = rank (A) =r, nén t6n tai i, , ., i, € {1, ., p} sao cho:

ñ <<, VÀ Œ (6,),. „ (6 ))- là một cơ sở của Im(/)

Bàng cách hoán vị các cột của A (điêu này không làm thay đổi cả z lẫn s), ta có thể quy về trường hợp ¡¡ = l, , i, =r