Tài liệu Giáo trình đại số và 600 bài tập có lời giải P3 ppt

Chương 5 Đa thức, phân thức hữu tử ¢| Dinh ly Su tén tại và tính duy nhất của phép phân tích một phản thức hữu tỷ thành phân thức đơn giản 2 Thực hành phép phân tích thành phân thức đơn

54 Phânthứchữutỷ 191

X?-2X+I Dưới đạng bất khả quy: Ff = ang Wy: xã

Mới hàm ƒ từ K vào K sao cho tồn tại một phân thức hữu tỷ #' của KÕO mà / = # được gọi là hàm hữu tỷ (rong K)

VÍ DỤ:

: Œt ~x> '- là một hàm hữu tý, đó là hàm hữu tỷ liên kết với phân thức hữu tỷ ——- T 6 ý ý P Ya

Chung munh rang phuong tinh 2,09 = có íL nhất tiột nghiệm trong [E21 o

Ô 5.4.2 Chứng mình rang không tổn tại £ thuộc K(X) sao cho aX

PCV oR

0 5.4.3 Cho? © JEIX], 6 bac a € i! sao cho: P(-1) #0 va — " S

%2

- Chứng mình

ràng #? có ít nhất một không điểm: với nodụn 2 1,

5.4.2 _ Phân tích thành phân thức đơn giản

1) Khảo sát lý thuyết

Độc giả có thể bỏ qua phần khảo sát lý thuyết này và thừa nhận kết quá về sự tổn tại

và tính duy nhất của phép phân tích một phân tích hữu tỷ (Định lý) thành phân thức đơn giản

Mục đích của §1 này là phân tích một phân thức hữu tỷ thành một tổng các phản thức hữu tỷ "đơn giân hơn", nhằm cùng với các phép tính khác, tính các nguyên hầm của phân thức hữu tỷ này (Lập 2, 9.5) và để tìm phân tích thành chuối nguyên của

phan thức hữu tỷ này (khi nó không có cực điểm là số 0; xem Tập 4, 5.5.2, Mệnh dễ 4)

+|Bổ để 1 Cho £ © K(X), (A) € KIX] x (K{X] - {O}) sao cho: F

Tén tai mot cap duy nhất (77.8) thuộc (KIXI) sao cho:

I ere và deg(R) < deg(S)-

Hơn nữa, nếu 4 A Ÿ= I, thì ® A §= 1

Đa thức ƒ được gọi là phản nguyên của #; phân thức hữu tý £ aoi khi được soi là phản phân thức của /°

Chương 5 Đa thức, phân thức hữu tỷ

Chứng mình:

1) Tôn tại

'Theo phép chia Euclide A cho Š, tổn tai (E.R) € (K{X])° sao cho:

A=SKE+R và deg(R) < dcg(S), từ đó thu được kết quả cần chứng mình

Ttơn nữa, theo thuật toán Buclide, nếu Á A S= 1 thì & A #= I

2) Duy nhất

Ry -R

ST deg(E, - E) = (Ry - Bz) - deg(S) <0,

do đó £, - E,=0, E,= Ey R) = Rp

GiA six (E,,R,), (Ex) thich hgp Thé thi Ey vay:

Quy nap theo #

® Tĩnh chất là tầm thường với ø = 1

« Trường hợp n = 2

Theo định lý Bezout, vì Š, ^ Š; = 1, nên tổn tại (,,U;) € (KiX] sao cho

A_— A(SUy+S¿U;) _ AU, | AU,

5.4 Phanthdchituty 193

Bay giờ ta sẽ kết hợp các bổ để 1 và 2 để thu được kết quả sau dây

@e|Bổđể 3 Cho A € KIX} 1 e HT, Š, s2 5, © KIX - {0} sao cho

&, Š„¡ nguyên tố cùng nhau từng đôi Tồn tại (E, Ry, Ra) & (KIXD™

duy nhất sao cho:

deg(,, ) < des(S,)

Ký hiệu E = £, + + En, ta được kết quả mong muốn

2) Duy nhất

Quy nap theo 2

Trường hợp ø = 1 thi ta đã thấy (Bồ để 1)

Nhung mat khác: deg(P› - R,) < deg(S))-

Ta suy ta P, - R, =O, P, = R, rồi cũng tương tự P; = R, và cuối cùng D=E

thiết tính chất đúng với một ø thuộc Ñ

Giả sử E, R,„ R,„„ Ds Proms Pons € K[X] thỏa mẫn:

Chuong 5 Đa thức, phân thức hữu tỷ

@|B6dé4 ChoA € K[X],S € K[X| sao cho deg(S) 2 1, œ ei

Tén tai (E, C), - Co) © KIX)? duy nhất sao cho:

Quy nap theo @

« Trutmg hop a= 1 thi ta thay (Bd dé 1)

« Giả sử tính chất đúng với một @ dhude 1; vay t6n tai £,,

Aone Coot fatty, pod

Vje(I, 0), degC j41) <deg(s)

Theo Bồ để 1, tồn tai Z, C, € K(X] sao cho:

5.4 Phânthứchữutỷ 195 'Vậy ta có:

2) Duy nhất

Quy nap theo a

« Trường hợp ø = ! thì ta đã thấy (xem Bé dé 1)

« Giả thiết tính chất đúng với một ø thuộc !°

Giả sử E, Cụ„ Cxa, Eạ, Dị Dạ K[X] sao cho:

A 2k, +letly bi ~ fast Ey+ Das gel jeep Sb Dy §

gat

- deg(C ;) < deg(S)

Vj e{l, œ +}, (ice, }< deg(S)

4 (,s“ 4 Cg +g Stet CSF } et

4), 2

=(c,8¢ + Dg t Dg Stet DS® "Past

“Theo Bổ để 1, ta suy ra Day, = Can, r6i dp dụng giả thiết quy nạp:

Das Coen D.=C, y= Fy

3) Với các ký hiệu của Bồ để, vì

Các phần tử đơn giản có dạng,

'Từ các bổ đề trên, ta suy ra định lý sau

14 - ĐS1

Chương 5 Đa thức, phân thức hữu tử

¢| Dinh ly (Su tén tại và tính duy nhất của phép phân tích một phản

thức hữu tỷ thành phân thức đơn giản)

2) Thực hành phép phân tích thành phân thức đơn giản (PTĐG)

a) Trường hợp cực diém don

Cho (4.5) € KIX] » (KIX]- (0), = 4 a mdt khong điểm cứa S

Giả sử rằng a 1A mot khong diém don cia S$ Thế thì tổn tai Š, © K[X| sao cho:

$=(X-aS, va Sia so

Nói khác đi, ta được 4 bằng cách nhân hai về của đẳng thức H = voi A - a, tôi

thay X bởi a

Vì $ = (X - ø)5,„ nên khi dạo bầm bai về „ la được:

8 =(X-aS' 458), từ đây Š'(œ) =Š (ay

Vậy ta đã chứng mình Mệnh để sau:

+| Mệnh để Cho (4,9 < K|X| x (KIX] - {0}, F = 4 ơ là một không

Các không điểm của X" - 1 đều toàn dơm, vậy PTĐQI của # có dạng:

Chuong $ Đa thức, phân thức hữu tỷ

kết quả này đúng, nhưng thoáng nhìu thì thấy là không sử dụng dược

b) Trường hợp cực điểm bội

Vậy tạ có: A=(@,+ GaX+ + ơ,X"WT +X"H

Theo định lý về phép chia theo lũy thừa tầng (xem 5.2.6), Œ„+ „X1

a,X"" 1a thương của phép chia A cho ? theo lũy thừa tăng đến cấp ø - I

(và 8 là dư của phép chia)

trong đó É là phần nguyên cha F vA a4 a), 0,46 %

Ta tinh # xem nhu thuong cua phép chia Huclide X°+1 cho X†- 2X); ta được:

Nếu ø là một không điểm bội của 5, để nhận được các hệ tử tương ứng với cực điểm

a trong PTĐG của 4 „ 1a sẽ thực hiệp một "phép ddi dn” ¥ =X - a, vata sé quy về trường hợp trên (đối với ïn Y)

Chương 5 Đa thức, phân thức hữu tỷ

&+Ð}Ẻ +, XI @&-) &-ÿ X"!

Vì Ƒ chân, tính duy nhất của PIĐG của # chứng toring: g=-a,b= Bo=-7-

đ) Khi chỉ còn một hoặc hai hệ tứ cẩn xác định trong một PTĐG, ta có thể xé

„ hoạc cho X tiến ra vô tận (một cách chật cÌ

việc thay X bởi mội trị đạc hiệt

1

dung phép déi biến Y x’ rồi thay Y bởi 0) sau khi đã nhân nếu cân thiết hai vế của dẳng thức với một lũy thừa của X

Bằng cách nhân với X - 2, rồi thay X bởi 2, ta được: A= 2

Bằng cách nhân với (X - 2) rồi thay X bởi 1, ta được: 1

Bằng cách nhân với X tối cho X tiến ra vô tận, ta được: b + A= 0, tirday = -2

Cho A € C[X}, S € CIX] chuẩn tác sao cho deg) 21, F = 4 theo dinh IY

d'Alambert (5.3.4, Dinh 19), % tách được trên

từng đôi khác nhau, ø,, , @ € 1" sao cho:

Chuong 5 Đa thức, phân thức hữu tỷ

trong đó / là phần nguyên của E và các A„ „là những số phức

AS QUE +R Q) = Oa T Ra oe Oyen = Ot + Ry

WWE lle was} degtR, 1<2

5.4 Phan thie hituty 203

từ đó, do tính đuy nhat cia PTDG cba F:

CER, Cys Re Ce b= Os

Ngày nay, đã có những phần mềm tính toán hình thức cho phép tính được

PTĐG của các phân thức hữu tỷ trong {X) và !È@X)

Chương 5 Đa thức, phân thức hữu tỷ

(C+ Y)*+ 1)? hoae cho 4 + RY, theo lũy thừa tang đến cấp l:

Đổi ẩn Y =X- 1(Vậy X=L+Y), Ứ= „rồi chia ! + Y cho

Thay Xbởi 0: O=A- pet B+ d, suy Ta d=

Nhân với X rồi cho X tiến ra vô cùng: 0 = vty tirday y = h -

Chuong 5 Đa thức, phản thức hữu tỷ

bị Suy ra một cạp (, 1) thuộc ŒÈ1XT sao cho: @ + ĐỀ + OX - yah

0 5.4.9 Chone fae F-1-1.0, 1} Rat gon

© $.4.12° Phan tích thành phần thie don giản trong 2 CX) phân thức hữu ty £, Len Kết với

hàm hữu tý xác dịnh bởi x r> tàn Arctantga).n 6 1Í - 10,11 cổ đính

© 5.4.14 ChoP, Q |XI,n = deg(Ó) >2 Ta giả thiết:

Ø có n không điểm đơn z¡ , z„ bongo

Chương 6

Không gian vectơ

Trong chương 6 này, K chỉ một thể giao hoán Trong thực tế, K = IR hoặc K = C

6.1 Cấu trúc không gian véctơ

+ Định nghĩa 1 Mọi tập hợp E được trang bị một luật trong ký hiệu là +,

và một luật ngoài KxE->£ sao cho:

(24) Ð>9+

+ (E, +) 1a mét nhóm Abel

„ 1) (V(A,m) 6 K?,Vx€ E, (À+HM)x=Âx+

2) VA K, VQ ye EY, A@+y) =Âx+Ây

3) V(A, 0) € K?, Wx E, A(ux) = Aw)x

4)Vxe E,lx=x

gọi là K - không gian vectơ,

Khi cố định thể K, ta có thể nói không gian vectơ thay cho K - không gian vectơ Chúng ta sẽ viết tắt K - không gian vectơ là K-kạv, không gian vectơ là kev

Các phần tử của một Ấ-kpv được gọi là vectơ; các phân tử của K được gọi là vô hướng VÍDỤU:

L) Thể K là một K-kgv với luật trong à XK > K và luật ngoài là phép nhân

(x,y)>A+y

trong K: KxK —>K, Ở đây các phần tử của K được coi đồng thời là vectơ và là

(Aye ax

võ hướng,

2) Tổng quát hơn, giả sử E là một thể sao cho K là một thể con của U (ta cũng nói

L là thể mẹ của K) Khi đó L là một K-kạv, với luật trong xí —3_ và luật ngoài oy ty

KxL->L (phép nhan trong £)

Anrax

Dac biét, C 1a mot R-kgy v6i céc luật thông thường.

Chương 6 Không gian vectơ

"

3) Giả sử n © ET, Ky, bạ, là những K-kẹv Khi đó tích /2= ] | #; là một K-kẹv

fel

với luật trong và luật ngoài xác định bởi:

Kye eee De Ore cers Ye) ER ee AE ee 5s n sa

Đạc biệt, với mọi ø e 1P, với các luật thông thường, K” là một K-Kẹv

4) Giả sử X là một tập hợp khác rồng, /: là một K-kẹv Tập hợp £Ÿ các ánh xa từ X vào 7 là một K-kev với luật trong và luật ngoài xác định bởi:

« VỤ, 4) 6 (9, V+ 6X, YF OO HfL + no)

Chẳng hạn, với các luật thông thường, tập hợp ¿ *' ác dãy số thực là một ?*-kgv 5) Chúng ta thấy (5.1.4, Mệnh để 3) ap bop K|XỊ các đa thức một ấn với Hệ số trong K Tà một K-kẹv với phép cộng và phép nhân ngoài Thông thường tt chứng mình

£ Tà một không giản voclơ bằng cách chứng mình / Tà một keve của một kẹv đã biết (theo 6.2 Mệnh để [„ và bài tập 6.3.5)

NHÂN XÉT:

Đổi thể

Giá sử 7, là một thể mẹ của K, Mọi

cách trang bị cho nó luật + đã được

kẹv #£ có thể được coi như là một K-kẹv bằng

ở dịnh trong 72, và luật ngoài & « £—x / „thụ

Chara da

hẹp của luật ngoài cua Í~kpv E

Chẳng hạn, mọi Z-kẹv có thể được coi như là một -kgv

«| Mệnh để 1 Giá sử 7 là một K-kgv Với mọi 4, ¿ thuộc K và moi x, ¥

thuộc #2, ta có:

D Âv=0 @ (2= 0 hoặc x =0)

2) (A - ww = Av pew

3) Av-y) = Ar- Av

Õ đây ta ký hiệu O là phần tử trung hòa của phép cộng trong K, cũng phư phẩn tử trung hòa của phép cộng trong 7 khi cẩn thiết ta có thể ký hiệu 0„ và G„ để phân biệt

hai đối tượng đó

Chứng mình:

De Or =(04 Oy = Ont OF, Ur đó suy ra 0A = 0

« A0= A(0+ 0) = À0 + 40 từ đồ suy ra À0 = Ô

ø Nếu Ax = 0 và nếu 4 # Ô, thì bàng cách ký hiệu 4! Tà nghịch đảo của Ä

6.1 Cấu trúc không gian vectơ 209

‘Ta dé dang chứng minh (bàng quy nạp) Mệnh để sau:

«| M@nh dé 2 (Sử dụng ký hiệu Y trong các kgv}

Giả sử #2 là một K-kgv, ở, p € 1", x, x, y, x, Ja những phần tử của /:, Ä, 4 những phần tử của K, Ta có:

i=l \ jel galas

4) Voce &,, > vou Xà,

® Theo 5) và 6), ta có thể ký hiệu Ð 2x, và Ð 2;x thay cho 3 (Âx,) và

ụ

Sa, +) tương ứng

i=l

¢ Dinh nghia 2 Mọi tập hợp A cùng với một luật trong ký hiệu +, một

luật ngoài KxA 2A và một luật trong (được gọi là luật thứ ba) ở đây

Une Ar

được ký hiệu là *, sao cho:

1) (A, +, -) là một K-kgv

2) * phân phối đối với +

3) VÂ cẤ, VÀ, v) 6 Á), Á(x*v)= (40) *y=x*# (Ay),

gọi là K - đa

Một K-dại số A gọi là:

« kết hợp khi và chỉ khi * có tính kết hợp

© giao hoán khi và chỉ khi * có tính giao hoán

« có đơn vị (hoạc: đơn vị) khi và chỉ khi A có phần tử trung hòa đối với *

Chuong 6 = Khéng gian vecta

vi DU:

1) Moi thé giao hoán K la mot K-dai số kết hợp, giao hoán, có don vị, nếu lấy

luật thứ ba là phép nhân

2) Tổng quát hơn nếu #, là một thể mẹ của £, thì / là mội K-đại số kết hợp, và có

đơn vị nếu lấy luật thứ ba là phép nhân trong 7

Chang han, Œ là một ff-đại số kết hợp, giao hoán, có đơn vị đối với c:

a sẽ thấy đại số 2(#) các tự đồng cấu của một K-kpv #, với luật

thứ bà Tà luật e của phép hợp thành (7.2.2, Mệnh để 5), và đại số Mu(K) các mà

trận vuông cấp ø với hệ số trong Ấ mà luật thứ ba là phép nhân ma trận (8.1.4,

Mệnh dễ 4)

Thông thường ta sẽ chứng minh A 1a mot dai so bang cách chứng mình A là một

đại số con của một đại số đã biết (xem 6.2, Mệnh để 6 và bài tập 6.4.10)

“%

6.2 Không gian vectơ con 211

6.2 Không gian vecto con

+ Định nghĩa 1 Giá sử / là một K-kgv, # € PE) Tá nói P là một

không gian vectơ con của Ƒ khi và chỉ khi:

+j Mệnh để 1 Giả sử / là một K-kẹv, Ƒ < #2 Nếu #° là một Kgve củu

£„ thì # là một K-kẹv với luật +: #*#=*?!ˆ và luật ngoài K x?t -—> £

1) (0) và £ là hai kgve của K-kpV E

kev £ và nếu G là một kgve của #, thì Œ là một keve 2) Nếu # là một kẹvc e

của ƒ¡ người 1a nói khái niệm không gian véctợ con có tính bác cầu

2 Chương 6 Không gian vectơ

Tôn tại Gái, ) € #2 x 5O, v›) 6 #1 & Py sao cho:

Vậy la có: + y EU +) +Óy + Yy) = (lí +) + +) €2 +,

3) Giả sử (A,x) € K x + F) Ton tai 0) € Fy + Fy sto cho 4, +5 Ta ed:

+| Mệnh để 4 Giả sử /¿ tà một K-kev; d6i voi moi keve My, Fy olla ƒ ta cốc

Các phép chứng mính rất đơn giản Chẳng hạn, đối với 2): với mọi x thuộc Ƒ,, ta có

thể viết x = + + 0, rong đó x 6# và 0 6 /2, nên v 6# +2

NHẬN XÉT:

Ký hiệu VỢO chỉ tập hợp các kẹvc của 7

Các luật rong + và ¬ trong V(P) luật này không phân phối đối với luật kia (từ

trường hợp đac biệt cửa #2) (xem bài tấp 6.2.1)

® Định nghĩa 2 Giả sử 7 là một K-kpv, ?`, Ƒ} là hai kgve của # Ta nói

rằng ?°, #› có tổng trực tiếp khi và chỉ khi #2 Fy = (Of

Khi #; và Ƒ; có tổng trực tiếp, ta ký hiệu Ƒ ® #3) thay cho +

6.2 Không gian veclơ con

| Mệnh để 5 ˆ Để hai kgvc F¡, F; của một K-kgv £ có tổng trực tiếp, thì

cần và đủ là mọi phần tử của #, + F; phân tích một cách duy nhất thành

tổng của một phần tử của F, và một phần tử của Ƒ›

Chứng mình:

1) Giả sử Ƒ; và F; có tổng trực tiếp, và giả sử x € #1 + F¿

e Từ định nghĩa của F; + F; suy ra tổn tại (xị, x;) € Fạ x Fạ sao cho x =x, + xo,

© Gid st (x,,5) € F, x Fy, (ty yy) € Fy x Fy sao cho x = x, 4x = yy + ya

Thế thì: x, - yụ = y; - X;

Vi 6 Fiyy say € Fậ, E Ô Ƒy = {0)), nên xị + yị = yy Ý x; = 0, do đồ xị = yy

+: =>:

Như vậy, x được phân tích một cách duy nhất trên Ƒ, và F,

2) Ngược lại, giả sử mọi phần tử của F, + F; được phân tích một cách duy nhất tren Fy va Fy

Giá sử x e F, ¬ F; Ta có hai cách phân tích của Ú tren F, va Fy: 0 = 0 +0 va 0=x+ C0, từ đó suy ra x = 0 Như vậy F, 0 F, = {01, F; và 2 có tổng trực tiếp

® Định nghĩa 3 Hai kgvc Ƒ,, F; của một K-kgv E được gọi là bù nhau

trong £ khi và chỉ khi: 1 S Fa = (0) và Fq + F; = E,

Điều đó có nghĩa là: F, va F có tổng trực tiếp và F; ® F; = E

VÍ DỤ:

I) K= 34,E =8, F4 ='Ã x {0}, Fy = {0} x :Ã; F và F, là hai kgvc của # bù nhau trong E

2) K =Ä, E =`R*, F, (tương ứng: F;) là tập hợp các ánh xạ chẩn (tương ứng: lẻ) vio % Fy, F, là hai kgve của £ bù nhau trong E, Thực vậy:

từ

« Nếu ƒe F, F,, thì ƒ là chẩn và lễ, nen (Vx € 3 f0) = flo), vì vay f= 0

« Mọiƒ e E có thể viết dưới đạng ƒ = g + A trong d6 g € Fy, h e F; được Xác định bởi:

Vre g@)= 260 + fx), AG) = 29 - fed)

(xem Tập 1, 4.1.3, Mệnh đẻ),

213

Chugng 6 Không gian vectd

NHAN XET:

1) Một kgvc F của E có thể có nhiều phần bù trong # Chẳng hạn, nếu K

và £ = R?, thi kgve F = ÏR x {0} có võ hạn phần bù trong #, đó là tất cả cái xeE-F

2) Sau này ta sẽ chứng mình (6.4, Mệnh để) rằng, nếu # là một không gian hữu hạn chiều, thì mọi kgve cua Z có ít nhất một phần bù trong #2

3) Sự tôn tại một phần bù đối với một kgvc bất kỳ là tương đương lôgÌc với tiền

để chọn, mà việc nghiên cứu nằm ngoài phạm vi cuốn sách này

+ Định nghĩa 4 Giả sử A là một K-đại số với luật thứ ba ký hiệu là *,

B € PA) Ta nói 8 là một đại số con của A khi và chỉ khi:

Bla mot kgve cha K-kgv A

Dé dang suy ra mệnh để sau:

&| Mệnh đề 6 Giả sử A là một K-đại số, 8 e 384) Nếu Ø là một đại số

con của A, thì 8 là một K-đại số đối với các luật + : #x—> B , Gxyiaxey luat ngoài: KxB->B_ ,x*: BxB~> _ cảm sinh bởi các luật cha E

VÍ DỤ:

A = TRE là một JR - đại số đối với các luật thông thường (uật thứ ba là phép nhân) và

tập hợp B các ánh xa bi chạn từ ÏR vào IE là một đại sé con cia A (xem Tap 1, 4.1.8,

Menh dé 3).

6.2 Không gian vectơ con 218

Bài tập

Ô 6.2.4 Cho /£ là một K-kgv, £, Œ, #7 là những keve cla F

a) Ching mink: WAG) + FOINCK OG +t)

2) Chumg mink: (GCF hoac CPS dẺn G+ AEs BOG 4 Ef

0 62.6 Giá sử N € IT, ayy dy € i khác nhau từng đôi

E=lƒs 0 Ví € L0 NỊ,ff@) =01 0 Tà t ink xa da tute ti

<N Ching (6 rang # va G Ta hai keve cia £, bi nau trong FZ

Chueng6 Không gian vectơ

6.3 Tính phụ thuộc tuyến tính và tính độc lập tuyến tính 6.3.1 Họ phụ thuộc, họ độc lập

® Định nghĩa 1 Cho Ƒ là một K-kgv, ¡ € IW, Oy, we we Mọi phần tử x thuộc # sao cho tổn tại (Â, 4„ì € K” thỏa mãn

Nye

1) Néu F 1a mot kgve cha E thi F # Ø và với mọi (A, 48 thuộc K” và mọi (x, ¥)

thuge F2, Ax va zy déu thuge F, vA do d6 dv + yy €

2) Ngược lại, gid sit Fh # @ vie VAM) € KO) © FY, ae t wy € F Bang cách chọn /¿= 0, sau đó 4= „ = 1, ta kết luận #° là một kgve của E

NHẬN XÉT: Để một bộ phận / của một kẹv E là một kgvc của £, thì cần và đủ là:

FeO VÄeK,V(x,y)eF2,Artyef

$ Định nghĩa 2 Cho #£ là một K-kgv, 1 € HO, mek

L) Ta nói họ hữu hạn (x,, x,) là phụ thuộc (tuyến tính) khi và chỉ khi:

"

FAs oes Ay) EK (Oo OW, S)4x; =0

isl

2) Ta néi ho hitu han (1, « , x,) độc lap (tuyén tinh) khi va chỉ khi nó

không phụ thuộc tuyến tính, nghĩa là:

V(ÀI, , Âu) € K”, hy x; =0 = (Ví € (1, n}, Ä, = 0)

fal

Một họ hữu hạn phần tử của E còn được gọi là một hệ phần tử của /:.

6.3 Tính phụ thuộc tuyến tính và tinh độc lập tuyến tính Tổng quát hơn, giá sử (x),„„ là một họ phân tử (có thé vO han) olla E

1) Ta nói họ (x,)„«, là phụ thuộc (tuyến tính) khi và chỉ khi có một họ con hữu

hạn của (x),„, là phụ thuộc tuyến tính, nghĩa là, khi và chỉ khi có một bộ phận bữu hạn / của / sao cho (x,);«, là phụ thuộc tuyến tính

2) Ta nói họ @x),„, độc lập (tuyến tính) khi và chí khi nó không phụ thuộc tuyến tính, nghĩa là khi và chỉ khi mọi họ con hữu hạn của (x›,„„ là độc lập tuyến tính

Để nhắc lại rằng ta đang dùng thể K, đôi khi người ta nói K-độc lập quyến tính) (tương ứng: K-phụ thuộc (tuyến tính)) thay cho độc lập tuyến tính (tương ứng: phụ thuộc tuyến tính)

Ta nói hai vectơ x, y thuộc £-{0} là đồng phương (hay: cộng tuyến) khi và chỉ khi

(én tai A € K sao cho y = Av

4) Nếu họ phần tử @x),„ của E là độc lập tuyến tính, thì mọi họ con của (x),„, là độc lập tuyến tính

5) Nếu họ phần tử @x),„, của E là độc lập (tuyến tính), thì các @x) e ?) khác nhau từng đôi một Thực vậy, giả sử (, j) e P sao cho ¡ z j; khi đó từ 3) suy ra họ (4,, 8) với hai phần tử là độc lập (tuyến tính), vì vậy (xem 2)): x, # 4

6) Tính phụ thuộc (tuyến tính) và tính độc lập (tuyến tính) của một họ (X)/«, không phụ thuộc vào "thứ tự" các phần từ Nói cách khác, nếu 6 là một hoán vị của 7,

họ (xạa),„, là phụ thuộc tuyến tính (tương ứng: độc lập tuyến tính) khi và chỉ khi họ (x2,«; là phụ thuộc (tuyến tính) (tương ứng: độc lập tuyến tính)

Nhận xét 6) trên đây cho phép đưa ra định nghĩa sau

& Định nghĩa 3 Một bộ phan A của É được gọi là độc lập tuyến tính khi

và chỉ khi họ (x)„e„ là độc lập tuyến tính

Dac biệt, một bộ phận hữu hạn (x;, x„| của E (trong dé n e -Ý

từng đôi một) là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi họ (x, x,

Chuong6& Khdng gian vecta

Bai tap

Ô 6.3.1 Cho £ là một B-kgy, x, y,z © E sao cho (x, y, z) độc lập tuyến tinh, # = x + y,

poytzweztx,

Ching minh rang (u,v w) độc lập tuyến tính

0 6.3.2 Gia sit(N, n) © (0 - {0, 1} sao cho: VỆ €1, Net

a) Ching minh: YN ¢ 2,

b) Chứng mình rằng (1, {A ) 1a & - doc lap wyén tinh

© 63.3 Chon € Th z„ z„ € Ơ khác nhau từng đôi một Chứng minh rang

(ŒX - z")az„<„ độc lập tuyến tính trong 2X]

© 6.3.4 Chứng mỉnh rằng các họ hầm số sau độc lập tuyến tính (đối với các luật thông thường):

Gay) bo ety (a, b)e R? 5 a JoeR

a (Pfof fofef) trong 467: R — R xb sine

> 6.3.8 V6i moi (a, A) cia x RY, ky higu f,,: 2 — Z là ánh xạ xác định bởi:

6.3 Tỉnh phụ thuộc tuyến tính và tính độc lập tuyến tính 218

6.3.2 Không gian con sinh bởi một bộ phận

@ Định nghĩa 1 Cho Z là một K-kgv, A e 3Œ) Giao của tất cả các kgvc

® Theo định nghĩa của Vect(4), ta suy ra: Á C Vect(A)

« Giá sử / là một kgve của ø chứa A Theo định nghĩa của Veet(4), ta suy ra:

Vocl(4) C Fe Như vậy, Vect(4) là một kạvc của E chứa Á, và nó nằm trong mọi kevc của # có chứa A

2} Hiển nhiên, tập hợp chỉ có một phần tử {0} là kgvc nhỏ nhất của # có chứa Ø Giả sử A z Ø và ký hiệu C là tập hợp các tổ hợp tuyến tính các phần tử của A:

bụ_„ nếu "+ <& </+p 4¿_„ uếun +] < k < n+ p,

Whe (hat phic, EA

ta cố: x+®y= NA, +S uyb; - Nha svi vayx tye

© Tuong ty, ta ching minh ring: VAe K,VxeC, ave C

Nhu vay C là mot kgve cua /.

Chuong 6 Không gian vectơ

b) Vi moi phan tử ø thuộc A là một tổ hợp tuyến tính các phần tử của A (chỉ cần viết a= 1z), nên C chứa A

c) Giả sử Œ là một kẹvc của £ có chứa A, và a e C Tổn tại ø LẺ, (di, đy) € Á”,

4

(Âu, ons Ay) & K" sao cho x= Ð Aa; ViG chita A và GTA mot Keve, nen ta suy re

i=l

a € G, diéu dé ching 16 COG

Như vậy ta đã chứng mình rằng € là kgve nhỏ nhất của È có chứa Á và đo đó:

Đặc biệt, kgvc sinh bởi tập hợp gồm một phần tử {+} (trong đó x 6 ?2) la Kx, nghĩa là {Âxw; Â e KJ

¢ Định nghĩa 2 Cho / là mội K-kẹv, (x;)„, là một họ phần tử của ?:

kgvc sinh bởi bộ phận {+, : ¿ € 7} của / gọi là kgve sinh bởi (v,),., và ký hiệu là Vect((v)„,)

Đạc biệt kpve của / sinh bởi một họ hữu hạn khác rỗng các phần tử (xụ, x,) của /

là Is Apap Aye, "

lã

+Ì Mệnh để 2 Cho / là một K-kgv, A, 8 e 982, Ta có

DĐAC B Veel (Á) C Veet (B)

2) A là một kgvv của / khi và chỉ khi Vect (1) = A

3) Vect (Vect (A)) = Veet A

4) Vect (A U B) = Vect (A) + Vect (A)

Chứng mình:

Dễ đàng suy ra l), 2), 3) Tà chứng mình 4)

= Vect (A) + Vect (A) Cc Veet (AUB),

e ACAUB = Vect(A) C Vect(A x28)

BQAUH Iy |Veet(B) C VeeL(A có B)

xem 6.2, Mệnh dễ 4, 3)

© Ngược lại, giả sử x e Veet (4 c+ 8) Tồn tại ne LÍ, (c¡, cạ) € (Á có BỘ",

u (Anson Ay) & K" Sa cho.x = D° Ac; Bang céch nhém các phần tử của A lại với nhau

6.3 Tỉnh phụ thuộc tuyến tỉnh và tính độc lập tuyến tính 221

63.3 Tổng của nhiều kgve

Đây giờ chúng ta sẽ tổng quát hóa việc khảo sát tổng của hal keve dã dược thực biện ở 6.2

& Định nghĩa 1 Cho /: là một K-kpv, ne LẺ, lộ, a „ là những

kpvv của È, Ta định nghĩa tổng của F), F ký hiệu fy + byt ith,

"

(hay OF; Ma:

i=l

Bott kh, = ive Bs E = ee + Ay}

= (Xp He HAG (Me ee Ma) € Byx eS

Fa quy ước rằng: xy F, = {0}

re@

Để đăng chứng mình (bàng quy nạp) Mệnh để sau

©| Mệnh để - Cho Ƒ là một K-kev, ở € iT, Fy F„ là những kgve của /2

1) Tổng của nhiều kve không phụ thôi

2y Trong tổng của nhiều kgve, ta có

Đặc biệt, với mọi keve con Ji, /

thứ tự các kẹve đó

nhiều hạng tử thành từng nhóm

(yt ee Bye ht Pt Bs NHẬN XÉT:

¢@ Dinh nghĩa 2 Cho ƒ là một K-kpv, 0 € Wi,

cla E Ta noi ring Fy #, 06 tổng trực tiếp khi

Chuong6 —Khdng gian vectd

tuyến tính (ta giá thiết rằng mọi F,, ., Ứ, đều # |0)

6.3 Tỉnh phụ thuộc tuyển tính và tính đốc lập tuyến tính _ 223

suy rat A, = OL A, = Ú, Ay = 0 Như vậy,

Với ¿ € Hyon} dat z= (Xe MU EE fy, nến ¿e/

Hộ (¡, z„) phụ thuộc tuyến tính vì là một họ mẹ > N =9] của họ phụ thuộc

ier tuyến tính (4, „ Hơn nữa : Vi ¢ 43, € 4, - {0} Điều này mâu thuần với giả thiết 5)

“ea

Chương 6 Không gian vectd

2) Néu F,, #2, Ƒ; là những kgve cua mot kgv £, ta od thể có #, OFA Fy = {0}

ma F,, Fy, £; không có tổng trực tiếp (cũng xem ví dụ trên)

3) Sự kiện các không gian con #,, ., Ƒ„ có tổng trực tiếp không phụ thuộc vào

thứ tự của F„ F„ Nói cách khác, nếu #4, !„ có tổng trực tiếp, thì với mọi hoán

vị ơ của Œ„„ Fu„ Fs„„ cũng có tổng trực tiếp

4) Nếu các kgvc #;, F„ có tổng trực Uếp, thì với mọi ; thuộc {1, , z2}, các

Chứng mink rang FF’ GG" c6 beng trực tiếp và: # ® 0® (G G9 = E,

6.3 Tính phụ thuộc tuyến tính và tính đốc lập tuyến tĩnh 225

6.3.4 Họ sinh, cơ sử

« Định nghĩa 1 Cho £ là một K-kgv, ở là một họ phần tử của £ Ta nói

¢ 1a một họ sinh của ?: (hay: (sinh ra 72) khi và chỉ Khi:

@ Dinh nghia 2 Ta nói họ phần tir Beta mot K-kgv # là một cơ sử của /7

+| Mệnh để - Định nghĩa 2 Một họ hữu han # = (¢,, ., ¢,) nhing phan

tử của một K-kẹv ƒ£ là mội cơ sở của £ khi và chỉ khi:

Mệnh để trên được tổng quát hóa cho một họ bất kỳ (không nhất thiết hữu hạn):

1 Nếu #c #` và nếu #` độc lập tuyết

tính, thì 2 đệ

2) Nếu £C #' và nếu Z là một họ sinh của #, thì # ` là một họ sinh của £

Ciơng đó #C #ˆ có nghĩa là # là một họ con của #

tuyến tính

#|Ménh dé 2 Cho ø € 1°, (wy,

# SN ones Nae Naat

1) Néu ¥ doc lap tuyén tinh va néu_x,,, € Veet (2), thì Z' độc lâp tuyến tính

2) Nếu Z' là một họ sinh của /? và nếu x„„¡ VeccL (2), thì # là một họ sinh của #

tin) © EPL FS Oy, oe

Hl

6.3 Tinh phụ thuộc tuyến tỉnh va tinh độc lập tuyến tính

Ta suy Tả: x= [Eas + Arado = TẤN +Ãux#6}ä, 6 VecLG9

Điều đó chứng tô # là họ sinh của /2 "

Mệnh để trên dược tổng quát hóa cho các hợ ty ý (không nhất thiết hữu hạn):

1) Nếu # độc lập tuyến tính và nếu 4 £ VeetL (2, thì #2 {x} độc lập tuyến tính (ương đó #2 {x} thú dược bàng cách thêm x vào họ 2)

2) Néu # [+] là họ sinh của #2 và nếu v e Vect (2), thì # là họ sinh của /: M

C6 thé phát biểu mệnh đề trên dưới dạng:

1) Nếu thêm vào một họ độc lập tuyến tính một vectơ không phân tích được trên

họ đó, thì ta sẽ được một lọ mới độc lập tuyến tính

2) Nếu dưa ra khỏi một họ sinh eta £ mot ở phân tích được theo cdc phan ur khác của họ, thì ta sẽ thụ dược một họ sinh mới của !2

2) Có ít nhất một cách thay thế r vectơ thuộc ¿ bằng những vectơ thuộc ¿

để thu được một họ sinh của //

{¥), ., y,) là hai họ hữu hạn phần tử của 7 Nếu 7

Vi G sinh ra # nên Œ, xị„ x,) sinh ra E (theo Mệnh để 1, 2)), do đó vì

vị 6 Vect(G,), nén đ¡ sinh ra # (theo.Mệnh để 2,2)

Nhu vay, ta đã thay một trong các vcclơ của 2 bởi y, để thu được một họ sinh

0 cho's S$ Min(p - 1, 7 ~ 1) Gia sir (cé thé sau một hoán vị của x,,

(ty vs Y 4x 2; A,) là mot hg sinh ofa £

: Tôn tại („¡¡„ Â,¡„) € KP sao cho: Hg = PA yy +

J=

Nếu (Ä, , Ân ,) = (0, 2, 0) thì ys.i = 3” 4,2;y; „ điều này mâu thuẫn với

Fl tính độc lập tuyến tính của Œụ, y„„}, (do đó của 2) Nếu cần ta có thể hoán vị

227

Chuong 6 Không gian vectd

Xa sa Ấp (VA Ager vú sa xi, „}, tá CỔ thể quy về trường hop 4,441 0 Khi đó, nếu đặt địa = Os ones Yoo Yorts Novae -.-, xạ), TRÌ cũng với lập luận như ở trên, ta suy ra rằng

Nhu vay 7 $ p VAG, = Os os Yes Metis x„) là một họ sinh của E,

® Định nghĩa 1 Một K-kạv 7 được gọi là hữu hạn chiều khí và chỉ khi

£ có ít nhất một họ sinh hữu hạn

VÍ DỤ:

1) {0} va KY Gi € 47) là hai K-kev bữu hạn chiêu

2) K[X| la mot K-kgv khong hiw han chiéu, vi néu K[X] c6 mot ho sinh hitu han (P\ P„), thì với mọi P thuộc K|XI, ta sẽ có deg(?)< Max (dep(P,)))

lise

®| Định lý - Định nghĩa 1 Giả sử Z là mot K-kgv hữu hạn chiều Thế thì:

1) £ có ít nhất một cơ sở hữu hạn

2) Moi co sé cua E có cùng lực lượng

Lưực lượng của một cơ sở của # được gọi là số chiều của # và ký hiệu

là đìm,(), hoặc đim()

Chứng mình:

1) Vì # hữu hạn chiều, nên £ có ít nhất một họ sinh 2= (x¿, x„) Nếu G doe lap

tuyến tính thì ¿ là một cơ sở hữu hạn của Z

Do đó theo Mệnh để 2, 23, ở, là một họ sinh của E

ap lai quá trình trên

Nếu tổn tại z e {1, , p} sao cho họ sinh 2= (xị,

một cơ SỞ của #2

Nếu không như thế thì ¿¡ = (Œ+,) phụ thuộc tuyển tính và là một họ sinh, khi đó

E = [0†, và Ø là một cơ sở hữu hạn của Z

pr) dc lập tuyến tính, thì ¿¿ là

2) Theo 1), # có ít nhất một cơ sở hữu hạn ⁄ ; gọi ø là số phần tử của 4

Giả sử 2 ` là một cơ sở (khác) của # Nếu ⁄' là vô hạn hoạc hữu hạn với lực lượng > z,

thì 2” chứa ít nhất một họ hữu hạn độc lập tuyến tính ⁄ có ø + I phần tử Những ZL

6.3 Tinh phụ thuộc tuyến tính và tính độc lập tuyến tính

một họ sinh với ø phần tứ và £ là một họ độc lập tuyến tính với „ + 1 phần tử, điều này mâu thuẫn với kết quả 1) của định lý thay thê

Do vậy, 2 ` hữu hạn với lực lượng < ø

Tương tự, vì 22 độc lập tuyến tính với ø phần từ và 4" là một họ sinh, nên kết quả 7) định lý thay thế chứng tỏ rằng : ð < Card(24°)

®| Định lý 2 (Định lý về cơ sử không đây đủ)

Cho # là một K-kgv hữu hạn chiều, £ = (vụ, v,) là một họ độc lập tuyến tính trong È,

(e, ~ e¿) là một cơ sở của #2, Có íL nhất một cách ho sung ð - r

⁄4vũo ¿ để được một cơ sở của £:

‘Tir dang thứ 1 và sự tổn tại ít nhất một cơ sở hữu hạn của # ta để đằng suy ra dạng thứ 2

+| Mệnh để 3 Cho /¿ là mội K-kgv hữu hạn chiều và a = đim(*)

1) Mọi họ độc lập tuyến tính của 7: là hữu hạn và có nhiều nhất ; phần tử

2) Mọi họ của Ƒ có chứa ít nhất (ø + 1) phần tử là phụ thuộc tuyến tính 3) Mọi họ sinh của /2 có ít nhất » phần tử

Ching mink:

Theo Định lý - Định ghia 1, £ c6 it nbat mot ca sd B= {e),

229

Chương6 Không gian vectơ

1) Giá sử Z là một họ độc lập tuyến tính trong #2 Nếu ⁄ là vô hạn hoặc hữu hạn với lực lượng > ø, thì sẽ mâu thuẫn với kết quả /) của định lý thay thế, vì ⁄2]à một họ sinh

chất sau kéo thco tính chất thứ 3:

ảnh của Z Vì 2là độc lập tuyến tính nén từ kết quả ?) của sing 4 có ít nhất è phần, tử

Giả sử Card@Ð) = n và # độc lập tuyển tính; # có ít nhất một co sé A= fe, ead

‘Theo định lý thay thế, vì 2 là một họ sinh và # độc lập tuyến tính, nên có ít nhất một cách thay thé 2 vecto của 2 bởi những vectơ của # để thu được một họ sinh Nhưng,

vì ⁄4 có w phần tứ, nên họ sinh thu được chính là Z

+ Q1 VÀ3}—=2:

€

tử Cand( = n và 7 là họ sinh Lập luận phản chứng: giả sử # phụ thuộc tuyển tính

'Tổn tại (Â,, Á) € K"- (0 0)] sao cho Y Ajay = 0

Kết quả là hiển nhiên khí # = {0]

Giá sử Ƒ # {01 Tên tại x, & F sao cho x, z Ô) đạt ⁄4 = Gụ), họ này độc lập tuyến tính

Nếu 4, sinh ra Ƒ, thì # hữu hạn chiều và đim() = 1

Nếu trái lại thì tôn tại x; e È sao cho x; £ Veet (4)

Theo Mệnh để 2, 0), họ Z2 = (ụ, +2) độc lập tuyến tính, và ta lập lại lập luận trên đây

Giả sử p e HỮ: giả sử đã xác định a„, x„ trong F sao cho £, = (4 x,) độc lập

tuyến tính.