De thi Dan HSG tinh Nghe An 20142015

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB chứa nửa đường tròn O vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn.. Trên đoạn thẳng AO lấy điểm H cố định H không trùng với A, O.[r]

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS

NĂM HỌC 2014 – 2015

Môn thi: TOÁN - BẢNG B

Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (4 điểm):

a Tìm số tự nhiên n sao cho n 2 119 là số chính phương

b Cho các số nguyên dương a b c d, , , thỏa mãn: a2 b2  c2 d2

Chứng minh a b c d   là hợp số

Câu 2.(5 điểm):

a Giải phương trình: 3 x 1 x2 3

b Giải hệ phương trình:

2 2

3 3

2







Câu 3 (3 điểm):

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn: abc 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

Câu 4 (6 điểm):

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB chứa nửa đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Trên đoạn thẳng AO lấy điểm H cố định (H không trùng với A, O) Gọi M là điểm di chuyển trên nửa đường tròn Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với MH, đường thẳng này cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C, D

a Chứng minh AC.BD = AH.BH

b Xác định vị trí của điểm M để tam giác CHD có diện tích nhỏ nhất

Câu 5 (2 điểm):

Cho 121 điểm phân biệt nằm trong hoặc trên các cạnh của một tam giác đều có cạnh bằng 6cm Chứng minh rằng có thể vẽ được một hình tròn đường kính bằng 3

cm chứa ít nhất 11 điểm trong số các điểm đã cho

Hết

Đề chính thức

Họ và tên thí sinh Số báo danh

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS

NĂM HỌC 2014 – 2015 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN – BẢNG B

( Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang)

Câu 1

4.0đ

a

2.0đ

Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 119 là số chính phương

Vì k, n là các số nguyên dương và k > n =>

k-n; k+n là các số nguyên dương và k+n > k-n

Mặt khác 119 = 1.7.17 => (k-n)(k+n) =119

k-n=1 k+n=119 k-n= 7 k+n=17

 











 

 

 



0.5

k= 60 ( ) n=59 TM



 

k=12

( ) k+n=5 TM





 => n = 5; 59

0.5

b

2.0đ

Vì a,b,c,dN* a+b+c+d 4 (1) Xét a2 +b2 +c2+ d2 –(a+b+c+d) = (a2 –a)+(b2 –b)+(c2 -c)+( d2-d)

0.5

Mà a2 +b2 +c2+ d2= 2(a2 +b2) 2=> a+b+c+d 2 (2) 0.5

Câu 2

5.0đ 2.5đa

3 x 1  x 2 3  phương trình trở thành 2 3

3 3

a b

b a

 





 



0.5

2

(a 6)(a 1) 0 a 1 0 a 1 b 2

=> x -1 =1 => x = 2 (TMĐKXĐ) Vậy pt có nghiệm là x =2 0.5

Câu Nội dung Điểm

2b

2.5đ

2 2

3 3

2

2 4

x y xy

x y x y

   





  



2 2

2 2

2 2

x y xy xy

x y x y xy x y

    



 

 (x y)(2 2 ) 2xy x 4y

0.5

x 2 y+ xy 2 +y = 0  y(x 2 +xy+1)=0 2

0

1 0

y

x xy





 

  



0.5

Vớix2xy  1 0 x2xy1

y   y  x  x  có < 0 => PTVN

0.5 Vậy hệ pt có nghiệm là ( ; ) ( 2;0);(x y   2;0) 0.5

Câu 3

3.0đ

Ta có a2b 3 (a b ) ( b1) 2 2  ab2 b2

0.5

Tương tự

;

b c  bc c c a  ac a

0.5

P

ab b bc c ac a

0.5

Vì abc=1  abc 1

P

bc c bc c bc c

0.5

bc c P

bc c

 

 

 

1 2

P

Dấu “=” xảy ra khi a b c  1

Vậy giá tri lớn nhất của P là

1

2 tại a b c  1

0.5

Câu 4

C

M

A

B O

H

Câu Nội dung Điểm

4a

3 đ

Tứ giác AHMC nội tiếp → MCH = MAH

→ MCH + MDH = MAH + MBH = 900

→ CHD = 900 → HCA = DHB (cùng phụ CHA) 0,75

→ ∆ ACH đồng dạng với ∆ BHD

=>

AC BH

=

AH BD => AC.BD = AH.BH

0,75

4b

3đ

Ta có: SCHD= HC.HD

Theo định lý Pitago: HC2= AC2+AH2; HD2= BH2+BD2

0,5

(vì AH BH= AC BD) → SCHD≥ AH BH không đổi

Đẳng thức xảy ra ↔ AC= AH và BD= BH

Cách dựng điểm M :Trên tia Ax lấy điểm C sao cho AC=AH Vẽ

đường tròn đường kính HC cắt nửa đường tròn (O) tại M Kẻ tia CM

cắt tia By tại D

Khi đó CMH=90 =>CD  0  MH

và ACH  450 AMH  450 HDB  450

=> tam giác BHD vuông cân tại B => DB = BH

0,5

Vậy GTNN của SCHD = AH BH khi M là giao điểm của đường tròn đường kính HC với nửa đường tròn (O)

0,5

Câu Nội dung Điểm

Câu 5

2.0đ

O3 O2

O1

O

P

N M

A

Giả sử tam giác đều ABC có cạnh bằng 6cm Gọi M,N,P lần lượt là

trung điểm của AB, AC, BC => MN, MP, NP chia tam giác ABC

thành 4 tam giác đều bằng nhau

0,5

Gọi O, O 1, O2, O3 ;lần lượt là tâm các tam giác đều MNP, AMN,

BMN,CMN

Từ O, O 1, O2, O3 vẽ các đoạn thẳng vuông góc đến các cạnh

của tam giác đều MNP, AMN, BMN,CMN (hình vẽ)

0,5

Khi đó tam giác ABC được chia thành 12 tứ giác bằng nhau và

mỗi tứ giác đều nội tiếp đường tròn có đường kính bằng nhau và

bằng O1A

Mà O1A=

1

3AP=

1 6 3

3 ( )

3 2  cm

0,5

Mặt khác có 121 điểm thuộc 12 tứ giác trên nên theo dirichle có

một tứ giác chứa ít nhất

121

1 11 12

 

 

 

=> ĐPCM

0,5

Lưu ý: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

- Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần, không làm tròn.