De thi tuyen sinh vao lop 10 chuyen Tin mon Toan Thanh pho Ha Noi nam hoc 2014 2015

Chứng minh trong 25 phần tử bất kì của tập hợp A luôn tìm được 3 phần tử là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NỘI

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

Năm học 2014 – 2015 Môn thi : Toán

Ngày thi : 24 tháng 6 năm 2014 Thời gian làm bài: 150 phút

(Dành cho thí sinh thi chuyên Tin) Bài I (2,0 điểm)

1) Giải phương trình 5x42x 2 2 2x 1 0

2) Giải hệ phương trình  

x y xy





Bài II (2,5 điểm)

1) Chứng minh nếu n là số nguyên dương thì 5 5n n3n 2 9n n11n chia hết cho 21 2) Tìm các cặp số nguyên  x y thỏa mãn ; 5x2 y22xy2x2y 4 0

3) Chứng minh trong 2014 số nguyên dương a a a1, 2, 3, ,a2014 thỏa mãn điều kiện

a a   a  luôn tìm được ít nhất 3 số bằng nhau

Bài III (1,5 điểm)

Với ba số dương , ,x y z thỏa mãn x  y z 1, chứng minh

6

x yz y zx z xy

Bài IV (3,0 điểm)

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn  O , H là trung điểm của BC M là điểm bất kì thuộc đoạn thẳng BH ( M khác B ) Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CA sao cho

CN BM Gọi I là trung điểm của MN

1) Chứng minh bốn điểm ,O M H I cùng thuộc một đường tròn , ,

2) Xác định vị trí của điểm M để đoạn thẳng MN có độ dài nhỏ nhất

3) Khi điểm M thay đổi và thỏa mãn điều kiện đề bài, chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi

Bài V (1,0 điểm)

Cho tập hợp A gồm 36 số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 36 Chứng minh trong 25 phần tử bất

kì của tập hợp A luôn tìm được 3 phần tử là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau

- Hết -

Lưu ý: Giám thị không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh: ……… Chữ kí của giám thị 1:……… Chữ kí của giám thị 2:………

ĐỀ CHÍNH THỨC