Tổng hợp đề học sinh giỏi Toán 9 có đáp án

Trang 1

ĐỀ 1: Đề HSG Quỳnh Lưu - Năm học 2000-2001 - Thời gian 150 phút

=+

23632

x z zx

z y yz

y x xy

Câu 3 Hai đường tròn (O) và (O1) tiếp xúc ngoài tại điểm C Đường thẳng OO1 cắt đường tròn (O) và (O1) lần lượt tại A và B MN là một tiếp tuyến chung ngoài của (O) và (O1) (M,N là các tiếp điểm lần lượt thuộc (O) và (O1) ).Gọi D là giao điểm của AM và BN

a) Chứng minh : góc ADB = 900

b) Chứng minh DC là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O1)

Câu 4.Cho x;y là 2 số thực thoả mãn điều kiện : x2+y2 ≤ x+3

Tìm GTLN của biểu thức S = 2x+3y

ĐỀ 2: Đề HSG Quỳnh Lưu - Năm học 2001-2002 - Thời gian 150 phút

Câu 1 Giải phương trình: a) x2 −4x+4 = 6−2 5

Câu 3 Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và một điểm M (khác A,B) thuộc đường tròn Gọi T

là giao điểm của các tiếp tuyến với đường tròn tại A và M Vẽ MC;MD theo thứ tự vuông góc với AB

và AT ( C ∈ AB; D ∈ AT ), gọi I là trung điểm của CD

a) Tam giác IMT là tam giác gì ? Tại sao?

b) Chứng minh : góc DMT = góc OMC

c) Chứng minh : AO.AC = 2.AI2

d) Xác định vị trí của M trên (O) để diện tích ∆IMO lớn nhất

Câu 4.Cho 5 đoạn thẳng sao cho bất kỳ 3 đoạn nào trong số đó cũng có thể lập thành 3 cạnh của một

tam giác Chứng minh rằng trong các tam giác tạo thành có ít nhất một tam giác mà cả 3 góc đều nhọn

Trang 2

ĐỀ 3: Đề HSG Quỳnh Lưu - Năm học 2002 - 2003 - Thời gian 150 phút

Câu 1 Cho biểu thức : A = (( x+4 x−4 − x−4): x−2 x−1

a) Rút gọn A b) Tìm x ∈ Z để A ∈ Z

Câu 2 Cho đường thẳng (d) có phương trình : (m+2)x + (m-3)y = m-8

a) Xác định m biết đường thẳng (d) đi qua điểm P (-1;1)

b) Chứng minh: Khi m thay đổi ,(d) luôn đi qua một điểm cố định

Câu 3 Cho a;b;c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Hãy tìm GTNN của biểu thức :

S =

c b a

c b

c a

b a

c b

a

−+

+

−+

+

−+

Câu 4.Cho ∆ABC (AB = AC) Vẽ một đường tròn có tâm O nằm trên cạnh BC và tiếp xúc với các cạnhAB,AC lần lượt tại D và E.Gọi I là một điểm chuyển động trên cung nhỏ DE ( I ≠ D,E) Tiếp tuyến của

đường tròn tại điểm I cắt các cạnh AB , AC tương ứng tại M và N

a) Chứng minh : Chu vi ∆AMN không đổi

b) Chứng minh: 4.BM.CN = BC2

c) Xác định vị trí của I trên cung nhỏ DE để ∆AMN có diện tích lớn nhất

Câu 5 Cho ∆ABC đều Điểm M thuộc miền trong tam giác sao cho: MA2 = MB2+ MC2

Tính góc BMC

Câu 1 a)Cho x;y ≥ 0 và + = 1 Tính giá trị của biểu thức : S =x x +y y +3 xy

=+

3

411

6

511

2

311

x z

z y

y x

b) Cho đường thẳng (d) có phương trình : y = 2x – 3 và đường thẳng (l) có phương trình: y = (m+1)x + 2

Xác định gtrị của m để hai đường thẳng (d) và (l) cắt nhau tại điểm I có toạ độ (xI ; yI ) sao cho xI + yI

2003

y

x +

Câu 4.Cho đường tròn (O) đường kính AB.Gọi M là điểm thuộc đường kinh AB (M khác A;B ), N là

trung điểm của MB.Dây CD vuông góc với AB tại N Gọi E là giao điểm của AC và MD

a) Tứ giác BCMD là hình gì? Chứng minh

b) Xác định vị trí tâm O của đường tròn ngoại tiếp ∆AEM

c) Chứng minh: NE là tiếp tuyến của đường tròn ( O )

Câu 5 Cho ∆ABC có AM là trung tuyến Chứng minh rằng nếu các bán kính của các đường tròn nội tiếp hai tam giác ABM và ACM bằng nhau thì ∆ABC cân

Trang 3

Câu 1 (2 điểm) a) Tính giá trị của biểu thức :

=++

c z y x

b z y x

a z y x

42

Câu 3 (2điểm) a) Cho x;y > 0 Chứng minh : + ≥

b) Cho x;y > 0 và x+2y = 1 Tìm GTNN của biểu thức: S = 2 4 2

12

1

y x

xy + +

Câu 4.( 4 điểm) Cho đường tròn (O;R) và 2 đường kính AB , MN Đường thẳng BM và BN cắt tiếp

tuyến tại A của đường tròn (O) tương ứng ở M và N Gọi P và Q theo thứ tự là trung điểm của AM và

Câu 1 (1,5 điểm) Tính giá trị của biểu thức :

P = + với ;

73

2+

=

73

b b

a

+

++

Câu 3 (2điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2 =2+ 4−x2 −2x

Câu 4.( 2điểm) Giải phương trình : x−1+ 3−2 2 =3 7+5 2

Câu 5.( 3điểm) Cho ∆ABC cân đỉnh A nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M;N;P lần lượt là trung điểm của

AB, AC, MC Các đường thẳng AO và MC cắt nhau tại G

Các đường thẳng AP và MN cắt nhau tại I

Chứng minh: a) IG // AB ; b) OI vuông góc với MC

Trang 4

Câu 1 (3 điểm) Hãy chọn phương án đúng trong các phương án ở mỗi câu sau:

12

4813532

+

−+

Câu 3 (1,5điểm)Tìm các cặp số (x;y) thoả mãn phương trình :

x y−1 +2y x−1 = 1,5 xy

Câu 4.(1điểm) Cho x> 0 ;y > 0 ; z ≥ 4 và x+y+z =6

Tìm GTLN của biểu thức: S =xyz.

Câu 5.(3điểm) Cho ∆ đều ABC với O là trung điểm của cạnh BC Trên cạnh AB lấy điểm M , trên cạnh

AC lấy điểm N sao cho góc MON = 600

a) Chứng minh : BC2 = 4BM.CN

b) Chứng minh: NO là đường phân giác của góc MNC

c) Khi M và N di động trên cạnh AB và cạnh AC của ∆ABC sao cho góc MON = 600 ,kẻ OH vuông góc với MN, chứng minh điểm H luôn luôn nằm trên một đường tròn cố định

Trắc nghiệm (2 điểm) Hãy chọn phương án đúng trong các phương án ở mỗi câu sau:

y y

2

−

−+

+

−++

−

x

x x

x x x

x

x x

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức P

b) Rút gọn biểu thức P

Câu 3 (2,5điểm) Giải phương trình :

a) (x2+x+1)(x2+x+2) = 12; b) x+3+4 x−1+ x+8−6 x−1 =5

Câu 4.(3điểm) Cho ∆ABC nhọn, các đường cao BE , CF cắt nhau tại H

a) Chứng minh : ∆AEF : ∆ABC

Trang 5

++

+++

b) Tính giá trị của biểu thức : B = sin220+sin240+sin260+….+sin2860+sin2880

Câu 2 (2 điểm) Giải phương trình:

2

74

2

≥+

a

b b

a a

b b

1

CC

CC BB

BB AA

AA

+

c) Với AB = 4 , AC = 5, BC =7 (cùng đơn vị đo) , tính AA

Câu 5.(1điểm) Cho ∆ ABC vuông cân tại A Qua C vẽ đường thẳng d song song với AB D là một điểm trên cạnh AC; kéo dài BD cắt đường thẳng d tại E

11

BE

BD không đổi khi điểm D di chuyển trên cạnh AC ( D ≠ A)

ĐỀ 10 : Đề HSG Quỳnh Lưu - Năm học 2009 - 2010 - Thời gian 120 phút

Câu 1 (2 điểm)

a) Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử : x2y+ xy2+x2z +xz2 +y2z +yz2 +2xyz

b) Cho a+b+c = 0 Chứng minh rằng : (a2+b2+c2)2 = 2(a4+ b4+c4)

Câu 2 (3 điểm) Cho các đường thẳng : (d) : y = 2x+2 ; (d) : y = - x+2 ; (d):y = mx

a) Tìm toạ độ các giao điểm A,B,C theo thứ tự của (d) với (d) ; (d) với trục hoành và

(d) với trục hoành

b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (d) cắt cả 2 đường thẳng (d) và (d)

c) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (d) cắt cả 2 tia AB và AC

Câu 4 (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O Vẽ đường kính AD Gọi H là

trực tâm của ∆ABC và E là trung điểm cạnh BC C/ m : OE = AH

Câu 5 (1 điểm) Cho tam giác nhọn ABC , diện tích là 1 (đvdt) Vẽ 3 đường cao

AD,BE,CF Chứng minh : S = sin2A – cos2B – cos2C

Câu 1 (2 điểm)

a) Tìm cặp số tự nhỉên x, y thoả mãn : 100x + y2 + 3y = 109

b) Hãy viết đa thức x3 + 4x2 + 6x + 4 thành tổng các luỹ thừa giảm dần của (x+1)

Câu 2 (2,5 điểm) Cho biểu thức P = : 1 2

Trang 6

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P

b) Tìm GTLN của P

Câu 3 (1 điểm) Cho các số x , y thoả mãn : x y+ ≤2 và x y− ≤2

Tìm GTLN của biểu thức P = 19x2 + 5y2 + 2010(x+y)2

Câu 4 (2 điểm) Cho ∆ABC vuông tại A

a)Chứng minh : sin2 B + sin2C = 1 b) Chứng minh : sin

Câu 5 (2,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và một điểm M di động trên đó ( M không

trùng với A , B) Vẽ các tiếp tuyến Ax , By với nửa đường tròn

Tia AM cắt By tại C , tia BM cắt Ax tại D Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại M cắt Ax , By lần lượt tại E và F

a) Chứng minh : AD BC = 4R2

b) Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn để diện tích tứ giác ABCD nhỏ nhất

Tính diện tích tứ giác khi đó

b) Gọi K là trung điểm của EF Chứng minh : DK ⊥MN

c) Chứng minh : diện tích tứ giác MNO/O = nửa diện tích ∆DEF

Câu5 (1 điểm) Cho 5 số không âm a,b,c,d,e có a+ b+c + d + e = 1.

Tìm GTLN của tổng S = ab + bc + cd + de

Câu1 (2 điểm) ) Cho biểu thức : A = 3 4 5

a) Chứng minh : a3 – 6a2 + 11a – 6 luôn chia hết cho 6 , với a là số nguyên

b) Tìm GTNN của biểu thức P = 5x2 + 9y2 – 12xy + 24x – 48y + 82

Trang 7

Câu 5 (2 điểm) Cho nửa đtròn (O ) đường kính AB , kẻ tia Ax vuông góc với AB ( Ax và nửa đt

cùng nằm trên một nửa mặt phẳng) Lấy điểm C bất kỳ thuộc nửa đt ( C khác A , B) Qua O kẻ

đthẳng // với BC cắt Ax tại M và cắt AC tại F

a) Chứng minh :MC là tiếp tuyến của nửa đtròn (O )

b) BM cắt nửa đtròn (O ) tại D Chứng minh : ∆MDF ~ ∆MBO

Câu6 (1 điểm) Cho ∆ABC có µA=90 ;0 Bµ =200 , đường phân giác BI Vẽ ·ACH =300

( H thuộc cạnh AB ) Tính số đo của ·CHI

a Chứng minh 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn

b Tứ giác AHFK là hình gì? Vì sao?

c Chứng minh đường thẳng HF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi điểm M di chuyển trên đường tròn tâm O

Trang 8

a) Tính AC + BD theo R

b) Tứ giác ABCD là hình gì? vì sao?

c) Khi CD và tia AB cắt nhau tại K Chứng minh AC.BD < OH.OK

Cho hai số x, y thỏa mãn phương trình:3 x2 + 4 y2 − 4 xy − 6 x + 4 y = 5

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: M 2 = x + 2015

d) Chứng minh: HEB = OAC · ·

e) Chứng minh rằng khi điểm A di chuyển trên (O) sao cho AB < AC và A khác B

thì HA luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

Câu 1: (3,0 điểm) Cho biểu thức: A = 1 4 1

Trang 9

b) Tìm giá trị của x để P = x + A có giá trị nhỏ nhất.

Câu 4: (3,0 điểm) Trong tam giác ABC lấy điểm O sao cho ABO = ACO. · · Gọi H, K lần lượt là hình

chiếu của O lên AB, AC

ĐỀ 18: Đề Sơ tuyển Quỳnh Lưu - Năm học 2002 - 2003 - Thời gian 150 phút

Câu 1 Tìm các số x,y thoả mãn phương trình với các ẩn x;y +2 = +2

Câu 2 Hai đội cờ vua của hai trường A và B thi đấu với nhau, mỗi đấu thủ của đội này phải đấu 1 ván

với mỗi đấu thủ của đội kia Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng 2 lần tổng số đấu thủ của 2 đội và số đấu thủ của một trong hai đội là số lẻ Hãy tìm số đấu thủ của mỗi đội

Câu 3 Cho a;b;c ≥ 1 Chứng minh :

abc c

b

a + + + + ≥ +

31

11

1

3 3

3

Câu 4 Trong mặt phẳng cho một hình vuông Người ta vẽ 9 đường thẳng sao cho mỗi đường thăng

chia hình vuông thành 2 tứ giác có tỷ số diện tích bằng Chứng minh có ít nhất 3 đường thẳng trong 9 đường thẳng đã vẽ cùng đi qua một điểm

Câu 5 Cho ∆ABC, đường phân giác trong và đường phân giác ngoài của góc B cắt đường phân giác trong của góc A lần lượt tại I và J Gọi M là trung điểm của BC và H là hình chiếu của J trên BC Chứngminh AH // IM

ĐỀ 19: Đề Sơ tuyển Quỳnh Lưu - Năm học 2003 - 2004 - Thời gian 150 phút

Câu 1 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2y +xy2+x2z +xz2+yz2+y2z+3xyz

b) Giải phương trình với các ẩn x;y : +2 = (x+y)

Câu 2 Trong hội trại của một trường có 1020 em học sinh tham gia Ban tổ chức phân chia số học sinh

đó thành 40 nhóm,mỗi nhóm có không ít hơn 20 học sinh

Trang 10

a) Chứng minh rằng : với bất kỳ cách chia nào cũng tìm được ít nhất 4 nhóm có số học sinh bằng nhau.

b) Hãy tìm một cách chia sao cho không quá 4 nhóm có số học sinh bằng nhau

Câu 3 Cho x;y;z > 0 và xyz = 1 Tìm GTNN của biểu thức :

A =

)1)(

1()1)(

1(

3 3

3

++

+++

++

z x

z

y z

y x

Câu 4 Cho ∆ABC ; AB < AC Hai điểm M;N lần lượt chuyển động trên hai cạnh AB,AC sao cho BM

= CN Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ ∆BCD

( DB = DC) sao cho góc BDC = góc BAC

a) Chứng minh rằng : đường trung trực của MN luôn đI qua D b) Chứng minh ∆ MDN ∽ ∆BDC

c) So sánh chu vi ∆ AMN và chu vi ∆DMN

Câu 1 (1,5 điểm) Chứng minh rằng : nếu n là số nguyên, thì:

A = n 4 - 14n 3 + 71n 2 - 154n + 120 chia hết cho 24

Câu 2 (3 điểm)

a) Giải phương trình : x−89 + x−910 =1

b) Tìm đa thức bậc hai P thoả mãn điều kiện : P =1 và P – P =2x+1

Câu 3 (1,5 điểm) Tìm các số nguyên x để x2+x+6 là số chính phương

Câu 4 (2,5 điểm) Cho ∆ABC có 3 góc nhọn Gọi H là giao của 3 đường cao AA, BB,

CC ; I là trung điểm của HB ; J là trung điểm của AC ; IJ cắt AC tại E

a)Chứng minh E là trung điểm của AC

b) Trên đoạn HC lấy một điểm M sao cho = So sánh diện tích hai tam giác HAC và HJM

Câu 5 (1,5 điểm) Cho một bảng ô vuông hình chữ nhật gồm 8 dòng và 2 cột (gồm 8 2 ô vuông) Người

ta tô đỉnh của tất cả các ô vuông bởi một trong hai màu xanh hoăc đỏ

Chứng minh rằng luôn luôn tìm được 4 điểm là 4 đỉnh của một hình chữ nhật được tô cùng một màu

Câu 1 a)Cho a;b;c là 3 số nguyên có tổng chia hết cho 6

Chứng minh : a3+b3+c3 chia hết cho 6

b)Tìm các cặp số tự nhiên x ; y thoả mãn phương trình : 2x + y2 +y = 111

Câu 2 Giải phương trình : 4(x-5)(x-6)(x-10)(x-12) = 3x2

Trang 11

Câu 3 a)Cho a;b;c > 0 Chứng minh : ab bc ca

a

c c

b b

a3 + 3 + 3 ≥ + + b)Cho 0 <x <1 Tìm GTLN của biểu thức : A = 32(x−x2)+ 22(x+x2)

Câu 4 Cho hình vuông ABCD Vẽ qua đỉnh A một đường thẳng l cắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng

CD tại N Chứng minh rằng tổng 1 2 1 2

AN

AM + không phụ thuộc vị trí của đường thẳng l.

Câu 5 Cho một điểm C và hai đường thẳng song song a và b Hãy dựng một tam giác đều có một đỉnh

là C , hai đỉnh còn lại nằm trên hai đường thẳng a và b

Câu 1 Cho a;b;c là 3 số nguyên thoả mãn ab+bc+ca = 2006

c a

c

b c

b

a

32323

2 + + + + + .

Câu 4 Gọi G là trọng tâm của ∆ABC Vẽ qua G một đường thẳng xy cắt 2 cạnh AB,AC lần lượt tại M

và N ( M ;N không trùng với A)

a) Chứng minh : + =3

AN

AC AM AB

b) Gọi S và S′ lần lượt là diện tích của ∆ABC và ∆AMN, chứng minh : S S

9

4

≥

Câu 1 Chứng minh rằng: nếu a;b là 2số chính phương lẻ liên tiếp thì (a-1)(b-1) chia hết cho 192 Câu 2 Giải phương trình : 2 2 4 8 2

Câu 3.Tìm các cặp số ( x ; y) thoả mãn phương trình:

3x2 + 2y2+ 4xy – 7x – 5y + 3 = 0 sao cho (x+y) đạt GTLN,GTNN

Câu 4 Cho a;b;c > 0 và abc = 1 Chứng minh: A = 1

22

+

++

+

c b

b a

a

Câu 5.Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH Tia phân giác của các góc BAH và

CAH cắt BC lần lượt ở D,E

a) Chứng minh: ∆ABE và ∆ACD là những tam giác cân

b) Tia phân giác góc B cắt AD ở I, tia phân giác góc C cắt AE ở K, đường thẳng IK cắt AB,AC lầnlượt ở P và Q Chứng minh AP = AQ

Câu 1 (2điểm)

a) Giải phương trình: 2x2+26x +90 = 6 x(x+8)

b) Cho các số a;b;c ≠0 thoả mãn 1+1+1=2

c b

Trang 12

Tính giá trị của biểu thức P = 12 12 12

c b

a + +

Câu 2 (2điểm) Cho 2 số tự nhiên a và b Chứng minh rằng : nếu tích ab là số chẵn thì

luôn luôn tìm được số tự nhiên c sao cho a2+b2+c2 là số chính phương

Câu 3.(2điểm) Cho các số thực x;y;z thoả mãn điều kiện: xy+yz+zx =3.

Tìm GTNN của S = (x4+2)(y4+2)(z4+2)

Câu 4.(4điểm) Cho ∆ đều ABC đường cao AD, trực tâm H Từ điểm M bất kỳ trên cạnh BC kẻ ME vuông góc với AB và MF vuông góc với AC ( E ∈ AB; F ∈ AC )

Gọi I là trung điểm của AM, O là giao của EF và ID

Chứng minh: a) EF vuông góc với DI tại O

b)Tìm cặp số nguyên dương x,y thoả mãn p/t : x2y+2xy- 81xy +y = 0

( Đề sai , đáng ra phương trình x 2 y+2xy- 81x +y = 0 )

Câu 2 (2,5 điểm)

a) Cho a,b,c là các số dương thoả mãn: abc = 1 và a+b+c > + +

Chứng minh rằng trong 3 số a,b,c có 1 số lớn hơn 1 và 2 số bé hơn 1

)()(a c b d d

c b

5

19

b ab

a b

+

− +

2

3 3

5

19

c cb

b c

+

− +

2

3 3

5

19

a ac

c a

b) Gọi M là giao điểm của AB và DI , N là giao điểm của AC và EI,c/m MN // BC

Câu1 (2 điểm) a)Cho 2 số a; b ≠0 và a ≠ b thoả mãn 1 1 1

5

a + =b Chứng minh: trong 2 số : a2 - 10b và b2 - 10a có ít nhất 1 số dương.

b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x5+ x+ 1

Trang 13

Câu2 (2 điểm) Giải phương trình (x2+10x + 8)2 = 4(2x+1)(x2+8x + 7) (*)

Câu3 (1,5 điểm) x ≥1 ;y ≥ 1 Chứng minh : 1 2 1 2 2

1 x +1 y ≥1 xy

Câu4 (1,5 điểm) Cho 1 ≤ < ≤x y 2 Tìm GTLN của M = (x+y)(1 1)

x + y

Câu5 (3 điểm) Cho tam ∆ ABC vuông cân tại A, cạnh góc vuông bằng a Gọi O là trung điểm của BC

và M , N lần lượt thuộc 2 cạnh AB,AC sao cho ·MON = 450

Chứng minh : a) BM.CN = 2

2

a

b) Chu vi ∆ AMN không phụ thuộc vào vị trí các điểm M , N

Câu2 (1,5 điểm) Cho biết : an = 22n+1 + 2n+1 + 1 ; : bn = 22n+1 - 2n+1 = 1 , với n N∈

Chứng minh : trong 2 số an và bn có một và chỉ một số chia hết cho 5

Câu3 (2 điểm) Tìm GTNN của biểu thức : S = 3x2−18x+28+ 4x2−24x+45

Ap dụng giải phương trình 3x2−18x+28+ 4x2−24x+45 = -5 – x2 + 6x

Câu4 (3,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có AC > BD ; kẻ CH vuông góc với AD (H ∈AD ) ; kẻ

CK vuông góc với AB ( K ∈AB ) Chứng minh rằng :

a) ∆KBC ~ ∆HDC ; b) ∆CKH ~ ∆BCA ;

c) AB AK + AD AH = AC2 ; d) HK = AC sinBAD

Câu5 (1 điểm) Cho a, b > 0 thỏa mãn : a3 + b3 = a5 + b5

Trang 14

a) Tìm các cặp số nguyên (x, y) sao cho: x(x + 1) = y2 + 1.

b) Giải phương trình: x4 – x3 – x + 1 = 0.

c) Giải phương trình: x + 2y2 + 8 = 2 x y ( + 2 )

Câu 3: (2,0 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x4 – 4x + 2012.

b) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + + = b2 c2 3 CMR: ab bc ca 3.

Câu5: (2,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông cân tại A Gọi M là trung điểm của BC, P là điểm trên cạnh AC (Pkhác A và C); kẻ AN vuông góc với BP (N thuộc đoạn BP) Trên BN lấy điểm I sao cho BI = AN

a) Chứng minh rằng: Tam giác IMN vuông cân

b) Cho SABC = 4SIMN Tính góc ABP

Câu 1: (3 điểm)

a) Cho x, y, z là ba số thực không âm thỏa mãn:

311

ï + + =ïïî

Tính giá trị của biểu thức: M =x27+y9+z2013

b) Cho số nguyên a, chứng minh rằng A = a5 + 5a3 – 6a chia hết cho 60

3

20133

3

2 3 6

3 4 5 6

−

x x x x

Trang 15

Chứng minh rằng 2n2+ +n 8 không là số chính phương.

Cho tam giác ABC có đường cao AH(H nằm giữa hai điểm B và C ).

Cho biết AH =6cm BH; =3cm và số đo góc CAH gấp ba lần số đo góc BAH

Tính diên tích tam giác ABC

Câu 4: (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh điểm H cách đều các cạnh của tam giác DEF

b) Gọi I, K, M, N theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến BA,

BE, CF, CA Chứng minh rằng bốn điểm I, K, M, N thẳng hàng

Câu 1: (6,0 điểm)

c) Trong 4 thùng sữa với 3 thùng sữa thật có khối lượng như nhau và 1 thùng sữa

giả có khối lượng khác với khối lượng của thùng sữa thật Làm thế nào để tìm được thùng sữa giả bằnghai lần cân? (Cân có 2 đĩa thăng bằng và không có quả cân, các thùng sữa hình thức giống nhau và khôngphân biệt được bằng mắt thường)

d) Cho hai số dương a, b khác nhau và thỏa mãn a b − = 1 − b2 − 1 − a2 Tính

giá trị của biểu thức: M = a2 + b2

Trang 16

a) Chứng minh: tích AM.BN không đổi khi M di chuyển trên tia Ax

b) Chứng minh: ∆ ABHlà tam giác vuông

c) Gọi I là giao điểm của AN và BM Đường thẳng qua A vuông góc với BM và đường thẳng qua

B vuông góc với AN cắt nhau tại K Chứng minh: K, H, I thẳng hàng

Trang 17

AMN=C (N khác C) Gọi I là giao điểm của BN và CM.

a) Chứng minh: ABN ACM. · = ·

b) Chứng minh: ∆BCI : ∆MNI

c) Gọi D là giao điểm của tia MN và tia BC H, K, L thứ tự là trung điểm của BN, CM, AD.Chứng minh: H, K, L thẳng hàng

Câu 4: Trên nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, lấy các điểm C, D sao cho ·CAD=300 và đoạnthẳng AD cắt BC tại I Hạ HI vuông góc với AB

a) Tính tỷ số CD

AB

b) Chứng minh I là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác CDH

Câu 5: Cho tam giác ABC có µA B= +µ 2Cµ và độ dài 3 cạnh là 3 số tự nhiên liên tiếp Tính diện tích tamgiác ABC

Câu 1: (6,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức: A = 4 + 10 2 5 + + 4 - 10 2 5 +

b) Cho các số a b c , , thỏa mãn a b c 1

Trang 18

Tính giá trị của biểu thức: P =

Câu 4: (3,5 điểm)

Cho đoạn thẳng AB = 2R O là trung điểm của AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB

Kẻ Ax, By cùng vuông góc với AB, điểm C di động trên By sao cho · 0

D 90

CO = Nối CO, DO

a) CM: VACO: VBOD

b) Tìm vị trí của C trên Ax để AC + BD nhỏ nhất

c) CM: D là tiếp tuyến của một đường tròn cố định

ĐỀ 38: Sơ tuyển Hoàng Mai - Năm học 2019 - 2020 - Thời gian 150 phút

Trang 19

Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB (M khác A và B) Trên cùng một nửa mặt phẳng

bờ AB vẽ các hình vuông AMCD, BMEF Gọi H là giao điểm của AE và BC

b) Giải phương trình sau: x2 + 2 x2 − = 1 2 x − 1

Câu 3 (1,0 điểm) Cho các số dương , , x y z thỏa mãn x y z + + ≤ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất

Trang 20

c) Các điểm D, E, O, H cùng nằm trên một đường tròn.

ĐỀ 40: Sơ tuyển Quỳnh Lưu - Năm học 2019 - 2020 - Thời gian 150 phút

a) Cho các số nguyên dương , , a b c thỏa mãn a2 + + b2 c2 chia hết cho 10 Chứng

minh abc cũng chia hết cho 10.

Trang 21

a) Cho các số nguyên dương , , a b c thỏa mãn ( a b a c b c − )( − )( − = + + ) a b c

Chứng minh a b c + + chia hết cho 54.

ĐÁP ÁN

Câu 1: (3,0 điểm)

Trang 22

Cho hai số x, y thỏa mãn phương trình:3 x2 + 4 y2 − 4 xy − 6 x + 4 y = 5

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: M 2 = x + 2015

b) Chứng minh: HEB = OAC · ·

c) Chứng minh rằng khi điểm A di chuyển trên (O) sao cho AB < AC và A khác B

thì HA luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

Đáp án: ĐỀ 16: Đề HSG Quỳnh Lưu - Năm học 2015 - 2016

Trang 23

(2,5đ)

2

3 2x 0 3x 2 3 2 x

x 1

x 1 11 x 4

=> ∆ABC vuông tại A

Xét hai tam giác vuông: CAB∆ và CHE∆ có µC chung

=> CAB∆ : ∆CHE (g-g)

=> CA CB

CH =CE => CA CE CB CH =

1,01,01,0

0,5

Trang 24

Từ (1); (2); (3); và (4) => ·HEB OAC=· 0,5

4c

(2,0đ)

Gọi G= AB∩EH => BAD∆ : ∆BGE (g-g)

Mà BAD∆ cân tại B => BGE∆ cân tại B => HE = HG và µG HEB=· (5)

Xét ∆AGE vuông tại A có AH là đường trung tuyến

=> 1

2

AH = GE HG= => ∆HAG cân tại H => µG HAB=· (6)

Từ (5) ; (6) và ·HEB OAC=· ( câu b) => ·HAB OAC=·

OAC OAB+ = =>HAB OAB+ =

=> HA OA⊥ tại A và A∈( )O

=> HA là tiếp tuyến của (O)

=> HA luôn tiếp xúc với (O) cố định

0,5

0,50,5

0,5

Câu 1: (3,0 điểm) Cho biểu thức: A = 1 4 1

Câu 4: (3,0 điểm) Trong tam giác ABC lấy điểm O sao cho ABO = ACO. · · Gọi H, K lần lượt là hình

chiếu của O lên AB, AC

Trang 25

ĐÁP ÁN: ĐỀ 17: Đề HSG Quỳnh Lưu - Năm học 2016 - 2017

0,25

b/

0,75đ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x y z

234

x y z

Trang 26

OAB OAC

0,50,250,5

0,50,5

Tiêu đề	Tổng Hợp Đề Học Sinh Giỏi Toán 9 Có Đáp Án
Trường học	Trường Trung Học Cơ Sở Quỳnh Lưu
Chuyên ngành	Toán Học
Thể loại	Đề Thi
Năm xuất bản	2000-2005
Thành phố	Nghệ An

Định dạng
Số trang	52
Dung lượng	2,03 MB