Mot vai bai toan luong giac trong tam giac

Nhận xét: Mấu chốt của lời giải trên là ta đã sử dụng hệ thức dễ dàng chứng minh được tan A  tan B  tan C tan A.tan B.tan C với mọi ABC không vuông , đồng thời với giả thiết để có th[r]

MỘT VÀI BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC

Bài 1: CMR với mọi tam giác ABC nhọn ta có : tanAtanBtanC3 3

Cách 1: với dạng bài này ta thường nghĩ tới sử dụng phương pháp dồn biến đưa về giá trị trung

bình trong chứng minh bất đẳng thức : ở bài này ta cần chỉ ra ( ) ( ) 2 ( 2 )

x y

f x  f y  f 

với

( ) tan

f t  t ; t 0;2



Thật vậy

Do x y, 0;2



  nên:

x y

2 cos

2

x y



Ta có:

2

tanx tany

2

y

x y



Hay: tanx tany 2 tan 2 ; , 0;2

x y



    , dấu “=” xảy ra  cos(x y ) 1  xy

Do ABC nhọn nên: tanA tanB 2 tan 2

A B

3 tanC tan 2 tan

3

C

A B C

A B







Từ đó ta có điều phải chứng minh Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ABC đều

x y

f x  f y  f 

,

sau đó ta đã lựa chọn giá trị trung bình của 3 góc A, B, C là 3 để ghép cặp Cần chú ý giá trị 3



cũng là giá trị của các góc khi dấu “=” xảy ra

Cách 2:

Do A B C  1800 nên với ABC không vuông ta có:

1 tan tan





ABC

 nhọn , áp dụng BĐT Cô si cho 3 số dương tanA, tanB, tanC ta có:

tanA tanB tanC 3 3

Dấu bằng xảy ra  tanA tanB tanC   A B C  hay ABC đều

Nhận xét: Mấu chốt của lời giải trên là ta đã sử dụng hệ thức (dễ dàng chứng minh được)

tanAtanBtanC tan tan tanA B C (với mọi ABC không vuông) , đồng thời với giả thiết

để có thể áp dụng Cô si cho 3 số tanA, tanB, tanC

Như vậy Một số bài toán trong tam giác, nếu biết và sử dụng triệt để các hệ thức lượng giác về

góc trong tam giác ta sẽ có lời giải hay và ngắn gọn hơn

Bài 2: Chứng minh rằng, với mọi tam giác ABC ta có:

Lời giải:

Ta có 2 2 2

A B C 

nên:

1 tan tan









Có:

(đpcm)

Dấu “=” xảy ra tan 2 tan 2 tan 2 3

( hay tam giác ABC đều)

thì rất khó

để giải quyết được bài toán trên

Bài 3: Cho ABC biết cos 2Acos 2Bcos 2C1 Chứng minh ABC vuông.

Lời giải:

Ta có cos 2Acos 2Bcos 2C 2cos( A B )cos(A B) 2cos  2C1

2cos(A B )cos(A B) 2cos (  2 A B ) 1

2cos(A B ) cos(A B) cos(   A B ) 1

4cosC.cosA.cosB 1

( do (A+B)+C= nên cos(A B)  cos C )

Theo bài ra, ta có : cos 2Acos 2Bcos 2C1

 4cosC.cosA.cosB 1 1

0

0

0

90

A











Hay ABC vuông (đpcm)

giác khiến lời giải trở nên dễ dàng

Ta hãy giải bài toán theo hướng: Dùng công thức nhân đôi, đưa về cosA, cosB, cosC rồi áp

dụng định lý cos trong tam giác; lúc này bài toán trở thành: CM tam giác ABC vuông biết

Rõ ràng ta được một bài toán mới phức tạp hơn nhiều !

Bài 4 Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có

1. sin sin sin cos 2 cos 2 cos 2

2. sin sinB sinC cos2 cos 2 cos 2

HD

1 sin sin 2sin 2 .cos 2 2sin 2 2cos 2

Tương tự có sin sin 2cos ; sinC sinA 2cos2 2

Cộng ba vế tương ứng ta có đpcm

Tổng quát sin sin sin cos2 cos2 cos2 ( *)

n N

2 Có sin sin 2(sin sin ) 2 cos 2

C

Áp dụng tương tự sinB sinC 2 cos ;2 sinC sinA 2 cos 2

Cộng ba vế tương ựng ta có đpcm

Tổng quát sin sin sin cos2 cos2 cos2 ( *)

n N

Lời kết Còn rất nhiều các hệ thức về giá trị lượng giác của các góc trong tam giác mà khi áp

dụng ta có thể giải hoặc sáng tạo các bài toán hay về lượng giác trong tam giác Các bạn có thể

tự sáng tạo hoặc tìm hiểu thêm