Bai tap hinh hoc chuong 1 hinh hoc 12

a/ Chứng minh chân đường cao của khối chóp là trung điểm của AC b/ Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,  SAD cân tại S và nằm tron[r]

Bài tập: Thể tích khối đa diện Giáo viên: Nguyễn Tấn Việt Tiến

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN PHẦN 1: KHỐI CHÓP

1 Hình chóp:

B

C

S

H E

K

*) Cho hình chóp S.ABCD, H là hình chiếu của S lên mp(ABCD), E là hình chiếu của H lên cạnh AB,

K là hình chiếu của H lên SE Ta có:

• SH = h là chiều cao của hình chóp

• SAH là góc giữa SA với mặt đáy (ABCD)

• SEH là góc giữa mặt bên (SAB) với mặt đáy

• Độ dài đoạn HK là khoảng cách từ H đến (SAB)

2 Các hình chóp đặc biệt:

2.1 Hình chóp đều: Là hình chóp có đáy là đa giác đều và có các cạnh bên bằng nhau

O

E

B

S

H

• SO = h là chiều cao của hình chóp

• SAO là góc giữa SA với mặt đáy (ABCD)

• SEO là góc giữa mặt bên (SAB) với mặt đáy

• Độ dài đoạn OH là khoảng cách từ H đến (SBC)

E

C O

B

S

H

• SO = h là chiều cao của hình chóp

• SAO là góc giữa SA với mặt đáy (ABCD)

• SEO là góc giữa mặt bên (SAB) với mặt đáy

• Độ dài đoạn OH là khoảng cách từ H đến (SBC)

*) Tính chất:

- Đáy là đa giác đều - Các mặt bên là các tam giác cân và bằng nhau

- Các cạnh bên hợp với đáy các góc bằng nhau - Các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau

2.2 Tứ diện đều: Có 6 cạnh đều bằng nhau

Bài tập: Thể tích khối đa diện Giáo viên: Nguyễn Tấn Việt Tiến

3 Thể tích khối chóp: 1

3

V  B h Trong đó: B_ diện tích đáy, h_ chiều cao của khối chóp

4 Tỉ số thể tích hai khối tứ diện:

B

S

A'

B' C'

Cho khối tứ diện S.ABC Gọi A’, B’, C’ lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB, SC Ta có:

' ' '

SABC

S A B C

5/ Chú ý:

5.1 Các hệ thức lượng trong tam giác vuông:

b c

m a

h a

M H

A

C B

+) a2 b2c2

+) b2 ab', c2 a c '

+) a h b c 2S

+) 12 12 12

a

h b c

+) sinB cosC b, sinC cosB c

+) tanB cotC b, tanC cotB c

5.2 Hệ thức lượng trong tam giác thường

sin sin sin

R

A B  C  b/ Định lí cosin:

2 sin

5.3 Các công thức tính diện tích tam giác 1 1 sin ( )( )( )

abc

R

5.4 Cách xác định góc:

a/ Giữa hai đường thẳng:

Góc giữa hai đường thẳng a, b trong không gian là góc

giữa hai đường thẳng a’, b’ cùng đi qua O và lần lượt

song song với a và b

*) 00 ( , )a b 900 *) ( , )a b 00 a b//







a

b

b' a'

O

Bài tập: Thể tích khối đa diện Giáo viên: Nguyễn Tấn Việt Tiến

( , )a b 90 ab

b/ Giữa đường thẳng và mặt phẳng:

( ,( ))a P ( , ')a a trong đó a’ là hình chiếu của a lên (P)

a

a'

P

H O

A

c/ Giữa hai mặt phẳng

- Gọi  là giao tuyến của (P) và (Q) và I  

- đường thẳng a( )P và vuông góc với  tại I

- đường thẳng b( )Q và vuông góc với  tại I

Khi đó: (a,b) = ((P),(Q))

Q P

I

5.5 Các cách xác định khoảng cách:

a/ Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng, từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng

b/ Khoảng cách từ 1 đường thẳng đến 1 mặt phẳng song song

c/ Khoảng cách giữa hai mp song song

d/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Chú ý: (cách tính khoảng cách gián tiếp)

P

A1 B1

I B

Khi đó ta có: ( , ( ))

( , ( ))

CÁC MÔ HÌNH CƠ BẢN

Mô hình 1: Khối chóp đều – Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau

Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy Bài 1: Cho hình chóp đều S.ABC có ABa SA, a 3

Bài tập: Thể tích khối đa diện Giáo viên: Nguyễn Tấn Việt Tiến

a/ Tính V S ABC. b/ Tính khoảng cách giữa SA và BC

Bài 3: Cho hình chóp đều S.ABC, có ABa Góc giữ (SBC) và (ABC) bằng 30 Tính 0 V S ABC.

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a Gọi H là chân đường cao của tứ diện hạ

từ đỉnh S và H cách đều các đỉnh A, B, C Khoảng cách từ H đến (SBC) bằng

2

a

a/ Chứng minh S.ABC là khối chóp đều b/ Tính VS.ABC

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có cạnh CD = 2a, các cạnh còn lại bằng a 2

a/ C/m ABCD Xác định đường vuông góc chung của AB và CD

b/ Tình V ABCD

c/ Nhận dạng tam giác ACD và BCD Từ đó tìm tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ giác ABCD

Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có ABa SA, a 3

a/ Tính V S ABCD. b/ Tính khoảng cách từ tâm của ABCD đến mặt phẳng (SCD)

Bài 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có ABa, góc giữa SC với mặt đáy bằng 60 0

Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có SAa 3, góc giữa (SCD) với mặt đáy bằng 0

60

Bài 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có ABCD là hình vuông tâm O, khoảng cách từ O đến (SCD)

bằng a, góc giữa (SCD) với mặt đáy bằng 60 Tính 0 V S ABCD.

Bài 5: (KB – 2004 ) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy

bằng 60 Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) Tình V0 S.ABCD theo a

M

D

C

A

S

B

Bài 6: (NN I – 2000 ) Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a 5 Một

mặt phẳng (P) qua AB và vuông góc với (SCD) cắt SC và SD tại C’ và D’

Bài tập: Thể tích khối đa diện Giáo viên: Nguyễn Tấn Việt Tiến

C'

O

D B

A

C S

D'

Bài 7: (KTQD – 2001) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB2 ,a BC  Các cạnh bên a

bằng nhau và cùng bằng a 2

a/ Tính VS.ABCD theo a

b/ Gọi M, N là trung điểm của AB và CD, K là điểm trên cạnh AD sao cho AK =

3

a

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SK theo a

N

M

O

C

B

D

S

A I

Bài 8: Cho tứ diện đều S.ABC có cạnh bằng a Dựng đường cao SH

a/ Chứng minh SABC

b/ Tính thể tích khối chóp và diện tích toàn phần của tứ diện

c/ Gọi O là trung điểm của SH Chứng minh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau

Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a

a/ Tính thể tích của khối chóp

b/ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)

Bài 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên tạo với đáy một góc 60 và cạnh đáy bằng a 0

a/ Tính V S ABCD.

b/ Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi (P)

Bài tập: Thể tích khối đa diện Giáo viên: Nguyễn Tấn Việt Tiến

Bài 11: Cho hình chóp đều S.ABCD có khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt bên là a, góc giữa mặt bên

và đường cao bằng 0

30 a/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD

b/ Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC M là điểm trên cạn SD sao cho MS 2MD Mặt

phẳng (MEF) cắt SA tại N Tính thể tích khối chóp S.EFMN

Bài 12: (2012B) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA2 ,a AB Gọi H là hình chiếu vuông góc a

của A lên trên SC Chứng minh SC (ABH) Tính thể tích khối chóp S ABH

O

D

B

S

H

Bài 13: (09CĐ) Cho hình chóp đều S.ABCD có ABa SA, a 2 Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm

của SA, SB, CD Chứng minh MN SP Tính thể tích của khối tư diện AMNP

N

P M

O

C A

S

B

D

HD:

//







 Chú ý rằng:

3

6 48

AMNP P AMN P ASB ABP

a





Mô hình 2: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy (có hai mặt bên cùng vuông góc với đáy)

- Cạnh bên vuông góc với đáy: Là chiều cao của khối chóp

- Hai mặt bên vuông góc với đáy: Đường cao là giao tuyến

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, SA (ABC), SBa 3

a/ Tính VS.ABC b/ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, SA (ABC), (SBC) tạo với mặt đáy

một góc bằng 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC

Bài tập: Thể tích khối đa diện Giáo viên: Nguyễn Tấn Việt Tiến

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, góc ACB 300, cạnh ACa 3 Góc

giữa SB với mặt đáy (ABC) bằng 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC 0

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có SA(ABC), đáy ABC là tam giác cân tại A, góc BAC 1200, cạnh

2

BC a Góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 45 Tính 0 V S ABC.

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có SA(ABCD), SC = a 3

a/ Tính VS.ABCD b/ Tính khoảng cách giữa BD với SC

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có SA(ABCD), Góc giữa SC với

mặt đáy (ABCD) bằng 30 0

a/ Tính VS.ABCD b/ Tính khoảng cách từ A đến (SCD)

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA(ABCD) và AC2a Góc giữa (SCD)

với mặt đáy (ABCD) bằng 30 0

a/ Tính VS.ABCD b/ Tính tan của góc giữa SC với mặt đáy (ABCD)

Bài 8: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc nhọn A bằng 60 0 SA(ABCD),

khoảng cách từ A đến SC bằng a Tính V S ABCD.

Bài 9: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, có ABBCa AD, 2a

Mặt phẳng (SCD) hợp với đáy một góc bằng 60 Tính 0 V S ABCD.

Bµi 10 (KD – 2006 ) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA

vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng

SB và SC Tính thể tích của khối chóp A.BCNM

B

S

H K

HD: (Dùng tỉ số thể tích)

Bài 11: (KB – 2006 )Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2 SA

= a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao

Bài tập: Thể tích khối đa diện Giáo viên: Nguyễn Tấn Việt Tiến

điểm của BM và AC Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích

của khối tứ diện ANIB

H

I M

C

I

N

M

C

D

B

S

A

A

B

2

IC  IB  BC 

2

a

ACa BM  Từ đó suy ra:

,

Xét AIM có: AM2 AI2 IM2 suy ra AIM

vuông tại I Hay BM AC mà BM SA Suy ra (SBM)(SAC)

Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA(ABCD) ABa SA, a 2 Gọi H, K

lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD Chứng minh SC(AHK) Tính thể tích của khối tứ diện

S.AHK

Bài 13: (2011A) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, ABBC 2a, hai mặt

phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng

qua SM và song song với BC, cắt AC ở N Biết góc giữa (SBC) với (ABC) bằng 60 Tính thể tích khối 0

chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a

H

N

M

S

B

C A

K

HD: Mặt phẳng qua SM và //BC cắt AC tại N thì MN // BC

và N là trung điểm của BC Góc giữa (SBC) với (ABC) là

3

S BCNM BCNM

Bài 14: (08CĐ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, 0

90

ABBCa AD a, SA(ABCD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD Chứng minh BCNM

là hình chữ nhật và tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a

HD: Dùng tỉ số thể tích

Bài tập: Thể tích khối đa diện Giáo viên: Nguyễn Tấn Việt Tiến

N M

D A

S

Mô hình 3: Khối chóp có mặt vuông góc với đáy

Chú ý: Đường cao của khối chóp = đường cao của mặt đó và chân đường cao thuộc giao tuyến

Bài 1: Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, tam giác SAC cân tại S và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với (ABC) Tính VS.ABC trong các trường hợp:

a/ SB = a 3 b/ SB tạo với mặt đáy một góc 300

Bài 2: Cho tứ diện ABCD có BCD vuông cân tại B, CDa, ACD cân tại A và nằm trong mặt phẳng

vuông góc với (BCD) Tính V ABCD biết AB tạo với mạt phẳng (BCD) góc 0

60

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, BC a Mặt phẳng (SAC) vuông

góc với đáy, các mặt bên (SAB) và (SBC) cùng tạo với đáy 1 góc 45 0

a/ Chứng minh chân đường cao của khối chóp là trung điểm của AC

b/ Tính thể tích khối chóp S.ABC

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAD cân tại S và nằm trong mặt

phẳng vuông góc với (ABCD) Mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy một góc 30 Tính 0 V S ABCD.

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2AD = 2a Tam giác SAD cân tại S

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) Tính V S ABCD. biết SB tạo vơi đáy một góc 30 0

Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có ABC vuông cân tại A và BC a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với (ABC), góc giữa (SAC) với mặt đáy (ABC) bằng 45 Tính 0 V S ABC.

Bài 7: (KA – 2007 )Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD

Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP

Bài tập: Thể tích khối đa diện Giáo viên: Nguyễn Tấn Việt Tiến

N M

P H

C A

D

B S

( ) //( )









T

N M

P H

C A

D

B S

HD: T là trung điểm của HB thì MT (ABCD)

3

a

Bài 8: (KB – 2008 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a,SB = 3 và

mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC

Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN

M

S

D

B

A H

Bài 9: (KA – 2009 )Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a;

CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai

mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Bài tập: Thể tích khối đa diện Giáo viên: Nguyễn Tấn Việt Tiến

C I

A

D

B S

K

Bài 10: (2011D): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA3 ,a BC4a, mặt

phẳng (SBC) vuôn góc với mp(ABC) Biết SB2a 3 và SBC 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC và

khoảng cách từ B đến (SAC) theo a

3a

4a

2a 3

30 0

B

A

C

S

H D K

Bài 11: (2010 CĐ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông

góc với mặt phẳng đáy, SA = SB, góc giữa SC với mặt phẳng đáy bằng 45 Tính theo a thể tích khối chóp 0

S.ABCD

45 0

C H

A

B

D S

Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, (SAB)ABCD Góc giữa (SAD) và

Bài tập: Thể tích khối đa diện Giáo viên: Nguyễn Tấn Việt Tiến

Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, ABa 3,ADa SAC, ( )(ABCD SA), a

tam giác SAC vuông tại S Tính V S ABCD.

Bài 16: Cho hình chóp S.ABCD là hình vuông cạnh a, (SAB)(ABCD), tam giác SAB cân tại S, M là

trung điểm của CD, mặt phẳng (SBM) tạo với mặt đáy (ABCD) góc 0

60 Tính V S ABCD.

Mô hình 4: Khối chóp cho trước đường cao

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông Hình chiếu của S lên (ABCD) là trọng tâm

của tam giác ACD, SA = a, SA tạo với mặt đáy (ABCD) góc 60 M, N, P lần lượt là trung điểm của SC, 0

AB, AD a/ Tính V S ABCD. b/ Tính V M ANP.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A, D Hình chiếu của S lên (ABCD) là

trung điểm M của AC Mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 0

60 AB AD2 ,a DCa a/ Tính V S ABCD.

b/ Gọi N, P, Q lần lượt là trung điểm của SC, AB, AD Tính V NPQD

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tai A và D.Hình chiếu của S lên

(ABCD) là trung điểm của cạnh AD Góc giữa SB với mặt đáy (ABCD) bằng 60 , 0 AB AD2 ,a DCa

Tính V S ABCD.

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông tại A, 0

60

ACB  Hình chiếu của S lên trên (ABC) là trọng tâm của tam giác ABC, SBa, góc giữa SB với mặt đáy (ABC) bằng 600 Tính V S ABCD.

Bài 5: (2010D) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu

vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là H thuộc đoạn AC và

4

AC

AH  Gọi CM là đường cao của tam giác SAC Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích của khối tứ diện SMBC theo a

Bài 6: (2012A) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của S trên mặt

phẳng (ABC) là H thuộc AB sao cho HA2HB.Góc giữa SC với (ABC) bằng 60 Tính thể tích khối 0

chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a