CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP Để đơn giản cho việc hiểu và vận dụng phương pháp, trước tiên bài viết xin đưa ra khái niệm điểm đặc biệt đồng thời nêu ra một số điểm đặc biệt thường gặp và đưa và[r]
Trang 1SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐIỂM ĐẶC BIỆT
TRONG GIẢI BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH
Tác giả: ths Trần Duy Điệp
Trường THPT Trần Phú_ Đức Thọ -Hà Tĩnh
NĂM HỌC 2014-2015
I ĐẶT VẤN ĐỀ
Bài toán tính khoảng cách là một bài toán rất quan trọng trong chương trình toán học phổ thông, đặc biệt là mấy năm gần đây thường xuyên xuất hiện trong các đề thi đại học và cao đẳng Đây là một bài toán tương đối khó đối với tất cả các học sinh, vì nó sử dụng kiển thức tổng hợp của bài toán giải tam giác và các tính chất của hình học không gian Để giải bài toán này chúng ta thường sử dụng các phương pháp như: Phương pháp tính trực tiếp, phương pháp sử dụng công thức thể tích, phương pháp tọa độ, tuy nhiên mỗi người sử dụng các phương pháp đó dưới mỗi góc độ và cách nhìn khác nhau Trong các phương pháp nêu trên thì phương pháp tính trực tiếp là phương pháp cơ bản, sử dụng được cho cả học sinh lớp 11 và học sinh ôn thi đại học, cao đẳng Và để tính trực tiếp khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng chúng ta thường phải xác định được hình chiếu của điểm đó lên mặt phẳng rồi tính đoạn thẳng nối từ điểm đó đến hình chiếu của nó Tuy nhiên việc xác định và tính này không phải lúc nào cũng đơn giản, nên khi gặp bài toán khó học sinh rất khó định hướng cho việc tìm lời giải
Để giải quyết cho những vấn khó khăn đề trên, dựa trên kinh nghiệm dạy học và ôn thi nhiều năm của minh, tác giả đã đưa ra một cách định hướng tương đối hiệu quả và dễ hiễu, dễ sử dụng cho học sinh đó là “PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRONG GIẢI BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH”
Trang 2Năm học 2014-2015 2
và đây cũng là nội dung của đề tài Nội dung của bài viết này là giúp học sinh
phát hiện, xác định điểm nào là điểm đặc biệt của bài toán và kỉ năng quy
khoảng cách cần tìm về tính khoảng cách đối với điểm đặc biệt
II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
A CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP
Để đơn giản cho việc hiểu và vận dụng phương pháp, trước tiên bài viết xin
đưa ra khái niệm điểm đặc biệt đồng thời nêu ra một số điểm đặc biệt thường
gặp và đưa vào một số tính chất cơ bản nhằm sử dụng để quy khoảng cách cần tìm về tính khoảng cách đối với điểm đặc biệt
1 Điểm đặc biệt trong phương pháp
a Khái niệm điểm đặc biệt:
Điểm đặc biệt của mặt phẳng (P) (gọi tắt là điểm đặc biệt) là điểm mà dễ dàng tính được khoảng cách từ nó đến mặt phẳng (P) bằng cách xác định hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng (P) để tính
b Một số điểm đặc biệt thường gặp:
- Điểm nằm trên mặt phẳng vuông góc
Nếu (Q) và (P) vuông góc
với nhau thì mọi điểm A thuộc (Q) mà
không nằm trên (P) đều là điểm đặc biệt
của (P)
Cách xác định khoảng cách từ điểm A đến mặt (P):
Gọi H là hình chiếu của A lên giao tuyến của (Q) và (P) ta có d(A, (Q)) AH
- Điểm hình chiếu (hình chiếu của một điểm thuộc mặt phẳng (P) lên một mặt phẳng nào đó không song song với (P))
Nếu (P) cắt (Q) và H là hình chiếu
của M ( M(P)) lên (Q) thì H là
điểm đặc biệt của (P)
P
Q A
H
P
M
K
Trang 3Cách xác định khoảng cách từ H đến (P):
Gọi I là hình chiếu củ H lên giao tuyến
của (P) và (Q) và K là hình chiếu của H
lên MI Ta có HK (P) d(H, (P)) HK
(lưu ý: đây là điểm thường gặp trong các bài toán và đề thi)
*Trường hợp thường gặp trong các bài toán cụ thể
Cho hình chóp S.ABC Gọi H là hình chiếu
của S lên mặt phẳng (ABC) Khi đó H là điểm
đặc biệt của măt phẳng (SBC)
Cách xác định khoảng cách từ H đến măt phẳng (SBC):
Gọi I là hình chiếu củ H lên BC và K là hình chiếu
của H lên SI Ta có HK (SBC) d(H, (SBC)) HK
2 Một số tính chất cần lưu ý
Tính chất 1
Nếu A, B, O thẳng hàng, O thuộc mặt phẳng (Q) và AOkBO thì ta có
)) ( , (
))
(
,
(A Q k d B Q
Q
A
O A' B'
B
Q
O A
B
Tính chất 2
Nếu AB//(Q) thì d(A, (Q)) d(B, (Q))
Tính chất 3
Nếu
)
//(
'
) (
P
P
thì d( , ' ) d(M, (P))
với M là một điểm tùy ý thuộc '
B
S
H
I K
Q
A
B
M
Trang 4Năm học 2014-2015 4
Tính chất 4
Nếu
) //(
)
'
(
) ' (
'
) (
P P
P
P
thì d( , ' ) d(M, (P))
với M là một điểm tùy ý thuộc (P' )
B VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP
1 Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P)
Chúng ta thực hiện các bước suy luận như sau:
- Tìm điểm đặc biệt của mặt phẳng (P)
- Tìm cách quy việc tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) về tính
khoảng cách từ điểm đặc biệt đến mặt phẳng (P) (nhờ tính chất 1, 2)
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SB tạo với đáy một góc bằng 600 Tính
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a
Phân tích:
Trong trường hợp này điểm A chính là điểm đặc biệt của mặt phẳng (SBC) Nên ta thực hiện việc xác định hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng (SBC) như trình bày trong phần A và tính Cụ thể ta có lời giải sau:
Lời giải
Gọi I là trung điểm BC, K là hình chiếu của A
lên SI, ta có BCSI,BCSA nên BC (SAI),
AK
BC
, do đó AK (SBC)
suy ra d(A, (SBC)) AK
Mặt khác do SA vuông góc với đáy
60
SAB 0
.tan 60 3
và 3
2
a
AI
Suy ra d(A, (SBC))
5
15
2 2
a AI SA
AI SA
S
B K
P'
P
M
Trang 5Ví dụ 2: ( Đề thi đại học 2014, khối A)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
2
3a
SD , hình
chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm cạnh AB Tính theo
a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD)
Phân tích:
Trường hợp này điểm A không là điểm đặc biệt của mặt phẳng (SBD) nên sẽ
gặp khó khăn cho việc tìm hình chiếu của điểm A lên (SBD) Nếu gọi H hình chiếu của S lên (ABCD), thì điểm H mới chính là điểm đặc biệt của mặt phẳng
(SBD) Nên ta cố gắng tìm cách quy việc tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) về tính khoảng cách từ điểm đặc biệt H đến mặt phẳng (SBD) (nhờ tính
chất 1, 2) Cụ thể ta có lời giải sau:
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của AB, khi đó điểm
H là hình chiếu của S lên (ABCD)
Do H là trung điểm AB
nên d(A, (SBD)) 2d(H, (SBD)).
Gọi I là hình chiếu của điểm H lên BD, K là
hình chiếu của H lên SI, ta có BDSI,
SH
BD nên BD (SHI) BD HK ,
do đó HK (SBD) suy ra
HK SBD
H
d( , ( ))
HD SD
SH HD
SH SD2 HA2 AD2a
và .sin 2
4
a
Suy ra
3
.
2 2
a HI SH
HI SH
3
2 2
)) ( , ( 2 )) (
,
Các ví dụ 3, 4, 5 tiếp theo sẽ làm tăng dần tính phức tạp của việc quy khoảng cách của điểm cần tìm về điểm đặc biệt, nhằm rèn luyện kỉ năng nay
Ví dụ 3: ( Đề thi đại học 2011, khối D)
H
D A
S
I K
Trang 6Năm học 2014-2015 6
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA=3a, BC=4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB= 2a 3 và 0
30
SBC
Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC)
Phân tích:
Trường hợp này điểm B cũng không là điểm đặc biệt của mặt phẳng (SAC), nên đầu tiên ta cần làm là tìm một điểm đặc biệt của mặt phẳng (SAC).(việc tìm hình chiếu của một điểm nào đó thuộc mặt phăng (SAC) lên một mặt phẳng khác ta thường chọn hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy)
Giả sử điểm H hình chiếu của S lên đáy thì H là một điểm đặc biệt của mặt phẳng (SAC) Nên bước tiếp theo là ta cố gắng tìm cách quy việc tính khoảng cách từ B về tính khoảng cách từ điểm đặc biệt H (nhờ tính chất 1, 2) Cụ thể ta
có lời giải sau:
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu của S lên BC, do
) ( )
(
)
(SBC ABC SH ABC
Ta có BH BS cos 300 3a và HC=a
HC
BC 4
nên d(B, (SAC)) 4d(H, (SAC)).
Gọi I là hình chiếu của H lên AC, K là hình
chiếu của điểm H lên SI, khi đó
SI
BD ,BDSH nên BD (SHI),
HK
BD
do đó HK (SAC)
suy ra d(H, (SAC)) HK
Mặt khác sử dụng tính chất đồng dạng của
hai tam giác HIC và ABC ta có
5
3 ) (
.
2 2
a BC
AB
BH BC AB AC
HC AB HI AC
HC
AB
, HS SB sin 300 a 3
Suy ra
14
7 3
2 2
a HI
SH
HI SH
7
7 6 4
)) ( , ( 4 )) ( ,
Ví dụ 4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a,
BC=2a Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm của tam
giác ABC, góc giữa đường thẳng C’C và mặt đáy bẳng 600 Tính theo a khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (AA’C’C)
Lời giải:
Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC
khi đó A'H (ABC) Ta có
B
C
A
S
H
I K
M
H
A
C' B'
A'
I K
Trang 7)) ' ' ( , ( ))
'
'
(
,
'
(B AA C C d B AA C C
3d(H, (AA'C'C)).
Gọi I là hình chiếu của H lên AC, K là hình
chiếu của H lên A’I, khi đó
HI
AC ,ACA'H nên AC (A'HI),
HK
AC
, do đó HK (AA'C'C),
suy ra d(H, (AA'C'C)) HK
Mặt khác HI//AB
3 3
AB
Gọi M là trung điểm BC, ta có
3
2 2
1 3
2 3
BC AM
Do CC’//AA’ và A'H (ABC) 0
A AH
3
3 2 60 tan
Suy ra
39
39 2
2 2
a HI
SH
HI SH
13
39 2 3
)) ' ' (
,
'
(B AA C C HK a
Nhận xét:
Ở ví dụ này chúng ta đã thực hiện liên tiếp các bước quy từ việc tính khoảng
cách từ điểm B’ về điểm B, rồi tiếp là về điểm đặc biệt H
Ví dụ 5: ( Đề thi đại học 2007, khối D)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, 0
90
ABCBAD , BABC a,
a
AD 2 Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SAa 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB Tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)
Lời giải:
3
2
2 2 2
AB SA
SA SB
SB SH SB
SH
, ( )
3
2 ) ( , 3
2
SCD B d SCD H d SB
Gọi E là giao của hai đường thẳng
AB và CD, ta có B là trung điểm AE,
2
1 ) (
, SCD d A SCD
B
, ( )
3
1 ) (
, SCD d A SCD
H
Gọi M là trung điểm AD
Ta có MA=MD=MCACCD
Gọi K là hình chiếu của A lên SC,
M A
D
S
H
K
Trang 8Năm học 2014-2015 8
ta có CDAC,CDSA
CD(SAC) CDAK
do đó AK ((SCD), suy ra d(A, (SBC)) AK
Mặt khác do AC AB2 BC2 a 2 AK SC SA2 AC2 a
2
1 2
1
3 3 )) (
,
(B SCD HK a
Nhận xét:
Ở ví dụ này chúng ta cũng đã thực hiện liên tiếp các bước quy từ việc tính
khoảng cách từ điểm H về điểm B, rồi tiếp đến là về điểm đặc biệt A, nhưng ở
mức độ khó hơn
Ví dụ 6: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại A, BC=2a
cạnh bên AA’= a , biết A’ cách đều các đỉnh A, B , C Gọi M, N lần lượt là trung điểm AA’ và AC Tính theo a khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (MNB)
Phân tích:
Nếu gọi H là trung điểm BC khi đó H là hình chiếu của A’ lên mặt phẳng
(ABC) Tuy nhiên đây chưa phải là điểm đặc biệt của mặt phẳng (MNB)
vìA' (MNB) Hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC) mới là điểm đặc biệt của mặt phẳng (MNB) Ở đây đề cập đến điểm M vì cách xác định hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC) có thể dựa vào điểm A’ đã biết hình chiếu
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của BC,
ta có HA=HB=HC A'H (ABC)
Từ M kẻ ME(E AH) song song với A’H
(ABC)
ME
Gọi F là giao của AC’ và MN
ta có C’F=3AF
d(C' , (MNB)) 3d(A, (MNB))
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có
AG AG
AG AH AG AE
AG
EG
4
1 4
3 2
EG
AG 4
d(A, (MNB)) 4d(E, (MNB))
)) (
, ( 12 )) (
,
'
(C MNB d E MNB
Gọi I là hình chiếu của E lên BN, K là
hình chiếu của E lên MI, khi đó
EI
BN ,BN ME BN (MEI) BN EK, do đó EK (MNB)
F
G
N
E M
H
B
B'
A'
C'
I K
Trang 9suy ra d(E, (MNB)) EK
Mặt khác sử dụng tính chất đồng dạng của hai tam giác EIG và BHG ta có
10 2 4
1
2 2
a HG
BH
AG BH
BG
EG BH EI BG
EG
BH
EI
2
' 2
1 ' 2
AH AA H
A
Suy ra
22
11
2 2
a EI ME
EI ME
11
11 6 12
)) (
, '
Ví dụ 7 tiếp theo sẽ minh họa cho điểm đặc biệt nằm trên mặt phẳng vuông
góc
Ví dụ 7: ( Đề thi đại học 2011, khối B)
Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chử nhật, AB = a,
AD = a 3 Hình chiếu vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với
giao điểm của AC và BD Tính theo a khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD)
Phân tích:
Do mặt phẳng ABCD (A'BD) nên mọi điểm nằm trong mặt phẳng đáy đều là
điểm đặc biệt của mặt phẳng (A’BD) Nên ta sẽ cố gắng quy việc tính khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD) về một điểm nào đó trong mặt phẳng
(ABCD)
Lời giải:
Do B'C//A'DB'C//(A'BD)
)) ' ( , ( )) '
(
,
'
(B A BD d C A BD
Gọi O là giao điểm của AC và BD
) (
'O ABCD
Gọi E là hình chiếu vuông góc của C
lên BD CE (A'BD), suy ra
2
3
))
'
(
,
(
2 2
a CB CD
CB CD CE
BD
A
C
Vậy
2
3 ))
(
,
'
(B ABD CE a
2 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và '
Chúng ta sẽ thực hiện các bước suy luận như sau:
O
A
D
C
C'
B B'
E
Trang 10Năm học 2014-2015 10
- Tìm cách quy việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (nhờ tính chất 3, 4)
- Bước tiếp theo là tiếp tục công việc của bài toán tính khoảng cách
từ một điểm đến một mặt phẳng như phần 1 trình bày trên
Ví dụ 8 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, AB=a,
AC=2a cạnh bên AA’=a Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’C’
Phân tích:
Đây là bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng này cũng không vuông góc với nhau nên ta cần quy về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng nhờ tính chất 3 hoặc 4 Dễ nhận
thấy mp(A’BC)//C’B’ Do đó d(C'B' ,A'B) d(C'B' , (A'BC))
Mặt khác A là điểm đặc biệt của mp(A’BC) nên ta cần chọn một điểm trên
C’B’ sao cho có thể quy việc tính khoảng cách từ điểm đó đến mp(A’BC) về tính
khoảng cách từ điểm A đến mp(A’BC) một cách dễ dàng Cụ thể ta có lời giải
sau:
Lời giải:
Do B’C’//BCBC//(A'BC)
B'C' ,A'B d B'C' , (A'BC)
B' , (A'BC) d A, (A'BC)
Gọi I là hình chiếu của A lên BC,
K là hình chiếu của A lên A’I, khi đó
AI
BC ,BC A'A BC (A'AI),
AK
BC
do đó AK (A'BC)
suy ra d(A, (A'BC)) AK
Mặt khác, ta có
5
2
2 2
a AC
AB
AC AB
Suy ra
3
2 '
'
2 2
a AA
AI
AA AI
Vậy
3
2 )
' ,
'
'
(B C A B AK a
Ví dụ 9 (Đề thi đại học 2012, khối A)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB Góc
A
A'
I K
Trang 11Năm học 2014-2015 11
giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600 Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC
Phân tích:
Trường hợp này ta cũng chọn một mặt phẳng (P) chứa SA và song song với
BC để quy bài toán về tính khoảng cách từ mộ điểm đường thẳng BC đến (P) vì
mặt phẳng (P) nay sẽ có điểm đặc biệt H Theo giả thiết HA=2HB nên ta có thể chọn B thuộc đường thẳng BC để đễ dàng quy về điểm H Từ đó ta có lời giải
sau:
Lời giải:
Gọi là đường thẳng qua A và song song
với BC, ta có BC//(AS,)
, , ( , ) , ( , )
d BC AS d BC AS d B AS
Theo giả thiết HA=2HB BA HA
2
3
2
3 ,
B
d
Gọi I là hình chiếu của H lên , K là hình
chiếu của H lên SI, khi đó HI , SH
nên (SHI) HK, do đó HK (SA, )
suy ra d(H, (SA, )) HK
Mặt khác,
3
7 60
cos
2
AH AC AH
AC
SH ABC SCH
3
21 60
tan
HC
.sin( ) sin 60
3
a
HI HA HAI HA Suy ra
12
42 '
.
2 2
a HS HI
HS HI
Vậy
8
42 2
3 ) ,
(BC SA AK a
Ví dụ 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là hình chử nhật,
trung điểm của các cạnh SB, CD và AD Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SP
Lời giải:
Gọi H là giao của AC và BD,
do SASBSCSD nên H là hình chiếu
của S lên (ABCD)
C
B
S
A
H I
K
P
M
S
K