Nói cách khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúng phải nằm 0,5đ trên đường trung trực của AC, nghĩa là chúng thẳng hàng.. Chú ý: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điể[r]
Trang 1PHÒNG GD& ĐT YÊN LẠC
TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU
ĐỀ KSCL HỌC SINH GIỎI LỚP 8 LẦN 1
NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1:(1.5 điểm)Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 4
x 4
b) x4 + 2020x2 + 2019x + 2020
Câu 2 : (1.5 điểm) Cho a – b = 5 và a.b = 2 Tính :
a ) A = a3 – b3
b) B = 3(a4 + b4) + 2(a5 – b5)
Câu 3: (2 điểm)Tìm số tự nhiên n để:
a ) A=n3-n2+n-1 là số nguyên tố
b ) B= n5-n+2 là số chính phương (n N n ; 2)
Câu 4: (1 điểm)
a) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :
3
c b
c a
b a
c b a
b)Cho a > b > 0 so sánh 2 số x , y với :
1 1
a
a a
1 1
b
b b
Câu 5: (1,5 điểm)
a)Tính tổng: S = 31 – 21 + 32 – 22 + 33 – 23 + … + 32019 – 22019
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015
Câu 6 : (2,5 điểm) Cho hình vuông ABCD Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với
nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S
b) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS Chứng minh tứ giác AMHN
là hình chữ nhật
d) Chứng minh MN là đường trung trực của AC
e) Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng
Trang 2
PHÒNG GD- ĐT YÊN LẠC
TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN 8 NĂM HỌC 2020 - 2021
Câu 1
(1,5đ)
a )x4 + 4 = (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 = ( x2+2)2- (2x)2
= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x)
0,5
b) x4 + 2020x2 + 2019x + 2020 = x4 x 2020x2 2020x 2020 0.5
=x x 1 x 2 x 1 2020 x 2 x 1 = x2 x 1 x 2 x 2020 0,5
Câu 2
(1.5đ)
a) A = (a – b)(a2 + ab + b2) = 5[(a – b)2 + 3ab] = 5(25 + 3.2) = 155 0,5
b)
a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = [(a – b)2 + 2ab]2 – 2a2b2
= (25 + 2.2)2 – 2.22
= 833
a5 – b5 = (a2 + b2)(a3 – b3) + a2b3 – a3b2
= [(a – b)2 + 2ab] (a – b)(a2 + ab + b2) + a2b2(b – a)
= [(a – b)2 + 2ab] (a – b) [(a – b)2 + 3ab] + a2b2(b – a)
= (25 + 4) 5 (25 + 6) – 4.5
=4475
Vậy B = 3 833 + 2 4475 = 11449
0.25
0,5 0,25
Câu 3
(2đ)
+)Nếu n = 0; 1 không thỏa mãn đề bài
+)Nếu n = 2 thỏa mãn đề bài vì p = (22 + 1)(2 - 1) = 5
+)Nếu n > 3 không thỏa mãn đề bài vì khi đó p có từ 3 ước trở lên là
1; n – 1> 1 và n2 + 1 > n – 1> 1
0.5
b) B=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2
=n(n-1)(n+1) 2 4 5
mà n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)5 (tích của 5số tự nhiên liên tiếp)
Do đó số B có tận cùng là 2 hoặc 7nên B không phải số chính phương
Câu 4
(1đ)
a) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0
y x c z x b z
;
0,25
Trang 3=>A=
) (
) ( ) ( 2
1 2 2
z z
y x
z z
x y
x x
y z
y x y
z x x
z y
Từ đó suy ra A 2(2 2 2)
1
b)Ta có x,y > 0 và
a
Vì a> b > 0 nên 2 2
a b và
a b Vậy x < y
0,5
Câu 5
(1,5 đ) a)S = 31 – 21 + 32 – 22 + 33 – 23 + … + 32019 – 22019
= (31 + 32 + 33 + … + 32019) – (21 + 22 + 23 + …+ 22019)
Đặt A = 31 + 32 + 33 + … + 32019, B = 21 + 22 + 23 + …+ 22019
A = 31 + 3 2 + 3 3 + … + 3 2018 + 3 2019
3A = 3 2 + 3 3 + 3 4 + … + 3 2019 + 32020
⇒ 3A – A = 32020 - 31
⇒ A =
32020− 3 2
B = 21 + 2 2 + 2 3 + …+ 2 2018 + 2 2019
2B = 2 2 + 2 3 + 2 4 + … + 2 2019 + 22020
⇒ 2B – B = 22020 - 21
⇒ B = 22020 – 2
Vậy S =
32020−3
2 −(2
2020−2)=32020−22021+1
2
b )A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015
= y2 + 4xy - 2y + 13x2 - 16x + 2015
= y2 + 2y(2x - 1) + (2x -1)2 + 9x2 - 12 x + 2015
= (y + 2x - 1)2 + (3x - 2)2 + 2010
Chứng tỏ A 2010, dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi (x = 3
2
; y = 3
1
) Vậy min A = 2010 khi (x = 3
2
; y = 3
1
)
0.25
0,25
0,25 0,25
0,25
0,25
Trang 4Hình vẽ.
Vẽ đúng hình, cân đối đẹp
t.ư vuông góc) và DA = BD (cạnh hình vuông) Suy ra AQ=AR, nên
Δ ABP = Δ ADS
Mặt khác : PAN PAM = 450 nên góc MAN vuông Vậy tứ giác AHMN
có ba góc vuông, nên nó là hình chữ nhật
d) Xét tam giác vuông cân AQR có MA là trung tuyến nên AM =
1 2 QR
Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông
SCP, ta có NA = NC, nghĩa là N cách đều A và C Hay MN là trung
trực của AC
e) Vì ABCD là hình vuông nên B và D cũng cách đều A và C Nói cách
khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúng phải nằm
trên đường trung trực của AC, nghĩa là chúng thẳng hàng.
- Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
- Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai cơ bản thì không chấm bài hình
0,5 0,5
0,25đ 0,25đ 0,5đ