Tài liệu Luyện phương trình từ khó đến cực khó P1 pptx

Vấn đề 3: Phương trình - bất phương trình bậc 2 chứa giá trị tuyệt đối.. Một số phương pháp giải: Để giải phương trình, bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, người ta thường t

Hướng dẫn giải bài tập

Bài 1: Giải và biện luận bất phương trình

4x2 - 2(m + 1+ )x + mm 1+ < 0 m (1)

Giải: + m + 1 < 0 ⇒ 1+ không có nghĩa ⇒ không tồn tại bất phương trình (m < m -1)

+ Nếu m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ -1 giải nghiệm tam thức vế trái được

xa = 2

m

; xb =

2

1

m+

+ Nếu

2

m <

2

1

m+ ⇔ m < m+ ⇔ -1 ≤ m < 1

2

5

1+

thì nghiệm của (1) là

2

1 m x

2

<

<

+ Nếu

2

m >

2

1

m+ ⇔ m >

2

5

1+

thì nghiệm của (1) là

2

m x 2

1

m+ < <

+ Nếu

2

5 1 m 2

1 m 2

=

⇔

+

Bài 2: Tìm m để bất phương trình x2 - 2mx + 2x - m + 2 > 0 với ∀x

Giải:

+ Thêm bớt m2 ta có:

(x - m)2 + 2x - m + 2 - m2 > 0 với ∀x

+ Đặt x - m = t ≥ 0 ⇒ bất phương trình trở thành

f(t) = t2 + 2t + 2 - m2 > 0 ∀t ≥ 0 ⇒ tđỉnh = -1

Vậy t ≥ 0 hàm f(t) đồng biến và ( )

0 t

t f

min

≥ = f(0) = 2 - m2

Do đó f(t) > 0 với ∀t ≥ 0 ⇔ 2 - m2 > 0 ⇔ m < 2

Bài 3: Tìm a để x2 - ax + 1 > 0 (1) với ∀x > 0

Giải:

+ (1) ⇔ x + a

x

1 >

+ Đặt f(x) = x +

x

1 > 0 với ∀x > 0 tương đương ( )

0 x

a x f

min

> >

+ Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: x +

x

1 ≥ 2 với ∀x > 0 dấu bằng xảy ra khi x

=

x

1 x> 0

⇔ x = 1 ⇒ ( )

0 x

x f

min

> = f(1) = 2 > a + KL: a < 2 thì (1) đúng ∀x > 0

Bài 4: Tìm m để bất phương trình: 0

x cos m 1 m

m m x cos m

2 2

2 2

>

ư +

+

ư

với ∀x (1) Giải:

+ Đặt t = cos2x ⇒ t ∈ [0, 1] khi đó bất phương trình trở thành

0 mt 1 m

m m

mt

2

2

>

ư +

+

ư

⇔ (mt - m + m2)(m2 + 1 - mt) > 0 (2) Với ∀t ∈ [0, 1]

+ Với m = 0 ⇒ (2) không nghiệm

+ Với m ≠ 0 ⇒ Tam thức vế trái có hệ số của t2

là -m2 < 0 do đó để ∀ ∈ [0, 1]

là nghiệm

( )

( )

<

⇔







>

+

ư

>

ư

⇔







>

>

⇔







<

ư

<

ư

1 m

0 m 0

1 m m

0 m m 0

1 f

0 0 f 0

1 f m

0 0 f m

2

2 2

2

+ Kết luận m < 0 hoặc m > 1 bất phương trình (1) đúng ∀x

Bài 5: Tìm a để 2 bất phương trình sau tương đương

(a - 1)x - a + 3 > 0 (1) (a + 1)x - a - 2 > 0 (2) Giải:

+ Nếu a = ± 1 ⇒ (1): ∓1+3>0

∓1ư2>0

⇒ không tương đương

+ Nếu a > 1 nghiệm của (1) là x >

1 a

3 a

ư

ư

và của (2): x >

1 a

2 a +

+ để (1) tương

1 a

2 a 1 a

3

+

+

=

ư

ư

+ Nếu -1 < a < 1: nghiệm của (1): x <

1 a

3 a

ư

ư

và nghiệm của (2): x >

1 a

2 a +

+ ⇒ 2 khoản trên không thể trùng nhau ⇒ không tương đương

+ Nếu a < -1: nghiệm của (1): x <

1 a

3 a

ư

ư

và của (2) x <

1 a

2 a + +

(1) tương đương (2) ⇔

1 a

2 a 1 a

3 a

+

+

=

ư

ư

⇔ a = 5 (loại) + Kết luận: a = 5, 2 bất phương trình tương đương

Đ3 Vấn đề 3: Phương trình - bất phương trình bậc 2 chứa giá

trị tuyệt đối

A Một số phương pháp giải:

Để giải phương trình, bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, người ta thường tìm cách khử giá trị tuyệt đối bằng một số phương pháp sau:

1 Phương pháp dùng định nghĩa

a Bất phương trình: f(x) > g(x)

⇔ ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )





















ư

=

<







≥

=

⇔

=







ư

<

>

x g x f

0 x f

0 x f

x g x f x

g x f

; x g x f

x g x f

b Bất phương trình: f(x) < g(x) ⇔ ( )

( ) ( ) ( )







<

<

ư

>

x g x f x g

0 x g

c f(x) = g(x) ⇔ f(x) = ±g(x)

2 Phương pháp luỹ thừa

a f(x) > g(x)

⇔

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )





















∈

<







≥

=

⇔

=







≥

>

bpt của dịnh xác tập D x

0 x g

0 x g

x g x f x

g x f

; 0 x g

x g x

b f(x) < g(x) ⇔

( ) ( )







<

>

x g x f

0 ) x ( g

2 2

c f(x) ≥ g(x) ⇔ f2(x) ≥ g2(x) ⇔ [f(x) + g(x)][f(x) - g(x)] ≥ 0

3 Phương pháp chia khoảng: tìm nghiệm của các biểu thức trong giá trị tuyệt

đối, xét dấu các biểu thức đó rồi dựa vào định nghĩa phá giá trị tuyệt đối các biểu thức; sau đó giải phương trình - bất phương trình trên từng khoảng đã được phá giá trị tuyệt

đối và kết luận

4 Phương pháp hàm số và đồ thị: Dùng đồ thị của hàm số bậc 2 và bậc nhất để giải bài toán phương trình - bất phương trình có chứa giá trị tuyệt đối bằng cách: điều chỉnh các vế của phương trình - bất phương trình sao cho một vế việc vẽ đồ thị dễ dàng và thường cố định vế kia đồ thị di động theo tham số hoặc cũng là đồ thị cố định

và dễ vẽ Từ đó xét vị trị tương đối của 2 đồ thị ở 2 vế của phương trình - bất phương trình mà suy ra kết quả

B Các ví dụ:

(1) Ví dụ 1: Giải bất phương trình: x2 - 5x + 5 ≤ -2x2 + 10x - 11(1)

Cách 1: + Đặt x2 - 5x + 5 = y thì bất phương trình (1) trở thành

y ≤ 2y 1 ⇒ điều kiện 2y 1 > 0 ⇔ y <

-2

1 ⇒ y < 0 Bất phương trình trở thành: -y ≤ -2y - 1 ⇔ y ≤ -1 vậy ta có

x2 - 5x + 5 ≤ -1 ⇔ x2 - 5x + 6 ≤ 0 ⇔ 2 ≤ x ≤ 3

+ Kết luận: nghiệm của bất phương trình là 2 ≤x ≤ 3

Cách 2: Bằng phương pháp khoảng: xét dấu của x2 - 5x + 5

x -∞

2

5

5ư

2

5

+ Xét trên khoảng x <

2

5

5ư

⇒ (1) x2 - 5x + 5 ≤ -2x2 + 10x - 11 giải bất

phương trình trên khoảng x <

2

5

5ư

các em tự làm trên các khoảng vẽ có kết quả như trên

2 Ví dụ 2: Giải và biện luận bất phương trình: x2 - 5x + 4 < 2a (1)

Giải: đặt y1 = x2 - 5x + 4 =







<

<

+

ư

ư

≥

≤ +

ư

4 x 1 với 4

5x x

4 x 1;

x với 4

5x x

2 2

⇒ Vẽ đồ thị y = x2

- 5x + 4

+ Đặt y = a và vẽ đồ thị là đường thẳng song song ox cắt oy ở điểm có tung độ bằng 2a

+ Từ đồ thị ta có

-2a ≤ 0 bất phương trình vô nghiệm (vì đồ thị y1 trên y2)

- 0 < a ≤

8

9 bất phương trình có nghiệm: xA < x < xB; xC < xD

9/4

0 4

y1 = x 2 - 5x + 4

- a >

8

9

bất phương trình có nghiệm xA < x < xD (ở đây xA, xD là nghiệm của phương trình x2 - 5x + 4 - 2a = 0

⇒ xA, D =

2

a 8 9

5± +

; xB, xC là nghiệm của phương trình -x2 + 5x - 4 - 2a = 0

⇔ x2 - 5x + 4 + 2a = 0, xB, xC =

2

a 8 9

5± ư

)

* Chú ý: có thể giải bài toán trên bằng phương pháp luỹ thừa

((x2 - 5x + 4)2 < 4a2 với a > 0 hoặc bằng phương pháp chia khoảng)

Ví dụ 3: Tìm a để phương trình (1) : -2x2 + 10x - 8 = x2 - 5x + a có 4 nghiệm phân biệt

Giải:

+ Phương trình trên (1) ⇔ -2x2 + 10x - 8 - x2+ 5x = a

+ Đặt y1 = f(x) = -2x2 + 20x - 5 - x2 + 5x =

( )











<

<

ư +

ư







≥

≤ +

ư

4 x 1 với P 8 15x 3x

4 x

1 x với P 8 5x x

2 2

1 2

- Vẽ đồ thị y1; y2 = a là đường thẳng song song ox cắt oy ở điểm có tung độ a

- Nhìn vào đồ thị ta có 4 < a <

4

43 thì 2 đồ thị cắt nhau tại 4 điểm ⇒ phương trình đã cho có 4 nghiệm

4/3

a

x

y

* Nhận xét: trong hai ví trụ trên; vì tách riêng được tham số m nên việc giải bằng đồ thị ngắn gọn và nhẹ nhàng hơn

4 Ví dụ 4: Giải và biện luận

x2 - 2x + a ≤ x2 - 3x - a (1)

Giải: + (1) ⇔ (x2 - 2x + a)2 ≤ (x2 - 3x - a)2

⇔ (x2

- 2x + a)2 - (x2 - 3x - a)2 ≤ 0

≤ (x + 2a)(x2 - 5x) ≤ 0 (2) + Biện luận

- Nếu a < 0 ⇒ -2a < 4 ⇔ - a 0

2

5 < < khi đó dấu VT của (2) là

nghiệm của bất phương trình là x ≤ 0 <

2

5 khi đó dấu vế trái của (2) là

nghiệm của bất phương trình : x ≤ -2a; 0 ≤ x ≤

2 5

5 Ví dụ 5: Giải và biện luận phương trình

ax + 2 + ax - 1 = b (1) Giải: + (1) ⇔ (x + 2 + x - 1)a = b (2)

+ Biện luận

- Nếu a = 0 và b ≠ 0 ⇒ (2) Vô nghiệm ⇒ (1) Vô nghiệm

- Nếu a = b = 0 ⇒ (2) có nghiệm ∀x ⇒ (1) nghiệm ∀x

- Nếu a ≠ 0 thì (2) ⇔ f(x) = x + 2 + x - 1 = g( )x

a

b =

0 -2a 5/2

⇒ f(x) =











≥ +

<

≤

ư

ư

<

ư

ư

1 x với 1

2x

1 x 2 với 3

2 x với 1

2x

có đồ thị

Biện luận:

- Dựa vào đồ thị ta có:

*/ 3

a

b < phương trình (1) vô nghiệm

*/ 3

a

b = phương trình (1) có vô số nghiệm: -2 ≤ x ≤ 1

*/ 3

a

b > Phương trình (1) có nghiệm:









 +

ư

=











 +

=

⇒

a 2

b a 2

a

b 1 x a

b

1

2x + 1 =

a 2

a b 2

1 a

b x a

b

2

ư

=

ư

=

⇒

6 Ví dụ 6: Cho y = 3x2 - 6x + 2a - 1 với x ∈ [-2, 3] Tìm a để maxy đạt giá trị min

Giải:

x

y

-2 0

a

b

g(x) =

a b

f(x)

3

+ Ta thấy ngay theo tính chất của hàm bậc 2:

maxy = max{y(-2); y(1); y(3)}

= max{2a + 23}; 2a - 4; 2a + 8}

+ Dựng đồ thị của 3 hàm số

y1 = 2a + 23; y2 = 2a - 4; y3 = 2a + 8 trên 1 hệ trục tọa độ oay Trên đồ thị có: các giá trị maxy thuộc phần vẽ nét đậm và trên đó min chính tại điểm I là giao

của 2a + 23 = 2a + 4 ⇒ a =

-4

19

Bài tập:

Bài 1: Giải và biện luận : x - 1(x + 2) + m = 0

Bài 2: Xác định a để phường trình: 2x2 - 3x - 2 - 5a + 8x + 2x2 = 0 có nghiệm duy nhất

Bài 3: Tìm m để miny = x2 + (m + 1)2 + 2x + m - 1 không lớn hơn 3

Bài 4: Tìm m để f(x) = (x - 2)2 + 2x - m ≥ 3 với ∀x

y

a

I

2

0 -4

-2 23