Tài liệu Luyện phương trình từ khó đến cực khó P2 doc

Hướng dẫn giải bài tập 1... Chuyên đề: Phương trình – bất phương trình vô tỉ Đ1.. Vấn đề 1: Các phương pháp thường dùng khi giải phương trình – bất phương trình vô tỉ A.. Các bất phươn

Hướng dẫn giải bài tập

1 Bài 1: Giải và biện luận : |x-1|(x+2) + m = 0 (1)

Giải:

( )







<

ư

=

ư +

≥

ư

=

ư +

4 1 x với m

2 x x

3 1 x với m

2 x x

2 2

+ Nếu x2 + x – 2 = -m có nghiệm thì x1,2 =

2

m 4 9

1± ư

ư

+ Nếu x2 + x – 2 = m có nghiệm thì x3,4 =

2

m 4 9

1± +

ư

+ Dựa vào đồ thị ta thấy:

* Nếu m <

-4

9

⇒ -m >

4

9

(đồ thị vế trái của (3) cắt y = - m ở 1 điểm

x2 =

2

m 4 9

1+ ư

ư

> 1 và đồ thị vế trái của (4) không cắt y = m ⇒ phương trình (1) có 1 nghiệm là x2

* Nếu

-4

9 ≤m <0 thì (3) cho 1 nghiệm x2 và (4) cho 2 nghiệm x3,x4

* Nếu m = 0 thì (3) cho 1 nghiệm x2 = 1; (4) cho 2 nghiệm x3; x4 = 1 ⇒

y=m (m>0)

y=-m (m>0) 1

-9/4

y

-1/2

* Nếu m > 0 thì (3) không có nghiệm (2 đường thẳng không cắt nhau; và (4) cho 1 nghiệm x3 (vì 2 đồ thị chỉ cắt tại 1 điểm x3 < 1)

2 Bài 2: Xác định a để phương trình |2x2 – 3x – 2| = 5a – 8x – 2x2 (1) có nghiệm duy nhất

Giải:

+ (1) ⇔ |2x2 – 3x – 2| + 2x2 + 8x = 5a

+ Đặt y1 = |2x2 – 3x – 2| + 2x2 + 8x = 4x2 + 5x – 2 với x ≤ -

2

1

;x ≥ 2

11x + 2 với -

2

1

< x < 2

y2 = 5a









ư ư

16

57

; 8 5

+ Dựa vào đồ thị ⇒ phương trình (1) có nghiệm duy nhất ⇔ 5a =

-16

57

⇔ a =

-80

57

Bài 3: Tìm m để miny = x2 + |m+1|2 + 2+x+m-1| ≤ 3

-1/2 -2

-7/2

2

y=-m (m>0) x

y

y=50 -3/8

-57/16

Giải;

+ Đặt |x+m-1| = t ≥ 0

+ Trường hợp t = x+ m - 1 ⇒ y = t2 - 2(m-2)t + 2(m2+1)

⇒ Hoành độ đỉnh của (P) là tĐ = m-2; nếu tĐ > 0 ⇔ m >2 thì miny = y(tĐ) = (m-2)2 - 2(m-2)2 + 2(m2+1) = m2 + 4m - 2 ≤ 3

⇔ -5 ≤ m ≤ 1 không thoả mãn m > 2

Nếu tĐ < 0 ⇔ m < 2 ⇔

0 t

min

≥ y = y(0) = 2m2 + 2 ≤ 3 ⇔ |m| <

2

2

(do t≥ 0 hàm

đồng biến)

+ Trường hợp t = -x - m + 1 ⇒ y = t2 + 2mt + 2(m2 + 1) ta có đỉnh của (P) lúc này có hoành độ tĐ = -m

- Nếu tĐ ≤ 0 ⇔ m ≥ 0 ⇒

0 t

min

≥ y = y(0) = 2m2 + 2 ≤ 3⇔0≤ m≤

2

2

(3)

+ Từ (1) , (2), (3) kết luận -1 ≤m ≤

2

2

thì min y≤ 3 Bài 4: Tìm m để f(x) = (x-2)2 + 2|x-m| ≥ với ∀x (1)

Giải: + (1) ⇔ (x-2)2 ≥ 3-2|x-m|

+ Đặt y1 = (x-2)2 và y2 = 3-2|x-m| bài toán trở thành tìm m để đồ thị hàm y2

nằm dưới đồ thị hàm y1 ta có y2 =







≥ +

ư

≤

ư +

m x với 2m 2x 3

m x với 2m 2x 3

+ Xét 2 tiếp tuyến của y1 có hệ số góc ± 2 ta có 2 tiếp tuyến đó có phương trình: y = 2x - 5 và y = -2x+3 nên để y1 nằm trên y2 với ∀x cần và đủ là

y = -2x+3 ở trên y = -2x + 2m + 3 ⇔ 3 ≥ 2m + 3 ⇔ m ≤0

y = 2x-5 ở trên y = 2x - 2m + 3 ⇔ -5 ≥ 3-2m ⇔ m ≥ 4

V Chuyên đề: Phương trình – bất phương trình vô tỉ

Đ1 Vấn đề 1: Các phương pháp thường dùng khi giải phương trình – bất

phương trình vô tỉ

A Các bất phương trình cơ bản

1 x f( )x < g(x) ⇔ f(x) ≥ 0

g(x) > 0

2 x f( )x > g(x) ⇔ g(x) ≤0

g(x) ≥ 0 f(x) < [g(x)]2k

3 k f( )x > kg( )x ⇔ g(x) ≥ 0

B Các phương pháp thường dùng

1 Phương pháp lũy thừa: Cô lập căn thức và luỹ thừa 2 vế

2 x 3

x2

ư

=

ư

ư

Giải: + ĐK: x >

3

2 khử mẫu ta có

+ Ta có (1) ⇔ x2 – 3x +2 = (1-x) 3x ư 2

⇔ (x-1)(x-2) + (x-1) 3x ư2 = 0

⇔ (x-1)[(x-2) + 3x ư2] = 0 ⇔ x –1 = 0 (2)

2 x

3 ư = 2-x (3)

+ Giải (2) ⇔ x = 1

+ Gi¶i (3) ⇔ 2-x ≥ 0

3x – 2 = x2 – 4x + 4

6 x

1 x

2 x

=

⇔

















=

=

≤

+ KÕt luËn: Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1

b VÝ dô 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 3 x −1+ 3 x −2 =3 2x −3 (1)

Gi¶i :

+ (1) ⇔ (x-1)+ (x-2) + 33 (x −1)(x −2) ( [3 x −1)+3 (x −2) ] = 2x – 3

+ (1) ⇔ 3 (x−1)(x −2)(2x −3) = 0 ⇔ x = 1; 2;

2 3

c VÝ dô 3: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh 2x2 −6x +1 > x-2 (1)

Gi¶i:

+ (1) ⇔





























−

>

+

−

>

+

−

≥

−







≥ +

−

<

−

2 2

2 2

2 x 1 x 6 x 2

0 1 x 6 x 2

0 2 x

0 1 x 6 x 2

0 2 x

⇔









































>

































>

ư

<













+

>

ư

<

≥

ư

≤





























+

≥

ư

≤

<

3 x

3 x

1 x

2

7 3 x

2

7 3 x

2 x

2

7 3 x 2

7 3 x

2

7 3 x

2 x

+ Kết luận: Nghiệm của bất phương trình x ≤

2

7

3ư

hoặc x > 3

2 Phương pháp đặt ẩn phụ

a Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên củaphương trình x2 +x + 12 x+ =36 1

Giải (1): + đặt x+ = t ≥ 0 ⇒ (1) ⇔ (x+1)1 2 - (x+1)+12 x+ = 36 1

Do đó (1) có dạng t4- t2 + 12t - 36 = 0

⇔ (t-2) (t3+2t2+3t+18) = 0 ⇔ (t-2)(t+2)(t2-t+6) = 0

do điều kiệu t ≥ 0 ⇒ t = 2 ⇔ x+ = 2 ⇔ x == 3 1

b Ví dụ 2: Giải bất phương trình

1 x 10 x

5 2 + + > -x2 - 2x + 7 (1)

Giải:

+ §Æt 5x2 +10x+1 = t ≥ 0 ⇒ x2 + 2x =

5

1

t2 − bÊt ph−¬ng tr×nh (1) trë

thµnh: t2 + 5t - 36 ≥ 0 ⇒ t 4

4 t

9

t t 0

≥

⇒







≥

−

Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: 5x2 +10x +1 ≥ 4 ⇔ x2 + 2x - 3 ≥ 0

⇔ x ≤ -3 U x ≥ 1 lµ nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh (1)

3 Ph−¬ng ph¸p ®−a ph−¬ng tr×nh vÒ mét hÖ ph−¬ng tr×nh bÊt ph−¬ng tr×nh

a VÝ dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh x2 + x +5 = 5 (1)

Gi¶i: §Æt x +5 = t ≥ 0 ⇒ t2 = x+5 ta cã hÖ sau







=

−

= +

5 x t

5 t x

2

2







=

− +

−

= +

0 t x t x

5 t x

2 2

2

⇔







=

−

− +

= +

0 1 t x t x

5 t

x2

⇔





















=

−

= +







= +

= +

1 t x

5 t x

0 t x

5 t x

2

2





















=

− +

≥ +

=







=

− +

−

≥

−

=

0 4 x x

0 1 x t

0 t x t x

0 x t

2

2 2

⇔



























±

−

=

−

≥









±

=

≤

2

17 1

x

1 x

2

21 1

x

0 x

VËy ph−¬ng tr×nh (1) cã c¸c nghiÖm : x1 =

2

21

1−

; x2 =

2

17

1+

−

c VÝ dô 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 7x2 + 7x =

28

9 x

víi x > 0

Gi¶i: + §Æt

28

9 x

= t +

2

1

⇔ t>0 v×

28

9 x

>

28

9 >

2

1 4

1 =

+ ⇒













+

= +

+

= +

2

1 x t 7 t 7

2

1 t x 7 x 7

2

2

⇒









= + +

ư

+

= +

0 8 t 7 x 7 t x

2

1 t x 7 x

7 2

⇒









=

ư +

⇔

=

ư

ư +

=

0 2

1 x 6 x 7 0 2

1 x x 7 x 7

t x

2 2

x =

14

50

6±

x =

14

50

6+

ư

(loại gt âm vì x > 0)

4 Phương pháp so sánh:

a Ví dụ 1: Giải phương trình:

2

xư + 4ư = xx 2 – 6x + 11

giải:

VT = x ư2 + 4ưx ≤ 2(x ư2+4ưx) = 2 (BĐTBCS)

VP = x2 – 6x + 11 = (x-3)2 + 2 ≥ 2

+ VT ≤ 2 ≤ VP ⇒ VT = vP = 2 khi

2

xư = 4ư x

b Ví dụ 2: Giải bất phương trình:

2 x 3

x2 ư + + x2 ư4x +3 ≥ 2 x2 ư5x +4 (1)

Giải:

+ ĐK : x ≤ 1; x ≥ 4

+ Với x ≥ 4; (1) ⇔ (x ư1)(x ư2)+ (x ư1)(x ư3) ≥ 2 (xư1)(x ư4)

⇔ ( x ư2 + x ư3) ≥ 2 x ư4 luôn đúng ∀x ≥ 4

Vì : x ư2 ≥ x ư4

x ư ≥ xư 4 ⇒ VT ≥ VP + Với x < 1: (1) ⇔

(1ưx)(2ưx)+ (1ưx)(3ưx) ≥ 2 (1ưx)(4ưx)

⇔ ( 2ưx + 3ưx)≥ 2 4ư vô x nghiệm

Vì : 2ưx < 4ưx

x

3ư < 4ưx ⇒ VT <2 4ưx = VP + Với x = 1 luôn đúng

+ Kết luận: Nghiệm của bất phương trình: 





≥

= 4 x

1 x

* Chú ý: Khi giải phương trình bất phương trình vô tỉ cần nhận xét kỹ và biến đổi khéo léo bài toán vì thế có thể đơn giản nhiều

Ví dụ: Giải phương trình:

2

x 2 1 1

x 4 +

x 2

x 2 1 1 x 2













ư

+ +

= 2x + 9 ⇔ 2 + 2x + 2 1+2x = 2x + 9

⇔ 1+2x =

2

7

⇔













= +

ư

≥

4

49 1 x 2 2

1 x

⇒ x =

8 45

5 Phương pháp lượng giác hoá

a Ví dụ: Giải phương trình

x3 + ( 2)3

x

1ư = x 2(1ư x2) (1) Giải :

+ Điều kiện: -1 ≤ x ≤ 1 (1-x2) ≥ 0 ⇔ |x| ≤ 1)

+ Đặt x = sinα ⇒α∈







ư π π

2

,

2 ⇒ Phương trình (1) trở thành sin3α + cos3α = 2 sinα cosα Nếu đặt t = sinα + cosα

⇒ (sinα + cosα)( sin3α + cos3α - sinα cosα) = 2 sinα cosα

t(1-2

1

t2 ư

) = 2

2

1

t2 ư

⇔ t3 + 2 t2- 3t - 2 = 0

⇔ (t- 2) (t2 + 2 2t + 1) = 0 ⇔ t = 2 ; -( 2+1); 1- 2

* Nếu t = 2⇒ 2cos (α

-4

π

) = 2 ⇔α =

4

π ⇒

x = sin

4

π

=

2 2

* Nếu t = -( 2+1) ⇒ loại vì -( 2+1) < - 2

Nếu t = 1 - 2 ⇒ sinα + cosα = 1- 2 ⇒

x+ 1ưx2 =1 - 2 ⇔ 1ư x2 =1 - 2 - x ≥0 ⇒ x ≤ 1 - 2

⇔ 1 - x 2 = (1- 2-x)2 = (1- 2)2 - 2(1- 2)x + x2

⇔ 2x2 - 2(1- 2)x - 2 2 + 2 = 0

∆' = 2 2 - 1

x12 =

2

1 2 2 2

Kết luận Phương trình có 2 nghiệm x =

2

2

và x =

2

1 2 2 2

Chú ý: Khi điều kiện của đối số: -1≤x≤1 thường đặt sinα = x; hoặc cosα = x

Bài tập

Bài 1: giải phương trình: 3 x +34- 3 x ư3 = 1

Bài 2: Giải bất phương trình:

a x ư3 ư x ư1< x ư2

b 4(x+1)2 < (2x+10)(1- 3+ 2x)2

c 4x2.3

x

.x+3

x 1+

< 2 3

x

.x2 + 2x + 6

d 5 x +

x 2

5

< 2x +

x 2

1

+4

Bài 3: Giải phương trình

a (4x -1) x2 +1 = 2x2 + 2x + 1

b x3 + 1 = 23 2x ư1

Bài 4: Tìm m để bất phương trình (4+x)(6ưx) ≤ x2 - 2x + m đúng ∀x

∈ [-4,6]

Bài 5: Cho y = x + 1ưx2 - m Tìm m để y ≤ 0 với ∀x ∈ TXĐ