Đến 7 giờ một tàu du lịch cũng đi thẳng qua tọa độ X nhưng hướng từ Đông sang Tây với vận tốc lớn hơn tàu cá 12 km/h... Phan Hòa Đại.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015-2016
Đề chính thức Môn thi: Toán
Ngày thi: 19/6/2015 Thời gian làm bài: 120’
Bài 1: (2,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình: 2x y 1
x y 1
b) Rút gọn biểu thức
2
1 a
Bài 2: (2,0 điểm)
Cho phương trình: 2
x 2(1 m)x 3 m 0 (1) (m là tham số) a) Giải phương trình khi m=0
b) CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
c) Tìm giá trị của m để pt có hai nghiệm đối nhau
Bài 3: (2,0 điểm)
Trên một vùng biển được xem như bằng phẳng và không có chướng ngại vật Vào lúc 6 giờ 1 tàu cá đi thẳng qua tọa độ X theo hướng từ Nam đến Bắc với vận tốc ko đổi Đến 7 giờ một tàu du lịch cũng đi thẳng qua tọa độ X nhưng hướng từ Đông sang Tây với vận tốc lớn hơn tàu cá 12 km/h Đến 8 giờ khoảng cách giữa hai tàu cá là 60 km Tính vận tốc của mỗi tàu?
Bài 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC (AB <AC) có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R) Vẽ đường cao AH của tam giác ABC, đường kính AD của đường tròn (O).Gọi E,F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B,C xuống đường thẳng AD.M là trung điểm của BC
a) CMR các tứ giác ABHF; BMFO nội tiếp
b) HE//BD
c) Chứng minh: . .
4
ABC
AB AC BC S
R
( SABC là diện tích tam giác ABC)
Bài 5 (1,0 điểm)
Cho các số thực a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=3 CMR:
6
N
HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: (2,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình: 2x y 1 x 0 x 0 x 0
(x;y) = (0;1)
b) Với a0;a1Ta có:
2 2
2
1 a
Trang 2
60 km
NAM
BẮC
X
M
N
1
1 1
K
M E F
D H
O A
Bài 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: x22(1 m)x 3 m 0 (1) (m là tham số)
a) Giải phương trình khi m=0
Khi m=0 ta được pt: x2
-2x-3=0 Vì pt có dạng a-b+c = 1+2-3=0 nên có 2 nghiệm x1= -1; x2= c
a
=3
b) CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m :
’= (m-1)2
-1.(-3+m)= m2-3m+4
2
m
>0 với mọi m =>phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
c) Tìm giá trị của m để pt có hai nghiệm đối nhau:
pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m (c.m.t) , theo hệ thức Vi-ét ta có
x1+x2= b 2(m 1) 2m 2
a
Do đó pt có hai nghiệm đối nhau x1+x2=0 2m-2=0 2m=2 m=1
Bài 3: (2,0 điểm)
Trên một vùng biển được xem như bằng phẳng và không có chướng ngại vật Vào lúc 6 giờ 1 tàu cá đi thẳng qua tọa độ X theo hướng từ Nam đến Bắc với vận tốc ko đổi Đến 7 giờ một tàu du lịch cũng đi thẳng qua tọa độ X nhưng hướng từ Đông sang Tây với vận tốc lớn hơn tàu cá 12 km/h Đến 8 giờ khoảng cách giữa hai tàu cá là 60 km Tính vận tốc của mỗi tàu?
Gọi vận tốc của tàu cá là x (km/h) ĐK: x >0
Vận tốc của tàu du lịch là x+12 (km/h)
Lúc 8 giờ tàu cá cách tọa độ X một khoảng: (8-6)x=2x (km)
Lúc 8 giờ tàu du lịch cách tọa độ X một khoảng: (7-6)(x+12)= x+12 (km)
Vì hai tàu cá thi theo hai phương vuông góc với nhau nên theo định lý Pytago ta có:
(2x)2+ (x+12)2= 602 5x2+ 24x- 3456=0
Giải pt ta được: x1=24 (TMĐK) x2= 144
5
(loại) Vậy vận tốc của tàu cá là 24 km/h của tàu du lịch là 24+12=36km/h
Bài 4: (3,0 điểm)
a) CMR các tứ giác ABHF; BMFO nội tiếp
AHB=900; AFB=900 => H, F cùng nhìn đoạn AB dưới 1 góc vuông => H,F cùng thuộc đường tròn đường kính AB => tứ giác ABHF nội tiếp đường tròn đường kính AB
MB=MC=> OM BC=> OMB=900; OFB=900 => M, F cùng nhìn đoạn OB dưới 1 góc vuông => M,F cùng thuộc đường tròn đường kính OB => tứ giác BMFO nội tiếp đường tròn đường kính OB
b) HE//BD
Tương tự AHC=AEC=900
=> Tứ giác AHEC nội tiếp đường tròn đường Kính AC => E1=C1 (góc nt cùng chắn cung AH)
Trong đường tròn (O) có: C1=D1( góc nt cùng chắn cung AB)
Suy ra C1=D1 mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên HE // BD
c) Chứng minh: . .
4
ABC
AB AC BC S
R
( SABC là diện tích tam giác ABC)
Vẽ BK AC , ta có:
2BK AC 2 AB BAC AC 2AB AC BAC (1)
Ta có: BAC=1
2BOC ( góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn BC) OB=OC (=R) => tam giác BOC cân => đường trung tuyến OM đồng thời là đường cao, đường phân giác
Trang 3 MOC=1
2BOC => BAC= MAC => sinBAC=sinMOC=
1 2
2
BC
OC R R (2)
Từ (1) và (2) suy ra : . .
4
ABC
AB AC BC S
R
Bài 5 (1,0 điểm)
Cho các số thực a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=3 CMR:
6
N
Ta có a2+1 2a; b2+12b; c2+1 2c và a=3-b-c;b=3-a-c; c=3-a-b nên:
6(*) 3
N
Lại có:
3 2 2 2
9(**)
Từ (*) và (**) suy ra 4.9 6 6
3
N Dấu = xảy ra
1 0
1 0
1
1 0
a b
c