CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI

b Tính diện tích của hình tròn thiết diện của hình cầu S c1 ắt bởi mặt phẳng đi qua các tiếp điểm của mặt cầu S2 với các mặt bên của hình chóp .S ABCD.. Tìm điều kiện của a b, để tồn t

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI Bài 1 Xét các hình chóp n – giác S A A 1 2 A ( n n là số tự nhiên tùy ý lớn hơn 2) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

Chứng minh nếu hình chóp S A A 1 2 A t n ồn tại thì khi đó hình chóp là đều:

Chứng minh rằng các cạnh bên bằng nhau

1

( )( )

( )( )

2, ., n

Tương tự nếu x1>x2cũng suy ra điều vô lý: x1 > Vx1 ậy x1 = x2

Do x1 = ta được x2 2 2

x =x − + ⇔x 1 x =1 Từ đó ta được: x1=x2 = = x n = 1

Chứng minh đáy A A1 2 A nlà đa giác đều Từ SA1=SA2 = = SA n = suy ra hình vuông góc 1 H của S lên

đáy cách đều các đỉnh của đáy Đa giác A A1 2 A có các c n ạnh bằng nhau và nội tiếp trong một đường tròn nên

là đa giác đều

A D B C vàAA' H là tâm của hình vuôngDCDC ' M N, là hai điểm lần lượt ở trên hai đường thẳng

AD và EG sao cho MN vuông góc với KH và cắt KH Tính độ dài đoạn MN theo a

Hướng dẫn giải

Xác định đoạn MN

C C’

Gọi E1, , , N1 G1 H là hình chi1 ếu vuông góc của E N G H, , , trên mặt phẳng (ABCD )

Do KH ⊥MN(gt) và KKH ⊥NN1suy ra KH ⊥MN1 , suy ra AH1⊥MN1 tại I 1

Mà theo giả thiết MN cắt KH tại I suy ra II1 // NN mà 1 I là trung điểm của đoạn MN nên I ph1 ải là trung điểm của MN 1

Từ đó suy ra cách dựng hai điểm M N,

α Xét tam giác vuông AIN , ta có: 1 IN1=AN1 sinα = 5a 1 a 5 MN1 a 5

6 5 = 6 ⇒ = 3 (Cách khác: Gọi P là trung điểm của CG1, suy ra được N 1 ở trên AP, suy ra E N1 1= 2a

Cách khác: Dùng phương pháp tọa độ trong không gian

Bài 3 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy a=12, 54 (cm),các cạnh bên nghiên với đáy một góc 0

a

Thể tích của hình chóp: 1 2 ( )3

1430, 4751523

a) Tính thể tích hình cầu ( )S n1 ội tiếp hình chóp S ABCD

b) Tính diện tích của hình tròn thiết diện của hình cầu ( )S c1 ắt bởi mặt phẳng đi qua các tiếp điểm của mặt

cầu ( )S2 với các mặt bên của hình chóp S ABCD

Hướng dẫn giải

.27.29018628; SH MH 4.992806526

Bài 5 Một thùng hình trụ có đường kính đáy ( bên trong) bằng12, 24 cm đựng nước ( )

cao lên 4, 56 cm so với mặt trong của đáy Một viên bi hình cầu được thả vào trong thùng thì mực nước ( )

dâng lên sát với điểm cao nhất của viên bi (nghĩa là mặt nước là tiếp diện của mặt cầu) Hãy tính bán kính

của viên bi

Với R x h, , lần lượt là bán kính đáy của hình trụ, hình cầu và chiều cao ban đầu của cột nước

Bấm máy giải phương trình: 3

B Xét hai độ dài khác nhau a b, Tìm điều kiện của a b, để tồn tại tứ diện ( )T có một cạnh bằng a và các

cạnh còn lại đều bằng b Với tứ diện ( )T này, hãy xác định mặt phẳng ( )α sao cho thiết diện của mặt phẳng ( )α và tứ diện ( )T là một hình vuông ( )V Tính diện tích của hình vuông ( )V theo a và b

B

C A

S

K

Điều kiện độ dài a b, :

+ Giả sử tứ diện ( )T tồn tại Gọi AB là cạnh bằng a , các cạnh AC AD BC BD CD, , , , đều cùng bằng b

Gọi I là trung điểm cạnh CD Tam giác AIB là tam giác cân:

+Ngược lại với: 0<a<b 3 Dựng tam giác đều BCD cạnh b với chiều cao BI

Dựng tam giác cân AIB có AB a= , nằm trong mặt phẳng chứa BI và vuông góc với mặt phẳng (BCD)

.Ta có: A mp(BCD T) ứ diện ABCD thỏa điều kiện bài toán

Xác định mặt phẳng ( )α :

+ Giả sử thiết diện MNPQ là hình vuông Các mặt của tứ diện ( )T lần lượt chứa các đoạn giao tuyến

, , ,

MN NP PQ QMđược gọi tên là mặt ( )I , mặt ( )II , mặt ( )III , mặt ( )IV

Do MN // PQ MQ; // NPnên cạnh chung của mặt ( )I và mặt ( )III ; cạnh chung của mặt ( )II và mặt ( )IV

nằm trên hai đường thẳng song song với mp ( )α

Ngoài ra hai đường thẳng này vuông góc với nhau, vì MN vuông góc MQ

A

Vì vậy mặt phẳng ( )α phải song song vớiAB và CD

+ Gọi giao điểm của mp ( )α với AC BC BD AD, , , , lần lượt là M N P Q, , , .Đặt: k =

k

=

kb MQ

k

=+ Từ MN =MQ ta có : k a

b

=

+ Diện tích của hình vuông MNPQ là :( )2

b a

ab

+

Bài 6 Cho hình chóp tứ giác S ABCD, có đáy là một hình bình hành Gọi G là tr ọng tâm tam giác SAC

M là một điểm thay đổi trong miền hình bình hành ABCD Tia MG cắt mặt bên của hình chóp tại điểm N

G

N' N

M O

D

A s

+ SG cắt mp(ABCD t) ại tâm O của hình bình hành ABCD Gọi K là trung điểm của SG Từ K dựng

mặt phẳng song song với mp(ABCD c) ắt SA SB SC SD, , , lần lượt tại A B C1, , , 1 1 D T1 ừ N dựng mặt

phẳng song song với mp(ABCD c) ắt SG tại ' N

1B C D A

+ Miền hình bình hành ABCD hợp bởi các miền tam giác OAB OBC OCD ODA, , ,

M thuộc miền hình bình hành ABCD nên M thuộc một trong bốn miền tam giác này Chẳng hạn M

thuộc miền ∆OAB M ≡ A⇒N ≡C'; M ≡B⇒ N ≡ D'; M ≡O ⇒ N S≡

Do đó N thuộc miền ∆SC D' ' và N thuộc đoạn SH , với ' C', 'D và H lần lượt là trung điểm của

Bài 7 Cho tứ diện ABCD có diện tích các tam giác ADB và ADC là S và b S M c ặt phẳng phân giác của

nhị diện tạo bởi hai mặt (ADB và ) (ADC c) ắt BC tại M α là góc giữa hai mặt (ADB và ) (ADC )

Chứng minh:

a/ b

c

SMB

MC=S

b/ Diện tíchS c m ủa tam giác ADM là:

b c m

b c

2S S cos

2S

+ Do M ở trên mặt phẳng phân giác của góc nhị

diện cạnh AD nên khoảng cách từMđến hai mặt phẳng

(ADB , ) (ADC b) ằng nhau và kí hiệu là d

thì trong ba số: cotg(AB CD, ); cotg(AC BD, ); cotg(AD BC có m, ) ột số bằng tổng hai số còn lại

b/ Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD thỏa điều kiện: d AB CD( , )=d AC BD( , )=d AD BC( , )và

(AB CD, ) (= AC BD, ) (= AD BC, ) thì nó là hình chóp tam giác đều

2 1

1

1

aa

y

4 4

a a 2 y z ; cos AB, CD

1a.a2

−

• Nếux≤ ≤y zthì cotg(AB CD, )+cotg(AC BD, )+cotg(AD BC, )=cotg(AD BD, )

• Các trường hợp khác cũng có kết quả như thế

b/

• Từ các kết quả câu a/ nếu thêm (AB CD, ) (= AC BD, ) (= AD BC, )

thì cotg(AB CD, )=cotg(AC BD, )=cotg(AD BC, )= 0

• Suy ra các cặp cạnh đối của tứ diện ABCD vuông góc đôi một

• Suy ra { } { } { }a a, 1 = b b, 1 = c c, 1 Vì vậy phải có ít nhất một mặt của tứ diện ABCD là một tam giác đều Từ đó ABCD là hình chóp tam giác đều

Bài 9 Trong không gian cho ba tia Ox Oy Oz, , không đồng phẳng và ba điểmA B C, , ( khác điểm O )

lần lượt trên Ox Oy Oz, , Dãy số (an) ( )a n là một cấp số cộng có a1> và công sai 0 d > V0 ới mỗi số n

nguyên dương, trên các tia Ox Oy Oz, , theo thứ tự lấy các điểm , , A n B n C sao cho n



  

, với điểm O tùy ý

+Từ giả thiết: ( )a n là cấp số cộng công sai d > nên: 0 n 1 n

suy ra I cố định, nên đường thẳngA B n n

luôn đi qua một điểm cố định I

+ Tương tự, chứng minh được:

• B B n n luôn đi qua một điểm cố định J xác định bởi: OJ 1BC

Vậy I J K, , thẳng hàng Điều này chứng tỏ mặt phẳng A B C n n nluôn đi qua một đường thẳng cố định

Bài 10 Trong không gian cho ba mặt phẳng cố định có một điểm chung duy nhất M là một điểm của không gian, các đường thẳng đi qua M song song với hai mặt phẳng cắt mặt phẳng còn lại lần lượt tại

_ C

_ V

_

M '

_ O

_ M

_ A

_ C

_ B

Suy ra các điểm M' ( trọng tâm của tam giác ABC ) là ảnh của miền trong tam giác UVÖ qua phép vị

tựtâm O tỉ2

3

Bài 11 Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a BC, =b , SA=SB=SC=SD= c

K là hình chiếu vuông góc của P xuống AC

a/ Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BK

b/ GọiM N, lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AK và CD Chứng minh: Các đường thẳng BM và

⇒HK là đoạn vuông góc chung của SA và BK

Suy ra được: BH SA⊥ và∆HBK vuông tại K

+ Do ABC∆ vuông đỉnh A nên:

2 2 2

A

_ S

_ O

_ K _

M

_ N

Bài 12 Cho tứ diện ABCD cóhai cạnh đối bằng b c, và các cạnh còn lại bằng a

a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng các khoảng cách từ một điểm tùy ý trong không gian đến các đỉnh của

tứ diện

b/ Giả sử tứ diện ABCD thay đổi vị trí trong không gian nhưng có ba đỉnh A B C, , lần lượt ở trên mặt

cầu cố định và đồng tâm.Chứng minh rằng đỉnh D luôn ở trong một hình cầu cố định khi độ dài a b c, ,

thay đổi thỏa các giả đã cho

BC và IJ chính là trục đối xứng của tứ diện

• Lấy M tùy ý trong không gian, M' là điểm đối xứng

của M qua IJsuy ra trung điểm K của MM' chính là

hình chiếu của M trên đường thẳng IJ và ta có:

( Do tính chất: trung tuyến của một tam giác thì bé hơn nữa tổng

của hai cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh của nó)

• Do đó: MA MB+ +MC+MD≤KA KB+ +KC+KD

• Bài toán trở thành tìm điểm K trên IJ sao cho KA KB+ +KC+KDbé nhất

• Trong mặt phẳng (BCI d) ựng hình thang BCD A sao cho IJ ' ' là trung điểm của hai đáy và

• Gọi r r1, , 2 r là bán kính các m3 ặt cầu tâm O và lần lượt đi qua các đỉnh A B C, , Ta có:

• OD<OC+DC<OC+AB<OC+OA OB+ = + + Do đó r1 r2 r3 D ở trong hình cầu cố định tâm O , bán

Hướng dẫn giải

+ Với tứ diện ABCD ta chứng minh:

x= Tính tỉ số thể tích 2 tứ diện ABCE và BCDE

Bài 15 Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD là hình thang ( AD BC  ) và AD=2BC GọiM N, lần lượt là trung điểm của SA SB, Mặt phẳng (DMN c) ắt SC tại P Tính tỉ số CP

CS

Bài 16 Cho tam giác đều ABC :

1 M là điểm nằm trong tam giác sao cho 2 2 2

MA = MB + MC Hãy tính góc BMC .

2 Một điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC sao cho t) ứ diện SABC đều, gọi I K, là trung điểm

của các cạnh AC và SB Trên đường thấng AS và CK ta chọn các điểm P Q, sao cho

//

PQ BI Tính độ dài PQ biết cạnh của tứ diện có độ dài bằng 1

Bài 17 Trong mặt phẳng ( )α cho đường tròn ( )C Đường kính AB cố định và điểm M di động trên ( )C

Gọi S là điểm cố định trên đường thẳng vuông góc với mp( )α tại A Hạ các đường AI AJ, lần lượt vuông góc với SM và SB

2.1 Chứng minh rằng AI ⊥IJ

2.2 Tìm quỹ tích của điểm I khi M di động trên ( )C

Bài 18 Cho hình lập ph ươ ng ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ cạnh a

a Tính góc giữa hai đ ường thẳng AC′ và A B′ .

b Gọi M , N , P lần l ượt là các điểm thuộc các cạnh A B′ ′, BC , DD′ sao cho A M′ =BN =DP Chứng minh rằng trọng tâm tam giác MNP luôn thuộc một đ ường thẳng cố đị nh khi M , N ,

Bài 20 Cho lăng trụ đứng OAB O A B 1 1 1 có đáy là tam giác vuông cân tại O , OA OB a= = , AA1=a 2

Gọi M là trung điểm của OA

a Xác định thiết diện giữa lăng trụ và mặt phẳng ( )P đi qua M, vuông góc với A B 1

b Tính diện tích thiết diện vừa tìm được theo a

Bài 21 Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với AC và chân đường vuông góc hạ từ A đến mặt phẳng (BCD là tr) ực tâm của tam giác BCD Chứng minh rằng ( )2 ( 2 2 2)

6

BC+CD+DB ≤ AB +AD +AC

Bài 22 Cho tứ diện ABCD. Gọi M N P Q, , , lần lượt là trung điểm AB AD CD BC, , , .

a Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành Tìm điều kiện của tứ diện để MNPQ là hình thoi

b Mặt phẳng α đi qua N và song song với AB CD, .Xác định thiết diện của ( )α và tứ diện ABCD

Thiết diện là hình gì?

* MNPQ là hình thoi khi AC = BD

0,5 0,5 0,25 0,25 0,5

Bài 23 Cho hình chóp S ABCD có đáy là nửa lục giác đều với cạnh a ( a> ) Cạnh SA vuông góc với 0đáy và SA=a 3 M là một điểm khác B trên SB sao cho AM ⊥MD. Tính tỉ số SM

S H

Đặt hình chóp vào hệ trục toạ độ nh ư hình vẽ Suy ra ta có:A=(0; 0; 0), D=(2 ; 0; 0a ),

Bài 24 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O và các cạnh bên có độ

dài bằng nhau Một mặt phẳng (α thay đổi và luôn cắt các cạnh bên của chóp, gọi giao điểm của ) (α )

với các cạnh bên SA SB SC SD, , , lần lượt là M N P Q, , , Đặt x SM= , y=SN , z=SP , t=SQ Chứng

minh rằng:

t y z x

111

1+ = +

Bài 25 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , c ạnh bằng a , m ặt bên SAB là tam

giác đ ều và mp(SAB vuông góc v) ới mp(ABCD )

a Tính các kho ảng cách:d O SBC ,( ), d A SCD ,( ), d AC SB ( , )

b Xác đ ịnh tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiế S ABCD .

c M ặt phẳng ( )P ch ứa AB và vuông góc v ới mặt phẳng (SCD c) ắt hình chóp

thi ết diện hình gì? Tính di ện tích thiết diện theo a

Bài 26 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , SA vuông góc với mặt phẳng

(ABC và) SA=3a Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC , H là hình chiếu vuông góc của điểm

O lên mặt phẳng(SBC )

1/ Chứng minh rằng : H là trực tâm của tam giác SBC

2/ Tính góc giữa đường thẳng OH và mặt phẳng (ABC )

Hướng dẫn giải

1/ Gọi M là trung điểm của cạnh BC

Do ABC∆ đều, G là trọng tâm của ABC∆ nên ta có AM ⊥BC

Do SA⊥(ABC) nên AM là hình chiếu vuông góc của SM lên (ABC )

Theo Định lí ba đường vuông góc ta có SM ⊥BC

Mặt khác do H là hình chiếu vuông góc của O lên (SBC nên OH) ⊥BC và OM ⊥BC Suy ra HM ⊥BC

Từ đó ta cóSB⊥(COH)

Suy ra CH ⊥SB (2)

Từ (1) và (2) suy ra H là trực tâm của SBC∆

2/ Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm A lên(SBC )

Do đó ta cóOH //AK

Ta có đường thẳng AM là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AK lên(ABC )

Vì vậy góc giữa đường thẳng OH và (ABC b) ằng góc giữa đường thẳng AK và (ABC b) ằng góc giữa hai đường thẳng (AK AM b, ) ằng góc KAM

90

KAM +AMS = và   0

90

ASM +AMS = nên KAM = ASM

Xét SAM∆ vuông tại A có AM =a 3,SA=3a

Bài 27 Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau từng đôi một AB=CD AC; =BD AD; =BC

Chứng minh với mọi điểm M trong không gian ta đều có:

Bài 28 Cho hai đường thẳng d d′, chéo nhau và vuông góc với nhau nhận OI làm đường vuông góc

chung ( O thu ộc d và I thuộc d′ ) Trên d lấy điểm A cố định, trên d′ lấy hai điểm M N, di động sao cho mặt phẳng (d M vuông góc v, ) ới mặt phẳng (d N , )

a/ Chứng minh trực tâm tam giác AMN cố định

b/ Xác định M N, để diện tích tam giác AMN là nhỏ nhất

Bài 29 Cho tứ diện S ABC có SA=SB=SC = , m1 ặt phẳng ( )P đi qua trọng tâm M của tứ diện, cắt

Bài 30 Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a 2,BC=a và

xSy= xSz= Trên tia Sx lấy điểm A sao cho

SA= a cho trước Trên tia phân giác của góc xSy lấy điểm B thỏa mãn SB=a 3

Tính các góc của tam giác SAB

Bài 32 Cho hình thang vuông ABCD có 0

90

A=D= , AB=2 ,a CD=a AD, =3a và M là điểm bất kỳ thuộc đoạn thẳngAD

1/ Xác định vị trí của điểm M để hai đường thẳng BM và CM vuông góc với nhau

2/ Lấy điểm S thuộc đường thẳng vuông góc với mp BCD t( ) ại M sao cho SM = AM , xét mặt

phẳng ( )P qua điểm M và vuông góc với SA Mặt phẳng ( )P c ắt hình chóp SABCD theo thiết

diện là hình gì ? Tính diện tích của thiết diện theo a x, biết x AM= và 0< ≤x 3a?

Bài 33 Cho tứ diện ABCD có các đường cao AA BB CC DD', ', ', ' đồng qui tại một điểm thuộc miền trong

của tứ diện Các đường thẳng AA BB CC DD', ', ', ' lại cắt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo

thứ tự tại A B C D1, 1, 1, 1

Chứng minh:

83

Bài 34 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành M N, lần lượt là trung điểm củaAB , SC

a/ Tìm giao tuyến của (SMN và) (SBD )

b/ Tìm giao điểm I của MN và (SBD , tính t) ỷ số MI

a/ Trên (ABCD) gọi K là giao điểm của MC và BD

Ta có: S là điểm chung thứ nhất của 2 mp (SMN) và (SBD)

Mặt khác:

- K∈BD nên K∈(SBD)

- C∈SN nên C∈(SMN) do đó MC⊂(SMN)

- K∈MC nên K ∈(SMN)

⇒ K là điểm chung thứ 2 của 2 mp (SMN)và (SBD)

Vậy: giao tuyến của (SMN)và (SBD)là SK

b/ Trên (SMN) gọi I là giao điểm của SK và MN

Ta có: I∈SK , mà SK⊂(SBD) nên I∈(SBD)

Vậy I là giao điểm của MN và (SBD )

Gọi J là trung điểm của SK thì JN là đường trung bình của tam giác SKC nên // 1

Bài 35 Cho hỡnh thoi ABCD cú  BAD=60 ,o AB=2 a Gọi H là trung điểmAB Trờn đường thẳng d

vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD t) ại Hlấy điểm S thay đổi khỏc H Trờn tia đối của tia BC

lấy điểm M sao cho 1

b/ Gọiϕ là góc giữa SC và(SAD ; ) K là hình chiếu vuông góc của H lên SN ; I là giao của HC với AD

Lấy E đối xứng với I quaK

Suy ra CE ⊥(SAD)tại E Suy ra SEC∆ vuông tại E và SE là hình chiếu của SC trên(SAD Ta có )

Dấu đẳng thức xảy ra khi 4 21

.4

x= a

Vậy ϕ lớn nhất khi và chỉ khi sinϕ lớn nhất khi và chỉ khi 4 21

.4

Bài 36 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng

(ABCD ) là trung điểm H của cạnh AB  0 3

2

a BAD= AB= a SH = Trên tia đối của tia

BC lấy điểm M sao cho 1

4

a/ Tính côsin của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng(ABCD )

b/ Chứng minh rằng đường thẳng SM vuông góc với mặt phẳng(SAD )

a/ Vì H là hình chiếu của S trên (ABCD nên )

góc giữa SD và (ABCD là ) SDH

( vì tam giác SDH vuông tại H nên SDH nhọn)

Tam giác ABD đều cạnh 2a nên DH =a 3

.2

SA=a AB=BC=a Gọi H là hình chiếu của A trên SB

a/ Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng(SAB )

b/ Tính độ dài đoạn thẳng HC theo a

a/ Ta có BC⊥AB (Vì ABC vuông tại B ) (1)

Từ (3) và (4) suy ra AH ⊥(SBC)⇒ AH ⊥HC hay tam giác AHC vuông tại H

Tam giác SAC vuông tại A có AH là đường cao nên 2 2

DMA+DMB+DMC+AMB+BMC+CMA> π

Bài 39 Cho tứ diện ABCD Gọi M N P Q R S, , , , , lần lượt là trung điểm của DA DB, , DC BC CA AB, , , a) Tính góc giữa AB và CD biết AB=CD=2a, MQ=a 3

a) Chứng minh rằng tứ giác BED F’ là hình bình hành và A E’ =CF

b) Tìm E để diện tích tứ giác BED F’ đạt GTNN

Bài 41 Cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng tam giác ABC tại A Trên d lấy điểm N và điểm

M sao cho BN vuông góc với CM

a) Chứng minh rằng BM CN      =BA CA +AN AM

b) Tìm điều kiện cần và đủ để M N, nằm cùng phía đối với A trên đường thẳng d

Bài 42 Cho hình chóp đáy là đa giác đều S ABCD M cố định trên SC Mặt phẳng( )α quay quanh trục

Bài 43 Cho tứ diện ABCD có AB=CD=c AD; =BC=b AC; =BD=a Gọi A1, C1 lần lượt là trọng tâm

của các mặt đối diện với đỉnh A và đỉnh C

a) Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác MIN cố định

b) Tìm tập hợp hình chiếu K của M trên IN

Bài 45 Cho góc tam diện vuông Oxyz, tia Ot bất kì nằm trong góc tam diện Gọi α β γ, , theo thứ tự là góc hợp bởi tia Ot với các tia Ox Oy Oz, ,

4

Bài 46 Chứng minh rằng nếu một tứ diện MNPQ thỏa mãn điều kiện MN vuông góc với PQ và MP

vuông góc với NQ thì MQ vuông góc với NP

Bài 47 Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD là hình bình hành, AC cắt BD tại H và:

MAB+MAC+MAD BAD〈 +DAC+CAB

b)Gọi S và R là tổng độ dài các cạnh và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Hỏi tứ diện nào có tỉ số S

MAB+MAC BAD〈 +DAC(1)

tương tự :    MAB+MAD BAC〈 +CAD (2)

Bài 49 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥(ABCD) và độ dài SA=a

Một mặt phẳng đi qua CD cắt cạnh SA SB, lần lượt ở M N, Đặt AM =x

a)Tính diện tích tứ giác MNCD theo a x,

a) Gọi K là giao điểm của AE và MN ; H là giao điểmcủa AC và BD Áp dụng định lý cosin trong tam giác ACE ta có : AE= 2⇒AC=AE= 2

b) Gọi hình chóp đều đó là S ABCD , vì thiết diện cắt tất cả

các mặt bên nên các đỉnh K M L N P, , , , của ngũ giác đều nằm

α = ⇒ =α Vậy mặt bên của hình chóplà tam giác đều

Bài 50 a) Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD Trên cạnh SC lấy điểm E Thiết diện tạo thành do mặt

phẳng đi qua AE và song song với BD cắt SB SD, lần lượt tại M N,

Tính diện tích thiết diện đó khi cho cạnh đáy bằng 1, cạnh bên bằng 3 và 2 3

Hình 3

b) Giả sử thiết diện của hình chóp tứ giác đều là một ngũ giác đều Hãy chứng minh rằng mặt bên của hình chóp này là các tam giác đều

Bài 51 Cho hình chóptam giác đều S ABC , cạnh đáy bằng a và mỗi mặt của góc tam diện đỉnh S bằng

0

30

a Hỏi phải cắt hình chóp bằng một mặt phẳng đi qua A như thế nào để thiết diện tam giác AB C’ ’

’ , ’

(B ∈SB C ∈SC) thu được có chu vi nhỏ nhất

b Tính giá trị chu vi nhỏ nhất đó theo a

Bài 52 Cho lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho 1

2

AM = AB Gọi E là trung điểm AC

a)Xác định thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (MEB′)

b) Gọi D=BC∩(MEB′),K =AA′∩(MEB′) Tính tỉ số CD

AK

AA

Hướng dẫn giải

+) Xác định được điểm D và suy ra hai giao tuyến DE và DD′

+) Xác định được điểm K ; suy rađược đoạn giao tuyến EK vàKB’

+) Kết luận thiết diện là tứ giác DEKB’

a)Chứng minh rằng: (MNE) (/ / SBC)

b) Chứng minh: SC/ /(MNE) và AF không song song với (SBC)

c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (MNE) Thiết diện là hình gì?

Bài 54 Trong mặt phẳng ( )P cho đường tròn tâm O bán kính R và 1điểm A cố định trên ( )O Tứ giác

ABCD biến thiên nội tiếp trong ( )O sao cho 2 đường chéo luôn vuông góc với nhau Trên đường thẳng d

vuông góc với mặt phẳng ( )P tại A lấy1điểm S Nối S với A B C D, , ,

a Chứng minh 2 cạnh BD SC, vuông góc với nhau

b Nêu cách xác định điểm I cách đều 5 điểm A B C D S, , , ,

c Tứ giác ABCD là hình gì để diện tích của nó lớn nhất Tìm GTLN đó theo R

Theo gt AC⊥BDnên theo định lí 3 đường vuông góc ta có SC⊥BD

ABCD

Bài 55 Cho hình vuông cạnh a tâm O gọi S là điểm nằm ngoài mặt phẳng (ABCD) sao cho SB=SD,

M là điểm tùy ý trênAO với AM =x Mặt phẳng ( )α qua M và song song SA và BD cắt SO SB AB, , lân lượt tại N P Q, ,

a)Tứ giác MNPQ là hình gì?

b)SA=a Tính diện tích MNPQ theo a và x Tìm x để diện tích lớn nhất

Bài 56 Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ cạnh a

a) Tính góc giữa hai đường thẳng AC′ và A B′

b) Gọi M N P, , lần lượt là các điểm thuộc các cạnh A B BC DD′ ′, , ′ sao cho A M′ =BN =DP Chứng minh

rằng trọng tâm tam giác MNP luôn thuộc một đường thẳng cố định khi M N P, , thay đổi

Bài 57 Cho hình chóp cố định S ABC có các góc tam diện đỉnh A ba mặt vuông Hình lăng trụ

AMN A M N′ ′ ′ thay đổi sao cho MN/ /BC M( ∈AB N; ∈AC) ; các điểm A M N′, ′ ′, lần lượt thuộc

, ,

SA SB SC Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối lăng trụ AMN A M N ′ ′ ′theo thể tích khối chóp S ABC

Bài 58 Cho hính chóp S ABC có SA=SB= AB= AC=a,diện tích tam giác SBC là S0.Gọi M là điểm

di động trên SB, N là trung điểm của BC Biết AN vuông góc với mặt phẳng (SBC) Tìm giá trị nhỏ nhất

của diện tích tam giác AMN theo a và S0

Bài 59 Cho hình chóp OABC Xét các điểm A B C1, 1, 1 theo thứ tự thuộc các cạnh OA OB OC, , sao cho

AC và B D1 1 sao cho MN song song với A D1

Bài 61 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Biết SA=a AB, =a BC, =2 ,a cạnh bên

SA vuông góc với mf ABCD( )

a)Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (SCD) với (ABCD)

b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.Tính khoảng cách từ O đến mf SCD( )