Một số phương pháp đặc biệt giải các bài tập môn điện động lực

Ngoài ra, muốn làm được bài tập Điện động lực, chúng ta phải biết được quy luật, bản chất vật lý và phải biết sử dụng phương pháp toán học phương trình, hàm số, phép tính vi tích phân, c

LỜI CẢM ƠN

Những lời đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn trường Đại học Vinh đã đào tạo tôi trong suốt thời gian qua, đề ra và tạo điều kiện để tôi hoàn thành khóa luận này

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật lý - trường Đại học Vinh đã quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khóa luận

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Chu Văn Lanh, người đã

giúp đưa ra ý tưởng để xây dựng thành khóa luận tốt nghiệp, nhiệt tình hướng dẫn và hỗ trợ tôi trong suốt thời gian làm khóa luận

Vinh, tháng 4 năm 2012

Sinh viên

Hoàng Thị Thanh

PHẦN MỞ ĐẦU

I Lí do chọn đề tài

Bài tập vật lý có vai trò đặc biệt quan trọng trong quá trình nhận thức và phát triển năng lực tư duy của người học, giúp cho người học ôn tập đào sâu mở rộng kiến thức, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng vật lý vào thực tiễn, góp phần phát triển tư duy sáng tạo Vì vậy, tìm ra phương pháp giải bài tập vật lý là việc làm rất quan trọng và cần thiết đối với sinh viên sư phạm

Vật lý học hình thành bằng con đường thực nghiệm nên tính chất cơ bản của nó là thực nghiệm Và để biểu diễn các quy luật vật lý, trình bày nó một cách chính xác, chặt chẽ trong những quan hệ định lượng phải dùng phương pháp toán học Vật lý lý thuyết là sự kết hợp giữa phương pháp thực nghiệm và toán học Như vậy, vật lý lý thuyết có nội dung vật lý và phương pháp toán học Điện động lực học là một môn học của vật lý lý thuyết, nên cũng có những đặc điểm đó Sau khi học xong học phần Điện động lực, tôi cảm thấy đây là môn học tương đối khó Nguyên nhân, đây là môn học mới,

có nhiều hiện tượng, khái niệm, định luật,… mới Ngoài ra, muốn làm được bài tập Điện động lực, chúng ta phải biết được quy luật, bản chất vật lý và phải biết sử dụng phương pháp toán học (phương trình, hàm số, phép tính vi tích phân, các toán tử, phương pháp gần đúng,…) Trong khi vốn kiến thức về toán học thì hạn chế Nên việc tìm ra một phương pháp giải cho bài tập Điện động lực là khó khăn

Với mục đích tìm hiểu sự tương ứng giữa những hiện tượng vật lý có tính quy luật (được biểu diễn dưới dạng những bài tập) với những mô hình toán học cụ thể, để có những phương pháp giải những bài tập phúc tạp trong Điện động lực học nói riêng và vật lý lý thuyết nói chung mà tôi đã chọn đề

II Đối tượng nghiên cứu

Hệ thống các bài tập Điện động lực và 3 phương pháp giải: Phương pháp sử dụng phương trình Poisson, phương pháp ảnh điện, phương pháp mở rộng đa cực

III Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

1 Mục đích nghiên cứu

Xây dựng được hệ thống bài tập ứng với mỗi phương pháp giải phù hợp với nội dung bài tập trong học phần Điện động lực làm tài liệu tham khảo cho sinh viên trong quá trình học và ôn thi học phần Điện động lực

2 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Sưu tầm hệ thống bài tập liên quan nội dung lý thuyết được học

• Xác định nội dung lý thuyết tương ứng với các phương pháp giải

• Xây dựng các tiêu chí để phân loại bài tập

• Đưa ra phương pháp giải chung và áp dụng phương pháp chung cho một số bài tập

• Một số bài tập đề nghị

IV Phạm vi nghiên cứu

Hệ thống các bài tập thuộc ba chương (Trường tĩnh điện, Trường tĩnh

từ, Trường chuẩn dừng) thuộc học phần Điện động lực học

V Giả thuyết khoa học

Căn cứ vào mức độ nhận thức, nếu phân loại và đề ra phương pháp giải bài tập Điện động lực học phù hợp với chương trình đào tạo giáo viên trung học phổ thông thì giúp nâng cao được chất lượng học tập của sinh viên

VI Phương pháp nghiên cứu

1 Phương pháp đọc sách và nghiên cứu tài liệu

2 Phương pháp lấy ý kiến của chuyên gia

3 Phương pháp gần đúng

4 Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết

VII Đóng góp của đề tài

• Xây dựng hệ thống các dạng bài tập ứng với mỗi phương pháp giải trong phần Điện động lực

• Làm tài liệu tham khảo cho sinh viên đặc biệt là sinh viên ngành vật lý nhằm nâng cao chất lượng học tập học phần Điện động lực học của sinh viên

PHẦN NỘI DUNG Chương 1 TỔNG QUAN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP

ĐIỆN ĐỘNG LỰC

1.1 Phương pháp tách biến

1.1.1 Lời giới thiệu

Nói chung nhiệm vụ chính của phần tĩnh điện học là tìm cường độ điện trường hoặc điện thế tại một điểm nào đó trong trường được gây ra bởi một hệ điện tích Điều này có thể thực hiện được bằng định luật Coulomb



r

r R

4

1 )

4

1 )

Hình 1.1 Hầu như các tích phân này chỉ tính toán được với những sự phân bố điện tích đơn giản, và khi gặp các bài toán phân bố điện tích phức tạp thì tính toán tích phân (1.1) hoặc (1.2) gặp rất nhiều khó khăn Ngoài ra người ta có thể sử dụng định lý O-G để xác định điện trường hoặc điện thế nếu phân bố điện tích là đối xứng Trong khóa luận này, chúng tôi giới thiệu một công cụ yêu thích có thể giúp các bạn giải quyết được những khó khăn trên, đó chính

là phương trình Poisson.Tuy nhiên, trong những bài toán liên quan đến các vật dẫn tích điện  thì thế vô hướng có thể không được biết: khi điện tích di chuyển tự do, thứ duy nhất chúng tôi có thể kiểm soát được là tổng điện tích của mỗi vật dẫn

Trong những trường hợp như vậy chúng tôi sử dụng phương trình Poisson



V và không có gì xa hơn nữa để nói - đó không phải lai điều tôi muốn nói Điện tích có thể phân bố ở các nơi khác, nhưng tôi muốn các bạn chú ý tới những nơi mà ở đó không có điện tích)

Trong trường hợp này phương trình Poisson rút gọn thành phương trình Laplace:

Trong phần này chúng ta sẽ khai thác phương trình Laplace theo hướng

sử dụng phương pháp tách biến, nó là công cụ yêu thích để giải các phương trình đạo hàm riêng Phương pháp này được áp dụng trong những trường hợp

mà ở đó điện thế V hoặc mật độ điện tích  đã được xác định trên các biên trong phạm vi ta xét và chúng tôi yêu cầu tìm điện thế ở bên trong phạm vi

đó Chiến lược cơ bản rất đơn giản: Chúng tôi đi tìm nghiệm mà kết quả những hàm này chỉ phụ thuộc vào một tọa độ Chúng ta sẽ bắt đầu với hệ tọa

độ đề các và sau đó với hệ tọa độ cầu

1.1.2 Phương pháp tách biến trong hệ tọa độ đề các

Khi viết trên hệ tọa độ Đềcác thì phương trình trên có dạng:

0 2 2 2 2 2

V x

lý thuyết hàm phân tích Để đưa ra ý tưởng phương trình Laplace và cách giải nó (mà còn gọi là hàm điều hòa), chúng tôi sẽ bắt đầu với bài toán một chiều và hai chiều, nó dẽ dàng hơn để mô tả những thuộc tính quan trọng của trường hợp 3 chiều ( mặc dù trường hợp một chiều thiếu sự đầy đủ của 2 chiều còn lại)

1.1.3 Phương pháp tách biến trong tọa độ cầu

Trong các ví dụ trước chúng ta mới làm việc với hệ tọa độ đề các với các biên là các mặt phẳng Bây giờ ta xét các bài toán liên quan đến hệ tọa độ cầu Trong hệ tọa độ cầu phương trình Laplace có dạng:

0 sin

1 sin

sin

1 1

2 2 2 2 2

V r

r

V r r

V r

Cũng như trướng, chúng tôi tìm nghiệm dưới dạng:

) ( ).

( ) ,

Đưa (1.8) vào trong (1.7) và chia cả hai vế cho V:

0 sin

d Q

dr

dR r dr

d

Nhận thấy số hạng đầu tiên chỉ phụ thuộc vào r và số hạng thứ hai chỉ phụ thuộc vào , để (1.9) đúng với mọi giá trị của r và  thì các số hạng đó phải là hằng số:

) 1 (

dR r dr

dQ d

dR r dr

d

) 1 (

Nghiệm tổng quát của phương trình này là:

Bạn có thể kiểm tra một cách dễ dàng; A,B là các hằng số bất kì trong nghiệm của phương trình vi phân bậc hai Nhưng phương trình góc không hề đơn giản:

) (cos )

Pl(x) được xác định bởi công thức Rodrigues:

 l l

l

đx

d l x

! 2

1 )

Công thức Rodrigues chỉ làm việc với những giá trị l nguyên và không

âm Hơn nữa, nó cung cấp cho chúng ta một nghiệm Nhưng công thức(1.13)

8 / ) 15 70

63 ( ) (

8 / ) 3 30 35

( ) (

2 / ) 3 5 ( ) (

2 / ) 1 3 ( ) (

) (

1 ) (

3 5

5

2 4

4

3 3

2 2

1 0

x x

x x

P

x x

x P

x x x P

x x P

x x P

x P

nó là phương trình vi phân bậc hai và nó có hai nghiệm độc lập đối với mỗi giá trị của x

Trong trường hợp đối xứng , phương pháp tách biến nói chung đối với phương trình Laplace chắc chắn đưa ra nghiệm vật lí phù hợp:

) (cos )

,

P r

B r A r

, (

l

l l l

P r

B r A r

1.1.4 Những điều kiện biên và những định lý về tính duy nhất

Phương trình Laplace không đủ để xác định thế vô hướng V, mà cần thêm một tập hợp các điều kiện

a Định lý về tính duy nhất đầu tiên

Nghiệm của phương trình Laplace trong thể tích  nào đó được xác định duy nhất nếu V được chỉ rõ trên biên của mặt S

ta không thể biết điện tích sẽ phân bố như thế nào trên mỗi mặt vật dẫn, bởi

vì ngay sau khi đặt nó vào vật dẫn, nó di chuyển xung quang mà tôi không kiểm soát được Và tốt nhất hãy nói đến mật độ điện tích  trong phạm vi giữa các vật dẫn Bây giờ, điện trường có xác định duy nhất hay không?

Hoặc số cách khác nhau mà các điện tích có thể tự mình sắp xếp trên các vật dẫn tương ứng?

Định lý có tính duy nhất thứ hai:

Trong thể tích  được bao quanh bởi vật dẫn và chứa một mật độ điện tích được chỉ rõ , điện trường được xác định duy nhất nếu cho biết tổng điện tích trên mỗi vật dẫn

1.2 Phương pháp ảnh điện

Phương pháp ảnh điện là phương pháp rất thuận tiện khi làm các bài toán có liên quan đến hưởng ứng tĩnh điện và một số trường hợp khác

1.2.1 Nội dung phương pháp ảnh điện

Nếu ta thay một mặt đẳng thế nào đó trong điện trường bằng một vật dẫn có cùng hình dạng và cùng điện thế với mặt đẳng thế đang xét thì điện trường ở ngoài vật dẫn ấy không bị thay đổi

Các bài toán trong chương trình phổ thông chỉ xét trường hợp mặt dẫn lý tưởng, tức là thời gian điện tích phân bố lại không đáng kể và điện trường trong vật dẫn luôn bằng không

1.2.2 Mặt dẫn là mặt phẳng

Khi mặt dẫn là mặt phẳng nối đất thì lực hút tác dụng lên điện tích tương đương lực của một diện tích đối xứng với điện tích ban đầu qua mặt phẳng và có độ lớn điện tích bằng điện tích đó nhưng ngược dấu Trường hợp

có nhiều mặt phẳng thì phải chiếu nhiều lần

Thế năng tĩnh điện của hệ một điện tích điểm và một mặt dẫn cầu nối đất bằng 1

2thế năng của hệ hai điện tích điểm tương ứng

1.2.4 Mặt dẫn được thay thế bằng điện môi

Có một số trường hợp mặt dẫn được thay thế bằng điện môi mà thường gặp nhất là mặt phẳng Đối với dạng bài tập này, ta thường gặp điện môi lí tưởng, tức là khi điện tích thực (điện tích Q chẳng hạn) di chuyển thì các điện tích hưởng ứng trên bề mặt điện môi di chuyển rất chậm và có thể coi là đứng yên cho đến khi điện tích Q ngừng di chuyển.(các trường hợp khác phải tùy điều kiện bài toán để giải, xin phép không viết trong bài này) Quá trình là rất dài nhưng ta có thể rút gọn lại sơ lược như sau:

- Q di chuyển, lúc đó ta coi các điện tích hưởng ứng trên bề mặt điện môi đứng yên, và tác dụng của các điện tích hưởng ứng này lên Q tương đương với hệ các điện tích ảnh của Q (khi Q ở vị trí ban đầu) tác dụng lên Q Khi đó ta tính toán như một bài toán tĩnh điện giữa các điện tích và bỏ qua sự

có mặt của điện môi Thay điện môi bằng hệ các điện tích ảnh của Q (khi Q

ở vị trí ban đầu) và lưu ý rằng các điện tích này được giữ cố định

- Sau khi Q di chuyển xong (dừng lại hoặc ra xa vô cùng) thì lúc đó điện tích hưởng ứng di chuyển rất chậm cho đến khi điện trường trong long điện môi bằng 0

Lưu ý: Q có thể là 1 điện tích điểm hoặc 1 hệ điện tích điểm

Ta sử dụng các công thức để tính công di chuyển, tính công di chuyển rất dễ nhầm Trước hết phải lưu ý là thế năng ban đầu tính như trường hợp mặt phẳng dẫn Sau đó tính công di chuyển Q thì dùng định luật bảo toàn năng lượng đối với hệ điện tích Q và ảnh vì lúc này ta đã coi không

có điện môi mà chỉ có các điện tích ảnh Sau đó dùng định luật bảo toàn năng lượng để tính thế năng của các điện tích hưởng ứng trên bề mặt điện môi sau khi Q di chuyển

1.3 Phương pháp mở rộng đa cực

1.3.1 Sự mở rộng đa cực

Giả sử có một hệ điện tích và khảo sát điện thế của nó tại khoảng cách

r lớn Có thể xem hệ điện tích đó như một điện tích điểm với điện tích tổng

Q và áp dụng công thức tính thế Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu Q 0, bạn có thể trả lời rằng nó xấp xỉ bằng không và như thế bạn chỉ đúng trong một nghĩa nào đó Bởi vì, ngay cả khi Q 0 thì điện thế tại r lớn cũng khá nhỏ

Phương pháp này giúp các bạn tính thế tại một điểm rất xa hệ điện tích đang khảo sát

Xuất phát từ biểu thức tính điện thế



r R

4

1 )

2 2

R

r R

r R

r R r

6 2

1 1

1 )

1 ( 1

R R

r R

r R

r

r R

1 ) (

n

n n

R R

3 ) ' ( 1

' cos '

1

1

4

1 ) (

2 2

3

2

dV r

R

dV r

R

dV R

R V

1 Số hạng đầu tiên (n 0 )là sự đóng góp của đơn cực điện (điện tích điểm)

vào điện thế tỷ lệ với

Xét ví dụ cụ thể

* Đối với đơn cực điện

Đối với đơn cực điện hàm thế được quyết định bởi số hạng đơn cực trong biểu thức (1.27)

Khi đó sự đóng góp của các cực cao hơn biến mất

* Đối với lưỡng cực điện

Tổng điện tích bằng không và số hạng lưỡng cực đóng vai trò quyết định



R R

V dip . 1 ' cos ' .

4

1 )



Mặt khác r' cos  ' R0.r' (với R0là véc tơ đơn vị theo hướng R)

thuần là phép gần đúng cấp một tại r lớn, trong trường hợp này tất cả các cực cao hơn biến mất

Nếu tổng điện tích bằng không, số hạng chiếm ưu thế trong hàm thế sẽ

là lưỡng cực ( trù khi trường hợp nó cũng biến mất):

'  

r

Và hàm thế của lưỡng cực có thể viết ngắn gọn hơn:

Tích phân này nó không phụ thuộc vào r và được gọi là mô men lưỡng

Mô men lưỡng cực được xác định hình học ( kích thước, hình dạng,

độ lớn) thông qua sự phân bố điện tích Công thức (1.34) biến đổi trong cách thông thường đối với điện tích điểm, điện tích phân bố theo đường và điện tích phân bố mặt Như vậy, mô men lưỡng cực của tập hợp các điện tích điểm là:

1

n i i

Ở đây d là véc tơ từ điện tích âm đến điện tích dương

Các mô men lưỡng cực là những véc tơ và chúng thêm tương ứng: nếu

bạn có hai lưỡng cực p 1 , p 2 , mô men lưỡng cực tổng là p 1 + p 2 Ví dụ, với 4

điện tích tại bốn góc của một hình vuông, mô men lưỡng cực bằng không Bạn có thể nhìn thấy điều này bằng cách kết hợp các điện tích theo cặp (theo phương thẳng đứng    0 hoặc theo phương nằm ngang    0) hoặc bằng việc lấy tổng bốn đóng góp cá nhân rồi sử dụng công thức (1.35) Đây là một tứ cực điện như tôi đã chỉ ra lúc trước và hàm thế của nó chủ yếu là số hạng tứ cực trong sự mở rộng đa cực)

Chương 2 MỘT SỐ BÀI TẬP ĐƯỢC GIẢI BẰNG CÁC PHƯƠNG PHÁP

ĐẶC BIỆT

2.1 Một số bài tập giải bằng phương pháp tách biến

Bài 1 Hai lá kim loại vô hạn được tiếp đất nằm song song với mặt

phẳng xz, một là nằm tại y = 0 và lá còn lại nằm ở y = a (hình 2.1) Ở bên trái, tại x = 0 được đóng bởi một mảnh vô hạn được cách li hai lá kim loại và được

giữ ở điện thế xác định V y o( ) Tìm hàm thế bên trong khe đó

Bài giải

Bài toán này không phụ thuộc

vào z, bởi vậy ta chỉ xét bài toán trong

không gian hai chiều Chúng ta có

Tìm nghiệm dưới dạng : V x y( , )  X x Y y( ) ( ) (2.3) Thay (2.3) vào phương trình (2.1) chúng ta có:

Bước tiếp theo là chúng ta "tách biến" (nghĩa là một phần chỉ phụ thuộc

vào x và phần còn lại chỉ phụ thuộc vào y) bằng việc chia cả hai vế cho V:

1 d X

C

X dx  và

2 2 2

1 d Y

C

Y dy  với C1C2 = 0 (2.6) Trong đó một số là số âm và số còn lại là số dương (hoặc cả hai bằng không) Bởi vậy:

2

2 2

các hằng số A, B, C, D để nghiệm này thõa mãn các điều kiện biên Bắt đầu với điều kiện biên (4), do V→0 khi x →∞ bởi vậy A=0, khi đó chúng ta có

nghiệm : V x y( , )  ekx( sinC ky D cosky)

Với điều kiên (1) thì D = 0, bởi vậy:

V x y  C e ky (2.9) Trong khi đó (2) cho rằng sin kx = 0, từ đó ta có

Nghiệm này thỏa mãn ba điều kiện biên đầu tiên, chúng ta có tìm được

sự phù hợp với điều kiện biên (4) (bằng cách lựa chọn hệ số Cn) ?

Do đó các số hạng trong chuỗi sẽ bị giảm, chỉ giữ lại duy nhấtt một số,

đó là khi n=n' và kết quả của vế bên trái công thức (2.13) là (a/2).Cn' Vậy

Như vậy: nghiệm của phương trình được cho theo công thức (2.11) với

hệ số cho bởi công thức (2.15)

Bài 2 Một ống kim loại hình chữ nhật dài vô hạn (các cạnh a,b) được

tiếp đất, nhưng tại x = 0 thì nó dược giữ ở một điện thế V y z o( , ) được biểu diễn trên hình 2.2 Tìm hàm thế bên trong ống

Hình 2.2

Bài giải

Xét bài bài toán trong không gian 3 chiều

1 2

d X

C

X dx  ,

2 1

2 2

d Y

C

Y dy  ,

2 1

3 2

d Z

C

Z dz  với C1 + C2 + C3=0

Hệ số C1 phải dương, C2 và C3 phải âm Khi đó ta đặt C2 = -k2 và C3 = -l2,

d Z

l Z

dz   (2.19) Một lần nữa, phương pháp tách biến đã đưa phương trình đạo hàm riêng vào trong các phương trình vi phân thường Và nghiệm của chúng là:

Từ điều kiện biên (5) thì A = 0, theo (1) D= 0, và theo (3) F = 0 Theo

(2) và (4) thì kn /avà lm /b, ở đây l, m là các số nguyên dương Khi đó

) / sin(

) , , 0

1 1 , n y a m z b V y z C

z y V

Nhân cả hai vế với sin(n, y a/ )sin(m, z b/ ) với n', m' là các số nguyên

dương bất kì, sau đó ta lấy tích phân:

, sin( / ) sin( ' / ) sin( / ) sin( ' / )

0 0 4

Trong trường hợp này:

a Điện thế bên trong mặt cầu

Trong trường hợp này B l  0 bằng không với mọi giá trị của l Suy ra

1 ( ) ( ) (cos ) (cos ).sin 2

b Điện thế bên ngoài mặt cầu

Trong trường hợp này tất cả Al phải bằng không (nếu không V không thể tiến tới không tại vô cùng) bởi vậy:

1

0

l l l

Bài 4 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình Laplace trong hệ tọa độ

cầu đối với trường hợp V chỉ phụ thuộc vào r Cũng làm cho hệ tọa độ trụ, V

chỉ phụ thuộc vào s

Bài giải

Phương trình Laplace trong hệ tọa độ cầu

2 2

r

   

Như trong trường hợp trường thế của một quả cầu tích điện đều

Trong hệ tọa độ trụ, V chỉ phụ thuộc vào s thì phương trình Laplace

ds c

Bài 5 Một hình cầu kim loại không mạng điện bán kính R được đặt

trong một trường điện đều E o



E z [trường điện sẽ đẩy các điện tích dương lên phía bắc của mặt hình cầu, các điện tích âm về phía nam hình cầu (Hình 2.3) Các điện tích cảm ứng này sẽ bóp méo trường ở lân cận hình cầu] Tìm điện thế trong phạm vi bên ngoài hình cầu

Hình 2.3

Bài giải

Hình cầu là một khối đẳng thế- chúng ta có thể đặt nó bằng không Do

tính đối xứng qua mặt xy, nơi điện thế bằng không Tuy nhiên, lần này V không tiến tới không tại khoảng cách z lớn Thật vậy, từ điện trường của hình

Bởi vậy: ( , ) 211 (cos )

0

l l

R

r i

       

Với r>>R, số hạng thứ hai trong dấu ngoặc là không đáng kể, và do đó

điều kiện hai đòi hỏi rằng: (cos ) cos

                

Nó sẽ mang giá trị dương trong nửa bán cầu phía bắc ( 0     / 2 ) và

âm trong nửa bán cầu phía nam (  / 2     )

Bài 6 Một mặt cầu bán kính R tích điện với mật độ điện tích 0  Tìm điện thế bên trong và bên ngoài hình cầu

Bài giải

Đương nhiên bạn có thể sử dụng trực tiếp tích phân:

1 4

o o

r l